6. ¨Ubungswoche

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6. Übungswoche
Kapitel 6: Stetige Verteilungen (Fortsetzung)
[ 4 ] Für die Blockzeiten der American Airlines Flüge von Dallas/Fort Worth nach Philadelphia wurde als Modell eine Normalverteilung mit µ = 183 und σ 2 = 142 = 196 verwendet. Die
folgende Abbildung zeigt diese Dichtefunktion. Skizzieren Sie die weiter unten zu berechnenden
Wahrscheinlichkeiten als Flächen unterhalb der Dichtefunktion. Alle Aufgaben sollen mit Hilfe der
Tabelle der Standardnormalverteilung gelöst werden. Geben Sie dann anschließend die R-Befehle
an, mit denen Sie die Aufgabe lösen können.
Dichtefunktion
0.04
y = f(x)
0.03
0.02
0.01
0.00
140 150 160 170 180 190 200 210 220 230
Blockzeit (Minuten)
a) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Tabelle der Standardnormalverteilung:
i) P (X ≤ 197)
ii) P (X > 169)
iii) P (169 < X ≤ 197)
b) Bestimmen Sie k, so dass die Blockzeit mit Wahrscheinlichkeit 0.95 kleiner oder gleich k ist.
c) Für welches k gilt P (X > k) = 0.90?
d) Bestimmen Sie k1 und k2 , so dass P (X < k1 ) = P (X > k2 ) = 0.05. Wie groß ist dann
P (k1 ≤ X ≤ k2 )?
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[5]
Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit den Parametern n = 150 und π = 0.4. Berechnen
Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Approximation durch die Normalverteilung,
jeweils mit und ohne Stetigkeitskorrektur. Geben Sie zunächst eine Formel mit Hilfe der Verteilungsfunktion Fb der exakten Binomialverteilung (zum Beispiel P (X ≤ 145) = Fb (145)), dann mit
Hilfe Verteilungsfunktion FN der nicht standardisierten approximierenden Normalverteilung, und
schließlich die entsprechende Formel mit Hilfe der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung an.
Hinweis: Schreiben Sie alle Wahrscheinlichkeiten zunächst in einer der Formen P (X ≤ a′ ); 1 −
P (X ≤ a′ ) bzw. P (a′ < X ≤ b′ ).
a) P (X < a) und P (X ≤ a) für a = 48
b) P (X > a) und P (X ≥ a) für a = 66
c) P (48 ≤ X ≤ 72); P (48 < X ≤ 66)
[ 6 ] Normalverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Für die Standardnormalverteilung gilt P (−µ < X < µ) ≈ 0.68.
(
)
b) Die Dichtefunktion der Normalverteilung ist symmetrisch um x = µ.
(
)
c) Für die Standardnormalverteilung gilt P (X ≤ −1) = P (X ≥ 1).
(
)
d) Für die Normalverteilung gilt P (X ≤ µ) = 0.5
(
)
e) Für die Normalverteilung gilt, je größer σ 2 , desto schmaler und höher wird die Dichte- (
funktion.
)
f) Für die Normalverteilung gilt: Der Parameter µ bestimmt nur die Lage, nicht die (
Gestalt der Dichtefunktion.
)
g) Die Verteilungsfunktion einer N (µ; σ 2 )-verteilten Zufallsvariablen hängt nicht von den (
Parametern ab.
)
h) Die Normalverteilung wird wegen ihrer komplizierten Dichtefunktion eher selten ver- (
wendet.
)
i) Falls Z ∼ N (0, 1) und X ∼ N (µ, σ 2 ), so gilt für alle möglichen werte von µ und σ 2 : (
P (−1 ≤ Z ≤ 1) = P (µ − σ < X < µ + σ) ≈ 0.68.
)
j) Die Dichtefunktion einer Normalverteilung ist immer symmetrisch um x = 0.
)
(
3
[ 7 ] χ2 -Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die χ2 -Verteilung ist eine stetige Verteilung, die nur nichtnegative Werte annehmen (
kann.
)
b) dchisq(x,3) berechnet den Wert der Dichtefunktion der χ2 -Verteilung mit drei Frei- (
heitsgraden an der Stelle x.
)
c) qchisq(p,3) berechnet den Wert der Umkehrfunktion der χ2 -Verteilung mit 3 Frei- (
heitsgraden an der Stelle p, wobei 0 < p < ∞ gelten muss.
)
d) pchisq(4,5) - pchisq(3,5) berechnet die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ [3, 4]), wenn (
X ∼ χ2 (5).
)
e) Mit wachsender Anzahl von Freiheitsgraden ν nähert sich die χ2 -Verteilung der Nor- (
malverteilung mit µ = ν und σ 2 = 2ν an.
)
f) Die χ2 (10)-Verteilung hat 10 − 1 = 9 Freiheitsgrade.
(
)
a) Man sollte niemals eine diskrete Verteilung durch eine stetige Verteilung approximieren. (
)
b) Für große λ lässt sich die Poissonverteilung durch eine Normalverteilung approximieren. (
)
c) Wenn X ∼ b(n, π) und die Voraussetzungen für eine Approximation
durch die Nor- (
t − nπ
malverteiulung erfüllt sind, so gilt P (X ≤ t) ≈ Φ
.
nπ(1 − π)
)
d) Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung gilt für große (
n und ist genau dann besonders gut, wenn π sehr klein oder sehr groß ist.
)
e) Die Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung kann durch die (
Stetigkeitskorrektur verbessert werden.
)
f) Approximiert man die Binomialverteilung
b(n, π) durch
die Normalverteilung mit Ste- (
t + 0.5 − µ
tigkeitskorrektur, so gilt: P (X ≤ t) ≈ Φ
mit µ = nπ und σ 2 = nπ(1−π).
σ
)
[ 8 ] Approximation von Verteilungen
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
4
Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung
[ 1 ] Die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X sei gegeben durch

