Gesamtes PDF, alle drei Teile plus Beispiele und Aufgaben

Mathematik LK 12/13, Zusammenfassung des
Stoffs
Sebastian Meiss
9. September 2011
Vorwort
Diese Zusammenstellung soll den vollständigen Stoff eines Mathematik - Leistungskurses enthalten, der abiturrelevant ist. Diesen findet man in den Kapiteln 1 bis 7 (ausgenommen 3).
Außerdem enthält die Zusammenstellung den fakultativen Stoff ”Approximation von Funktionen” sowie ”Differentialgleichungen” und ”Analysis III”, welcher von uns im nicht abiturrelevanten Halbjahr behandelt wurde.
Daher legt die Zusammenstellung keinen Wert auf Vollständigkeit in Bezug auf sämtliche
mögliche Unterrichtsinhalte der Sekundarstufe II, sondern nur im Bezug auf die abiturrelevanten Inhalte.
In den einzelnen Kapiteln wird an den Stellen auf die Herleitungen verzichtet, wo sie nicht
zwingend erforderlich sind. Diese Herleitungen und Beweise werden dann an späterer Stelle im
Kapitel Beweise aufgeführt. Hierbei werden auch Beweise aufgeführt, die nicht im Rahmen
des Schulunterrichts besprochen wurden.
Die vorliegende Zusammenfassung des Lernstoffs gliedert sich in die Kapitel Analysis, Lineare Algebra und analytische Geometrie und Stochastik. Ferner werden Differentialgleichungen und Approximation besprochen sowie die vollständige Induktion als Beweiswerkzeug
vorgestellt.
An den Erläuterungsteil schließt sich das Beweiskapitel sowie das Aufgabenkapitel an. Im
Aufgabenkapitel gibt es die Möglichkeit anhand von Übungsaufgaben, deren mögliche Lösung
angegeben ist, die Anwendung des Lernstoffs zu trainieren.
Anm.(Stand 3/2008) : Das Aufgabenkapitel soll abgeschafft werden, hierfür wird es ein
Kapitel mit Abituraufgaben geben. Die Übungsaufgaben sollen am Schluss der entsprechenden
Kapitel stehen. Es wird Lösungen zu den Aufgaben geben.
Hinweis für den Grundkurs: Soweit verbindlich (Stand 2010) entfallen für den Grundkurs
aus diesem PDF an Stoff die folgenden Abschnitte:
1. Zur Analysis II : Partielle Integration, Uneigentliches Integral, (Integration durch Substitution), Näherungsverfahren
2. Die gesamte Analysis III ist von uns in 13/2 gemacht worden, also nicht abiturrelevant.
3. Vektorrechnung: Vektorräume, Kreuzprodukt, Spatprodukt, alles zu Kugeln
4. Stochastik: Poissonverteilung
5. Alles nach Kapitel 7 ist kein Prüfungsstoff für das schriftliche Abitur.
Ich empfehle, auf diese Abschnitte zumindest mal einen Blick zu werfen, ob nicht doch etwas
davon behandelt wurde, gerade auch im Hinblick auf mündliches Abitur. Außerdem sind
Rechenverfahren (Nährungen des Integrals, Kreuzprodukt) nützlich, wenn man sie kann und
meistens nur Formeln, die man in der Formelsammlung findet.
Diese Zusammenstellung ist abgeschlossen und wird dennoch stets in Bezug auf Fehler und
Unklarheiten weiterentwickelt. Ich bin für jeden gefundenen Fehler und Hinweis dankbar. Falls
es Stellen gibt, die falsch oder unklar sein sollten, dann bitte ich um eine kurze Mail an:
[email protected]
iii
Inhaltsverzeichnis
1 Analysis I
1.1 Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Subtangente,Subnormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ableitungen und Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Kurvendiskussionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Muster für die KVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Stetigkeitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Scharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Finden der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.5 Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion über Verlauf finden
2 Analysis II
2.1 Herleitung des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . .
2.1.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Regeln für das bestimmte Integral . . . . . . . . . .
2.2 Flächen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Fläche zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . .
2.3 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Integration von Potenzfunktionen . . . . . . . . . . .
2.4.2 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . .
2.4.3 partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 uneigentliches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Drehvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Zusammenstellung von Ableitungen und Stammfunktionen
2.8 Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Sehnentrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Tangententrapezregel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Simpsonregel(n gerade) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Keplersche Fassregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Aufgaben zur Analysis I und II . . . . . . . . . . . . . . . .
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26
26
26
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3 Analysis III
29
3.1 Bogenlänge einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv
Inhaltsverzeichnis
3.2
Mantelfläche des Rotationskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Gauß-Verfahren
33
4.1 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Analytische Geometrie und lineare Algebra
5.1 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Addieren/Subtrahieren von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Betrag eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Skalarprodukt zweier Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Vektorprodukt(Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Satz des Kreuzprodukts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lineare Abhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Bedingungen im 1-2-3 dimensionalen Vektorraum . . . . . . . .
5.5 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vektoren spannen einen Vektorraum auf . . . . . . . . . . . . .
5.6 Geraden im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Lage von Geraden im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Spurpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Parameterdarstellung der Ebene mit Umformung . . . . . . . .
5.7.1.1 Umwandlung von Parameter- in Koordinatenform . .
5.7.1.2 Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform
5.7.2 Normalenform der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Schnelles Umformen von Ebenengleichungen . . . . . . . . . . .
5.7.3.1 Hessesche Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Durchstoßpunkte und Spurgeraden von Ebenen . . . . . . . . .
5.7.4.1 Achsenabschnittsform . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.5 Lage von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.6 Schnitt von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.7 Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.8 Winkel von Ebenen und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Kreise und Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Kreis-, bzw. Kugelgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Tangenten, Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3 Schnittkreis zweier Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4 Parameterdarstellung des Schnittkreises . . . . . . . . . . . . .
5.9 Teilverhältnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Teilverhältnisse in ebenen und räumlichen Gebilden . . . . . .
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6 Statistik
66
6.1 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
v
Inhaltsverzeichnis
7 Stochastik
7.1 Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Einschub: Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Baumdiagramm und Pfadregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Verknpüfung von Ereignissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Und-Oder Verknüpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 vereinbar/unvereinbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Verallgemeinerung des Satzes von Bayes . . . . . . . . . . . . .
