Heft 25 für Homepage - mpg

zeitung für mathematik am mpg trier / heft 25 / maerz 2010
Inhaltsverzeichnis
Zerlegung eines roten Würfels
Häkchen im Quadrat
Die Würfeltreppe
Irrfahrt im Quadratgitter
Konvergierende Fibonacci Folgen
Seite
Lukas Indefrei
Simon Schaedler und
Moritz Weber
3-5
6-12
Paul Mattes
13-16
Christian Peters und
Björn Metzler
17-24
Matthias Leinen
25-31
Liebe MadMax – Freunde,
in der fünfundzwanzigsten Ausgabe findet Ihr Auszüge
aus unseren Arbeiten für „Schüler experimentieren“ und
„Jugend forscht“. Alle fünf Arbeiten haben Preise
erhalten, zwei haben sich sogar mit dem ersten Preis für
den Landeswettbewerb qualifiziert.
Wenn Ihr auch Lust habt, euch selbst mit einem Problem
zu befassen und dazu einen Artikel am Computer selbst
zu schreiben, dann findet Ihr uns immer Mittwochs um
14:00 Uhr im Raum 303.
Viel Spaß wünscht Euch Euer
MadMax –Team !
2
Zerlegung eines roten Würfels
1. Einleitung
Ich habe einen außen roten Würfel mit 4 cm
Kantenlänge untersucht und habe festgestellt, dass
wenn ich ihn in einzelne Würfel zerlege, dass dann 64
kleine Würfel entstehen. Dann habe ich untersucht wie
viele kleine Würfel 3 rote Flächen haben , wie viele 2
rote Flächen haben , wie viele 1 rote Fläche haben und
wie viele 0 rote Flächen haben. Weil das Spaß gemacht
hat, habe ich dann größere und kleinere rote Würfel
genau so untersucht.
2. Der Würfel mit vier Zentimeter Kantenlänge
Es sind genau 8 Würfel mit 3 roten Flächen. Das die
sind die Würfel an den Ecken. Dann gibt es 24 Würfel
mit 2 roten Flächen. Das sind immer 2 an den 12 Kanten
zwischen den Ecken.
24 Würfel mit1 roten
Fläche. Die liegen auf
den Flächen der Würfel
(immer 4 auf jeder der 6
Flächen), 8 Würfel mit 0
roten Flächen, die sind
in dem großen Würfel
drin und sie bilden
einen 2x2x2 großen
Würfel.
3
3. Alle Würfel bis zur Kantenlänge 5 cm
Ich habe die Würfel bis zur Kantenlänge 5 untersucht
und habe die Ergebnisse in einer Tabelle festgehalten.
Größe
des
Würfels
5*5*5
4*4*4
3*3*3
2*2*2
1*1*1
3 rote
2 rote
1 rote
Flächen Flächen Fläche
0 rote
Summe
Flächen
8
8
8
8
1 mit 6
roten
Flächen
9
8
1
0
0
36
24
12
0
0
54
24
6
0
0
125
64
27
8
1
4. Gibt es ein System?
Ich habe ein System gefunden, wie man die Anzahl der
Würfel mit 0, 1, 2 und 3 roten Flächen ohne Zeichnung
finden kann:
a) Es gibt immer 8 Würfel mit 3 roten Flächen, weil es
immer 8 Ecken sind.
b) Man kann nachdem man einen Würfel gemalt hat,
auf einer Seite alle Flächen mit einer roten Fläche
zählen und dann auf die anderen Seiten
übertragen. Bei Kantenlänge 5 sind z.B. auf jeder
Seite 3x3 = 9 Würfel. Mal sechs Flächen sind es
dann 9x6 = 54 Würfel.
4
c) Auf jeder Kante gibt es zwei Würfel weniger als die
Kantenlänge (die Ecken haben drei rote Flächen)
mit zwei roten Flächen. Also muss man bei
Kantenlänge 5 rechnen: 12x3 = 36.
d) Ganz innen drin ist ein Würfel, der an jeder Kante
zwei Würfel kleiner ist als der große. Beispiel:
Kantenlänge 8. Dann sind innen 6x6x6 = 216
Würfel.
