Experimentalphysik II

Experimentalphysik II
Diplomstudium Chemie
(Universität Stuttgart)
Verfasser: Oliver Martin
Dozent: Dr. Wolf Wölfel
(im SS 2006)
1. Auflage 2006
Impressum:
© 1. Auflage, Dezember 2006
Alle Rechte auf das vorliegende Werk
inklusive aller graphischen Abbildungen sind
dem Verfasser vorbehalten.
Oliver Martin
Böblinger Straße 224
70199 Stuttgart
Tel.: 0711 / 23 72 434
E-Mail: [email protected]
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
1. Inhaltsverzeichnis
I
Experimentalphysik I
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
I. Elektrizität
1. Wechselstrom
stände
und
Wechselstromwider-
1.1 Zur Erinnerung (im Gleichstromkreis)
Ohm’scher Widerstand:
R
+ -
R=
U
I
Kondensator:
U
U, I
C
+
-
R
t
Kapazität C
Spule:
U
U, I
L
+
-
R
t
Induktivität L
1
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1.2 Experiment: Erzeugen einer Wechselspannung
Leiterschleife im Magnetfeld:
U
U0
B
U
U0
Ui = U0 · sin(ω · t)
mit ω: Kreisfrequenz (2πf)
1.2.1 Ohm’scher Widerstand
Strom: I(t) = I0 · sin(ω · t)
Leistung: P = U · I (am Widerstand verbraucht)
P = U(t) · I(t)
mit U = R · I0 und I = I0 · sin(ω · t)
P = R · I02 · sin2(ω · t)
P
P
t
P=
ohne Vorzeichen
1
2
⋅ R ⋅ I0
2
1.3 Induktiver Widerstand
L
Ui(t)
~
U (t )
2
t
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1.3.1 Maschenregel
U(t) + Ui(t) = 0
dI
U i (t ) = − L ⋅
dt
dI
U (t ) = L ⋅
dt
mit I = I · sin(ω · t)
Spannung an Spule: U(t) = ω · L · I · cos(ω · t)
ω·L=R
analog zu U = R · I0 · sin(ω · t)
1.3.2 Wechelstromwiderstand
XL = ω · L
Eigenschaften: XL ~ ω
1.3.3 Phasenverschiebung
Bei Induktivität (Spule) läuft der Strom der Spannung um π/2 hinterher.
1.3.4 Leistung
P(t) = U(t) · I(t)
P(t) = ω · L · I02 · sin(ω · t) · cos(ω · t)
P(t) = 1/2 · ω · L · I02 · sin2(2 · ω · t)
I
U
t
t
doppelte Frequenz
P=0
3
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1.4 Kapazitiver Widerstand
C
~
I
UC
~
U (t )
1.4.1 Spannung am Kondensator: Maschenregel
Q 1
= ⋅ ∫ I (t )dt
C C
I(t) = I0 · sin(ω · t)
1
U C (t ) =
⋅ I 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
ω ⋅C
1
π

U C (t ) =
⋅ I 0 ⋅ sin ω ⋅ t − 

ω ⋅C
2
U (t ) = U C (t ) =
1.4.2 Wechselstromwiderstand
1
ω ⋅C
ω → 0 ⇒ XC → ∞
ω → ∞ ⇒ XC → 0
XC =
1.4.3 Phasenverschiebung
Bei Kapazitäten (Kondensator) läuft der Strom der Spannung um π/2
voraus.
1.4.4 Leistung
P(t ) = U (t ) ⋅ I (t ) = −
1
2
⋅ I 0 ⋅ sin(ω ⋅ t ) ⋅ cos(ω ⋅ t )
ω ⋅C
2
1 I
P(t ) = − ⋅ 0 ⋅ sin(2 ⋅ ω ⋅ t )
2 ω ⋅C
4
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I U
t
P
t
1.5 Zusammenfassung
R
L
XR = R
XL =ω ⋅ L
y
~
U
~
I
~
U
C
XC =
1
ω ⋅C
π
2
x
~
I
x
~
I
~
U
−
x
π
2
1.5.1 Kombination der Schaltungen
R
L
~
I
~
U (t )
Wie groß ist der Phasenwinkel φ und der effektive Gesamtwiderstand?
Strom: I = I0 · sin(ω · t)
Spannung: U(t) = U0 · sin(ω · t + φ)
U0 und φ unbekannt
Lösung: Maschenregel
U(t) = U2(t) + UR(t)
5
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Ergebnisse
L
tan ϕ = ω ⋅
R
L und R sind experimentellbestimmbar mit Messgeräten und ω wird
eingestellt
U0
= R 2 + ω 2 ⋅ L2
I0
U
R 2 + ω 2 ⋅ L2
ω⋅L
n
R
I
1.6 Komplexe Schreibweise
- großer Vorteil bei komplizierten Schaltungen!!!
1.6.1 Es werden benötigt
- imaginäre Einheit i (i2 = - 1)
- komplexe Zahl (mathematisch):
~
z = a + i ⋅ b = r ⋅ (cosα + i ⋅ sin α ) = r ⋅ e i⋅α
a, b, r, α ∈ ℝ
- Darstellung in Gauss’scher Zahlenebene:
Im
i ⋅ sin α
b
i
a
r ⋅ cosα
Re
~
I = I 0 ⋅ (cos(ω ⋅ t ) + i ⋅ sin(ω ⋅ t )) = I 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t
1.6.2 Spannungen an Wechselstromwiderständen
~
~
~
U R = R ⋅ I = R ⋅ I 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t = Z R ⋅ I
dI
~
~
UL = L ⋅
= i ⋅ ω ⋅ L ⋅ I 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t = Z L ⋅ I
dt
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1
1
~
~
U C = ∫ I dt =
⋅ I 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t = ZC ⋅ I
C
i ⋅ω ⋅ C
Ohm’scher Widerstand
Induktiver Widerstand
Kapazitativer
Widerstand
Z~R
Z~L
Z~C
ZR = R
ZL = i · XL = i · ω · L
1
ZC = i ⋅ X C =
i ⋅ω ⋅ C
1.6.3 Allgemein: Impedanz
Z=R+i·X
Allgemein komplexer Widerstand
~
~
Z = R+i⋅ X
mit Z = 1Ω
[ ]
Impedanz
- komplexer Scheinwiderstand
~
- Betrag der Impedanz: Z = Z
- Wirkwiderstand R (Energieverbauch, Erwärmung)
- Blindwiderstand: X = ZL, ZC
Vorteil der komplexen Schreibweise
Berechnungen in komplizierten Stromkreisen werden sehr einfach:
analog zu Gleichstromschaltungen.
Regeln
- Knotenregel:
~
∑ Ik = 0
~
~ ~
- Maschenregel: ∑U I = ∑ ( I k ⋅ Z k )
~
~
- Serienschaltung von Widerständen: Z ges = ∑ Zi
 1
1
- Parallelschaltung von Widerständen: ~ = ∑  ~ 
Z ges
 Zi 
1.7 Effektivwerte
Was bedeutet 220 V Ausgangsspannung an der Steckdose?
7
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P=U·I
U
I
t
Mittelwert der Spannung:
U
U$ = U max
U eff = U
t
220 V Ausgangsspannung an der Steckdose sind also die effektive
Spannung. Die Maximalspannung Û beträgt 312 V.
