Elliptische Funktionen, elliptische Kurven und Modulformen Die

Elliptische Funktionen, elliptische
Kurven und Modulformen
Die elliptische Modulgruppe
Jana Katzschke
20. November 2004
1
Einleitung
Die bisherigen Untersuchungen haben sich auf die Betrachtung eines festen Gitters L ⊂ C beschränkt. Im Folgenden wird es das Ziel sein, stattdessen die
Mannigfaltigkeit aller Äquivalenzklassen von Gittern zu betrachten. Zur Veranschaulichung wird die Betrachtung der Menge von Äquivalenzklassen von Gittern L ⊂ C auf die Betrachtung der Menge von Äquivalenzklassen von Punkten
in der oberen Halbebene zurückgeführt. Ein wesentlicher Bestandteil der Definition dieser Äquivalenzrelation ist die elliptische Modulgruppe.
2
Äquivalenz von Gittern (Teil I)
Definition 2.1. Zwei Gitter L = Z + Zτ , τ ∈ H, L ⊂ C und L = Z + Zτ , τ ∈
H, L ⊂ C heißen äquivalent, wenn sie durch eine Drehstreckung auseinander
hervorgehen. Dies ist gleichbedeutend mit der Existenz einer komplexen Zahl a
mit der Eigenschaft L = aL (a = 0).
Bemerkung 2.1. Der Punkt τ , τ ∈ H geht aus dem Punkt τ, τ ∈ H durch
eine spezielle Möbiustransformation hervor.
Beweis. Nach Definition der Äquivalenz von Gittern muss also gelten:
Z + Zτ = a (Z + Zτ ) , (a = 0)
Insbesondere folgt aus dieser Mengengleichheit:
τ = a(ατ + β)und
1 = a(γτ + δ),
für geeignete
α, β, γ, δ ∈ Z.
Durch Division dieser beiden Ausdrücke erhält man:
τ =
2.1
ατ + β
.
γτ + δ
Exkurs über gebrochen lineare Substitutionen
Einige wesentliche Feststellungen für die Äquivalenz von Gittern erhält man
durch die allgemeine Untersuchung von Abbildungen der Form
τ →
ατ + β
, Imτ > 0, α, β, γ, δ ∈ R.
γτ + δ
Setzt man voraus, dass γ oder δ = 0 sind, so ist auch γτ + δ = 0.
Bemerkung 2.2. Der Imaginärteil von τ kann wie folgt dargestellt werden:
ατ + β
Imτ (αδ − βγ)
Im
=
γτ + δ
|γτ + δ|2
1
Beweis.
Im
ατ + β
γτ + δ
ατ + β
1 ατ + β
−
=
2i γτ + δ
γτ + δ
1 (ατ + β)(γτ + δ) − (ατ + β)(γτ + δ)
=
2i
|γτ + δ|2
1 ατ γτ + ατ δ + βγτ + βδ − ατ γτ − βγτ − ατ δ − βδ
=
2
2i
|γτ + δ|
1 ατ δ − ατ δ + βγτ − βγτ
=
2
2i
|γτ + δ|
1 αδ(τ − τ ) + βγ(τ − τ )
=
2
2i
|γτ + δ|
1 αδ(τ − τ ) − βγ(τ − τ )
=
2
2i
|γτ + δ|
1 (τ − τ )(αδ − βγ)
=
2i
|γτ + δ|2
=
Imτ (αδ − βγ)
2
|γτ + δ|
αδ − βγ bezeichnen wir mit D und stellen fest, dass es sich um die Determinante
der Matrix
α β
γ δ
handelt.
Mit Hilfe dieser Feststellungen erhält man
Hilfssatz 2.1. Seien α, β, γ, δ ∈ R, so dass γ oder δ von 0 verschieden ist. Ist
τ ein Punkt in der oberen Halbebene, so gilt
ατ + β
DImτ
Im
=
2.
γτ + δ
|γτ + δ|
Wie bereits für τ gefordert, sei auch τ ∈ H. Daher ist nur der Fall αδ − βγ > 0
von Interesse.