 αx−α−1
x≥1
fX (x) =

0
sonst
Dabei ist α > 1 ein Parameter.
Anmerkung: Es handelt sich um die Dichte einer speziellen Pareto-Verteilung.
a) Bestimmen Sie den Schätzer α̂ nach der Methode der Momente:
Z
Hinweis: Beachten Sie die Potenzregel der Integration: xa dx =
1
xa+1
a+1
(a 6= −1)
Ferner lim x−a = 0 a ∈ (0, ∞).
x→∞
b) Bestimmen Sie den Wert des Schätzers, wenn Ihnen die folgenden Daten gegeben sind:
1.93, 1.03, 1.34, 1.06, 1.13, 5.05
c) Die Daten wurden mit dem Parameter α = 2 simuliert. Bestimmen Sie nun den Fehler des
Schäters: α̂ − α.
[ 2 ] Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen X sei

 λ2 xe−λx
f (x) =
 0
0<x
sonst
Anmerkung: Dies ist die Dichtefunktion der Summe zweier unabhängig und identisch exponentialverteilter Zufallsvariablen. In einem Poissonprozess hat die Zeit von einem Ereignis bis zum
übernächsten Ereignis diese Verteilung.
a) Es gilt E(X) = 2/λ. Bestimmen Sie den Schätzer von λ nach der Methode der Momente.
b) Bestimmen Sie λ̂ für die Beobachtungen in einer Stichprobe der Größe n = 20, die im
R-Objekt stich gespeichert sind:
stich
1.50 3.78
5.55 2.29
4.27
4.26
6.31 0.79 11.03
5.16 10.34 4.40
6.32
1.68
3.50
0.76
2.76
3.81 18.21
8.42
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[ 3 ] Histogramm als Schätzer
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a)
Ein Histogramm vermittelt einen Eindruck, wie die zu schätzende Dichtefunktion aus- (
sehen könnte.
)
b) Jedes Histogramm hat alle Eigenschaften einer Dichtefunktion.
(
)
c)
(
)
d) Ein normiertes Histogramm kann verwendet werden, um gewisse Wahrscheinlichkeiten (
zu schätzen.
)
e)
Die Wahl der Klassen für ein Histogramm und insbesondere die Anzahl der Klassen ist (
unbedeutend für die Güte und damit die Aussagekraft eines Histogramms.
)
f)
Ein normiertes Histogramm mit 10 Klassen hat 10 freie Parameter.
(
)
g)
Ein normiertes Histogramm kann als Schätzer der Dichtefunktion aufgefasst werden.
(
)
h) Man sollte immer möglichst viele Klassen für ein Histogramm verwenden, denn es gilt: (
Je größer die Anzahl der Klassen, desto genauer ist die Schätzung der Dichtefunktion.
)
i)
Vergrößert man die Anzahl der Klassen eines Histogramms, so verringert sich der Fehler (
durch Approximation, während der Fehler durch Schätzung steigt.
)
j)
Der Gesamtfehler bei der Schätzung einer Dichtefunktion durch ein normiertes Hi- (
stogramm setzt sich aus dem Fehler durch Approximation und dem Fehler durch
Schätzung zusammen.
)
k)
Man sollte für ein Histogramm möglicht immer eine hohe Klassenanzahl verwenden, (
da man dann viele Einzelheiten der Stichprobe erkennen kann.
)
l)
Der Fehler durch Approximation hängt sehr stark von der Stichprobengröße ab.
(
)
(
)
n) Der Gesamtfehler sinkt mit steigender Stichprobengröße bei gleicher Anzahl zu (
schätzender Parameter.
)
Ein normiertes Histogramm ist nichtnegativ und die Summe aller Flächen ist Eins.
m) Je größer meine Stichprobe, desto genauer kann ich schätzen.
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[ 4 ] Methode der Momente
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Methode der Momente kann nur zur Schätzung von E(X) und Var(X) verwendet (
werden.
)
b) Soll der unbekannte Parameter θ einer Verteilung mit einem Parameter nach der Me- (
thode der Momente geschätzt werden, so schreibt man θ als Funktion des Erwartungswertes, z.B. θ = 1/E(X) und erhält dann den Schätzer θ̂ = 1/E(X).
)
c) Soll der unbekannte Parameter θ einer Verteilung mit einem Parameter nach der Me- (
thode der Momente geschätzt werden, so schreibt man θ als Funktion des Erwartungswertes und erhält dann den Schätzer θ̂, indem man in der gefundenen Funktion E(X)
durch x̄ ersetzt.
)
d) Die Methode der Momente kann auch für Verteilungen mit zwei Parametern verwendet (
werden. Man schreibt dann den Erwartungswert und die Varianz jeweils als Funktion
der Parameter θ1 und θ2 , löst diese Gleichungen nach θ1 und θ2 auf und ersetzt schließlich den Erwartungswert und die Varianz durch ihre Schätzer.
)
e) Es gelte EX = 2/θ für eine Verteilung mit dem Parameter θ. Dann gilt für den Schätzer (
nach der Methode der Momente θ̂ = 2/X̄.
)
f) Im vorangehenden Punkt gilt (unabhängig von der Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeits- (
funktion) auch für den ML-Schätzer: θ̂M L = 2/X̄.
)