7.6 Zufallsgröße X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 σ-Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Tschebyscheff-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10 Standatisierung und Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.1 Zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Normalverteilung
7.10.3 Stetigkeitskorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Additivität von Erwartungwert und Varianz . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Poissonverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Hypothesentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.1 Sammlung wichtiger Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.2 einseitiger/zweiseitiger Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13.3 Schema zum Aufstellen und Prüfen einer Hypothese: . . . . . .
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82
83
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86
8 Der Binomialkoeffizient
87
9 Differentialgleichungen
9.1 Lösen von Differentialgleichungen . . . . .
9.2 Prüfen einer speziellen Lösung . . . . . .
9.2.1 Aufstellen der Differentialgleichung
9.3 Numerische Lösung . . . . . . . . . . . . .
9.4 Wachstums- und Schwingungsvorgängen .
9.4.1 Bekannte Differentialgleichungen .
89
89
92
92
93
96
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zu einer
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Funktionsschar
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10 Vollständige Induktion
11 Approximation von Funktionen
11.1 Taylorformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1 Beispiele für Taylorentwicklungen . . . . . . . .
11.1.2 Unendliche Reihenentwicklung von Funktionen
11.1.3 Einschub: Geometrische Reihe . . . . . . . . .
11.1.4 Logarithmische Reihe . . . . . . . . . . . . . .
vi
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Inhaltsverzeichnis
12 Herleitungen und Beweise
12.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Kettenregel . . . . . . . . . . . . .
12.1.2 Produktregel . . . . . . . . . . . .
12.1.3 Quotientenregel . . . . . . . . . . .
12.1.4 Ableiten und Integrieren von ex . .
12.1.5 Ableiten und Integrieren von ln(x)
12.1.6 Regeln von L’Hospital . . . . . . .
12.2 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . .
12.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . .
12.3.1 Herleitung der Potenzregel . . . .
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111
111
112
114
116
13 Beispiele
13.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1.1 Muster für eine Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . .
13.1.2 Durchgerechnete Aufgabe zur Analysis . . . . . . . . . .
13.2 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Beispiele zur Lagen von Geraden zueinander . . . . . .
13.2.2 Beispielaufgaben zum Schnitt von Ebenen und Geraden
13.2.3 Beispiele zu Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . .
13.2.4 Umfassendes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Hypothesentest Metallica . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 181
. 182
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14 Aufgaben mit Lösungen
14.1 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 Integralrechnung . . . . . . . . . . .
14.1.2 Zusatzaufgaben* . . . . . . . . . . .
14.2 Vektorrechnung und lineare Algebra . . . .
14.2.1 Allgemeine Aufgaben . . . . . . . .
14.2.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3 Umformen von Ebenengleichungen .
14.2.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . .
14.3 Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Binomialverteilung . . . . . . . . . .
14.3.3 Tassenpfand . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Radfahrer . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Schaum . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Umfassende Aufgaben . . . . . . . . . . . .
14.5.1 Kurvenschar,ganzrational . . . . . .
14.5.2 ln-Funktion (Stark LK-Abitur 2007)
14.5.3 Exponentialfunktion . . . . . . . . .
14.5.4 Burghotel . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
Inhaltsverzeichnis
14.5.5 Pharao Seltsamis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Tabellenverzeichnis
184
Abbildungsverzeichnis
185
viii
1 Analysis I
1.1 Differenzenquotient
Mit Hilfe des Differenzen- bzw. Diffenrentialquotienten lässt sich die Steigung einer beliebigen
Funktion in einem Punkt bestimmen.
Grundüberlegung für das Finden der Steigung in einem Punkt ist folgende:
Es wird eine Stelle x0 sowie eine Stelle x1 = x0 + h gewählt, wobei gilt h > 0, x1 > x0 . Durch
die Zweipunkteform lässt sich nun ohne Probleme die Steigung der Sekante durch x0 und x1
bestimmen:
Abbildung 1.1: Geometrische Herleitung des Differentialquotienten
Diese ist
f (x0 + h) − f (x0 )
x0 + h − x0
Diesen Quotienten bezeichnet man auch als Differenzenquotienten. Da wir jedoch nicht die
Sekantensteigung erhalten möchten, sondern die Steigung der Tangente an die Funktion an
der Stelle x0 , bilden wir nun den Grenzwert des obigen Quotienten für h → 0 und erhalten
den Differentialquotienten in seiner allgemeinen Form:
ms =
f (x0 + h) − f (x0 )
= f 0 (x0 )
h→0
h
mt = lim
f 0 (x) =
dy
dx
1
KAPITEL 1. ANALYSIS I
dy
wobei dx
als Differentialquotient bezeichnet wird; d steht hier, wie auch später beim Integral
für eine sehr kleine1 Strecke ∆y, bzw. ∆x.
Über den Differenzen- bzw. Differentialquotienten lässt sich z.B. auch die Ableitung für ex
herleiten.
Anmerkung:
dy
dx bezeichnet die erste Ableitung einer Funktion f (x) nach x. Auch für die zweite Ableitung
der Funktion existiert ein solcher Term, der sich allerdings nicht einfach aus dem ersten
Term erstellen lässt. Er sei hier angegeben, da er oft in Fachliteratur und auch später im
Zusammenhang mit Differentialgleichungen benutzt wird. Es ist2 :
dy
= f 0 (x)
dx
d2 y
= f 00 (x)
dx2
1.2 Stetigkeit
Die Stetigkeit einer Funktion ist mathematisch gesehen ein sehr wichtiges Thema und nimmt
im Rahmen einer Uni-Vorlesung zur Analysis I einen wichtigen Teil ein. Wir wollen hier kurz
auf das Thema eingehen, damit wir eine grobe Vorstellung haben, was Stetigkeit bedeutet.
Dabei wird die mathematisch korrekte Definition etwas außer Acht gelassen.
Wir haben es im Verlaufe der Analysis hier meistens mit Funktionen zu tun, welche dort,
wo sie definiert sind, auch stetig sind. Uns reicht eine einfache Definition zunächst aus:
Definition Wir nennen eine Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich, wenn man ihren
Graphen zeichnen kann, ohne den Stift dabei absetzen zu müssen.
Diese Definition ist intuitiv und reicht uns für unsere Zwecke vollständig aus. Dennoch gebe
ich an dieser Stelle nochmal eine formal korrekte Definition der Stetigkeit (vielleicht auch als
kleinen Ausblick, wie Uni-Mathematik aussieht):
Wir wollen eine Funktion betrachten, welche als Argumente reelle Zahlen bekommt und als
Werte reelle Zahlen ausgibt (z.B. die e-Fkt.). Wir schreiben dafür
f :R→R
Wir betrachten den Definitionsbereich D der Funktion. Dieser ist i.Allg. eine Teilmenge von
R.
Sei also f : D → R. f heißt stetig auf D, wenn für alle a ∈ D gilt:
limx→a f (x) = f (a)
Eine Funktion ist also genau dann stetig auf ihrem Definitionsbereich, wenn für jeden Wert
aus a ∈ D der Funktionswert an der Stelle a mit dem Grenzwert der Funktion gegen diesen
Wert a übereinstimmt.
Dies ist zum Beispiel bei allen Potenzfunktionen, den trigonometrischen Funktionen und
den Exponentialfunktionen so. 3
1
Mathematisch gesehen unendlich klein, man beachte zuvor den Limes für h gegen 0.
Man wird später sehen, dass es Situationen gibt, in denen mit diesen Quotienten wie mit Brüchen gerechnet
wird, obwohl diese Quotienten Symbole darstellen. Man sollte die Differentialquotienten immer als Symbole
und nicht als Brüche auffassen!
3
Es ist in der Tat etwas langweilig, die Grenzwerte z.B. für f (x) = x2 an der Stelle a = 5 zu bestimmen.