U$
2
I$
=
2
U eff =
I eff
1.7.1 Wirkleistung
Pwirk = 21 ⋅ U$ ⋅ I$ ⋅ cosϕ = U eff ⋅ I eff ⋅ cosϕ
1.8 Transformator
Eisenkern
Ip
I
~
Up
~
Us
np
primär
n
sekundär
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Induktionsspannung auf der Sekundärseite (im Leerlauf oder bei kleiner
~
U p np
Stromentnahme): ~ =
Us
ns
~
I p ns
Induktionsstrom (bei Kurzschluss oder starker Stromentnahme): ~ =
Is np
Die Ströme sind beliebig veränderbar.
1.8.1 Anwendung
Um Verluste beim Stromtransport über Hochspannungsleitungen
möglichst gering zu halten, wird der Strom im Kraftwerk hochtransformiert
auf z.B. typische 380.000 V. Damit können kleine Ströme fließen und die
Verluste sind gering. Am Ende der Hochspannungsleitung wird der Strom
wieder heruntertransformiert auf ungefährlichere Spannungen.
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II. Optik
1. Interferenz
1.1 Allgemein
Vorraussetzung:
- monochromatisches Licht
- kohärentes Licht
Laser
Aufspaltung des Lichtstrahls:
- konstruktiv: ∆ = m ⋅ λ
- destruktiv: ∆ = (2 ⋅ m + 1) ⋅
λ
2
1.2 Michelson-Interferometer (1880)
1
n1
n2
Strahlteiler
(halbdurchlässig)
2
Empfänger
- Nobelpreis 1907
Anwendungen:
- Längenmessung bis 1/100 λ ≈ 5 nm
- Wellenlängenbestimmung
- Spektrometer, Spektralanalyse
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- Brechungsindexmessung (mit einer Genauigkeit von bis zu ∆n ≈ 10-8)
1.3 Reflexion und Beugung an Grenzschichten
"1 "1 '
n1
n2
"2
"1
"2
dunkel
1.3.1 Totalreflexion
n1
"2 "2
n2
Grenzwinkel für die Totalreflexion:
n
sin α T = 1
n2
11
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1.4 Lichtbeugung an Hindernissen
1.4.1 Beugung am Spalt
2.
1.
0. Ordnung
1.
2.
I
-2 -1 0 1 2
x
Ordnung: x
m = 0, 1, 2, 3
Interferenzbedingung:
d = sin α ≈ (2 ⋅ m + 1)
λ
2
mit d: Spaltbreite; α:Winkel der Ablenkung
1.4.2 Beugung an Kante
x, 0
x
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1.4.3 Beugung am Gitter (Fraunhofer 1829)
Monochromatisch (Laser)
1.
1.
1.
"
0.
0.
D
D − sin α = m ⋅ λ
Gitterkonstante: Linien/mm
Spektrum:
I
-2
-1
0
1
x
2
- wachsende Strichzahl:
Nebenmaximum kleiner
Hauptmaximum schärfer
Experiment
Aufbau eines einfachen Gitterspektrometers:
Kollimatorlinse
weiße
Lichtquelle
Spalt
Gitter
1.
0. Ordnung
Linse
Verschiedene Gitter:
2 Linien/mm, 4, 10, 50, 690
- Anwendung: Spektralanalyse
13
Schirm
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Auflösungsvermögen: A =
λ
= m ⋅ p (mit m: Ordnung; p: Strichzahl;
δλ
δλ: Abstand benachbarter Linien)
- Problem: Durch die verschiedenen Ordnungen wird sehr viel Licht
„verschenkt“.
Lösung: Blaze-Gitter
2.
1.
0.
(
wichtig: Blaze-Winkel γ
- Echelette-Gitter:
Vorteil: fast gesamtes Licht genutzt
- in der Praxis: Reflektionsgitter
Experiment: CD, DVD
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1.5 Reflexion und Brechung
1.5.1 Reflexion
Grenzfläche
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
1.5.2 Brechung
Eindringen in anderes Medium: Sprung in Brechungsindex n
c
cm = 0
n
"1
n1
Grenzfläche
n2
"2
Brechungsgesetz (Snellius)
n1 ⋅ sin α 1 = n2 ⋅ sin α 2
1.5.3 Ergebnis
An Grenzschicht n1 ≠ n2:
- Aufspaltung in:
• reflektierten Strahl
• gebrochenen Strahl
- relative Intensitäten hängen ab vom Winkel α
 n − n2 
I
• Reflexionsvermögen: r = r =  1

I e  n1 − n2 
2
2
0,25
 − 0,5
• Beispiel Luft-Glas: r = 
= 4%
 =
 2,5 
6,25
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1.6 Interferenz mit Röntgenstrahlen
λx ≈ 10-3 - 10-4 λLicht
λx: Gitterkonstante von Kristallen (Atomabstand ca. 0,1 – 0,2 nm)
1.7 Interferenz mit Teilchen (e-, Neutronen, …)
- bei Teilchen:
h
p
mit λ: Wellenlänger des Teilchens; h: Planck’sches Wirkungsquantum; p:
Impuls des Teilchens
de Broglie: λ =
8 [mm]
1
typische Kristallstruktur
0,1
0,01
100 101 102 103 104
E [eV]
2. Dispersion und Absorption
Atom im elektrischen Feld:
E
-
Dipol
+
r
p
Dipol macht erzwungene Schwingung im elektrischen Feld.
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Erinnerung:
A
Resonanz
∆ϕ =
π
2
ωe
ω0
Atomebene im elektrischen Feld:
P
E
EP
sekundär
)n
Es
Ergebnis: resultierende Welle
Phasenverschiebung ∆γ
∆γ
a ⋅ k0
mit a: ∆z; k0: Wellenzahl primär
n = 1+
80
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2.1 Experiment: Natrium-Absorption
a)
8
Na-Linie
Na
b)
Na-Dampf
8
Na-Absorptionslinie
weißes
Licht
Experiment
Na
Streulicht durch Fluoreszenz
3. Strahlenoptik
Grundlage für alle optischen Bauelemente.
Fermat’sches Prinzip: Licht wählt stets den „kürzesten“ (schnellsten) Weg
von A nach B.