Wir beschränken uns also auf die Betrachtung von Matrizen der folgenden Form:
α β
; α, β, γ, δ ∈ R, αδ − βγ > 0 .
GL+ (2, R) := M =
γ δ
Bei dieser Menge von Matrizen handelt es sich um eine Gruppe, so dass man
auch deren Eigenschaften annehmen kann.
2
Bemerkung 2.3. Jedes Element M ∈ GL+ (2, R) definiert also eine analytische Abbildung der oberen Halbebene in sich. Dem Produkt zweier Matrizen
entspricht hierbei die Hintereinanderausführung der Abbildungen. Diese Selbstabbildungen der oberen Halbebene sind konform, die Umkehrabbildung wird durch
die inverse Matrix geliefert.
Unsere bisherigen Feststellungen kann man zu folgendem Satz zusammenfassen:
Satz 2.1. Sei
M=
α
γ
reell, αδ − βγ > 0.
Die Substitution
τ → M τ :=
β
δ
ατ + β
γτ + δ
definiert eine konforme Selbstabbildung der oberen Halbebene H. Es gilt
a) Eτ = τ ,
1 0
E=
,
0 1
b) M (N τ ) = (M N )τ .
Die Umkehrabbildung ist durch die inverse Matrix
1
δ −β
M −1 =
−γ α
detM
gegeben.
Weiterhin gilt:
Satz 2.2. Jede konforme Selbstabbildung der oberen Halbebene ist von dem im
Satz 2.1 beschriebenen Typ.
3
Äquivalenz von Gittern (Teil II)
Bemerkung 3.1. Man kann leicht zeigen, dass zwei Punkte τ und τ der oberen
Halbebene äquivalent sind, wenn es eine Matrix M mit der Eigenschaft detM =
1 gibt, die τ in τ überführt. Zur Erinnerung: Zwei Gitter L ⊂ C und L ⊂ C
heißen äquivalent, wenn sie durch eine Drehstreckung auseinander hervorgehen.
Dies ist laut Definition 2.1 gleichbedeutend mit der Existenz einer komplexen
Zahl a mit der Eigenschaft L = aL (a = 0).
Beweisidee 3.1. Zu zeigen war also, dass gilt:
Z + Zτ = a(Z + Zτ ), τ ∈ H, τ ∈ H
An dieser Stelle soll lediglich die Beweisidee kurz vorgestellt werden.
Die Beweisrichtung Z + Zτ ⊂ a(Z + Zτ ) ist gleichbedeutend mit der Existenz
einer ganzen Matrix M mit der Eigenschaft
τ
τ
= aM
.
1
1
3
Die umgekehrte Beweisrichtung Z + Zτ ⊃ a(Z + Zτ ) ist gleichbedeutend mit der
Existenz einer ganzen Matrix N mit
τ
τ
,
a
=N
1
1
also
τ
1
=N ∗M
τ
1
.
Da τ und 1 über R linear unabhängig sind, muss gelten N ∗ M = E, also gilt
insbesondere detN ∗ detM = 1.
Da die beiden Determinanten ganze Zahlen sind, folgt detM = ±1;
Nach Hilfssatz 2.1 folgt sogar, dass die Determinante positiv und somit
detM = 1 ist.
Definition 3.1. Die elliptische Modulgruppe
Sei
α β
Γ = SL (2, Z) := M =
; α, β, γ, δ ∈ Z, αδ − βγ = 1 .
γ δ
Γ heißt die elliptische Modulgruppe.
Unsere bisherigen Feststellungen kann man zu folgendem Satz zusammenfassen:
Satz 3.1. Zwei Gitter der Form Z+Zτ und Z+Zτ mit Imτ > 0 und Imτ > 0
sind dann und nur dann äquivalent, wenn eine Matrix M ∈ Γ mit der Eigenschaft τ = M τ existiert.
Bezeichnung 3.1. Mit H = {τ ∈ C; Imτ > 0} bezeichnen wir die obere Halbebene.