Hier wird meist umgekehrt geschlossen: Aus dem Verständnis heraus, dass die Normalparabel stetig ist,
schließen wir darauf, dass der Limes mit dem Funktionswert übereinstimmen muss.
2
2
1.3. MITTELWERTSATZ DER DIFFERENTIALRECHNUNG
1.3 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ist f eine in [x1 ; x2 ] differenzierbare Funktion, dann existiert zwischen x1 und x2 eine Stelle
z, für welche gilt:
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (z) · (x2 − x1 )
Das heißt, es gibt zwischen x1 und x2 eine Stelle, an der die Tangente an f die gleiche Steigung
besitzt wie die Sekante durch x1 und x2 !
Abbildung 1.2: Mittelwertsatz der Differentialrechnung
3
KAPITEL 1. ANALYSIS I
1.4 Subtangente,Subnormale
• Tangente
Die Tangente t an eine Funktion berührt die Funktion in einem Punkt P . Die Tangente
an den Punkt P hat die gleiche Steigung wie die Funktion im Punkt P .
• Normale
Die Normale (hier n) einer Funktion verläuft einen Punkt P der Funktion und steht
senkrecht auf der Tangenten an den Punkt P .
• Subtangente
Die Subtangente einer Funktion f an einen Punkt P ist die Strecke auf der x-Achse,
die vom Schnittpunkt P 0 der Tangenten mit der x-Achse bis zur Abzisse des Punktes
P verläuft. Die Subtangente ist somit die Projektion der Strecke P 0 P auf die x-Achse.
• Subnormale
Ähnlich der Subtangenten ist auch die Subnormale eine Projektion. Die Subnormale ist
jedoch die Projektion der Strecke P 00 P , der Strecke vom Schnittpunkt der Normalen
mit der x-Achse bis zur Abzisse des Punktes P also.
Abbildung 1.3: Beispiel für Subtangente und Subnormale
4
1.5. ABLEITUNGEN UND ABLEITUNGSREGELN
1.5 Ableitungen und Ableitungsregeln
Potenzregel
(xn )0 = n · xn−1
f (x) = x5 ; f 0 (x) = 5 · x4
Merke: (x)0 = 1 · x0 = 1
Faktorregel, Summenregel Bei einer Summe können wir die Teile einzeln ableiten. Hat
eine Potenz von x einen konstanten Vorfaktor, so bleibt dieser bei der Ableitung bestehen.
Konstante Terme, die addiert werden, fallen bei Ableitungen weg, da eine Verschiebung der
Funktion keinen Einfluss auf die Steigung der Funktion hat.
(cxn + xl + a)0 = c · n · xn−1 + l · xl−1
f (x) = 5x3 + x2 + 12; f 0 (x) = 15x2 + 2x
Nützliche Ableitungen
1.
0
0
1
1
= x−1 = −x−2 = − 2
x
x
1 0 1 1 √
1
( x)0 = x 2 =
x− 2 = √
2
2 x
2. Trigonometrische Funktionen:
[sin(x)]0 = cos(x)
[cos(x)]0 = − sin(x)
Kettenregel Man betrachte eine Funktion als Verkettung von zwei Funktionen.
g(x) = u(v(x))
Beispiel:
g(x) = (1 + 3x)10 =⇒ v(x) = 1 + 3x ; u(v) = v 10
Man leitet g(x) folgendermaßen ab: Bilde die ersten Ableitungen von u und v; multipliziere
dann die Ableitung der äußeren Funktion (u(v)) mit der der inneren Funktion (v(x)).
u0 (v) = 10v 9 ; v 0 (x) = 3
=⇒ g 0 (x) = 10(3x + 1)9 · 3 = 30(3x + 1)9
Beispiele für die Kettenregel sind nicht nur hohe Polynome, sondern auch Funktionen wie
p
f (x) = sin(2x + 3) oder
h(x) = 3x2 + 4x + 1
5
KAPITEL 1. ANALYSIS I
Produktregel Mit der Produktregel lassen sich Produkte von Funktionen ableiten.
Dies ist an einem einfachen Beispiel gezeigt, was sich auch noch durch Ausmultiplizieren und
Anwenden der obigen Regeln lösen lässt. Die Anwendung der Produktregel erschwert dieses
Beispiel! Es sollte immer ein möglichst einfacher Weg gesucht werden: Wenn möglich, stets
die Potenz- oder Kettenregel anwenden!(Bei f (x) = sin(x)(x + 18) ist dies nicht möglich, hier
muss zwingend die Produktregel verwendet werden!)
f (x) = u(x) · v(x)
f 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x)
Kurz
f 0 = u0 v + uv 0
Beispiel
f (x) = (x3 + 17)(4x5 − 3)
f 0 (x) = 3x2 (4x5 − 3) + (x3 + 17)20x4 = 32x7 + 340x4 − 9x2
Quotientenregel Auch hier gilt: Wenn möglich eine Vereinfachung suchen und dann mit der
1
= g(x)−1 kann einfach abgeleitet werden!
Potenz- oder Kettenregel ableiten. Merke: g(x)
f (x) =
f 0 (x) =
u(x)
v(x)
u0 (x)v(x) − u(x)v 0 (x)
v 2 (x)
Kurz
u0 v − uv 0
v2
Ein möglichst einfaches Beispiel, was sich dennoch nicht so umformen lässt, um es mit der
Potenzregel abzuleiten (Hier fällt natürlich einiges weg, da u in diesem Fall 1 ist; die Ableitung
von 1 ist 0):
f 0 (x) =
f (x) =
f 0 (x) =
sin x
x+3
cos x · (x + 3) − 1 · sin x
(x + 3)2
Es empfiehlt sich, den Binom im Nenner stehen zu lassen. Dieser kann sich bei weiteren
Ableitungen leichter wegkürzen lassen.
Für das Beispiel
1
= (x + 3)−1
x+3
auf jeden Fall die Kettenregel anwenden!
6
1.6. REGELN VON DE L’HOSPITAL
1.6 Regeln von de l’Hospital
Die Regeln von de l’Hospital sind hilfreich bei folgender Problematik:
Bestimmung von Grenzwerten gegen unendlich für gebrochene Funktionen mit nichtrationalen Anteilen aber auch für die Bestimmung von Grenzwerten an einem Punkt, falls eine
gebrochene Funktion dort die Form 0/0 bzw ∞/∞ annehmen würde.
Beispiel:
1 − cos x
lim
x→0
sin x
Folgend sind nun die vier Regeln aufgeführt:
1. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→a v(x)
x→a v (x)
lim
wobei u(a) = v(a) = 0 ist. Außerdem muss gelten:
u(x) und v(x) sind in einer gemeinsamen Umgebung von x0 = a differenzierbar
und limx→a u(x)
v(x) existiert.
2. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→∞ v (x)
x→+∞ v(x)
lim
wobei limx→∞ u(x) = limx→∞ v(x) = 0 ist und limx→∞
u0 (x)
v 0 (x)
existiert.
3. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→a v(x)
x→a v (x)
lim
wobei limx→a v(x) = ∞ ist und limx→∞
u0 (x)
v 0 (x)
existiert.
4. Regel von de l’Hospital
u(x)
u0 (x)
= lim 0
x→∞ v (x)
x→+∞ v(x)
lim
wobei limx→∞ v(x) = ∞ gilt und limx→∞
u0 (x)
v 0 (x)
existiert.
Wir können jetzt unser Beispiel mit Hilfe der ersten Regel folgend lösen:
1 − cos x
x→0
sin x
lim
lim
x→0
1 − cos x
sin x
= lim
=0
x→0 cos x
sin x
7
KAPITEL 1. ANALYSIS I
1.7 Gebrochenrationale Funktionen
Gebrochenrationale Funktionen mit ausschließlich rationalen Anteilen liegen in der Form
f (x) =
g(x)
h(x)
vor, wobei g(x) eine Funktion n-ten Grades und h(x) eine Funktion m-ten Grades darstellt.
Der Definitionsbereich solcher gebrochen rationaler Funktionen ist:
D = R \ a|h(a) = 0
Also R ohne die Nullstellen des Nenners!
Stellen g(x) oder h(x) keine ganzrationalen Funktionen dar, so spricht man ebenfalls von
gebrochenrationalen bzw. gebrochenen Funktionen, die jedoch nichtrationale Anteile besitzen.
Ebenfalls gebrochen rationale Funktionen sind zum Beispiel:
f (x) =
ln x
x−3
Solche Funktionen müssen dann im speziellen Fall auf ihren Definitionsbereich untersucht
werden. Es gilt hier
D = Dz \ a|h(a) = 0
wobei Dz den Wertebereich der Zählerfunktion darstellt.
Der Wertebereich gebrochen rationaler Funktion ist mittels Betrachtung des Verhaltens im
Unendlichen limx→±∞ bzw. Ermitteln der Extrempunkte zu bestimmen!
Symmetrieeigenschaften Für die Symmetrie gebrochen rationaler Funktionen,
die als Zähler- und Nennerfunktion eine ganzrationale Funktion enthalten, gilt:
1. Sind g und h gerade Funktionen, so ist f ebenfalls eine gerade Funktion.
2. Sind g und h ungerade Funktionen, so ist f eine gerade Funktion.
3. Ist eine der beiden Funktionen g und h eine gerade Funktion, die andere eine ungerade
Funktion, dann ist f eine ungerade Funktion
4. Ist wenigstens eine der beiden Funktionen g und h weder gerade noch ungerade, so ist
auch f weder gerade noch ungerade.
Eine gerade Funktion enthält nur Potenzen xn , wobei n gerade ist. x0 gilt auch als gerader
Term. Eine ungerade Funktion enthält dementsprechend nur ungerade Potenzen von x.
Besteht eine gebrochen rationale Funktion aus zwei Funktionen, von denen höchstens eine
Funktion eine ganzrationale Funktion darstellt, so muss der Symmetrienachweis über die
allgemeine Beziehung erbracht werden! (siehe Beispiel zur Kurvendiskussion!)
8
1.7. GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN
Besondere Stellen Wichtige Stellen einer gebrochen rationalen Funktion sind die Nullstellen
des Zählers und Nenners. Liegt uns eine gebrochen rationale Funktion der Form:
f (x) =
g(x)
h(x)
vor, so ist:
• a eine Nullstelle von f , falls g(a) = 0 und h(a) 6= 0
• a eine Polstelle von f , falls h(a) = 0 und g(a) 6= 0