„Kürzester Weg“:
∆ = ∑ ni ⋅ si = minimal
i
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Beispiel:
B
A
"
Reflexion
"’
n0
n1
A
Brechung
"1
n0
n1
"2
B
3.1 Experiment: Optische Bauelemente
3.1.1 Spiegel, Hohlspiegel
- sphärischer Spiegel:
Kugelfläche
kein sauberer Brennpunkt
- asphärischer, parabolischer Spiegel
sauberer Brennpunkt
Astronomisches Fernrohr:
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g
Bild
g0
f1
Objektiv
f2
Okular
Vergrößerungsfaktor VF:
f
ε
VF =
= 1
ε0 f 2
3.1.2 Prisma
- Dispersion führt zur Farbaufspaltung Linsenfehler
3.1.3 Sammellinsen
r2
r1
M1
f
Linsenmacherformel:
 1 1
1
= (n − 1) ⋅  + 
f
 r1 r2 
Abbildungsformel:
1 1 1
= +
f a b
20
M
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Abbildungsgesetz:
B b
=
G a
G
f
f
a
B
optische Achse
b
Verschiedene Fälle:
Verhältnis:
Bild:
a>2f
verkleinert, umgekehrt, reell
a=2f
1 : 1, G = B (Makro)
a<2f
vergrößert, umgekehrt, reell
a=f
Bild im Unendlichen
a<f
vergrößert, aufrecht, virtuell (z.B. Lupe)
3.1.4 Zerstreuungslinsen
f
Fresnellinse
Linsenkompensation
1
2
f1
f2
a
b
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1 1
1 1 1
= +
= +
f
f1 f 2 a b
Linsenfehler
1.) Sphärische Abberation
Abhilfe: asphärische Form (z.B. Parabel)
2.) Koma („Haar“)
kein Punkt, verschwommen
3.) Astigmatismus (Punktlosigkeit)
kreuzförmiger Punkt
4.) Verzeichnung (durch Randstrahlen)
- tonnen- oder kissenförmig
5.) Chromatische Abberation
- Dispersion Farbfehler
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3.2 Experiment: Monochromator
drehbares Gitter
Detektor
3.2.1 Photometer: Größen
Licht („Photo“), vom Auge wahrnehmbar
Strahler (Lichtquelle)
- Lichtstärke:
dΦ
lm
Il =
I l ] = 1Cd = 1
[
dΩ
sr
Cd ist eine SI-Basiseinheit
- Quelle mit 540 · 1012 Hz gibt in Raumwinkel 1 Storadiant (sr) 1/683 Watt
ab
- Lichtstrom Φ l = ∫ I dΩ
[lm] = [Cd ] ⋅ [sr ]
4. Experiment: Musik
- Musik lässt sich mit Licht übertragen
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III. Schwingungen und Wellen
1. Begriffsdefinitionen
Schwingung: lokale Bewegung
Welle: Schwingung, die sich fortpflanzt
periodische Bewegung: y (t) = y (t + T)
Periodendauer: T
1.1 Voraussetzung für die Schwingung
- schwingungsfähiges System
- rücktreibende Kraft zur Gleichgewichtslage
1.2 Experimente
Elektrischer Schwingkreis
n = 1.000
5 :F
C
L
R
~
U
U
f
Resonanzstelle
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Freie Schwingung einer Kugel
Gekoppelte Pendel
Energie wandert nach Auslenkung eines Pendels zwischen beiden
Pendeln periodisch hin und her.
Paul’sche Falle
+
Al-Teilchen
~
U
-
elektrische Feldlinien
+
Bei richtig gewählter Wechselfrequenz schwingen die Al-Teilchen frei.
Hertz’scher Dipol
Antenne (kein Kontakt
zum Sender)
L
Kapazität
< = 129,15 MHz
~
V
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Lichtspektrum durch ein Prisma
Spektrum
(Komponenten des Lichts)
Allen Erscheinungen ist gemeinsam: Die mathematische Beschreibung
2.
Mathematische
Schwingung
Beschreibung
der
2.1 Beliebige periodische Vorgänge
Gilt für beliebige periodische Vorgänge:
t
Hier: Begrenzung auf harmonische Schwingungen (mit gedämpfter
Schwingung), denn: Komplizierte periodische Bewegungen sind
darstellbar durch Überlagerung von harmonischen Funktionen (FourierSynthese/-Analyse).
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2.2 Weg-Zeit-Funktion
2.2.1 Ungedämpfte Schwingung
q
q0
T
t
q = q0 · cos(T
T · t - n)
n
-q0
oder komplexe Schreibweise:
q(t) = q0 · ei·(ω · t - φ)
mit q0: Maximalamplitude; ω: Kreisfrequenz (2π · ν); φ: Phasenwinkel;
ν: Frequenz (1/T); T: Periodendauer
2.2.2 Dämpfung
Beschränkung auf Verluste ~ Geschwindigkeit v
q
q0
qn
qn+1
t
2B
4B
Exponentielle Abnahme der Amplitude
q(t) = q0 · e-δ · t · cos(ω · t)
mit δ: Dämpfungs- bzw. Abklingkonstante
1
− ⋅t
oder: q(t ) = q0 ⋅ e τ ⋅ cos(ω ⋅ t )
mit τ: Abklingzeitkonstante (Zeit, in der q auf 1/e abgefallen ist.)
Amplituden nehmen stets um gleichen Faktor ab: Dämpfungsverhältnis.
q
q
γ = n = n+1 = const .
qn+1 qn+ 2
Logarithmesches Dekrement
∆ = ln γ
q
T
∆ = ln γ = ln n = δ ⋅ (t n+1 − t ) = δ ⋅ T =
qn+1
τ
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2.2.3 Beispiele für ungedämpfte harmonische Schwingungen
Feder-Masse-System (Federpendel)
m
D
D
D
m
x
x
x(t) = x0 · cos(ω · t)
D
mit ω:
; D: Federkonstante
m
Für ungedämpfte Schwingungen gilt der Energieerhaltungssatz.
Eges = Epot + Ekin
E ges = 21 D ⋅ x 2 + 21 ⋅ m ⋅ x& 2 = 21 D ⋅ x0 2 = const .
E
Ekin Epot
π
π
2
Eges
3π
2
2π
Torsionspendel
"
α = α0 · ω · t
D*
ω=
J
mit D*: Torsionsfederkonstante; J: Trägheitsmoment
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Energieerhaltungssatz:
Eges = Epot + Ekin,rot
E ges = 21 D * ⋅α 2 + 21 ⋅ J ⋅ α& 2
Schwerependel
F = m · g · sin α
Mathematisches Pendel
"
m
FG
Näherung für kleine Winkel: sin α ≈ α
Lösung:
α = α0 · cos(ω · t)
g
ω=
l
Die Masse spielt keine Rolle - die Schwingung ist massenunabhängig.
Physkalisches Pendel
Aufhängung
l
SP
F
FG
Rücktreibendes Drehmoment:
Mrück = F · l = m · g · l · sin α
m · g · l = D*
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sin α ≈ α Lösung:
α = α0 · cos(ω · t)
D*
g
ω=
=
J
lr
mit D*: Rückstellmoment; J: Trägheitsmoment; lr: reduzierte Pendellänge
lr = l · (1 + JS(m · l2))
mit S: Steiner (s. Steiner’scher Term)
Elektrischer Schwingkreis
L
C
R
U0
+-
L C (R) - Kreis
R ist im Idealfall = 0
Q(t) = Q0 · cos(ω · t)
1
ω=
L⋅C
1
E pot = 21 ⋅ ⋅ Q 2
C
Energie im Kondensator
E kin = 21 ⋅ L ⋅ Q& 2
magnetische Feldenergie
allgemeiner Fall: R > 0 gedämpfte Schwingung
Maschenregel:
UL + UC + UR = 0
dI Q
L⋅ + + R⋅ I = 0
dt C
dQ &
mit I =
=Q
dt
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Bewegungsgleichung für die Ladung Q:
&& + R ⋅ Q& + 1 ⋅ Q = 0
L⋅Q
C
&
R ⋅ Q : Dämpfung
2.3 Arten von Schwingungen
Es ergeben sich folgende 3 Lösungen:
2.3.1 Geringe Dämpfung
U
U0
Schalter geöffnet
t
exponentielles Abklingen
2.3.2 Aperiodischer Grenzfall
U
U0
t
2.3.3 Kriechfall
U
U0
t
3. Erzwungene Schwingungen
- bisheriger Fall: freie Schwingung durch impulsförmige Anregung
Folge: Schwingung mit Eigenfrequenz + ω0
- erzwungen: periodische(s) Kraft/Drehmoment von außen
System bewegt sich mit ωE (Erregerfrequenz)
- Wie folgt das System der Erregung?