Ein kleines Rätsel:
Wie viele Karten hat das Kartenspiel noch?
Ein Kartenspiel, das normalerweise 52 Karten hat, ist
nicht mehr komplett.
Wenn man die Karten gleichmäßig auf 9 Personen
aufteilt, bleiben 2 Karten übrig.
Wenn man sie auf 4 Personen aufteilt, bleiben 3 übrig.
Wenn man sie auf 7 Personen aufteilt bleiben 5 übrig.
Wie viele Karten sind im Spiel?
Rätsel und Lösung finden sich im Internet unter:
http://www.andinet.de/raetsel/raetsel/kartenspiel.php
5
Häkchen im Quadratgitter
In unserer Arbeit geht es darum, dass Häkchen in ein
Quadratgitter gesetzt werden müssen. Diese Häkchen
sitzen auf den Ecken der Kästchen des Quadratgitters
und dürfen sich nicht berühren. Eine Häkchen-Länge
beträgt ein halbes Kästchen.
Zuerst haben wir einfach nur durch Ausprobieren und
ohne System versucht, möglichst viele Häkchen in ein
Quadratgitter zu setzen. Danach versuchten wir
systematische Anordnungen zu finden und die dazu
passenden Formeln zu erstellen, die eine Berechnung
der Anzahl der Häkchen ermöglichen.
1. Beispiele
Zuerst ein Quadratgitter mit 3 x 3 = 9 Kästchen, das
unsystematisch mit Häkchen besetzt wurde.
11
Häkchen sind gesetzt und es passt kein weiteres
Häkchen mehr dazu.
Es wird bei größeren Quadraten natürlich immer
schwieriger die Anzahl der unsystematisch gesetzten
Häkchen zu zählen, und es gibt auch keine Formel, mit
der man ihre Anzahl ausrechnen kann.
Jetzt kommt ein Quadratgitter mit 4 x 4 = 16 Kästchen,
in dem man noch ein Häkchen setzen kann. Auch hier
6
wurden die Häkchen unsystematisch gesetzt. Die Stelle,
an der ein letztes Häkchen eingesetzt werden kann,
haben wir mit dem roten Pfeil markiert:
Zusammen sind es dann 18 Häkchen. Weitere passen
nicht in dieses Quadratgitter hinein.
Wir haben uns dann gefragt, ob man in ein 3 x 3
Quadratgitter mehr als 11 und in ein 4 x 4 Quadratgitter
mehr als 18 Häkchen setzen kann. Darum haben wir
nach systematischen Anordnungen gesucht.
2. Systematische Anordnungen
Bei unserer Arbeit mit den Häkchen haben wir
verschiedene
Anordnungssysteme
gefunden.
Ausgehend von derselben Quadratgröße passen bei
unseren verschiedenen Systemen unterschiedlich viele
Häkchen ins Quadratgitter.
Bei manchen Systemen muss man jedoch aufpassen
weil sie entweder nur bei einer geraden oder nur bei
einer ungeraden Anzahl der Kästchen im Quadratgitter
funktionieren.
7
2.1 System 1
Unser erstes System hat eine symmetrische Anordnung.
Die mit dem Pfeil markierte Linie ist die Spiegelachse an
der man das mit Häkchen besetzte Quadratgitter
spiegeln kann.
Weil wir die Häkchen systematisch gesetzt haben, kann
man ihre Anzahl mit Hilfe von Formeln ausrechnen. Dies
ist ein System, das sowohl bei einer geraden Anzahl der
Kästchen in einer Reihe als auch bei einer ungeraden
Anzahl funktioniert.
Formel: h = n*(n+1)
Erklärung:
n ist die Breite bzw. die Höhe des Quadrates (1 = 1
Kästchen). Das gibt n Häkchen nebeneinander und n+1
Häkchen übereinander. Zusammen sind es dann
n*(n+1) Häkchen.