An Polstellen ist der Grenzwert der Funktion ±∞.
• a eine Definitionslücke, falls g(a) = h(a) = 0
Besitzt die Funktion einen Limes, also existiert
lim f (x) = c,
x→a
so kann die Definitionslücke der Funktion in a “behoben” werden. Man definiert die
Ersatzfunktion als
(
f für alle x ∈ D x 6= a
f ∗ :=
c x=a
Diese Bezeichnungen gelten auch noch, falls g(x) keine rationale Funktion ist, also z.B. im
Fall
sin x
f (x) =
x−1
Asymptoten Drei Fälle sind zu unterscheiden für f (x) =
xn ....
xm ......
1. limx→∞ f (x) = 0 falls n < m
2. limx→∞ f (x) = c falls n = m, Asymptote y = c
3. limx→∞ f (x) = ∞ falls n > m
Die Asymptote einer gebrochen rationalen Funktion im letzteren Fall kann durch Polynomdivision gefunden werden. Hierbei wird der Zähler durch den Nenner der Funktion dividiert.
Sobald das Ergebnis einen gebrochen rationalen Term als Summand aufweist, kann die Division abgebrochen werden. Der ganzrationale Teil der Polynomdivision ist die Gleichung der
Asymptote.
Für gebrochen rationale Funktionen mit nichtrationalen Anteilen muss Zähler und Nenner
untersucht werden, außerdem sind die Regeln von de l’Hospital zu beachten!
9
KAPITEL 1. ANALYSIS I
1.8 Kurvendiskussionen
1.8.1 Muster für die KVD
Vorgehen bei einer Kurvendiskussion:
1. Bilde die ersten drei Ableitungen
2. Definitionsbereich/Wertebereich (insb. bei gebr. rationalen Funktionen
bzw. e/ln-Funktionen!) bestimmen
3. Untersuchen der Funktion auf:
a) Symmetrieeigenschaften
b) Schnittstellen mit den Achsen
c) Polstellen, Definitionslücken
d) Extremstellen
e) Wendepunkte
f) Verhalten für limx→±∞ f (x) bzw. gegen die Polstelle(links- und rechtsseitig)
4. Tabelle und Graph
Wichtige Begriffe
1. Tangente
Berührt die Funktion in einem Punkt. Steigung der Tangenten an die Stelle x = a durch
f 0 (a).
2. Normale
Senkrechte zur Tangenten. mn = − m1t
3. Wendetangente
Tangente an die Funktion im Wendepunkt von f.
1.8.2 Stetigkeitsnachweis
Der Nachweis für die Stetigkeit einer Funktion besteht darin zu zeigen, dass es für jede beliebige Stelle x0 des Definitionsbereiches einen Funktionswert gibt, sowie einen Grenzwert der
Funktion in x0 . Sind diese identisch, so ist die Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich.
Eine Funktion ist stetig behebbar, wenn an der Stelle x0 zwar kein Funktionswert existiert, der Grenzwert jedoch mit dem Funktionswert der Ersatzfunktion übereinstimmt, die
Ersatzfunktion stetig ist und im restlichen Definitionsbereich die Funktion selbst beschreibt,
Beispiel:
x(x + 1)
x2 + x
f (x) =
=
x+1
x+1
Ersatzfunktion
f ∗ (x) = x
lim f (x) = −1 = f ∗ (−1)
x→−1
10
1.8. KURVENDISKUSSIONEN
1.8.3 Scharen
Unter Funktionsscharen sind Funktionen zu verstehen, die einen Parameter enthalten, welcher
feste Werte annehmen kann. Beispiel:
ft (x) = x2 + tx + 4; t ∈ R
Je nachdem, welchen Wert t annimmt, ändert sich die Lage der Kurve im Koordinatensystem.
Aus einer solchen Schar kann man nun einzelne Funktionen herausgreifen:
f3 (x) = x2 + 3x + 4
Ebenso kann man die ganze Schar auf Extrema usw. untersuchen.
Ortskurve Die Ortskurve ist die Kurve einer Funktionsschar, auf der alle markanten Punkte
der Schar liegen. So gibt es eine Ortskurve der Wendepunkte oder z.B. auch eine Ortskurve
der Maxima einer Kurvenschar. Die Ortskurve kann gefunden werden, indem der Parameter
in den Koordinaten des Punktes der Schar eliminiert wird. Beispiel für eine Ortskurve der
Wendepunkte:
t t2
Wt (ln( )/ )
2 4
t
x = ln( )
2
Nach t auflösen
t
ex =
2
t = 2 · ex
in die y-Koordinate einsetzen
y=
y=
t2
4
(2ex )2
= e2x
4
Dies ist die Ortskurve der Wendepunkte.
11
KAPITEL 1. ANALYSIS I
1.8.4 Finden der Umkehrfunktion
Erinnerung : Die Umkehrfunktion f¯ einer Funktion f ist diejenige Funktion, die angewendet
auf f (a) wieder den Wert a ausgibt. Also
f¯(f (a)) = a
Beispiele:
√
x
f (x) = x2
f¯(x) =
f (x) = ex
f¯(x) = ln x
Um die Umkehrfunktion f¯ zu einer Funktion f zu finden, gibt es zwei mögliche Wege.
1. Nach x auflösen, danach die Variablen x und y vertauschen
2. oder umgekehrt: Zuerst vertauschen und dann nach y auflösen.
Finde nun die Umkehrfunktion an einem Beispiel:
f (x) = ex
y = ex
Vertausche die Variablen
x = ey
ln x = y
f¯(x) = ln x
Dies war ein einfaches Beispiel, um die Vorgehensweise zu verdeutlichen.
Oftmals wird die Umkehrfunktion auch mit f −1 bezeichnet. Man darf dies allerdings dann
1
nicht mit f (x)
verwechseln!
Trigonometrische Umkehrfunktionen Man nennt die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus und Tangens die Arcus-Funktionen. Auf dem Taschenrechner sind diese oft mittels
sin−1 ,cos−1 ,tan−1 bezeichnet. Wir bezeichnen sie als:
• Arcus-Sinus : arcsin(x)
• Arcus-Cosinus : arccos(x)
• Arcus-Tangens : arctan(x)
12
1.8. KURVENDISKUSSIONEN
1.8.5 Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion über Verlauf finden
Eine Parabel 3.Ordnung berührt die x-Achse bei 2 und schneidet die y-Achse bei 5; sie hat
außerdem ein Maximum bei x=4.
Wir lesen den Satz jetzt Schritt für Schritt:
Parabel 3.Ordnung bedeutet: Größter Exponent ist x3 . Das bringt uns auf die allgemeine
Gleichung:
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
Wobei a, b, c, und d Parameter sind, die wir noch zu ermitteln haben. Wir brauchen jetzt
Informationen über die Funktion um Gleichungen aufstellen zu können, die wir dann lösen
können.
Bilde zunächst die ersten zwei Ableitungen, da diese später auch als Gleichungen gebraucht
werden können.
f 0 (x) = 3ax2 + 2bx + c
f 00 (x) = 6ax + 2b
Nun lesen wir aus dem Text folgende Bedinungen ab:
• Die Funktion berührt die x-Achse bei x=2.
• Die Funktion schneidet die y-Achse bei y=5.
• Die Funktion hat ein Maximum bei x=4.
Daraus sind folgende Gleichungen abzuleiten:
• f (2) = 0 und f 0 (2) = 0
• f (0) = 5
• f 0 (4) = 0
Nun ist aus den Beziehungen ein Gleichungssystem aufzustellen.
f (0) = 5. => d = 5
0 = 8a + 4b + 2c + 5
0 = 12a + 4b + c
0 = 48a + 8b + c
Es bietet sich jetzt an, die beiden letzten Gleichungen jeweils nach c zu lösen und gleichzusetzen, und so einen Parameter in Abhängigkeit eines anderen zu bestimmen:
−12a − 4b = −48a − 8b
36a = −4b
b = −9a
13
KAPITEL 1. ANALYSIS I
Nun kann man auch c in Abhängigkeit von a bestimmen.
c = −12a + 36a = 24a
In die erste Gleichung setzen wir nun die Parameter ein und erhalten dann für a einen Wert
0 = 8a − 36a + 48a + 5
−20a = 5
5
1
a=− =−
20
4
Bestimme b und c
45
9
=−
20
4
120
c=−
= −6
20
b=
Damit kommen wir zur Gleichung
9
1
f (x) = − x3 + x2 − 6x + 5
4
4
welche die gewünschten Parameter erfüllt.
Achtung Es gibt Fälle, in denen sich die Bedingungen eigentlich gegenseitig ausschließen! Es
kann vorkommen, dass man zwar eine Parabel 3. Grades fordert, als rechnerisches Ergebnis
aber eine konstante Funktion erhält. Es empfiehlt sich, die Bedingungen vorher zu prüfen!
Beispiel: Gesucht ist eine Parabel 3. Grades mit einer Wendestelle bei x = 2 einem Hochpunkt bei x = 5 und einem Tiefpunkt T (1/5).
Hier ist es so, dass die Rechnung die konstante Funktion y = 5 ergibt. Dies liegt, dass
die Bedingungen unvereinbar sind. Betrachten wir uns die Ableitung der gesuchten Parabel,
so ist dies eine quadratische Funktion. Übertragen wir Wendepunkt bzw. Extrema auf die
Ableitung erhalten wir eine quadratische Funktion mit Scheitel bei x = 2 und Nullstellen bei
x = 1 und x = 5. Dies ist nicht möglich, da quadratische Parabeln stets zur senkrechten Achse
durch ihren Scheitel achsensymmetrisch sind.
Parabel n-ter Ordnung
schneidet die x-Achse bei k
schneidet die y-Achse bei b
berührt die x-Achse bei a
berührt den Graphen g bei x = c
Schneidet den Graphen g bei x = c
Wendepunkt bei w
Min/Max bei x = j
Wendetangente hat die Steigung mw
n als größter Exponent von x in f
Nullstelle f (k) = 0
y-Achsenabschnitt => f (0) = b
f (a) = 0, und f 0 (a) = 0
f (c) = g(c) und f 0 (c) = g 0 (c)
Unterschiedliche Steigungenf (c) = g(c)
f 00 (w) = 0, Notw. Bed. für Wendepunkt
f 0 (j) = 0, Notw. Bed. für Extrempunkt
f 0 (xw ) = mw
Tabelle 1.1: Mathematische Eigenschaften einer Funktion bei gegebenen Bedinungen