31
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3.1 Pohl’sches Rad (Torsionspendel)
"
D*
Me(t)
J
Me = M0 · cos(ωE · t)
oder
Me = M0 · ei · ω · t
Mα = - D · α = MF + MR + Me
MF = - D · α
M R = − R * ⋅α&
J ⋅ α&& + D ⋅ α = M 0 ⋅ cos(ω e ⋅ t )
3.1.1 Lösung
Ansatz:
α (t ) = α 0 ⋅ ei⋅(ω ⋅t −ϕ )
oder
α (t ) = α 0 ⋅ cos(ω ⋅ t − ϕ )
Amplitude:
α0 =
M0
J
(ω
2
0
− ω2
)
2
+ 4⋅δ2 ⋅ω2
mit ω0: Resonanzfrequenz
Phase:
tan ϕ = 2 ⋅ δ ⋅
ω
ω 02 − ω 2
Dämpfung:
R*
δ=
2⋅ J
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Drehmoment:
M (t ) = M 0 ⋅ e i⋅ω ⋅t
oder
M (t ) = M 0 ⋅ cos(ω ⋅ t )
Diskussion der Lösung
M "
t
n
n: Phasenwinkel
Im
T
M
n
"
Re
Drei Lösungsbereiche
a) ωe = ω << ω0
M0
M
α0 →
= 0
2
D*
J ⋅ ω0
φ=0
System folgt instantan
b) ωe = ω0 (Resonanz)
M0
α0 →
→ ∞ , wenn δ → 0
2 ⋅ δ ⋅ J ⋅ ω0
ϕ=
π
2
c) ωe >> ω0
M0
α→
→ 0, wenn ω → ∞
J ⋅ω2
33
M = M0 · cos(T
T · t)
" = " 0 · cos(T
T · t)
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α0
M0
D*
*=0
Amplitude
* = 0,02 T0
* = T0
* = 5 T0
1
1
2
Phasenwinkel
n
*=0
* = 0,02 T0
* = T0
B
B
ω
ω0
/2
* = 5 T0
1
2
ω
ω0
3.2 Beispiel aus Elektronik (Radio, TV)
Sekundärkreis
durchgehender Eisenkern
C
L
Primärkreis
Anwendung: Bandfilter Trennschärfe
34
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4. Gekoppelte Pendel
4.1 Experimente
4.1.1Fadenpendel
Auslenkung eines Pendels
Beobachtung: Energie wandert periodisch zwischen beiden Pendeln
hin und her.
4.1.2 Zwei ungleiche Massen, aber gleiche l
l
m1
m1 > m2
l
m2
4.1.3 Experiment: Wechsel zwischen vertikaler und Drehschwingung
T1 = T2
D
D
m
4.2 Bedingung
Schwingungen
m
für
Energietransfer
ω1 = ω2
35
bei
gekoppelten
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
g
=
l
D
=
m
D*
J
4.2.1 Bewegungsgleichungen
ungedämpft:
x1
D
m1
x2
D’
m2
D
Ruhelage: x1 = 0 und x2 = 0
m ⋅ &&
x1 + D ⋅ x$ + D'⋅( x1 − x2 ) = 0
m ⋅ &&
x2 + D ⋅ x2 + D'⋅( x2 − x1 ) = 0
gesucht: x1(t) und x2(t)
4.2.2 Lösung: Zwei gekoppelte Differentialgleichungen
Ergebnis: Zwei Fundamentalgleichungen
a) Massen schwingen gleichsinnig
b) Massen schwingen gegensinnig mit ω’ (Frequenz mit der die Energie
hin- und herwandert)
c) nur eine Masse ausgelenkt: Schwebungsfrequenz (Linearkombination
der Fundamentalschwingungen)
t
t
36
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
4.3 Schwingende elastische Kontinua
4.3.1 Lineares Kontinuum
Experiment
1 Masse:
D
vertikale Schwingung
m D
horizontale Schwingung
longitudinale Schwingung
3 Freiheitsgrade der Schwingung
vertikale und horizontale Schwingung sind entartet, dass heißt sie
unterscheiden sich nur in ihrer Richtung
2 Massen:
D
D
D
6 Freiheitsgrade
longitudinal
transversal
jeweils in x- und y-Richtung
3 Massen (Pendelkette):
D
m
D
m
D
m
D
37
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longitudinal
ω1
ω2
ω3
transversal
ω1
ω2
ω3
9 Freiheitsgrade
Ergebnis: Zahl der Eigenschwingungen einer Pendelkette = Zahl der
Freiheitsgrade.
4.3.2 Ebenes und räumliches Kontinuum
Experiment: Chladnischen Klangfiguren
ganz feiner Sand
Geigenbogen
elastische Metallplatte
nach Anregung Ausrichtung der Sandkörner:
38
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
4.3.3 Experiment: Gummischlauch
Grundschwingung: Erste Eigenschwingung
Zweite Eigenschwingung
Ergebnis
- theoretisch unendlich viele Eigenschwingungen möglich
Eigenschwingungen
sind
abwechselnd
symmetrisch
und
antisymmetrisch zur Saitenmitte
- Knoten: n-te Eigenschwingung hat n + 1 Knoten
- Frequenzen der Eigenschwingungen liegen entsprechend der Ordnung
höher, Frequenz:
n
σ
νn =
⋅
2⋅l ρ
F
mit n: Ordnung; l: Saitenlänge; σ: Saitenspannung ; ρ: Dichte
A
1. Ordnung: Grundschwingung
1
σ
ν1 =
⋅
2⋅l ρ
2. Ordnung:
1 σ
ν2 = ⋅
= 2 ⋅ ν1
l
ρ
Verdopplung der Frequenz ≙ einer Oktave
39
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
3. Ordnung:
ν 3 = 3 ⋅ ν1
n. Ordnung:
ν n = n ⋅ ν1
Alle Oberschwingungen sind Vielfache der Grundschwingung.
5. Harmonische Analyse (Fourier)
Nach Fourier lassen sich beliebige periodische Funktionen als
Überlagerung von harmonischen sin- und cos-Funktionen darstellen.
5.1 Grundsätzliche Darstellung
5.1.1 Eine Schwingung
Weg-Zeit-Diagramm
2π
T=
x
ω0
A0
t
-A0
x
I
Amplitudenspektrum
I ~ x2
Intensitätsspektrum
T0
T
5.1.2 Zwei Schwingungen
x
T0
T’
x
t
t
40
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
I
)T
T
T’ T0
Addition beider Schwingungen:
x(t)
x(t) = I0 @ (cos(T0 @ t) + cos(T’ @ t))
t
)T
Schwebung bei eng benachbarten Frequenzen
5.1.3 Experiment: Rechteckfunktion
x
T
B0
t
-B0
x(t ) = B0 für 0 < t ≤
x(t ) = − B0 für
T
2
T
<t≤T
2
Ergebnis
Die Rechteckfunktion lässt sich in eine Reihe von Sinusfunktionen
zerlegen:
B
x(t ) = 4 ⋅ 0 ⋅ (sin(ω 0 ⋅ t ) + 13 ⋅ sin(3 ⋅ ω 0 ⋅ t ) + 15 ⋅ sin(5 ⋅ ω 0 ⋅ t )+ ...)