8
Hier eine Tabelle für
angegebene System1:
das
oben
Man sieht, dass bezogen auf die
ungeordneten Beispiele in Punkt 2
unser System zu einem besseren
Ergebnis führt. Bei dem ungeordneten
3 x 3 Gitter kamen wir auf 11 Häkchen
und jetzt systematisch auf 12. Im 4 x 4
Gitter sind es systematisch sogar 20
statt der 18 Häkchen im ungeordneten
Quadratgitter.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Anzahl
der
Häkchen
2
6
12
20
30
42
56
72
90
110
132
156
2.2 System 2
Hier unser System 2, in dem die Häkchen - bis auf ein
Häkchen in der untersten rechten Ecke - in der gleichen
Art und Weise gesetzt werden. Auch dieses einfache
System lässt sich sowohl bei einer geraden Anzahl der
Kästchen in einer Reihe als auch bei einer ungeraden
Anzahl anwenden.
9
Formel: n*n+1
Erklärung:
Die Breite des Quadratgitters multipliziert mit der Höhe
des Quadrates + ein Häkchen in der unteren Ecke des
Quadratgitters.
Hier die Tabelle zu System 2:
Man sieht, dass dieses System bei
einem 4 x 4 Quadrat 17 Häkchen hat.
2.3 System 3
Hier nun ein System dessen Formel
entweder nur bei einer geraden oder
nur bei einer ungeraden Anzahl von
Häkchen in einer Reihe funktioniert.
Die Systeme funktionieren zwar nach
dem gleichen Prinzip haben aber
verschiedene Formeln.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Gerade:
Hier nun erst ein Quadratgitter mit einer
geraden Anzahl von Häkchen in einer
Reihe:
10
Anzahl
der
Häkchen
2
5
10
17
26
37
50
65
82
101
122
145
In diesem System werden diagonal immer abwechselnd
in die zwei sich gegenüber liegenden Ecken Häkchen in
die kleineren Quadrate des Gitters gesetzt.
Formel: n*n+2
Erklärung:
In den mittleren Häkchen-Reihen gibt es immer n
Häkchen nebeneinander. Jedoch gibt es in den äußeren
Reihen immer nur ein Häkchen weniger als n. Daher
werden in dem Fall des 4x4 Quadrates drei Häkchen
aus der einen Reihe mit einem Häkchen aus der
anderen Reihe zusammengefügt. Das ergibt dann n
Häkchen + noch die zwei Häkchen die in der Reihe noch
übrig geblieben sind.
Mit Excel haben wir nachgerechnet, dass dieses System
in einem 4x4 Quadrat 18 Häkchen hat. Damit ist dieses
System um 1 Häkchen besser als System2. Jedoch hat
System1 bei einem 4x4 Quadrat 20 Häkchen und damit
mehr als System3
Ungerade:
Hier ist nun das Quadratgitter zu System3 mit einer
ungeraden Anzahl von Häkchen in einer Reihe.
11
In diesem System werden zwar genauso die Häkchen
gesetzt wie es schon bei dem geraden System3 gezeigt
wurde. In dieses Quadratgitter passen 26 Häkchen.
Formel: n*n+1
Erklärung:
Diese Formel entsteht wie das gerade System3 aus den
in diesem vier mittleren Reihen die mit n Häkchen
besetzt sind und den Häkchen die in den äußeren
Reihen des Quadratgitters mit in diesem System zwei
Häkchen von der anderen Seite des Quadratgitters
zusammengefügt werden müssen damit es eine zweite
Reihe mit n Häkchen geben kann. Dies ergibt dann n*n
Häkchen + das eine Häkchen in der äußeren Reihe.
Auch zu diesem System war wieder schlechter als
System 1.
3. Ergebnis
Am Ende sind wir zu dem Ergebnis gekommen, dass
man mit Systemen mehr Häkchen in ein Quadratgitter
setzen kann als mit ungeordnetem Anbringen.
Mit Hilfe der Tabellen kann man die gefundenen
Systeme gut vergleichen. Wir haben herausgefunden,
dass man mit System1 mehr Häkchen in das
Quadratgitter setzen kann als mit allen anderen
Systemen
12
Wie viele Würfel hat die Würfeltreppe?