14
2 Analysis II
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit einer zentralen Fragestellung der Analysis und zwar
mit dem umgekehrten Prozess im Vergleich zur Ableitung.
Ziel ist es, den Integralbegriff kennenzulernen und zu verstehen und den Zusammenhang
zwischen Differentiation und Integration über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hervorzuheben.
Es gibt, wie bei der Differentiation auch, viele verschiedene Interpretationen des Integrals.
Um das Integral kennenzulernen, wählen wir hier ebenso den geometrischen Weg. Dies führt
uns auf die Frage, wie man die Fläche unterhalb einer Kurve berechnen kann, etwas, das wir
mit den Mitteln aus der Mittelstufe nicht exakt können.
15
KAPITEL 2. ANALYSIS II
2.1 Herleitung des Integrals
Die Integration ist eine Summation mit anschließendem Grenzwertprozess. Das Integralzeichen ist das Formelzeichen für die Summierung mit anschließendem Grenzwertprozess. Die
Herleitung des Integrals ist über Ober- oder Untersumme(Riemann-Summen) möglich. Hierbei werden unter der Funktion Rechtecke gebildet, deren Breite ∆x gegen 0 strebt. Man
erhält so schließlich den Inhalt der Fläche unter der Funktion. Allgemein werden so für die
Obersumme Rechtecke gebildet und summiert und man erhält:
S n = ∆x · f (∆x) + ∆x · f (2∆x) + ... + ∆x · f (n∆x)
Man startet bei dieser Herleitung also zunächst bei x = 0 als linker Grenze, wobei man die
Strecke zur rechten Grenze b (b > 0) in n Teilstücke unterteilt. Für das Bestimmen der Fläche
läuft diese Anzahl n der Teilstücke gegen unendlich. Die Summation der Untersumme verläuft
an sich gleich, jedoch ist das letzte Glied der Untersumme das (n − 1)te Glied und nicht das
n-te Glied. Es gilt stets S n < I < S n .
Abbildung 2.1: Näherung der Fläche über Riemann-Summe
16
2.1. HERLEITUNG DES INTEGRALS
Beispiel für die Berechnung der Fläche unter einer Funktion mittels Obersumme in den
Grenzen von 0 bis b:
b
f (x) = x2
∆x =
n
b
b
2b
b
n·b
b
+ ·f
+ ... + · f
Sn = · f
n
n
n
n
n
n
Einsetzen in f :
Sn =
Klammere nun
b3
n3
b b2
b 4b2
b 9b2
b
· 2 + · 2 + · 2 + ... + · b2
n n
n n
n n
n
aus:
b3 · 1 + 4 + 9 + . . . + n2
3
n
Die Summe der Quadratzahlen kann man explizit umformen. Bilde dann den Grenzwert:
3
3
b 2n2 + 3n + 1
b n(n + 1)(2n + 1)
= lim
lim
·
·
n→∞ n2
n→∞ n3
6
6
3 2
2b n + 3b3 n + b3
= lim
n→∞
6n2
3
2b
3b3
b3
1
= lim
+
+ 2 = b3
n→∞
6
6n
6n
3
Sn =
3
3
b
,da die beiden Brüche 3b
6n und 6n2 für immer größer werdendes n gegen 0 gehen.
Den hier abgelaufenen Prozess schreiben wir nun kürzer als:
Z b
1
f (x) dx = b3
3
0
Dabei zeigt uns das Integralzeichen die Summation mit anschließendem Grenzwertprozess an.
Hierfür steht ebenfalls das dx, welches uns auch die Variable angibt, über die integriert wird.
Bevor wir jetzt auf die Flächenberechnung zurückkommen, dort gibt es noch einiges zu
beachten, führt uns das Beispiel zu einem wichtigen Zusammenhang.
Betrachten wir nämlich erneut unser Beispiel, wobei wir als Variable t schreiben, f (t) = t2
und bestimmen einmal die Fläche in den Grenzen von 0 bis x, wobei x ebenfalls variabel sein
soll, so können wir die sog. Integralfunktion für die untere Grenze 0 bilden:
Z x
1
I0 (x) =
f (t)dt = x3
3
0
Wir müssen als Integrationsvariable t setzen, damit es keine Kollision mit der Variablen für
die obere Grenze gibt.
Betrachten wir uns nun einmal
1
I0 (x) = x3
3
f (x) = x2 ,
so sehen wir, dass
I00 (x) = f (x)
gilt. Dies ist in der Tat ein wichtiger Zusammenhang, welcher im Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung festgehalten ist:
17
KAPITEL 2. ANALYSIS II
2.1.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt den Zusammenhang zwischen
Differenzieren und Integrieren her.
Rb
1. Ist die Funktion f stetig, so ist die Ableitung der Integralfunktion x → a f dx gleich
der Integrandenfunktion f .
2. Die Funktion f sei auf einem IntervallRI stetig und a ∈ I.
x
Dann ist die Integralfunktion Ia (x) = a f (t)dt auf I differenzierbar und es gilt:
Ia0 (x) = f (x)
3. Ist die Funktion f auf einem Intervall I stetig und F eine Stammfunktion von f , dann
gilt für alle a ∈ I, b ∈ I
Z b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
2.1.2 Stammfunktion
Eine Stammfunktion F (x) einer Funktion f (x) erhält man bei der Integration von f (x). Leitet
man diese Stammfunktion ab, so erhält man wieder die Ursprungsfunktion!
Es gibt niemals eine bestimmte Stammfunktion, sondern stets eine Schar von Stammfunktionen, da
F 0 (x) = f (x)
3
Es sei f (x) = x2 . So kann F (x) = x3 sein, da F 0 (x) = f (x) gilt.
3
Ebenso kann aber F (x) = x3 + 4 sein, da der konstante Term beim Ableiten wegfällt.
f (x) = x2
x3
+ c|c ∈ R
3
Stellt dann eine Schar von Stammfunktionen zu f (x) dar.
Wir kehren nun zur eigentlichen Fragestellung zurück und beschäftigen uns jetzt noch
einmal intensiver mit der Flächenberechnung. Zuvor können wir aus der Herleitung einige
Regeln ableiten:
F (x) =
18
2.2. FLÄCHEN BERECHNEN
2.1.3 Regeln für das bestimmte Integral
1. Summenregel
Z
b
Z
b
Z
a
a
a
b
g(x)dx
f (x)dx +
[f (x) + g(x)]dx =
2. Faktorregel
b
Z
b
Z
c · f (x)dx = c ·
f (x)dx
a
a
3. Regel der Intervalladditivität(a < c < b)
Z
b
Z
f (x)dx =
a
c
Z
f (x)dx +
a
4.
Z
b
f (x)dx
c
Z
f (x)dx = −
a
b
a
f (x)dx
b
Die letzte Regel können wir geometrisch nur schlecht erklären. Wir müssen sie an dieser Stelle
hinnehmen.
2.2 Flächen berechnen
Um den Flächeninhalt zu bestimmen, muss man eine Stammfunktion von f bilden und dann
die Werte a und b einsetzen, wobei man F (a) von F (b) subtrahieren muss.
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Wir können uns diesen Vorgang anhand der Herleitung so erklären: Wir nehmen die Fläche
von 0 bis b. Nun haben wir aber das Stück von 0 bis a zu viel, also ziehen wir dieses wieder
ab. So kommen bei den Integralfunktionen Ia (x) auch die additiven Konstanten zustande.
Wir müssen jetzt einiges beachten. Wir haben oben stillschweigend zunächst a < b vorausgesetzt. Dies ist auch in Ordnung, wir können immer die kleinere Grenze als untere Grenze
wählen, notfalls wenden wir Regel 4 an. Bei Regel 4 sieht man aber direkt auch ein Problem.
Das Integral kann negative Werte annehmen!
Wie ist das nun mit der Vorstellung eines Flächeninhalts vereinbar?
Merke: Der Flächeninhalt einer Kurve zwischen zwei Grenzen und der x-Achse ist der Betrag des Integrals der Funktion zwischen diesen Grenzen! Hierbei darf die Funktion keine
Nullstellen zwischen den Grenzen besitzen!
Besitzt die Funktion im Intervall [a : b] eine Nullstelle bei x = c, so teilen wir das Intervall
auf, gemäß der Regel 2 und integrieren jeweils einzeln und bilden auch jeweils die Beträge!
19
KAPITEL 2. ANALYSIS II
Beispiel: f (x) = sin(x)
Es sei hier einmal vorgegeben, dass F (x) = − cos(x) eine Stammfunktion zu f ist. Dies
stellen wir später noch einmal zusammen.
Berechnet man nun das Integral von 0 bis 2π, so erhält man:
Z 2π
sin(x) dx = − cos(2π) + cos(0) = −1 + 1 = 0
0
Die eingeschlossene Fläche ist aber keineswegs 0! Woran liegt das also?
Die Fläche, welche die Sinuskurve oberhalb der x−Achse einschließt ist genauso groß
wie die Fläche, die sie unterhalb einschließt. Diese Anteile heben sich so beim Integrieren
vollständig auf. Um die Fläche zu bestimmen, müssen wir hier rechnen:
Z
A = 0
π
Z
sin(x) dx + 2π
π
sin(x) dx = |− cos(π) + cos(0)| + |− cos(2π) + cos(π)| = 2 + 2 = 4
Somit ist der Flächeninhalt 4 Flächeneinheiten groß.
2.2.1 Fläche zwischen zwei Kurven
20
2.3. UNBESTIMMTES INTEGRAL
2.3 Unbestimmtes Integral
Man kann ein Integral einer Funktion schreiben, ohne die Grenzen zu bezeichnen. In diesem
Fall sprechen wir von einem unbestimmten Integral. Unbestimmte Integrale können nur in
Bezug auf das Ermitteln einer Stammfunktion gelöst werden.
Wir erhalten stets eine Schar von Stammfunktionen. Unbestimmte Integrale spielen nicht
bei konkreten Anwendungen des Integrals, wohl aber bei Differentialgleichungen eine wichtige
Rolle.