π
5.1.4 Allgemeine Schreibweise
allgemein: jede Funktion lässt sich in eine Fourier-Reihe zerlegen.
41
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
f (t ) =
∑ An ⋅ cos(ω 0 ⋅ t ) + Bn ⋅ sin(n ⋅ ω 0 ⋅ t )
n
2 Fälle
- Funktion achsensymmetrisch zur Ordinate
nur cos-Terme
- Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung
nur sin-Terme
Koeffizienten
2
An = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ cos(n ⋅ ω 0 ⋅ t ) dt
T
2
Bn = ⋅ ∫ f (t ) ⋅ sin(n ⋅ ω 0 ⋅ t ) dt
T
x(t)
Grundschwingung
+ 1. Oberschwingung
+ 3. Oberschwingung
+ 5. Oberschwingung
t
5.2 Erweiterung: Fourier-Integral
A(T
T)
x
-JJ
J
kontinuierliches
Spektrum
π
τ
t
2
π
τ
T
Je schmaler der Puls (Signal), desto breiter das Frequenzspektrum:
∆ ω ⋅ ∆ t = 2π
mit ∆ω: Frequenzbreite; ∆t: Pulsbreite
Linienverbreiterung
der
Spektrallinien
Schwingungsdauern.
42
durch
endliche
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
x
A(T
T)
T
t
-JJ
J
6. Wellen
6.1 Was ist eine Welle?
Zeitliche und räumliche Kopplung von Oszillatoren
räumliche Fortschreitung einer Veränderung
6.1.1 Experiment
8
Q
harmonische Auf- und
Abschwingungen
6.1.2 Transversale Schwingung
6.1.3 Longitudinale Schwingung
VPh
6.1.4 Begriffe
Punkte gleicher Phase
Wellenfront
43
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Räumliche Bewegung der Phase
Wellengeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit vPh
Abstand zweier gleicher Phasen
Wellenlänge λ
Zeitliche Änderung der Phase
Periodendauer T
Bewegungen pro Zeiteinheit
1
Frequenz ν = oder Kreisfrequenz ω = 2 · π · ν
T
Zahl der Wellenzüge pro Länge
1
2 ⋅π
Wellenzahl σ = oder Kreiswellenzahl k =
λ
λ
Phasengeschwindigkeit
dz ω
v Ph =
= = λ ⋅ν
dt k
6.2 Wellenfunktion
Ψ(t , z ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ z)
oder
i⋅ ω ⋅t − k ⋅z )
Ψ (t , z ) = A ⋅ e (
6.2.1 Wellengleichung
2
∂ 2 Ψ( z , t )
2 ∂ Ψ( z, t )
= v Ph ⋅
∂ t2
∂ z2
sehr viele Lösungen, je nach Randbedingungen
6.3 Spezielle Wellenformen
6.3.1 Experiment: Punktförmige Quelle/Erregung
+
-
44
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
kreisförmige Welle
6.3.2 Experiment: Lineare Quelle
ebene Welle
Phasengeschwindigkeit, Gruppengeschwindigkeit
vPh
vGr
6.4 Weitere Eigenschaften von Wellen
6.4.1 Polarisation (nur bei Transversalwellen)
Horizontal
Vertikal
Zirkular
Elliptisch
45
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
6.4.2 Intensität einer Welle
Q
transversale
Schwingungen
z
Am Umkehrpunkt nur Epot:
∆E pot = 21 ⋅ D ⋅ s0 2 = 21 ⋅ ∆m ⋅ ω 2 ⋅ s0 2
Beim Nulldurchgang nur Ekin:
∆Ekin = ½ · ∆m · v2 = ½ · ∆m · ω2 · s02
Es wird stets Energie an .... weitergegeben:
∆E ∆ E ∆ v
Energiestrom:
=
⋅
= ρE
∆t
∆v ∆t
A ⋅ ∆z
= ρ E ⋅ A ⋅ v Ph
∆t
Energie pro Zeit durch Fläche
Energiestromdichte jE
r
1 dE
I = jE = ⋅
A dt
r
r
j E = ρ E ⋅ v Ph
da ∆E ~ s02 ρE ~ s02
I ~ s02 oder I ~ Ψ02
Ausdehnung
a) ebene Welle (ohne Dämpfung)
I unabhängig von z
b) Kreis- oder kugelförmige Abstrahlung
FKugel = 4πr2
FKreis = πr2
1
I = jE ~ 2
r
Amplitude fällt also mit 1/r
Wellenfunktion einer harmonischen Kugelwelle:
Ψ
Ψ = 0 ⋅ cos⋅ (ω ⋅ t − k ⋅ π )
r
46
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
6.5 Superposition von Wellen
6.5.1 Nur 2 Wellen mit ω1 und ω2
Gleiche Richtung, ω1 = ω2
Ψ = Ψ1 + Ψ2
harmonische Welle mit φ:
Ψ = A cos(ω t – k z) + B cos(ω t – k z - φ)
Bei φ1 = φ2 = φ = 0:
Ψ = Ψ1,0 + Ψ2,0 (Addition der Amplituden)
Gleiche Richtung ω1 ≠ ω2
Ψ = A cos(ω1 t – k1 z) + B cos(ω2 t – k2 z)
Schwebung
r
• mittlere Kreisfrequenz ω = 21 ⋅ (ω1 + ω 2 )
• mittlere Wellenzahl k = 21 ⋅ ( k1 + k 2 )
• Differenzfrequenz ∆ω = ω1 − ω 2
• Wellenzahldifferenz ∆k = k1 − k 2
∆k 
 ∆ω
Ψ = 2 ⋅ A ⋅ cos
t−
z ⋅ cos ω ⋅ t − k ⋅ z
 2
2 
langsam veränderliche ebene Welle
Amplitude
(
6.5.2 Gruppeneigenschaften
8Gr, TGr
vGr
2A
vPh
z
-2A
Schwebungsgruppe
TGr =
2 ⋅π
∆ω
λGr =
2⋅π
∆k
Gruppengeschwindigkeit:
dz ∆ω
vGr =
=
dt ∆k
47
)
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6.5.3 Experiment: Zwei Spiralen
T1
T2
Überlagerung von zwei benachbarten Wellen (kleiner
Frequenzunterschied) einfacher Fall
Q
Q
T1
T2
82
81
T
8
Erinnerung:
v Ph = λ ⋅ ν = λ ⋅
ω
ω
=
2 ⋅π k
a) v Ph1 = v Ph 2 = v Ph → vv Ph = vGr
b) bei unverändertem λ1, λ2, ω2, aber verändertem ω1
v Ph ≠ vGr
Dispersion
48
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
6.5.4 Dispersion
Dispersionsfunktionen:
T
ω~k=
2π
λ
v Ph = const .(ω )
T
dispersionsfrei
ω
∆ω
∆k
T
k
k
∆ω
k ∆k
v Ph = vGr
Dispersion
ω
k
∆ω
k ∆k
v Ph ≠ vGr
=
≠
6.5.5 Wellen in entgegengesetzter Richtung gleicher Frequenz und
gleicher Amplitude
8
Bauch
Knoten
Hinlaufende Welle:
Rücklaufende Welle:
Resultierend:
Amplitude:
ΨHin = Ψ0 ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ z )
ΨRück = Ψ0 ⋅ cos(ω ⋅ t + k ⋅ z)
Ψres = ΨHin + ΨRück = 2 ⋅ Ψ0 ⋅ cos( k ⋅ z) ⋅ cos(ω ⋅ t )
2 ⋅ Ψ0
Experiment: Akustische stehende Welle
Mikrofon
T
49
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Experiment: Flammenrohr
