Diskrete Mathematik für Informatiker, WS11/12

Fakultät IV ¨ Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Logik und
Theoretische Informatik
Hannes Diener
Diskrete Mathematik für Informatiker, WS11/12
Übungsblatt 2, Abgabe bis zum Mi. 2. November 10:151
• In jeder Aufgabe können 5 Punkte erreicht werden.
• Doppelabgaben sind erlaubt; vergessen Sie nicht beide Namen und Matrikelnummern gut leserlich
anzugeben.
• Bitte geben Sie Ihre Lösungen in gut leserlicher und sauberer Form ab. Was nicht gelesen werden
kann, kann auch keine Punkte bekommen.
• Begründen Sie Ihre Antworten und argumentieren Sie nachvollziehbar.
Aufgabe 1. Testen Sie, mit Hilfe von Wahrheitstabellen, welche der folgenden Formeln Tautologien
sind, und welche nicht.
(a) pa Ñ bq Ø p a ^ bq
(b) ppa Ñ bq ^ p a Ñ bqq Ø b
Aufgabe 2. Unter http://theoinf.math.uni-siegen.de/dmi/folien/jscriptsandbox.html können Sie ein
wenig mit Javascript herumspielen.
Wenn in einer logischen Formel mit _, ^ und (also ||, && und !) keine Klammern gesetzt sind, wie
interpretiert dann Ihr Browser die Formeln
A_B^C
und
A^B ?
Anders gefragt: wo setzt Ihr Browser die Klammern? Schreiben Sie hierzu ein geeignetes Programm,
welches diese Formeln mit geeigneten Wahrheitsbelegungen, welche die verschiedenen Möglichkeiten
der Klammerungen unterscheiden, auswertet. Bitte geben Sie einen Ausdruck des Programms mit ab.
(Geben Sie bitte auch Ihren Browser und die Version an, da es sein kann, daß verschiedene Browser zu
verschiedenen Interpretationen kommen).
1
Abgabe am Besten in der Vorlesung. Alternativ können Lösungen auch persönlich bei Hannes Diener (EN-B 0123),
im Sekretariat der theoretischen Informatik (EN-B 0121) oder bei einem der Übungsgruppenleitern abgegeben werden.
Verwenden Sie auf keinen Fall den Briefkasten des Lehrstuhls.
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Aufgabe 3. Finden Sie Beispiele für Aussageformen apx, yq und bpx, yq, so daß sowohl
pDx P N : @y P N : apx, yqq Ñ p@x P N : Dy P N : apx, yqq
also auch
p@x P N : Dy P N : bpx, yqq Ñ pDx P N : @y P N : bpx, yqq
falsch sind.
Aufgabe 4. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle n P N gilt:
12 ` 22 ` ¨ ¨ ¨ ` n2 “
Zusatzaufgabe 5.
npn ` 1qp2n ` 1q
.
6
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Beweisen Sie die sogenannte Trinker-formel
Dx P M : papxq Ñ @y P M : apyqq .
(In jeder nichtleeren Gruppe von Menschen gibt es einen, so daß, wenn dieser betrunken ist, jeder in
der Gruppe betrunken ist).
ENDE
2
Zusatzaufgaben sind besonders schwer aber dafür optional. Es können keine zusätzlichen Punkte erreicht werden.
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