Ist es das Ziel, eine Stammfunktion von f zu bestimmen, so bildet man das unbestimmte
Integral. Sucht man eine beliebige Stammfunktion und nicht die ganze Schar, so kann man
die additive Konstante stets auf 0 setzen. Dies ist am Bequemsten.
2.4 Integrationsregeln
Ähnlich zum Differenzieren gibt es Regeln, bestimmte Funktionen zu integrieren:
2.4.1 Integration von Potenzfunktionen
Potenzfunktionen werden nach folgender Formel integriert:
Z
Z
xn+1
a · xn = a · xn = a ·
n+1
Beispiel:
Z
3
Z
2
(x − 2x + 3x − 7)dx =
=
3
x dx − 2
Z
2
x dx + 3
Z
Z
xdx − 7
1dx
x4 2x3 3x2
−
+
− 7x + c
4
3
2
Wobei Faktor- bzw. Summenregel angewendet werden. Merke: Aus x0 wird beim Integrieren
x1 ! Konstante Terme fallen also nicht weg wie beim Differenzieren!
Diese
Formel ergibt sich aus der Umkehrung der Potenzregel für das Differenzieren
xn+1
n+1
0
= xn
21
KAPITEL 2. ANALYSIS II
2.4.2 Integration durch Substitution
Bei der Integration durch Substitution wird bei verketteten Funktionen eine der Funktionen
ersetzt, sodass eine Integration leichter möglich wird. Dies ist sozusagen das Pendant zur
Kettenregel beim Ableiten. Man muss darauf achten, dass man bei der Substitution auch die
Integrationsgrenzen, so es sich um ein bestimmtes Integral handelt, ändert.
Beispiel:
Z b
(2x + 5)8 dx
u(x) = 2x + 5
a
Man kann jetzt schreiben:
b
Z
u8 dx
a
Nun soll aber unsere Integration nicht über x, sondern über u gehen. Damit wird dies erreichen
können, müssen wir durch die Ableitung von u(x) dividieren, wie man sich anhand einer
Merkregel verdeutlichen kann:
du
u0 (x) =
=2
dx
du
du
=⇒ dx = 0
=
u (x)
2
Jetzt können wir das Integral also umschreiben, dabei achten wir auf die Grenzen:
Z
u(b)
u(a)
u8
du =
u0
Z
u(b)
u(a)
9 u(b)
u8
u
du =
2
18 u(a)
Jetzt Rücksubstitution:
=
(2x + 5)9
22
b
a
Merke:
mit u(x) = f (x)
Z
0
f (x) · g(f (x))dx =
Z
g(u)du
Finden wir also ein solches Produkt vor, bei dem die Ableitung von dem Term, den wir
substituieren wollen, bereits vorne steht, können wir direkt ausrechnen, z.B.:
Z
Z
p
√
2
udu
2x · x − 5 dx =
mit u = x2 − 5
Zwei Wege Man kann bei der Substitution entweder am Schluss für u den alten Termen
wieder einsetzen (Rücksubstitution) und dann mit den alten Grenzen ausrechnen oder, wenn
das bequemer ist, u stehen lassen und mit den Grenzen u(a) und u(b) das Integral ausrechnen.
22
2.5. UNEIGENTLICHES INTEGRAL
2.4.3 partielle Integration
Die partielle Integration wird zur Integration von Produkten von Funktionen genutzt. Ohne
Herleitung geben wir die Formel an
Z
Z
[u0 (x) · v(x)]dx = u(x) · v(x) + [u(x) · v 0 (x)]dx
Ähnlich wie bei Produkt- und Quotientenregel gilt auch bei der partiellen Integration: Wenn
möglich durch Umformen Integration durch Substitution anwenden!
2.5 uneigentliches Integral
Beim uneigentlichen Integral ist mindestens eine der zwei Integrationsgrenzen ±∞. Mit ±∞
als Grenze kann man über der Funktion nicht integrieren. Daher wird diese Grenze substituiert. Man wählt als Grenze z und integriert nun über der Funktion. Danach z → ∞. Beispiel
Z +∞
1
dx
2
x
1
Setze die obere Grenze zunächst mit z und integriere über der Funktion
Z z
1
1
1 z
=− +1
dx
=
−
2
x
x
z
1
1
Bilde nun den Limes für z → +∞
1
lim − + 1 = 1
z→+∞
z
Also ist
Z
1
+∞
1
dx = 1
x2
23
KAPITEL 2. ANALYSIS II
2.6 Drehvolumina
Das Drehvolumen einer Funktion um die x-Achse in den Grenzen a und b kann folgendermaßen
bestimmt werden: Erneut bilden wir wie bei der Flächenberechnung sehr kleine Teilstücke, die
wir summieren, jedoch lassen wir diese Teilstücke um die x-Achse rotieren, daher summieren
wir nicht Streifen sondern Kreisflächen auf. Für die Kreisfläche gilt
A = π · r2
Der Radius des Kreises ist in diesem Fall der Funktionswert des Teilstücks ∆x.
Vx = π · (f (∆x))2 + π · (f (2 · ∆x))2 + ... + π · (f (n · ∆x))2
Da wir anschließend einen Grenzwertprozess für ∆x → 0 durchführen, lässt sich auch hier
wieder das Integral schreiben, wobei π als konstanter Faktor ausgeklammert werden kann.
Daher ist das Rotationsvolumen um die x-Achse definiert als:
Z b
Vx = π ·
f (x)2 dx
a
Drehvolumen um die y-Achse Um das Drehvolumen um die y-Achse von einer Funktion zu
bestimmen, müssen wir die gleiche Formel anwenden, aber diesmal mit der Umkehrfunktion!
Z
Vy = π ·
a
24
b
f¯(x)2 dx
2.7. ZUSAMMENSTELLUNG VON ABLEITUNGEN UND
STAMMFUNKTIONEN
2.7 Zusammenstellung von Ableitungen und Stammfunktionen
Trigonometrische Funktionen
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
Daraus folgt für die Integration:
Z
cos xdx = sin(x) + c
Z
sin xdx = − cos(x) + c
Wurzelfunktion Wende Potenzschreibweise an:
√
3
Z
√
√
1
2x 2
2 x3
x = x 2 =⇒
xdx =
+c=
+c
3
3
natürlicher Logarithmus Es gilt:
1
ln x0 =
x
Z
1
=⇒
dx = ln |x| + c
x
Sowie
Z
ln xdx = x · ln x − x + c
Z
=⇒
ln(cx)dx =
1
· (cx · ln(cx) − cx) + k
c
Mit der Substitution cx = u
natürliche Exponentialfunktion Es gilt für f (x) = ex :
f 0 (x) = ex
Z
=⇒ ex dx = ex + c
25
KAPITEL 2. ANALYSIS II
2.8 Näherungsverfahren
Um das Ergebnis einer Integration näherungsweise zu überprüfen, bzw. Integrale, deren Berechnung durch einfache Mittel nicht zu erreichen ist, anzunähern, gibt es unterschiedliche
numerische Näherungsverfahren. Bei der Sehnentrapezregel werden statt Rechtecken unter
der Kurve Trapeze aufgespannt. Bei der Tangententrapezregel werden statt Sehnen Tangenten an die Funktion als Kanten für die Trapeze verwendet.
2.8.1 Sehnentrapezregel
Sn =
b−a
· (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn−1 + yn )
2n
2.8.2 Tangententrapezregel
Tn =
2 · (b − a)
(y1 + y3 + ... + yn−1 )
n
2.8.3 Simpsonregel(n gerade)
Die Simpsonregel ergibt sich aus der Kombination von Sehnentrapezregel und Tangententrapezregel, wobei die STR doppelt gewichtet wird.
1
Kn = (2Sn + Tn )
3
Nach Umformen:
Kn =
b−a
[(y0 + yn ) + 4 · (y1 + y3 + ... + yn−1 ) + 2 · (y2 + y4 + ... + yn−2 )]
3n
2.8.4 Keplersche Fassregel
b−a
(y0 + 4y1 + y2 )
6
Die Keplersche Fassregel kann benutzt werden, um das Ergebnis einer Integration zu überprüfen:
b−a
; y2 = f (b)
y0 = f (a); y1 = f
2
K2 =
26
2.8. NÄHERUNGSVERFAHREN
Beispiel für die Näherung eines Integrals:
Z 4p
x3 + 1dx
0
Wähle n = 8. Daher ergibt sich für die Breite ∆x = 0, 5. Es ergeben sich die y-Werte:
p
y0 = 0 3 + 1 = 1
p
y1 = 0, 53 + 1 = 1, 06
usw. bis
y8 =
p
√
43 + 1 = 65 = 8, 06
Anwendung der Sehnentrapezregel:
S8 =
√
4 · 1 + 2 · 1, 06 + 2 · 2 + ... + 2 · 6, 62 + 8, 06 = 14, 045
8
Anwendung der Tangententrapezregel:
T8 = 1 · (1, 06 + ... + 6, 62) = 13, 85
Simpsonregel:
1
Kn = (2Sn + Tn )
3
1
Kn = (2 · 14, 045 + 13, 85) = 13, 983
3
Keplersche Fassregel:
K2 =
4
· (1 + 3 + 8, 06) = 14, 041
6
27
KAPITEL 2. ANALYSIS II
2.9 Aufgaben zur Analysis I und II
Diese Übungsaufgaben sind zum Teil Rechenaufgaben und zum Teil auch Argumentieraufgaben, mit denen man den behandelten Stoff vertiefen kann.
28
3 Analysis III
3.1 Bogenlänge einer Funktion
Die Bogenlänge einer Funktion zwischen zwei Grenzen a und b kann auf ähnliche Weise bestimmt werden wie die Fläche unter der Kurve. Die Berechnung der Bogenlänge setzt sich
ebenfalls aus einer Summation und einem anschließenden Grenzwertprozess zusammen, wobei jetzt allerdings nicht die Flächen von kleinen Rechtecken unter der Funktion addiert
werden, sondern die Längen von Dreieckshypothenusen. Die Länge des Bogens wird hierzu
in Teilstücke getrennt. Die kleinen rechtwinkligen Dreiecke sind jeweils die Steigungsdreiecke
zwischen zwei Punkten P und Q bzw. Q und R usw. Im Verlaufe des Grenzwertprozesses
werden die Strecken zwischen den Punkten immer kleiner. Das bedeutet: Der Bogen wird in
immer mehr, immer kleinere Teilstücke unterteilt. Aus den Sehnenstücken - den Strecken P¯Q
- werden Tangentenstücke bzw. schließlich nur noch Punkte für limn→∞ mit n als Anzahl der
Teilstücke.
Abbildung 3.1: Näherung der Bogenlänge einer Funktion
29
KAPITEL 3. ANALYSIS III
Die Länge des Sehnenstücks P¯Q beträgt,
wobei P (x0 /f (x0 )) und Q(x0 + ∆x/f (x0 + ∆x)) gegeben sind:
p
P¯Q = (∆x)2 + (∆y)2
Klammere (∆x)2 aus:
s
P¯Q =
(∆x) · (1 +
∆y
∆x
s
∆l = lim  (∆x)2 · (1 +
∆x→0