Im letzten Madmax habe ich eine Aufgabe aus unserem
Mathematikbuch vorgestellt, bei der man aus kleinen
Würfeln eine Treppe bauen soll. Dabei will man wissen,
wie viele Würfel man braucht.
Sie sieht aus, wie auf dem Bild:
Die Treppe hat ein Gegenstück
Die Würfeltreppe erhält man, wenn man bei einem
großen Würfel an einer Ecke kleine Würfel wegnimmt.
Das folgende Gegenstück ergibt, wenn man es auf den
Kopf stellt, mit der Würfeltreppe zusammen einen Würfel
aus 64 kleinen Würfeln.
13
Die 64 Würfel entstehen aus 50 Würfeln von der
Würfeltreppe (Stufe 1 plus Stufe 2 plus Stufe 3 plus
Stufe 4) und die übrigen Würfel stammen von dem
Gegenstück: 1 + 4 + 9 (Summe der Quadratzahlen).
Die Anzahl der kleinen Würfel für die Würfeltreppe sind
schwer zu bekommen. Ich habe mir hier deshalb
überlegt, dass man einfach die Anzahl der Würfel des
Gegenstücks vom großen Würfel subtrahiert und so die
Würfeltreppe wieder ausrechnen kann.
Für die Summe der Quadratzahlen gibt es eine Formel
(bei Google einfach Quadratzahlen + Summe eingeben):
12 + 22 + 32 + 42... + n 2 =
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
.
6
Dass meine Idee richtig ist, kann man mit der
Würfeltreppe der Stufe 20 untersuchen.
Zuerst rechne ich die Anzahl der kleinen Würfel im
großen Würfel aus:
20 ⋅ 20 ⋅ 20 = 8000
14
Jetzt setze ich 19 in die Formel ein um das Gegenstück
auszurechnen:
19 ⋅ (19 + 1) ⋅ (2 ⋅ 19 + 1)
= 2470
6
Jetzt bilde ich die Differenz von 8000 – 2470 = 5530
und erhalte für die Würfeltreppe genau so viele Würfel
wie oben mit Excel.
Mein zweites Beispiel
Diese Grundfigur kann man zu einem Quader ergänzen,
wenn man einen „Deckel“ mit verschieden tiefen
Einbuchtungen darüber stülpt. Dieses Gegenstück soll
die folgende Zeichnung zeigen, bei der das dunkle
Quadrat die tiefste Einbuchtung darstellt:
15
Der ganze Quader hat
7 ⋅ 7 ⋅ 4 = 196
kleine Würfel.
Die Grundfigur hat 25+9+1=35 Würfel (= Summe der
ungeraden Quadratzahlen)
Das Gegenstück hat
49 + (49 − 1) + (49 − 9) + ( 49 − 25) = 161 Würfel.
Das wird bei großen Treppen viel zu rechnen. Aber wir
können ja auch 196 – 35 = 161 rechnen.
Bei meinem ersten Beispiel war das Gegenstück leicht
zu ermitteln, weil die Anzahl der Würfel die Summe der
Quadratzahlen ist. Bei meinem zweiten Beispiel war das
Grundstück leicht zu ermitteln, weil es auch die Summe
der Quadratzahlen ist.
Ich habe jetzt die Rechnung für eine 15 Würfel hohe
Treppe gemacht. Der ganze Quader ist dann 16 Würfel
hoch und hat dann 30 • 30 • 16 =14400 kleine Würfel. Das
Grundstück hat dann 1+9+25+49...+841=4465 Würfel
16
Irrfahrt im Quadratgitter
Jeder kennt diese Spielchen, wo man
3
Zahlen miteinander verbindet und so
1
5
eine Figur herauskommt, z.B. ein Fisch.
Wir haben diese Idee etwas verändert,
4
so dass es ein kleines Knobelspiel ist.
2
Man muss die Zahlen in dem
Quadratgitter der Reihe nach so verbinden, dass die
Verbindungslinie durch jedes Kästchen geht:
Das geht bei diesem Quadratgitter zum
Beispiel so:
3
1
5
4
2
In unserer Arbeit haben wir untersucht, ob dies immer
möglich ist, wenn man bestimmte Regeln einhalten
muss.