Mit [τ ] = {M τ ; M ∈ Γ} bezeichnen wir die Bahn eines Punktes τ ∈ H bei dieser
Äquivalenzrelation.
Mit H/Γ = {[τ ] ; τ ∈ H} bezeichnen wir die Gesamtheit aller Bahnen.
3.1
Bedeutung der Mannigfaltigkeit H/Γ
Ziel ist es zu zeigen, dass zu jedem Paar komplexer Zahlen
(g2 , g3 ) , g23 − 27g32 = 0,
ein Gitter L ⊂ C mit der Eigenschaft
g2 = g2 (L) , g3 = g3 (L)
existiert.
Bemerkung 3.2. Die Größen g2 (L) , g3 (L) ändern sich, wenn man L durch
ein äquivalentes Gitter ersetzt.
Es gilt allgemein für a ∈ C − {0}
Gk (aL) = a−k Gk (L) ,
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insbesondere also
g2 (aL) = a−4 g2 (L) ,
und
g3 (aL) = a−6 g3 (L) .
Ziel ist es jedoch, einen Ausdruck zu erhalten, der nur von der Äquivalenzklasse
eines Gitters abhängt.
Bezeichnung 3.2. Mit ∆ := g23 − 27g32 bezeichnen wir die Diskriminante.
g23
Mit j := g3 −27g
2 bezeichnen wir die absolute Invariante (nach F. Klein,
2
3
1879).
Satz 3.2. Es gilt
∆ (aL) = a−12 ∆ (L)
und daher
j (aL) = j (L) , (a ∈ C − {0})
Beweis. (Teil I)
∆ (aL) = ((g2 (aL))3 − 27(g3 (aL))2 )
= (a−4 g2 (L))3 − 27(a−6 g3 (L))2 )
= a−12 (g23 (L) − 27g32 (L))
= a−12 ∆ (L) .
Beweis. (Teil II)
j (aL) =
g23
g23 (aL)
(aL) − 27g32 (aL)
(a−4 g2 (L))3
(L) − 27g32 (L))
=
a−12 (g23
=
a−12 (g23
a−12 g23 (L)
(L) − 27g32 (L))
=
g23 (L)
g23 (L) − 27g32 (L)
= j (L)
Angenommen es sei bereits bewiesen, dass zu jedem j ∈ C ein Gitter L ⊂ C mit
j (L) = j existiert, dann kann man leicht folgenden Satz beweisen:
Satz 3.3. Jede komplexe Zahl ist die absolute Invariante eines Gitters.
Zu jedem vorgegebenen Paar (g2 , g3 ) komplexer Zahlen mit ∆ = 0 kann man ein
Gitter konstruieren.
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Beweis. Nach Voraussetzung existiert zunächst ein Gitter L mit
j(L) =
g23
.
g23 − 27g32
Da jede komplexe Zahl eine 12te Wurzel besitzt, kann man eine Zahl a ∈ C
finden mit der Eigenschaft:
∆(aL) = a−12 ∆(L) = ∆ = g23 − 27g32 .
Da sich j nicht ändert, folgt
und
g23 (aL) = g23
g32 (aL) = g32 .
Ersetzt man L durch iL, so ändert sich g2 (L) nicht, da i4 = 1, aber g3 (L) ändert
sein Vorzeichen, da i6 = −1.
Wir können also
g23 (L) = g23
und
g32 (L) = g32
annehmen. Multipliziert man L mit einer 6ten Einheitswurzel, so ändert sich
g3 (L) nicht mehr, aber
g2 (ζL) = ζ −4 g2 (L).
2∗π∗i∗ν
Wenn ζ alle 6ten Einheitswurzeln durchläuft (e 6 , 0 ≤ ν ≤ 5), so durchläuft
2∗π∗i∗ν
ζ −4 offensichtlich die drei dritten Einheitswurzeln (e 3 , 0 ≤ ν ≤ 2). Nach
geeigneter Wahl von ζ gilt daher
g2 (ζL) = g2
und
g3 (ζL) = g3 .
6