s
∆l = lim ∆x
∆x→0
(1 +
2
)
∆y
∆x
∆y
∆x

2
)

2
)
Da der Mittelwertsatz der Differentialrechnung gilt:
h p
i
∆l = lim ∆x 1 + f 0 (x)2
∆x→0
Wird nun summiert und geht ∆x → 0 so erhalten wir:
lBogen = lim
∆x→0
lBogen =
b p
X
1 + f 0 (x)2 · ∆x
xi =a
Z bp
1 + f 0 (x)2 dx
a
30
!
3.2. MANTELFLÄCHE DES ROTATIONSKÖRPERS
3.2 Mantelfläche des Rotationskörpers
Um die Mantelfläche des Rotationskörpers bestimmen zu können, müssen wir anstatt der
Länge der Hypothenusen der Sehnendreiecke die Mantelflächen der Kegelstümpfe summieren,
die wir erhalten, wenn wir das Sehnenstück um die x-Achse rotieren lassen. Erneut wählen wir
die Punkte P (xo /f (x0 )) und Q(x0 + ∆x/f (x0 + ∆x)). Die allgemeine Formel zur Berechnung
der Mantelfläche eines Kegelstumpfes lautet:
M = π · s̄(r1 + r2 )
Wobei r1 der größere der beiden Radien und s̄ die Länge der Mantellinie ist.
Abbildung 3.2: Näherung der Mantelfläche des Rotationskörpers
31
KAPITEL 3. ANALYSIS III
Diese Größen entsprechen bei unserem Kegelstumpf folgenden Werten:
r1 = f (x0 + ∆x)
r2 = f (x0 )
s̄ = P¯Q
s̄ ist also gerade die Bogenlänge zwischen P und Q, wenn ∆x gegen 0 strebt. Daher ist die
Mantelfläche zunächst:
p
Mi = π · (∆x)2 + (f (xi + ∆x) − f (xi ))2 · (f (xi ) + f (xi + ∆x))
Nun summieren wir und bilden den Grenzwert:
" b
#
X p
M = lim
π · (∆x)2 + (f (xi + ∆x) − f (xi ))2 · (f (xi ) + f (xi + ∆x))
∆x→0
i=a
Z b p
M =π
f 0 (x)2 + 1 · 2f (x) dx
a
Z b p
M = 2π
f 0 (x)2 + 1 · f (x) dx
a
32
4 Gauß-Verfahren
Mit dem Gauß-Verfahren lassen sich Gleichungssysteme übersichtlich und effektiv lösen,
auch wenn diese mehr als 3 Variablen besitzen. Das Additionsverfahren stellt die Grundlage
für das Gauß-Verfahren dar, jedoch wird das Additionsverfahren bei 4 und mehr Gleichungen
sehr schnell sehr unübersichtlich.
Das Gauß-Verfahren ist nach folgendem System aufgebaut:
Es werden lediglich die Koeffizienten notiert, wobei alle Gleichungen derart aufgelöst sind, dass
auf der linken Seite die Variablen und auf der rechten Seite die konstanten Terme stehen.
An einem Beispiel soll das Erstellen eines Gauß-Systems erläutert werden:
3x − 4y + z + 8 = 12
(4.1)
−7x + 8y + 3z = −4
(4.2)
x+y−z+2 = 1
(4.3)
Aus den Gleichungen 1 bis 3 lässt sich nun ein Gauß-System aufstellen:
x
3
-7
1
y
-4
8
1
z
1
3
1
4
-4
-1
Dieses System wird nun folgendermaßen gelöst:
Es muss nun zur Lösung dieses System die sogenannte Stufenform hergestellt werden. Hierbei
werden die einzelnen Zeilen mit dem Additionsverfahren verknüpft, sodass neue Gleichungen
entstehen; die Gleichungen, welche nicht verändert werden, werden in das neue System übernommen. Ziel ist es, eine Gleichung zu erhalten, in der alle Variablen bis auf eine eliminiert
sind (Wert 0), sodass sich eine Variable eindeutig lösen lässt. Die Stufenform hat letztlich
deshalb ihren Namen, da mit jeder Zeile von oben nach unten eine 0 hinzukommt, sodass
man schließlich die letzte Gleichung lösen und immer weiter nach oben einsetzen kann, um
letztlich Lösungen für alle Variablen zu erhalten.
33
KAPITEL 4. GAUSS-VERFAHREN
Am vorliegenden Beispiel wird dies nun erläutert.
x
3
-7
1
y
-4
8
1
z
1
3
1
4
-4
-1
I − III
x
2
-7
1
y
-5
8
1
z
0
3
1
5
-4
-1
II − 3 · III
x
2
-10
1
y
-5
5
1
z
0
0
1
5
-1
-1
I + II
x
-8
-10
1
y
0
5
1
z
0
0
1
4
-1
-1
Die Stufenform ist nun quasi hergestellt, zur übersichtlichen Darstellung sortiert man nun
die Gleichungen um, dies ist bei einem kleinen System nicht zwingend erforderlich.
x y z
1
1 1 -1
-10 5 0 - 1
-8 0 0 4
Aus III ergibt sich nun x = −0, 5.
In II ergibt sich y = −1, 2
Diese Werte in I ergibt z = 0, 7
Führt man dies handschriftlich aus, so setzt man nicht stets eine neue Tabelle auf, sondern
zieht einfach unter der letzten Zeile einen Strich setzt die neuen Gleichungen unten an. Auch
kennzeichnet man die Anwendung des Additionsverfahrens durch Pfeile mit + und - Zeichen,
sodass erkennbar ist, was berechnet wurde. Somit fallen Zwischenzeilen und neues Tabellenaufsetzen weg und das System wird übersichtlich und kompakt.
Je nach Schwierigkeit des Gleichungssystems lassen sich innerhalb einer Zelle mehrere Additionen von Gleichungen durchführen, jedoch führt dies zur Verkomplizierung des System und
erhöht die Gefahr von Rechenfehlern.
34
4.1. SONDERFÄLLE
4.1 Sonderfälle
Es gibt zwei Sonderfälle, die in einem Gauß-System auftreten können:
1. homogenes System
Es entsteht eine Zeile, die ausschließlich Nullen enthält und zwar auf der Ergebnisseite
und auf der Seite der Koeffizienten. Ausgeschrieben bedeuten diese Nullen die Gleichung
0=0
Man nennt dieses System dann ein homogenes System. Ein solches homogenes System
besitzt unendlich viele Lösungen.
2. unlösbares System
Es entsteht eine Zeile, die auf der Koeffizientenseite ausschließen Nullen, auf der Ergebnisseite jedoch einen Term ungleich 0 enthält, diese Zeile stellt die Gleichung
0 = a|a 6= 0
dar. Tritt eine solche Zeile in einem Gauß-System auf, so hat dieses Gleichungssystem
keine Lösung!
35
5 Analytische Geometrie und lineare Algebra
5.1 Rechnen mit Vektoren
In jedem Vektorraum gelten folgende Gesetze:
1. Gesetze der Abelschen Gruppe
• Gesetz der Abgeschlossenheit
~a + ~b = ~c
Werden zwei Vektoren addiert, so entsteht ein neuer Vektor.
• Kommutativgesetz
~a + ~b = ~b + ~a
• Assoziativgesetz
~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c
• Gesetz des neutralen Elements
~a + ~0 = ~a
Der Nullvektor stellt das neutrale Element dar.
• Gesetz des inversen Elements
~a − ~a = ~0
~ Addiert man diese, erhält man
Zu jedem Vektor ~a gibt es einen Gegenvektor −a.
den Nullvektor.
2. Gesetze der S-Multiplikation
Bei der Multiplikation der Vektoren mit einem Skalar gilt:
• Ausmultiplizieren/Ausklammern I
(~a + ~b) · r = r~a + r~b
• Ausmultiplizieren/Ausklammern II
(r + s) · ~a = r~a + s~a
36
5.1. RECHNEN MIT VEKTOREN
5.1.1 Addieren/Subtrahieren von Vektoren
Man addiert/subtrahiert zwei Vektoren, indem man jeweils die Koordinaten
addiert/subtrahiert.
Beispiel:
    
  
3
1
3+1
4
 4 + 0 = 4+0 = 4 
1
6
1+6
7
Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar(reelle Zahl)
  
 

 
1
3·1
3
1







2
3·2
6
2 
3·
=
=
=3·
4
3·4
12
4
Man versucht die Koordinaten der Vektoren ganzzahlig und klein zu halten.
5.1.2 Betrag eines Vektors
Den Betrag eines Vektors bestimmt
natenquadrate zieht.


Konkret:
man, indem man die Wurzel aus der Summe der Koordi
a1 q
a2  = a21 + a22 + a23
a3  
2 √
√
 3  = 4 + 9 + 25 = 38
5 Man erhält den Einheitsvektor eines jeden Vektors, indem man den Vektor durch seinen
Betrag dividiert. Der Einheitsvektor hat den Betrag 1.
a~0 =
Konkret

2
~a =  3
5

1
a~0 = √ 
38
~a
|~a|

 , |~a| =
√
 
2

3 =
5
38
√2
38
√3
38
√5
38



Berechnet man nun von a~0 den Betrag, so erhält man logischerweise 1.
r
r
4
9
25
38
|a~0 | =
+
+
=
=1
38 38 38
38
37
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.2 Skalarprodukt zweier Vektoren
Mit dem Skalarprodukt lässt sich der Winkel zwischen zwei Vektoren ~a und ~b bestimmen. Es
gilt:
~a • ~b
cos α =
|~a| · |~b|
=⇒ ~a • ~b = |~a| · |~b| · cosϕ
sowie
~a • ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
Gesetze für das Skalarprodukt:
1.
~a • ~b = ~b • ~a
2.
(r · ~a) • ~b = r · (~a • ~b)
3.
(~a + ~b) • ~c = ~a • ~c + ~b • ~c
4.
~a • ~a ≥ 0; ~a • ~a = 0 nur für ~a = ~0
38
5.3. VEKTORPRODUKT(KREUZPRODUKT)
5.3 Vektorprodukt(Kreuzprodukt)
Durch das Vektorprodukt
~a × ~b = ~c
zweier Vektoren finden wir einen gemeinsamen Normalenvektor, das heißt einen Vektor ~c, der
zu beiden Vektoren ~a und ~b senkrecht steht. Es gilt für den neuen Vektor ~c
~c • ~a = 0
~c • ~b = 0
Hieraus ergibt sich nun das Kreuzprodukt in Kurzschreibweise:


a2 b3 − a3 b2
~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3  = ~c
a1 b2 − a2 b1
Zudem ist definiert:
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin α
aus der geometrischen Betrachtung und damit gilt
A = |~a × ~b|
für die Fläche des Parallelogramms, das durch die Vektoren ~a und ~b aufgespannt wird.
39
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.3.1 Satz des Kreuzprodukts
1.
~a × ~b = ~0; ~b = r · ~a
2.
~b × ~a = −~a × ~b
3.
~a × (~b + ~c) = ~a × ~b + ~a × ~c
4.
~a × (r · ~b) = r · (~a × ~b)
5.
~a × ~b • ~a = 0
~a × ~b • ~b = 0
Bestimme das Vektorprodukt zweier Vektoren ~a und ~b:


 
11
2
~a =  5  , ~b =  1 
4
3

 