Flammenhöhe
Gas
Knoten
6.6 Interferenz
6.6.1 Zwei Wellen mit ω1 = ω2 = ω in gleicher Richtung
A
t
Ψ1 = A1 ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ z )
Ψ2 = A2 ⋅ cos(ω ⋅ − k ⋅ z − δ )
Ψges = Ψ1 + Ψ2 =
A12 + A2 2 + 2 ⋅ A1 ⋅ A2 ⋅ cosδ ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ z − ε )
6.6.2 Extremfälle
A1 = A 2 = A
1.) δ = 0 oder δ = n · 2π
Ares = 2 A
konstruktive Interferenz
A
t
2.) δ = π oder δ = (2n+1) π
Ares = A1 + A2 = 0
destruktive Interferenz
50
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A
t
2 Kreiswellen
6.7 Modulation
menschlicher Frequenzbereich: 20 Hz < υ < 20 kHz
akustisch λ · υ = cS: 17 m > λ > 1,8 cm
elektromagnetisch λ · υ = c: 15.000 km > λ > 16 km (Antennendimension)
technische Lösung: Kombination von Trägerwelle und Informationswelle
6.7.1 Amplitudenmodulation (AM)
Trägerfrequenz
Ψ = Ψ0 ⋅ cos(Ω ⋅ t − k ⋅ z )
A
S
t
Tonfrequenz
20 Hz < υ < 20 kHz
T
t
51
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Ψ0 (t ) = A ⋅ (1 + m ⋅ cos(ω ⋅ t ))
mit m: Modulationsgrad < 1
Anwendung
Radio:
Kurzwelle λ = 30 m
Mittelwelle λ = 300 m
Langwelle λ = 3.000 m
υ = 10 MHz
υ = 1 MHz
υ = 100 kHz
6.7.2 Frequenzmodulation (FM)
Anwendung: UKW, TV
Ω(t ) = Ω 0 ⋅ (1 + m ⋅ cos(ω ⋅ t ))
S
t
Ω: Trägerfrequenz
ω:Tonfrequenz
Hinweis: Seitenbänder
S0
)
-)T
)T
T
Kanal
52
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
6.8 Doppler-Effekt
6.8.1 Ruhender Beobachter
Beobachter
Q
vQ
vQ < cS
λ · υ = cS
mit cS: Schallgeschwindigkeit
1
ν=
T
λ = λ0 − v Q ⋅ T
λ = λ0 −
λ = λ0 −


vQ
ν0
vQ
cS
λ = λ0 ⋅  1 −
⋅ λ0
vQ 

cS 
ν=
cS
λ
=
ν0
1m
vQ
cS
vQ = cS
Schallmauer
vQ > cS
- Mach’scher Kegel
vQ · )t
cS
1
=
vQ M
mit M: Machzahl M = 1 = cS
sin α =
53
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6.8.2 Bei Lichtwellen
Bewegung zueinander
1+
ν
co
v
1−
c0
mit c0: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum; ν0: unveränderte Frequenz; v:
Geschwindigkeit der Quelle/Empfänger
ν = ν0 ⋅
Blauverschiebung
Bewegung auseinander
1−
ν = ν0 ⋅
ν
co
v
1+
c0
Rotverschiebung
6.8.3 Anwendung
Radarfalle:
Empfänger
Sender
∆ν = ν − ν 0
∆ν
v = c0 ⋅
ν
6.9 Elektromagnetische Wellen
6.9.1 Hertz’scher Dipol
- Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen
z.B. beim elektrischen Schwingkreis:
54
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H1
U
E1
mit H: Magnetfeld; E: elektrisches Feld
1
ω0 =
ω 0 = 2 ⋅ π ⋅ ν0
CL
H2
H4
H3
E2
-
E3
<0 wächst
H1 < H2 < H3 < H4
E1 < E 2 < E3 < E4
Experiment
Antenne (kein Kontakt
zum Sender)
L
Kapazität
< = 129,15 MHz
~
V
Was passiert im Detail?
E
+++
---
Dipol
H
+-+-
+-+-
55
E4
+
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
---
+++
c0 = v0 · 8
v = c0
gleiche Wellenlänge, aber
um B/2 phasenverschoben
E
in größerem Abstand: ebene Welle
x
t
Dipollänge λ/2
Geschwindigkeit in Antenne:
c* < c0
c* = λ * ⋅ν
im Versuch:
Stablänge ca. 1 m
Frequenz 130 MHz λ = 2,3 m
Abstrahlung vom Hertz’schen Dipol
Beobachtung der Felder an einem bestimmten Ort:
H E
T
/4
3T
/4
5T
/4
P
t
56
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Aufbau der elektromagnetischen Welle:
H⊥E
h
r
I
Empfänger
Dipol
H eilt π/2 dem E-Feld voraus.
Abstrahlcharakteristik eines Hertz’schen Dipols:
ν 4 ⋅ sin 2 ϑ
I~
r2
x
y
z
Kugelwelle:
1
r2
Ergebnis:
&&
P
E~
r
&&
P
H~
r
mit P: Dipolmoment
Energie:
von Dipol pro Sekunde abgegeben
4 π 3 ⋅ c P0 2
PDipol = ∫ I dA = ⋅
⋅ 4
3 ε0
λ
Wellengleichung:
∂ 2E
∂ 2E
1
=
⋅
∂ t 2 ε 0 ⋅ µ0 ∂ z 2
57
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
∂2H
1
∂ 2H
=
⋅
∂ t 2 ε 0 ⋅ µ0 ∂ z 2
1
m
= 3 ⋅ 108
s
ε 0 ⋅ µ0
Lösung: E = E0 ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ z)
H = H0 ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ z)
Phasengeschwindigkeit: c0 =
Energiestrom:
Poynting-Vektor
r r r
jE = S = E × H
Intensität der Welle:
1
2
I = c0 ⋅ ⋅ ε 0 ⋅ E0
2
mit [ I ] = 1
W
m2
6.9.2 Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Leitern
Experimente: Mikrowellen
- linear polarisiert
a) Reflexion an Leiterplatte:
b) stehende Welle
38
8/4
c) Polarisationsfilter
Reflexion
58
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
Durchlass
d) Absorption durch z.B. Wasser
trockener Lappen
nasser Lappen
Absorption durch Wassermoleküle (Rotationsschwingungen)
6.9.3 Strahlungsdruck
- Impulsstrom
Druck auf Oberfläche bei Strahlungsabsorption
1
N
2
pS = ⋅ ε 0 ⋅ E 0
mit [ pS ] = 1 2
2
m
I
pS =
Intensität geteilt durch Lichtgeschwindigkeit
c0
Kraft der Sonne auf Hand (ca. 1 dm2): 5 · 10-8 N
Warum? Lorentzkraft
E
H
z
-
59
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6.9.4 Wechselwirkung mit Isolatoren
keine freien Ladungen: ε > 1 µ > 1
Wellengeschwindigkeit:
c
1
cM =
= 0
ε ⋅ ε o ⋅ µ ⋅ µ0 n
mit M: Material
Brechungsindex: n = ε
(Maxwell-Beziehung)
da µ ≈ 1
Dämpfung durch Absorption:
J z = J 0 ⋅ e −α ⋅z
J ~ E2
E-Vektor:
∑ (z, t ) = E0 ⋅ e −α 2⋅z⋅cos(ω ⋅t − k ⋅z )
z
6.9.5 Wellenfeldkonstruktion
Superposition
ψ res = ψ 1 + ψ 2 +...
