41. Seien X, Y topologische Räume, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom

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41. Seien X, Y topologische Räume, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, und f : X → Y
eine Funktion. Zeige: f ist bei x0 ∈ X genau dann stetig, wenn für jede Folge (xn ) in X mit
lim xn = x0 die Bildfolge (f (xn )) in Y gegen f (x0 ) konvergiert.
42. Für einen metrischen Raum X sei C ∗ (X) die Menge aller beschränkten, stetigen Funktionen
f : X → R; für f, g ∈ C ∗ (X) setze d(f, g) := supx∈X |f (x) − g(x)|. Zeige, dass (C ∗ (X), d) ein
vollständiger, metrischer Raum ist.
43. Sei (X, d) ein metrischer Raum und a ∈ X fix gewählt. Zeige, dass die Abbildung h : X →
C ∗ (X), x 7→ hx eine Isometrie ist, wobei hx : X → R definiert ist durch hx (t) := d(x, t) − d(a, t).
44. Sei (X, d) ein metrischer Raum und d′ := min(1, d). Zeige: (X, d) ist genau dann vollständig,
wenn (X, d′ ) vollständig ist.
Q
45. Seien (X1 , d1 ), . . . , (Xn , dn ) metrische Räume, X := ni=1 und d(x, y) := max{di (xi , yi ) | i =
1, . . . , n}. Zeige: (X, d) ist genau dann ein vollständiger metrischer Raum, wenn alle (Xi , di )
vollständig sind.
P
Q
46. Für jedes i ∈ N sei (Xi , di ) ein metrischer Raum mit di ≤ 1; sei X := i∈N Xi und d = i∈N d2ii .
Zeige: (X, d) ist genau dann vollständig, wenn alle (Xi , di ) vollständig sind.
47. Für eine Teilmenge A eines metrischen Raumes X sei d(A) = sup{d(x, y) | x, y ∈ A} der Durchmesser von A. Zeige: X is genau dann vollständig, wenn für jede Folge (Fn ) vonTabgeschlossenen,
ineinandergeschachtelten Mengen (d.h F1 ⊇ F2 ⊇ . . . ) mit lim d(Fn ) = 0 gilt: n∈N Fn 6= ∅.
48. Ein Teilraum A eines vollständigen metrischen Raumes X ist genau dann vollständig, wenn A
abgeschlossen in X ist.
P∞ 2
49. Sei
i=1 xi < ∞; dann definiert d(x, y) =
pPl2∞ die Menge aller reellen Folgen x = (xn ) mit
2 eine Metrik auf l , bezüglich der l vollständig ist. Ist l separabel?
(x
−
y
)
i
2
2
2
i=1 i
50. (Banach’scher Fixpunktsatz) Sei (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und f : X → X eine
(echt) kontrahierende Abbildung (d.h. es existiert eine Konstante c < 1 mit d(f (x), f (y)) ≤
c · d(x, y) für alle x, y ∈ X). Dann besitzt f genau einen Fixpunkt, d.h. es gibt genau ein x ∈ X
mit f (x) = x. (Für ein beliebiges z ∈ X betrachte die Folge z, f (z), f (f (z)), . . . .)
51. Finde zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen A, B in einem vollständigen metrischen Raum,
sodaß inf{d(x, y) | x ∈ A, y ∈ B} = 0 gilt.
52. Das Cantor’sche Diskontinuum: Seien F = [0, 1], F0 = [0, 13 ], F1 = [ 23 , 1] und ∆1 = F0 ∪ F1 ;
entfernen wir aus Fi (i ∈ {0, 1}) das jeweilige offene mittlere“ Drittel, dann erhalten wir
”
jeweils zwei Intervalle Fi0 und Fi1 . Wir setzen ∆2 = F00 ∪ F01 ∪ F10 ∪ F11 . Mittels Induktion erhalten wir (jeweils durch Entfernen des offenen mittleren Drittels) für jedes n-tupel
(i1 , i2 , . . . , in ) S∈ {0, 1}n ein abgeschlossenes Interval Fi1 ...in (welches die Länge 31n hat) und
setzen ∆n = (i1 ,...,in )∈{0,1}n Fi1 ...in . Es gilt dann ∆1 ⊇ ∆2 ⊇ . . . . Das Cantor’sche DiskontiT
nuum F ist definiert als F = ∞
n=1 ∆n . Zeige: F besteht aus allen reellen Zahlen x, die eine
P∞
Reihenentwicklung x = k=1 ak 3−k besitzen mit ak ∈ {0, 2}. Sind die Koeffizienten ak immer
eindeutig bestimmt?
P
−k 7→ (b )
53. Zeige: die Abbildung F → D = {0, 1}N , ∞
k k∈N , wobei bk = 1, falls ak = 2 und
k=1 ak 3
bk = 0, falls ak = 0, ist ein Homöomorphismus zwischen den topologischen Räumen F und D
(siehe Bsp. 24).
P
P
54. Was läßt sich über die Abbildung F → [0, 1],
ak 3−k →
bk 2−k (bk wie im obigen Beispiel)
sagen? Ist diese Abbildung stetig, injektiv, surjektiv etc.?
55. Sei (X, d) ein kompakter metrischer Raum und (Y, d′ ) ein metrischer Raum. Jede stetige Funktion f : X → Y ist gleichmäßig stetig, d.h. für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodaß d′ (f (x), f (y)) <
ε für alle x, y ∈ X mit d(x, y) < δ.