Kapitel VI Einige spezielle diskrete Verteilungen (Lösungen)

Kapitel VI
Einige spezielle diskrete Verteilungen
(Lösungen)
6. 1.
Sei
X : „Die Anzahl der unvollständigen Packungen“.
X ist hypergeometrisch verteilt mit N = 50, M = 5 .
a) n = 20, x j = 2
 5   50 − 5 
  ⋅ 

2
20
−
2
 = 0.3641 ;
P ( X = 2) =   
 50 
 
 20 
b) n = 5, x j = 1
 5   50 − 5 
  ⋅ 

1   5 − 1 

P ( X = 1) =
= 0.3516 ;
 50 
 
5
c) n = 1, x j = 0
 5   50 − 5 

  ⋅ 
0   1 − 0 

P ( X = 0) =
= 0.9000 ;
 50 
 
1
6. 2.
Sei
X:
1.
2.
„die Anzahl der Hundebisse.“
P ( X = 6 ) = 0.050409
λ =9.
P ( X > 8) = 1 − P ( X ≤ 8) = 1 − 0.455653 ≈ 0.544347
1
6. 3.
1.
P ( X = 2) =
0.96362 −0.9636
⋅e
= 0.177
2!
2.
10
= 0.182
55
6. 4.
Sei
X : „Die Anzahl der Personen, die einen Kaufvertrag abschließen“.
X ist poisson-verteilt mit
p=
2
= 0.002 ,
1000
n = 800 , d.h.
λ = 1 .6
1.
1 .6 0
P ( X = 0) =
= e −1.6 = 0.201896518
0!
2.
1.6 j −1.6
⋅e
= 0.201896518 + 0.323034429 + 0.258427543 = 0.78445849
j!
j =0
2
P ( X ≤ 2) = ∑
3.
P ( X ≥ 3) = 1 − P ( X < 3) = 1 − P ( X ≤ 2) = 0.21664151 .
6. 5.
Da keine der Seiten des Buches bevorzugt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Druckfehler auf eine ganz bestimmte Seite fällt,
p=
1
500
Sei
X:
„Die Anzahl der Fehler pro Seite.“
Dann ist X binomialverteilt mit n = 500 , also
j
 500   1   499 
 ⋅ 
P( X ≥ 3) = 1 − P( X < 3) = 1 − ∑ 
 ⋅

 500 
j = 0  j   500 
2
= 1 − 0.919883 = 0.080117
2
500 − j
Approximation durch Poisson-Verteilung:
n ⋅ p = 500 ⋅
1
= 1 < 10 ;
500
n = 500 > 1500 ⋅
1
= 3 = 1500 ⋅ p
500
1 j −1
⋅ e = 0.080302
j = 0 j!
2
P ( X ≥ 3) = 1 − P ( X < 3) = 1 − ∑
6. 6.
Sei
X : „Anzahl der defekten Buchsen.“
X ist binomialverteilt mit
p = 0.03, q = 0.97, n = 100
1.
100 
 ⋅ 0.033 ⋅ 0.97100−3 = 0.2274 .
P ( X = 3) = 
3


2.
3 100 
 ⋅ 0.03 x j ⋅ 0.97100 − x j = 0.0475 + 0.1470 + 0.2251 + 0.2274 = 0.6470 .
P( X ≤ 3) = ∑ 

x j =0 x j


(Wegen
n ⋅ p = 0.03 ⋅ 100 = 3 < 10 und n = 100 ≥ 1500 ⋅ 0.03 = 45
lassen sich die Ergebnisse von 1-2 auch approximieren:
1. P( X = 3) = 0.224042
2. P( X ≤ 3) = 0.647232
)
6. 7.
Sei
X : „Anzahl der Webstühle, bei denen ein Spulenwechsel erforderlich ist.“
X ist binomialverteilt mit n = 12,
p=
1
.
3
a)
4
8
12   1   2 
Pa =   ⋅   ⋅   = 0.2384 .
 4  3  3
3
b)
x
3  12   1  j
Pb = ∑   ⋅  
x j =0  x j   3 
 
2
⋅ 
3
12 − x j
= 0.3931 .
c)
12
0
12   1   2 
Pc =   ⋅   ⋅   = 0.000002 .
12   3   3 
d)
0
12
12   1   2 
Pd =   ⋅   ⋅   = 0.0077
 0  3  3
e)
x
12 − x j
2  12   1  j  2 
Pe = 1 − ∑   ⋅   ⋅  
= 0.8189 .
x j =0  x j   3 
3


 
6. 8.
1 1
=1
8 4
λ = 32 ⋅ ⋅
a)
P( X = 2) = 0.183940
b)
P( X ≤ 2) = 0.367879 + 0.367879 + 0.183940 = 0.919698 .
6. 9.
Sei
A:
„Die Lieferung wird angenommen.“
Die Zufallsgröße ist hypergeometrisch verteilt:
 95   5   95   5 
 ⋅   ⋅ 
10 0
9
1
P ( A ) =     +     = 0.923
100 
100 




 10 
 10 
_
P  A  = 0.077 .
 
