http://www.math.uni-bonn.de/ag/topo/Lineare Algebra WS12

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Wintersemester 2012/13
Prof. St. Schwede
Dr. L. Meier
ÜBUNGEN ZUR LINEAREN ALGEBRA I
Blatt 2∗, 19.10.2012
Aufgabe 2.1. Betrachte das Gleichungssystem

2

 x1 + ax2 + a x3 = 17
x1 + bx2 + b2 x3 = 23


x1 + cx2 + c2 x3 = 42 .
(a) Welche Bedingungen müssen die reellen Zahlen a, b und c erfüllen, damit dieses System
genau eine reelle Lösung (x1 , x2 , x3 ) hat?
(b) Kann man a, b, c ∈ R wählen, so dass dieses System mehr als eine Lösung hat?
(c) Es sei a irrational, aber b − a und c − a rational. Zeige: Es kann keine Lösung geben,
bei der x2 eine rationale Zahl ist.
Definition. Eine binäre Operation auf einer Menge S ist eine Abbildung
∗
S×S →S
(a, b) 7→ a ∗ b .
Solch eine Operation ∗ auf S heißt assoziativ, falls die Gleichung
a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c
für alle a, b, c ∈ S gilt. Die Operation ist kommutativ, falls die Gleichung
a∗b=b∗a
für alle a, b ∈ S gilt. Ein Element e ∈ S heißt links-neutral, falls
e∗a=a
und rechts-neutral, falls
a∗e=a
für alle a ∈ S gilt. Ein Element b ∈ S ist ein Links-Inverses von a ∈ S, falls
b∗a
ein links-neutrales Element ist. Analog ist b ∈ S ein Rechts-Inverses von a ∈ S, falls
a∗b
ein rechts-neutrales Element ist.
Aufgabe 2.2. Sei S = {a, b} eine Menge mit zwei Elementen.
(a) Finde eine kommutative, aber nicht assoziative binäre Operation auf S.
(b) Finde eine assoziative, aber nicht kommutative binäre Operation auf S.
Fortsetzung auf der Rückseite
∗
Abgabe : Freitag 26.10.2012, vor der Vorlesung.
2
Aufgabe 2.3.
(a) Sei S eine Menge mit einer binären Operation ∗. Zeige: Falls S ein links-neutrales und
ein rechts-neutrales Element besitzt, sind alle links-neutralen und alle rechts-neutralen
Elemente gleich.
(b) Gib ein Beispiel für eine Menge S mit einer binären Operation, so dass ein links-neutrales
Element existiert und jedes Element ein Links-Inverses besitzt, aber es kein rechtsneutrales Element gibt.
Aufgabe 2.4. Sei G eine Gruppe, in der jedes Element invers zu sich selbst ist. Zeige, dass G
kommutativ ist.
Aufgabe 2.5. Es sei mit Sn die Gruppe der Bijektionen {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}, also die
n-te symmetrische Gruppe, bezeichnet.
(a) Wie viele Elemente hat Sn ?
(b) Eine Teilmenge H einer Gruppe G heißt Untergruppe, falls sie das neutrale Element
enthält und für je zwei Elemente a, b ∈ H gilt, dass a · b ∈ H und a−1 ∈ H. Liste alle
Untergruppen von S3 auf.
(c) Zeige, dass für jedes n > 2 die Multiplikation auf Sn nicht kommutativ ist.
(d) Gib ein Beispiel für eine nicht-kommutative Gruppe mit unendlichen vielen Elementen.