1. Festlegen der Regeln
Für das Verbinden der Zahlen gilt:
1. Die Verbindungslinien sind Strecken.
2. Man darf keine diagonalen Linien ziehen.
3. Die Linien dürfen sich nicht überschneiden.
4. Die Zahlen müssen in der richtigen Reihenfolge
verbunden sein.
5. Es müssen alle Kästchen mit der Linie durchlaufen
sein.
17
6. Man muss bei 1 anfangen und bei der größten Zahl
aufhören.
2. Untersuchung von verschieden großen Quadraten
Nach den Regeln aus Abschnitt 2 haben wir Quadrate
verschiedener Größe systematisch mit Zahlen gefüllt
und untersucht.
2.1 Untersuchung von 2x2 Quadraten
Bei 2 x 2 Quadraten geht es nur mit mindestens
2 Zahlen, weil man bei einer Zahl keine Zahl am
Ende hat. Das gilt auch für größere Quadrate.
1
Bei zwei Zahlen gibt es auch nur zwei verschiedene
Möglichkeiten, sie auf das Quadrat zu verteilen. Die
anderen sind einfach nur dieselben gedreht oder
gespiegelt! Die beiden Stellungsmöglichkeiten der Zahl
2 zur Zahl 1 sind z. b.:
1
2
1
2
Bei der zweiten Stellungsmöglichkeit
gibt es keinen Weg, weil man nur in
eine leere Ecke kommt und dann nicht mehr in die
andere. Die rote Diagonale zeigt das.
Bei drei Zahlen gibt es auch nur drei verschiedene
Möglichkeiten, die sich sehr ähnlich sehen, jedoch nicht
einfach nur dieselben gedreht oder gespiegelt sind. Bei
einer Stellung gibt es keine Lösung da noch ein Feld
nicht von der Linie durchzogen ist, dies aber an der
größten Zahl schon geendet hat.
1
18
3
1
2
3
2
1
2
3
Bei vier Zahlen gibt es auch nur drei verschiedene
Möglichkeiten, die nicht einfach nur dieselben gedreht
oder gespiegelt sind, da es nur vier verschiedene
Stellungsmöglichkeiten der Zahlen 1, 2, 3, und 4
zueinander gibt:
1
2
1
2
1
4
1
3
4
3
3
4
3
2
2
4
Hier gibt es nur eine richtige Möglichkeit, da in allen
Kästchen eine Zahl steht, die nach den oben
aufgestellten Regeln miteinander Verbunden werden
müssen. Das kann nur funktionieren, wenn die Zahlen in
aufsteigender Reihenfolge nebeneinander liegen.
2.2 Untersuchung von 3x3 Quadrate
Wieder sind wir systematisch vorgegangen.
3x3 Quadrate mit 2 Zahlen
Es gibt neun verschiedene Möglichkeiten für 3 x 3
Quadrate mit zwei Zahlen. Davon sind vier lösbare und
fünf nicht lösbare Probleme. Wenn eine oder beide der
Zahlen in einer der Quadratecken oder in der Mitte
liegen ist das Rätsel immer lösbar.
1
2
1
1
2
2
1
2
19
Bei den nicht lösbaren Problemen liegen immer eine
oder auch zwei Zahlen auf einem der kreuzförmig
angeordneten Außenquadrate. Die Folge ist, dass das
Rätsel nicht mehr lösbar ist, da immer ein oder zwei
kleine Quadrate nicht von der Linie durchzogen werden.
Dies geschieht, weil bei der Anordnung der Zahlen die
Linie ein oder mehrere Felder umschließt und dadurch
das Ende der Linie nicht zu dem letzten Feld gelangen
kann ohne gegen die Regel zu verstoßen (Regel 1). Die
Linie muss bei der größten Zahl enden.
Nicht lösbare Probleme
1
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
Forderung: Die Zahlen 1 und 2 dürfen
nicht
auf
einem
der
kreuzförmig
angeordneten dunklen Felder liegen.
