Klausur zur Vorlesung Funktionentheorie Universität Essen

Klausur zur Vorlesung Funktionentheorie
Universität Essen
Mittwoch 14. Juli 2008, 14—17 Uhr
Manuel Blickle & Kay Rülling
• Sie haben 3 Stunden Zeit um maximal 45 Punkte zu erreichen. Mit 20 haben Sie bestanden.
• Hilfsmittel: ein einseitig handbeschriebenes A4 Blatt, Schreibgerät, Kopf zum Nachdenken.
• Wenn Sie ein Resultat aus der Vorlesung verwenden wollen, geben sie dessen Namen (falls
es einen hat) oder dessen genaue Aussage an!
• Zu allererst Ihren Namen und Matrikelnummer eintragen. Viel Erfolg!
Name:
MatNr.:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
Σ
Note
Aufgabe 1
(0-10 Punkte)
Beantworten Sie die folgenden Fragen. Für jede richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für
jede falsche, einen Minuspunkt, insgesamt werden allerdings keine Minuspunkte vergeben.
wahr
falsch
Ist z in der oberen Halbebene so auch − zi .
Die Funktion f (z) =
Sei U ⊆ C offen. Es gibt keine holomorphe Funktion die auf U
ihr Betragsmaximum annimmt.
Die Taylorreihe von
Eine nicht konstante meromorphe Funktion auf
Ist f holomorph, dann ist f reell partiell differenzierbar und es
∂f
∂f
gilt i ∂x
= ∂y
1
Für alle z gilt e Re(z) = |e z |.
C
E
1
\∂ .
z 5 −1 ist holomorph auf
1 4
1
1
3 z − 5 z + 7 hat in der Einheitskreisscheibe
Das Polynom x 5 +
genau 5 Nullstellen
Die Funktion u(x, y ) = x 2 + xy + 2y 2 ist Imaginärteil einer
holomorphen Funktion.
Das Bild der Geraden Re z = 1 unter der Abbildung e iz ist ein Kreis.
1
z 2 +(2−i)2
im Punkt Null konvergiert für z = 94 .
P1C hat eine Polstelle.
Aufgabe 2
(2+3 Punkte)
(a) Welche Werte kann
Z
γ
z2 + 3
dz
z(z 2 + 4)
für geschlossene Wege γ annehmen?
Z 2π
it
(b) Berechnen Sie
e (e ) dt.
0
Hinweis: Führen Sie in (b) eine geeignete Substitution durch um das Integral in eines über die
Einheitskreislinie zu verwandeln.
2
Aufgabe 3
(5 Punkte)
Es sei U eine die abgeschlossene Einheitskreisscheibe E enthaltendes Gebiet. Zeigen Sie, dass
es keine auf U holomorphe Funktion f gibt, die auf dem Rand ∂ E = { z ∈ C | |z| = 1 } – also
auf dem Einheitskreis – die Gleichung f (z) = z1 erfüllt.
3
Aufgabe 4
Es sei die auf
(1+2+2 Punkte)
C meromorphe Funktion f (z) = z · (e1z − 1) gegeben.
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Laurentreihe von f im Entwicklungspunkt 0,
die bei z = 1 konvergiert.
(b) Bestimmen Sie das Residuum von f an der Stelle z = 0.
(c) Berechnen Sie das Integral
Z
1
|z− π2 |=2π
4
z · (e z − 1)
dz .
Aufgabe 5
Es sei f eine auf ganz
(5 Punkte)
C holomorphe Funktion für die
f (z)
=1
z→∞ z 2
lim
ist. Zeigen Sie, dass f (z) = z 2 + az + b für geeignete a, b ∈ C.
Hinweis: Welche Formel wurde im Beweis des Satzes von Liouville verwendet?
5
Aufgabe 6
(5 Punkte)
Geben sie eine Funktion an, die die links skizzierte Menge
1
1
M = {z ∈ C| |z + 1| < 1 } \ {z ∈ C| |z + | ≤ }
2
2
bi-holomorph auf die obere Halbebene abbildet.
Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung z 7→ z1
6
.
Aufgabe 7
(2+3 Punkte)
Es sei Γ = ω1 Z +ω2 Z ein Gitter in C und f eine ungerade und bezüglich Γ doppelt-periodische
Funktion die genau eine 5-fache Polstelle in Γ hat, in C \ Γ aber holomorph ist.
(a) Beweisen Sie, dass f mindestens drei verschiedene Nullstellen hat. Geben Sie diese an.
(b) Zeigen Sie, dass es komplexe Zahlen a, b gibt, so dass
f (z) = ℘0 (z)(a℘(z) + b)
wobei ℘(z) die Weierstraßsche ℘-Funktion zum Gitter Γ ist.
Hinweis: Für (b) zeigen Sie zuerst, dass die Funktion
Γ hat.
7
f (z)
℘0 (z)
höchstens eine doppelte Polstelle in
Aufgabe 8
Es sei f eine meromorphe Funktion auf
(1+2+2 Punkte)
C und n ∈ N>0 eine ganze Zahl. Zeigen Sie:
(a) Falls f eine n-te Wurzel hat, also falls es eine meromorphe Funktion g mit f = g n gibt,
so teilt n die Ordnung ordz f für alle z ∈ C.
(b) Falls n die Ordnung ordz f für alle z ∈
mit n · ordz h = ordz f für alle z ∈ C.
C teilt, so gibt es eine meromorphe Funktion h
(c) Zeigen Sie, dass es eine ganze Funktion φ(z) gibt, so dass
f (z)
= e φ(z)
hn (z)
wobei f (z) und h(z) wie in (b) sind. Folgern Sie, dass f eine n–te Wurzel hat.
Hinweis: Verwenden sie in (b) den Weierstraßschen Produktsatz.
8