Die Kosten mögen mit K .
E ( K ) = 40 ⋅ 0.923 + +200 ⋅ 0.077 = 52.32 €
4
6. 10.
Sei
X:
„Anzahl der Knaben unter den drei Kindern einer Familie.“
 3
P( X = 0 ) =   ⋅ 0.514 0 ⋅ 0.486 3 = 0.114791 .
 0
6. 11.
a)
Binomialverteilung.
b)
100 
100 
 ⋅ 0.030 ⋅ 0.97100 + 
 ⋅ 0.031 ⋅ 0.97 99 = 0.0475525 + 0.1470696 = 0.1946221
P( X ≤ 1) = 
 0 
 1 
c)
Poisson mit λ = n ⋅ p = 100 ⋅ 0.03 = 3 :
. P( X ≤ 1) = 0.049787 + 0.149361 = 0.199148 .
d)
Die Wahrscheinlichkeit nach der Binomialverteilung lässt sich näherungsweise durch die
Poisson-Verteilung berechnen,
n ⋅ p = 3 < 10
und
n = 100 > 1500 ⋅ 0.03 = 45 = 1500 ⋅ p .
6. 12.
Sei
X : „Die Anzahl der Studenten, die die Klausur bestehen.“
X ist binomialverteilt mit n = 5, p = 0.7 .
a)
5
P ( X = 0) =   ⋅ 0.7 0 ⋅ 0.35 = 0.0024 .
0
b)
 5
P ( X = 1) =   ⋅ 0.71 ⋅ 0.3 4 = 0.0284 .
1
5
c)
P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X < 1) = 1 − 0.0024 = 0.9976 .
d)
5
P( X = 2) =   ⋅ 0.7 2 ⋅ 0.33 = 0.1323 .
 2
6. 13.
Sei
X:
„Der jährliche Bedarf.“
λ + λ = 4+ 4 = 6:
Bestand
P ( X > 6) = 1 − P ( X ≤ 5) = 1 − 0.0024 = 0.1107 .
6. 14.
Sei
P( E ) =
12
= 0 .2 .
60
E:
„Arbeiter benötigen Energie.“;
X:
„Anzahl der Arbeiter, die Energie benötigen.“ ; X = 0, 1, ..., 10 .
1.
Sei
10 
P ( X = 10) =   ⋅ 0.210 ⋅ 0.810−10 = 1.02 ⋅ 10 −1 .
10 
2.
xj
 10 
 10 
 10 
xj
x
10 − x j
10  0.2 
10
P ( X = x j ) =   ⋅ 0.2 ⋅ 0.8
=   ⋅ 0.8 ⋅ 
 =   ⋅ 0.8 ⋅ 0.25 j .
x
x
x
 0 .8 
 j
 j
 j
P ( X = 0) = 0.810
P ( X = 1) = 10 ⋅ 0.810 ⋅ 0.25
P ( X = 2) = 45 ⋅ 0.810 ⋅ 0.25 2 = 0.302
P ( X = 3) = 120 ⋅ 0.8 ⋅ 0.25
10
⇒
3
P ( X = 4) = 210 ⋅ 0.810 ⋅ 0.25 4
P ( X = 5) = 280 ⋅ 0.810 ⋅ 0.25
....
6
X max = 2 ;
Pmax = 0.302
6. 15.
Sei
X:
„Die Anzahl der Garagenbesitzer.“
1.
4
x
4− x
P( X = x j ) =   ⋅ 0.75 j ⋅ 0.25 j ,
xj 
j = 0, 1 , ..., 4
a) – e)
P( X
P( X
P( X
P( X
P( X
= 0) = 0.00390625 ,
= 1) = 0.04687500 ,
= 2) = 0.21093750 ,
= 3) = 0.42187500 ,
= 4) = 0.31640625 .
2.
E ( X ) = n ⋅ p = 4.0 ⋅ 0.75 = 3 ,
D 2 ( X ) = n ⋅ p ⋅ q = 3.0 ⋅ 0.25 = 0.75 .
6. 16.
Sei
X:
„Anzahl der faulen Eier.“
X ist hypergeometrisch-verteilt mit N = 8, M = 2, n = 3 .
 2 8 − 2
  ⋅ 

0   3 − 0  5

P( X = 0) =
=
14
8
 
 3
5
9
1 − P( X = 0) = 1 −
=
14 14
(Letzte Aktualisierung: 09.06.2015)
7