20
1
3x3 Quadrate mit 3 Zahlen
Hier sind 13 verschiedene Möglichkeiten aufgezeichnet.
Davon sind 8 lösbare und 5 nicht lösbare Probleme.
Lösbare Probleme
1
2
3
2
1
3
1
3
2
1
2
3
2
1
3
1
1
3
1
2
2
2
3
3
Nicht lösbare Probleme:
Bei den 3x3 Quadraten mit 3 Zahlen stellte sich fast das
gleiche Problem dar wie bei den Quadraten mit 2
Zahlen. Auch hier dürfen die kleinste und die größte Zahl
nicht auf einer der kreuzförmig angeordneten Fläche
liegen, weil sonst immer eine oder mehrere Felder nicht
von der Linie durchzogen wird. Jedoch kann man hier
mit drei Zahlen die Zahl 2 beliebig einsetzen.
1
3
2
1
1
1
2
2
3
3
2z
og
3
21
1
1
2
3
2
3
Forderung: Die Zahlen 1und 3 dürfen nicht
auf einer der Kreuzförmig angeordneten
roten Feldern liegen.
3x3 Quadrate mit 4 Zahlen
Hier sind einige richtige und falsche Methoden
aufgezeichnet, jedoch nicht alle, da es sehr viele
verschieden Möglichkeiten gibt.
Lösbare Probleme
1
3
1
4
2
2
2
4
22
1
4
2
1
4
3
3
4
1
1
4
3
3
2
4
1
3
2
3
2
Nicht lösbare Probleme:
Wieder müssen wir die gleiche Forderung stellen.
1
2
4
3
1
3
1
2
2
4
2
3
4
1
4
3
Bei diesem Rätsel mit 4 Zahlen reicht die Regel, bei der
die kleinste und größte Zahl nicht auf einer
1
3
der kreuzförmig angeordneten Felder liegen
darf, nicht mehr aus. Es gibt einen Fall bei
dem diese Regel eingehalten wird, aber bei
4
2
dem trotzdem das Rätsel nicht lösbar ist
Forderung: Falls sich die Zahlen 1 und 2 in
den diagonalen Ecken gegenüber liegen,
dürfen die restlichen Zahlen (3 und 4) nach
dem Einzeichnen der Diagonalen nur noch
auf einer Seite des Quadrats befinden.
1
2
3x3 Quadrate mit 5 Zahlen
Hier gibt es eine Vielzahl von lösbaren Möglichkeiten,
von denen wir nur einige zeigen:
1
2
3
5
4
1
2
5
4
1
3
3
2
4
2
4
2
3
4
5
1
3
5
4
1
1
1
2
4
2
5
3
5
3
4
5
3
5
23
2
1
Ihr könnt es ja mal selbst probieren.
Bei den folgenden nicht lösbaren Möglichkeiten muss
man wie bei den 3x3 Quadraten mit 2, 3 und 4 Zahlen
die “Kreuzregel“ beachten, jedoch reicht sie wieder nicht
mehr aus.
Beispiel: Bei diesem Rätsel liegt die größte 4
2
und kleinste Zahl nicht auf einem der
kreuzförmig angeordneten Felder. Trotzdem
5
3
1
ist das Rätsel nicht lösbar
Andere nicht lösbare Möglichkeiten
2
1
3
4
1
5
3
2
5
4
3
2
1
5
5
4
1
2
4
1
5
4
2
5
4
3
2
3
2
1
3
5
3
1
3
1
5
4
2
4
Für unsere Jugend forscht Arbeit haben wir uns weitere
Regeln überlegt und gezeigt: Je größer die Quadrate
werden, desto mehr Regeln sind nötig. Die Darstellung
dieser Regeln sprengt aber den Rahmen dieses Artikels.