Huygens-Fresnel’sches Prinzip
Jeder Punkt des Raumes, der von einer Primärwelle getroffen wird, ist
Ausgangspunkt einer Elementarwelle (Kugel). Durch Superposition
entsteht resultierende Welle.
6.10.5 Polarisation
linear elliptisch zirkular
Reflexion
Brechung
einfache Brechung
Streuung
Doppelbrechung
photoelektrischer Effekt
anisotropischer Kristall
Nicol’sches Prisma
60
Dichroismus
photooptischer Effekt
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Begriffe
Linear:
y
E
"
x
Elliptisch:
y
E
x
Zirkular:
y
E
x
Durch Streuung (Raleigh-Streuung)
E
z,t
y
unpolarisiert
z
Jz
x
Streugesetz:
J z = J 0 − e − KS ⋅ z
KS ~ ϕ 4
61
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
rot 
ϕ Faktor 2 blau wird 16-mal stärker gestreut als rot
blau
Durch Doppelbrechung
- anisotrope Kristalle
no
nao
no: Brechungsindex des ordentlichen Strahls
nao: Brechungsindex des außerordentlichen Strahls
n
- Beispiel Kalkspat: ao = 1,716
no
außerordentlich
nao
ordentlich
no
Optische Aktivität
- Drehung des E-Vektors:
proportional zur Weglänge
- Drehwinkel:
• Quarz: + 21,7 °/mm
• Zucker: - 0,885 °/mm
62
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
IV. Thermodynamik: Kalorik
1. Allgemein
- Ziel:
Verständnis von Wärme ↔ Kraftmaschine
Beschreibung des thermodynamischen Zustandes eines
Systems reeller Materie (komplex!). Durch geringe Zahl
makroskopischer Variablen, die der Messung zugänglich sind
(z.B. Druck, Volumen, Temperatur) und dessen Änderung.
- Zwei Wege:
1.)
Klassische
makroskopische
Beschreibung
phänomenologische Theorie
2.) moderne mikroskopische Beschreibung Atomistik (
Statistik)
- Vielteilchensysteme
1.1 Begriffe
1.1.1 System (thermodynamisch)
Teil einer wärmetechnischen Anlage, der interessiert. Beschreibung
durch mechanische Größen und Temperatur.
1.1.2 Zustandsgrößen
Beschreibung des Systems. Liefern differentielle Zustandsgleichungen
(z.B. p · V ~ T).
- primäre Zustandsgrößen:
• Druck p
• Volumen V
• Temperatur T
• Stoff: Masse m, Stoffmenge n
• Entropie S
- sekundäre Zustandsgrößen (leiten sich ab aus anderen Größen):
• innere Energie U
• Enthalpie H
• freie Energie A oder F
• freie Enthalpie G
1.1.3 Gleichgewicht
Zustandsgrößen sind konstant.
63
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
1.1.4 Prozess
= Zustandsänderung.
1.2 Beispiele für Wärmekraftmaschinen
1.2.1 Stirlingmotor
- 1816, 60 Jahre vor Diesel
- Heißluftmotor
- Wärme ↔ Kraftmaschine
- geschlossenes System: Arbeitsgas fest eingeschlossen
- keine Explosionen
- geeignet für Dauerlauf (gleichmäßig)
- Funktionsweise (Kreisprozess):
• Arbeitstakt:
T1
Arbeitskolben
Verdrängerkolben
T2
Arbeit wird gewonnen!
64
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
• Verdrängen:
warmes Gas wird an kaltes geschoben
• Kompression:
65
© Oliver Martin 2006, 1. Auflage
• Verdrängen:
p
1
2
T2
4
3
T1
V
1.3 Atomistisches Bild der Materie
Materie besteht aus Teilchen, die sich bewegen
Temperatur
Aggregatzustände:
+
fest
flüssigkristallin
flüssig
Gas
-
Plasma
T
66
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T ~ E(Teilchen)
Teilchenbewegung braucht Raum!
2. Wärmeausdehnung
2.1 Wärmeausdehnung bei Feststoffen
2.1.1 Experimente
Volumenausdehnung
V = V0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆T )
mit α: Volumenausdehnungskoeffizient 1/k
Längenausdehnung
Skala
Spiegel
l
Laser
∆l = 150 µm ≙ 15kT
l = l0 ⋅ (1 + α l ⋅ ∆ T )
mit αl: Volumenausdehnungskoeffizient 1/k
2.2 Wärmeausdehnung bei Flüssigkeiten
Ausdehnung flüssig >> Ausdehnung fest
Anwendung: z.B. Flüssigkeitsthermometer
2.3 Wärmeausdehnung bei Gasen
bei konstantem Druck:
V = V0 ⋅ (1 + α ⋅ t )
67
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α=
1
273,15 K
3. Kinetische Gastheorie
Ziel: Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase
3.1 Was ist ein ideales Gas?
- ideale Gase folgen dem idealen Gasgesetz
- Teilchen haben kein Eigenvolumen
- es bestehen keine Wechselwirkungskräfte zwischen Teilchen oder der
Gefäßwand (völlig elastische Stöße)
3.1.1 Ausgangssituation
- statistische Bewegung von N (bzw. n mol) Teilchen
mittlere Geschwindigkeit v
mittlerer Impuls p
mittlere Energie E
3.1.2 Beschreibung
- erfolgt mit den thermischen (primären) Zustandsgrößen:
F
N
• Druck
p=
mit [ p] = 1 2 = 1Pa = 10 −5 bar
A
m
• Volumen
V
mit [V ] = 1m3
• Temperatur
T
mit [T ] = 1 K
3.1.3 Zwei klassische Experimente
Boyle-Mariotte (1692, 1679)
p ⋅ V = const .(T )
Gay-Lussac/Charles
V
= const .( p)
T
Kombination beider Gesetze
p ⋅V
= const .
T
68
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Bestimmung der Konstanten:
- Einsetzen der Normgrößen (Index n):
m
p⋅
p ⋅V
ρ
• n n =
Tn
T
pn = 1,0135 bar und Tn = 273,16 K
p, T und ρ sind in diesem Fall konstant:
p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T Zustandsgleichung auf Masse bezogen
mit Ri: spezielle Gaskonstante
Anwendung des Gasgesetzes:
Höhe const.!
q
Experiment
p2
p1
T1
He
T2
p1 = 1,3 bar p2 = 1 bar
Avogadro: Bei gleichen Bedingungen haben alle Gase das gleiche
Molvolumen.