24
Die konvergierende Fibonacci-Folge
Siehe auch Heft Nr.24
1. Die konvergierende Fibonacci-Folge
Die Überschrift zu diesem Abschnitt ist auf den ersten
Blick komisch, weil die Fibonaccifolge eigentlich sehr
schnell wächst und sich nicht einem bestimmten Wert
annähert. Aber man muss ja nicht mit 1, 1 anfangen,
sondern könnte ja auch andere Startwerte wählen. Zum
Beispiel auch negative Startwerte:
- 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, ...
Am Anfang sieht es relativ gut aus, da die Folge weder
stark steigt noch sinkt, doch irgendwann sind es zwei
positive Glieder, so dass die Folge doch divergiert. Das
Ziel ist es nun, die zwei Startglieder so zu wählen, dass
die Folge konvergiert.
Um eine Folge zu finden, die konvergiert, kann man sich
an einer geometrischen Folge orientieren, deren
Quotient kleiner als 1 ist. (darauf hat mich mein
Betreuungslehrer aufmerksam gemacht). Auch kann
man auf diese Idee kommen, da in der Formel von
Moivre/Binet zwei geometrische Folgen auftreten:
g(n) = 1 * (1+ 5 )n und h(n) = 1 * (1− 5 )n
2
2
5
5
Wobei eine von diesen divergiert und eine konvergiert.
Dann müssen also folgende zwei Bedingungen gelten:
25
1) Fn = F
+F
n−1 n−2
2) Fn = a * q
1
n
Nun kann man die zweite Bedingung in die erste
einsetzen und auflösen:
a * q n = a * q n−1 + a * q n−2
1
1
1
⇔ q n = q n−1 + q n−2
⇔ q 2 = q +1
⇔ q 2 − q −1 = 0
Nun kann man mit der p-q-Formel arbeiten:
1. Lösung
q = 1 + 1 +1
1 2
4
⇔ q = 1 + 1* 5
1 2 2
⇔ q = 1+ 5
1
2
2. Lösung
q = 1 − 1 +1
2 2
4
⇔ q = 1 − 1* 5
2 2 2
⇔ q = 1− 5
2
2
Da die erste Lösung größer als 1 ist, scheidet diese also
aus. Die zweite Lösung erfüllt diese Bedingung und kann
somit dafür verwendet werden zwei Startglieder für
26
einen konvergierende Fibonacci-Folge zu finden. Da wir
uns an einer geometrischen Folge orientieren ist die
Lösung der Faktor zwischen dem ersten und zweitem
Glied, somit kann man das erste Glied frei wählen, das
zweite Glied ist also das erste Glied multipliziert mit q2.
Nehmen wir ein erstes Glied x, dann ist das zweite Glied
folglich x*q2. Die Folgen konvertieren gegen 0, wie man
anhand des Grafen sieht:
1
1
1
1
0
0
Reihe1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
0
-1
-1
2. Drei Startglieder
Um die Fibonacci-Folge noch zu verallgemeinern,
untersuche ich noch, was passiert, wenn man die
Fibonacci-Folge mit 3 Startgliedern anfängt und das
neue Glied aus der Summe der 3 Glieder davor besteht.
+f
+f
Also f n = f
. Um ein Beispiel zu zeigen
n−1
n−2
n−3
fange ich mal mit den drei ersten Gliedern der FibonacciFolge an: 1, 1, 2.
27
1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705,
3136....
Wie man sieht, steigt diese Folge noch schneller an als
die Originalfolge.
Jetzt stellt sich natürlich die Frage, ob eine so
verallgemeinerte Folge bei gut gewählten Startgliedern
wieder konvergieren kann. Wir versuchen das alte
System und übernehmen die zwei Gleichungen, mit
denen wir bei der konvergenten Fibonacci-Folge
gearbeitet haben und modifizieren die erste, indem wir
noch + f
ergänzen um die obengenante Formel zu
n−3
erhalten.
+F
1) Fn = F + F
n−1 n−2 n−3
2) Fn = a * q
1
n
Auch hier setze ich wieder die zweite Gleichung in die
erste ein:
a * q n = a * q n−1 + a * q n−2 + a * q n−3
1
1
1
1
⇔ q n = q n−1 + q n−2 + q n−3
⇔ q3 = q 2 + q +1
⇔ q 3 − q 2 − q −1 = 0
28
Wie man sieht, handelt es sich um eine kubische
Gleichung, deren Nullstellen nun zu bestimmen sind.
Zuerst habe ich mit Geogebra die Funktion:
f (q) = q3 − q 2 − q −1
untersucht. Wie man sieht, gibt es nur eine Nullstelle
und da diese nicht kleiner als 1 ist, wie man sehr
deutlich in dem Koordinatensystem sieht, kann die Folge
nicht konvergieren:
3.Allgemeines Ergebnis
Um auf ein allgemeines Ergebnis zu kommen, gehe ich
jetzt einmal von x Startgliedern aus, hier gelten die
Formeln:
1) Fn = F
+F
+F
+ ..... + Fn − x
n−1 n−2 n−3
2) Fn = a * q
1
n
29
Auch hier wird die 2.te Gleichung in die erste eingesetzt:
a * q n = a * q n−1 + a * q n−2 + a * q n−3 + a * q n − 4 + ... + a * q n − x
1
1
1
1
1
1
⇔ q n = q n−1 + q n−2 + q n−3 + q n − 4 + ... + q n − x
⇔ q x = q x −1 + q x − 2 + ... + q +1
⇔ q x − q x −1 − q x−2 − ... − q −1 = 0
Mit dieser allgemeinen Formel kann man nun die Anzahl
der Startglieder eingrenzen. Die erste Beschränkung
lässt sich leicht für q machen, q muss zwischen –1 und 1
liegen, da es sonst ja keine konvergierende Folge ist.
Der Fall, das q positiv ist, lässt sich auch ausschließen,
da q x kleiner ist als q x−1 , da q zwischen 0 und 1 liegt,
daraus folgt, dass die Subtraktion q x − q x−1 negativ ist
und da nun nur noch Subtraktionen auf der linken Seite
sind, kann niemals 0 herauskommen. Schaue ich mir
nun eine ungerade Zahl an Startgliedern an, an dem
Beispiel von 5 Startgliedern:
q 5 − q 4 − q 3 − q 2 − q −1 = 0
Da q negativ ist, sind auch alle Potenzen mit ungeradem
Exponenten negativ, man kann es also auch wie folgt
schreiben:
− q 5 − q 4 + q 3 − q 2 + q −1 = 0
Dies kann man wiederum schreiben als:
(− q5 ) + (−q 4 ) + ( q3 − q 2 ) + ( q −1) = 0
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Wie man sieht, sind die ersten zwei Klammern negativ.
Die dritte ist auch negativ, da q 2 größer als q3 ist, dies
gilt auch für 1 und q. Somit kann es keine ungerade
Anzahl von Startgliedern einer konvergierenden Folge
geben.
Nun schaue ich mir die geraden Startgliedern an dem
Beispiel von 6 Startgliedern an, allerdings betrachte ich
hier die Funktion und nicht die Gleichung nach der 0
Stelle:
f (q ) = q 6 − q 5 − q 4 − q 3 − q 2 − q − 1
Bei geraden Startgliedern lässt sich festhalten, wenn
q=0 ist, ist y=–1. Nun schaue ich mir den Fall an, dass
q= –1:
f (q) = (−1)6 − (−1)5 − (−1) 4 − (−1)3 − (−1) 2 − (−1) −1
⇔ f (q) = 1+ (1−1) + (1−1) + (1−1)
⇔ f ( q) = 1
Diese Funktion kann man dann vereinfachen und man
erhält y=1. Dies gilt auch für alle anderen geraden
Startzahlen, da sich die zwei neuen Glieder wegkürzen.
Da es sich um eine Funktion ohne Sprünge im Graphen
handelt und bei q=0, y=-1 ist und bei q=-1, y=1 gilt, muss
es eine Nullstelle zwischen -1 und 0 geben.
Also man kann festhalten, das bei einer geraden Anzahl
an Startgliedern man die Startglieder so wählen kann,
dass sie konvergiert, wogegen dies bei einer ungeraden
Anzahl an Startgliedern nicht der Fall ist.
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