Für n Mole beträgt das Normvolumen bei Normbedingungen:
Vn = n ⋅ Vm
mit Vn: Normvolumen; n: Stoffmenge; Vm: Molvolumen
p ⋅ V Vn ⋅ pn
=
⋅n
T
Tn
Vn ⋅ pn
= Rm
Tn
mit Rm: universelle Gaskonstante (Rm = 8,31441 J/(mol · K))
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Daraus folgt das Gasgesetz:
p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T
R
Es gilt die Beziehung: Ri = m (mit M: Molare Masse)
M
R
p ⋅V = n ⋅ N A ⋅ m ⋅ T
123 N A
{
N
k
mit N: Teilchenzahl; k: Boltzmannkonstante (k = 1,38062 · 10-23 J/K)
führt zu:
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
Zusammenfassung
p ⋅ V = m ⋅ Ri ⋅ T
p ⋅ V = n ⋅ Rm ⋅ T
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
p
W
T1
T2
T3
V
3.2 Mol, Teilchenmenge, Teilchenzahl, Masse
3.2.1 Numerische Erfassung von Teilchenzahlen
- 1 Mol = NA Teilchen
• mit NA = 6,0220921 · 1023
- Stoffmenge n
- Teilchenzahl N
• N = n⋅ NA
3.2.1 Masse eines Stoffes
- Molare Masse M
• M = N A ⋅ Teilchenmasse
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- Teilchenmasse mM
• mM = Σ Massenzahl der beteiligten Atome · atomare
Masseneinheit
• Massenzahl aus Periodensystem
• atomare Masseneinheit u = 1,660565 · 10-27 kg
- Gesamtmasse eines Stoffes
• m = n ⋅ M = n ⋅ N A ⋅ mM
3.3 Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung
Häufigkeit
T1 = 300 K
T2 = 900 K
v v
v [m/s]
Beispiel N2:
T = 300 K
v = 450
m
s
l = 85nm (mittlere freie Weglänge)
3.4 Ergebnis
Teilchen haben mittlere kinetische Energie Ekin:
1
E kin = ⋅ m ⋅ v 2
2
Gesamtenergie: Summe aller Teilchen
Aus Zustandsgleichung entnimmt man:
p ⋅V = N ⋅ k ⋅ T
für ein Teilchen: E kin ≈ k ⋅ T
3
⋅k ⋅T
2
keine Bewegung keine Energie absoluter Nullpunkt
mittlere kinetische Energie eines Teilchens: E kin =
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3.5 Gleichverteilungssatz der Energie
- im Raum drei Freiheitsgrade der Bewegung (x, y, z)
1
- Energie pro Freiheitsgrad f: E kin = ⋅ k ⋅ T
2
f
- Verallgemeinert: E kin = ⋅ k ⋅ T
2
- Freiheitsgrade:
• 3 Translationsfreiheitsgrade
• 2- 3 Rotationsfreiheitsgrade
• Schwingungsfreiheitsgrade
4. Erster Hauptsatz
∆U = ∆Q + ∆W
mit U: Innere Energie; Q: Wärme; W: Arbeit
Differentiell bei infinitesimal kleinen Änderungen:
dU = dQ + dW
4.1 Innere Energie
f
⋅k ⋅T
mit [U ] = 1 J
2
mit N: Anzahl der Teilchen; f: Freiheitsgrade; k: Boltzmann-Konstante
U ist die Summe aller Freiheitsgrade der Bewegung
T ist proportional zur Summe aller translatorischer Freiheitsgrade
U=N⋅
4.2 Wärmeenergie
∆Q = m ⋅ c ⋅ ∆T
mit [Q] = 1 J
mit m: Masse; c: spezifische Wärmekapazität
∆Q = n ⋅ cm ⋅ ∆T
mit cm: molare Wärmekapazität
4.3 Volumenänderungsarbeit
V2
V1
F
Fläche A
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4.3.1 Kompression
F = p⋅ A
dW = F ⋅ ds
dV
A
dW = − p ⋅ dV
dW = p ⋅ A ⋅
dV = A ⋅ ds
W2
V2
V2
W1
V1
V1
∫ dW = − ∫ p(V ) dV → W12 = − ∫ p(V ) dV
p = const.:
W12 = − p ⋅ (V2 − V1 )
p
p1
W12
p = const.
p2
V1
V2
V
4.4 Kreisprozess
p
V1
V2
V
2 Möglichkeiten:
a) Rechtsläufig (im Uhrzeigersinn)
Wärme Kraft
- z.B. Motoren, Kraftwerke
b) Linksläufig (gegen Uhrzeigersinn)
Kraft Wärme
- z.B. Kühlschrank, Wärmepumpe
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4.4.1 Beschreibung des Kreisprozesses mit speziellen Zustandsänderungen
- isotherm
- isobar
- isochor
- isentrop (adiabatisch)
Isotherm
p
T = const.
p2
p1
V2
V1
V
p ⋅V = n ⋅ R ⋅ T
n⋅ R⋅T
p=
V
V1
V2
V
Q12 = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln 2
V1
∆U = 0
W12 = n ⋅ R ⋅ T ⋅ ln
Isobar
p
p = const.
p1
T1
V2
V1
T2
V
V n⋅ R
=
= const .
T
p
W12 = − p ⋅ ∆V = − p ⋅ (V2 − V1 )
Q12 = n ⋅ C p ,m ⋅ (T2 − T1 )
mit Cp,m: molare Wärmekapazität bei p = const.
∆U = Q + W = Q12 + W12
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Isochor
p
V = const.
p2
p1
T1
T2
V1 = V2
V
p n⋅ R
=
= const .
T
V
W12 = 0
Q12 = n ⋅ CV ,m ⋅ (T2 − T1 )
mit CV,m: molare Wärmekapazität bei V = const.
∆U = ∆Q = Q12
Isentrop
S = const . adiabatisch
∆Q = 0
∆U = ∆ W
p
p2
p1
T1
V2
V1
T2
V
− p ⋅ dV = CV ⋅ m ⋅ dT
Poissongleichungen/Adiabatengleichungen:
T ⋅ V γ −1 = const .
Tγ
= const .
pγ −1
p ⋅ V γ = const .
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Adiabatenexponent:
C
γ = p >1
CV
z.B. für Luft: γ = 1,4
5. Reale Gase
- Phasenübergänge flüssig, fest
- Wechselwirkung zwischen Teilchen
5.1 Phasendiagramm von Wasser
p
flüssig
fest
0,00609 bar
gasförmig
273,16 K
T
Schnittpunkt aller drei Kurven: Tripelpunkt
5.1.1 Beispiel: Phasenübergang Eis in Wasser
T
0 °C
)Q
Q
5.2 Experiment: CO2-Gas Trockeneis
T
p
T1
p1
p2
T1
V1
V2
T2
T2
V1
V
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V2
V(-1
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6. Entropie und Zweiter Hauptsatz
- griechisch: Umkehrbarkeit (Latein: Reversibilität)
- reversible Systeme:
• Pendel (reibungsfrei keine Wärmeproduktion)
• Umlenkrolle mit zwei gleichgroßen Massen (masseloser Faden)
überall im Gleichgewicht, keine Vorzugsrichtung
6.1 Der Entropiebegriff
Wie kann man das Maß der Irreversibilität messen?
Ergebnis:
∆Q
∆S =
T
mit S: Entropie (Zustandsgröße)
T2
∆Q2
T2
)Q2
WKM
∆Q1
T1
)Q1
T1
6.1.1 Statistische Definition
S = k ⋅ ln W
mit k: Boltzmann-Konstante; W: thermodynamische Wahrscheinlichkeit
7. Wärmeleitung
- stationäre Wärmeleitungsgleichung:
dT
• jQ = − λ ⋅
dx
mit λ: Wärmeleitfähigkeit [W · K-1 · m-1]
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