20 − 3
17
~a × ~b =  33 − 8  =  25 
2 − 55
−53
Das Vektorprodukt ist bei einer Verknüpfung mit dem Skalarprodukt vorrangig, da sich aus
dem Vektorprodukt erneut ein Vektor ergibt. Aus dem Skalarprodukt ergibt sich eine reelle
Zahl; eine reelle Zahl im Kreuzprodukt mit einem Vektor zu verarbeiten ist nicht möglich!
Daher gilt: Kreuzprodukt vor Skalarprodukt!
5.3.2 Spatprodukt
Mit Hilfe von Skalar- und Vektorprodukt kann das Volumen eines Spats, der durch die Vektoren ~a, ~b, ~c aufgespannt wird, berechnet werden. Bilden die Vektoren ~aund ~b, die Grundseite,
so gilt gemäß der Regel zum Vektorprodukt:
G = |~a × ~b|
Die Raumhöhe des Spats ist gegeben durch
h = cos β · |~c|
Daher folgt für den Spat:
V = |(~a × ~b)| • ~c
40
5.4. LINEARE ABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN
5.4 Lineare Abhängigkeit von Vektoren
Zwei Vektoren sind dann linear voneinander abhängig, wenn sich ein Vektor als ein Vielfaches
des anderen Vektors darstellen lässt. Sind zwei Vektoren linear abhängig, nennt man sie auch
kollinear. Die Bedingung für die Kollinearität ist also:
~b = λ~a|λ ∈ R
Sind die Vektoren nicht voneinander abhängig, dann sind sie komplanar. Sie spannen eine
Ebene auf. Man kann zwei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Ist
λ~a + µ~b = ~0
nur für λ = µ = 0 erfüllt, dann sind die Vektoren ~a und ~b linear unabhängig. Andernfalls,
wenn einer der Parameter eine andere Lösung als 0 hat, sind sie linear abhängig. Ist für drei
Vektoren ~a, ~b, ~c die Gleichung
r~a + s~b + t~c = ~0
nur für r = s = t = 0 erfüllt, dann sind die Vektoren linear unabhängig, sie sind kollokal. Sie
spannen einen Raum auf.
Linear unabhängige Vektoren nennt man Basisvektoren des Vektorraums.
5.4.1 Bedingungen im 1-2-3 dimensionalen Vektorraum
• 1-dimensionaler Vektorraum Hier gilt: Jeder Vektor lässt sich als Linerkombination
des einzigen Basisvektors darstellen. Es gilt also für jeden Vektor ~b:
~b = r~a
• 2-dimensionaler Vektorraum Hier gilt: Jeder Vektor lässt sich als Linerkombination
der zwei Basisvektoren darstellen. Es gilt also für jeden Vektor ~c:
~c = r~a + r~b
• 3-dimensionaler Vektorraum Hier gilt: Jeder Vektor lässt sich als Linerkombination
~
der drei Basisvektoren darstellen. Es gilt also für jeden Vektor d:
d~ = r~a + r~b + t~c
41
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.5 Vektorräume
An dieser Stelle sei kurz auf Vektorräume eingegangen. Ein Vektorraum definiert sich durch
die Gesetze der Abelschen Gruppe und die der S-Multiplikation. Sind diese Gesetze auf alle
Elemente des Vektorraums anwendbar, so ist gezeigt, dass es sich um einen Vektorraum
handelt.
5.5.1 Vektoren spannen einen Vektorraum auf
Wenn z.B. zu zeigen ist, dass drei Vektoren den Vektorraum R3 aufspannen, so sind zwei
Dinge zu zeigen:
1. Die Vektoren müssen Basisvektoren darstellen. Die lineare Hülle der Vektoren, also
alle Vektoren, die Linearkombinationen der drei gegebenen Vektoren sind, müssen eine
Teilmenge des R3 darstellen. Also:
h
i
~a, ~b, ~c = u
u ⊆ R3
Dafür muss die lineare Unabhängigkeit der Vektoren gezeigt werden. Also:
λ~a + µ~b + ν~c = ~0
darf nur für λ = µ = ν = 0 erfüllt sein.
2. Nun ist noch zu zeigen, dass alle Vektoren des R3 ebenfalls in der linearen Hülle der
Basisvektoren enthalten sind.
R3 ⊆ u
Dafür muss ein beliebiger Vektor aus dem R3 genommen werden und durch eine Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.


x1
~x =  x2 
x3


x1
 x2  = λ~a + µ~b + ν~c
x3
ist diese Gleichung so lösbar, dass man λ, µ, ν durch x1 , x2 , x3 ausdrücken kann, so ist
gezeigt, dass die Vektoren ~a, ~b und ~c den R3 aufspannen.
42
5.6. GERADEN IM R3
5.6 Geraden im R3
Allgemeine Definition einer Geraden:
g : ~x = ~a + λ~u|λ ∈ R
Wobei ~a als Orts- oder Stützvektor der Geraden und ~u als Richtungsvektor der Geraden
bezeichnet wird.
5.6.1 Parameterdarstellung
Man kann Geraden im zweidimensionalen Raum auch als
x2 = mx1 + c
darstellen. Diese Form der Darstellung ist die Koordinatengleichungsform. Gleichungen dieser
Form lassen sich in die Parameterdarstellung umformen, indem man nach dem Schema
g : x2 = mx1 + c
0
1
+λ
g : ~x =
c
m
vorgeht, da der Richtungsvektor die Steigung der Geraden darstellt und der Ortsvektor zu
einem Punkt auf der Geraden führt. Beispiel:
x2 = 3x1 − 5
0
1
=> g : ~x =
+λ
−5
3
Man kann eine Parameterdarstellung einer Geraden zweidimensionalen Raum auch in die
Form x2 = mx1 + c bringen.
Die Steigung der3Geraden ergibt sich aus dem Richtungsvektor.
2
Ist dieser zum Beispiel 3 , so ist die Steigung 2 = 1, 5. Der Ortsvektor liefert uns einen Punkt
auf der Geraden. Mit diesem Punkt und m können wir c bestimmen. Beispiel:
1
1
g : ~x =
+r
2
4
4
=4
1
x2 = 4x1 + c
m=
Aus
1
2
folgt ein Punkt P der Geraden mit den KoordinatenP (1/2)
2 = 4 · 1 + c => c = −2
x2 = 4x1 − 2
Dreidimensionale Geraden können nur in Parameterform angegeben werden oder mit Hilfe
zweier Ebenengleichungen. Die Ebenen haben dann diese Gerade als Schnittgerade.
43
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.6.2 Lage von Geraden im Raum
Zwei Geraden können auf verschiedene Weise im Raum liegen. Sie können parallel liegen,
windschief liegen, einen Schnittpunkt haben oder identisch sein. Prüfverfahren, um die Lage
zweier Geraden zueinander zu ermitteln, ist entweder die Prüfung über die lineare Abhängigkeit, und/oder das Aufstellen eines Gleichungssystems:
Es seien
g : ~x = ~a + λ~u
h : ~x = ~b + µ~v
1. Fall: Geraden sind parallel
a) Prüfung über lineare Abhängigkeit
Sind zwei Geraden g und h parallel, so sind die Richtungsvektoren kollinear. Das
heißt:
~v = r~u
ist lösbar.
b) Prüfung mit Gleichungssystem
Sind die Geraden g und h echt parallel, so hat die Gleichung
~a + λ~u = ~b + µ~v
keine Lösung!
2. Fall: Geraden sind identisch
a) Prüfung über lineare Abhängigkeit
Sind zwei Geraden identisch, so sind sie zunächst ebenfalls parallel. Die Bedingung
der Parallelität gilt also auch hier. Es gilt aber für identische Geraden ebenfalls:
(~b − ~a) = r~u
Der Differenzvektor aus den beiden Ortsvektoren ist kollinear zu den Richtungsvektoren. Ist diese Gleichung erfüllt, so sind die Geraden identisch.
b) Prüfung mit Gleichungssystem
Sind die Geraden g und h identisch, so hat die Gleichung
~a + λ~u = ~b + µ~v
unendlich viele Lösungen!
3. Fall: Geraden sind nicht parallel
In diesem Fall müssen die Geraden zum Schnitt gebracht werden, um den Schnittpunkt
der Geraden zu ermitteln.
~a + λ~u = ~b + µ~v
Hat das Gleichungssystem eine Lösung, so kann durch Rückeinsetzen von λ bzw µ der
Ortsvektor des Schnittpunkts ermittelt werden.
Hat das Gleichungssystem keine Lösung, so sind die Geraden windschief.
44
5.6. GERADEN IM R3
5.6.3 Spurpunkte
Spurpunkte sind die Punkte, in denen Geraden die Grundebenen des Koordinatensystems
schneiden. Man bezeichnet den Spurpunkt der x1x2-Ebene mit D12 . Um den Spurpunkt zu
bestimmen, muss die entsprechende dritte Koordinate 0 gesetzt werden. Beispiel:
 


1
−3
g : ~x =  1  + λ  1 
1
2
Gesucht ist D12 : Der Punkt D12 hat die Form D12 (x1 /x2 /0); die dritte Koordinate x3 = 0.
Stelle die Koordinatengleichung aus g auf. Es muss gelten:
0 = 1 + 2λ
λ = −0, 5
Setze nun λ = 0, 5 in g ein und bestimme den
 

1
1
d~12 =  1  − 
2
1
Ortsvektor des Spurpunkts:

 
2, 5
−3
1  =  −0, 5 
0
2
Damit hat der Spurpunkt D12 die Koordinaten D12 (2, 5/ − 0, 5/0).
45
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7 Ebenen
5.7.1 Parameterdarstellung der Ebene mit Umformung
Eine Ebene wird definiert durch einen Ortsvektor und zwei Richtungs- bzw. Spannvektoren.
Man kann eine Ebene auch über drei Punkte definieren, indem man die Differenzvektoren
bildet und diese als Richtungsvektoren benutzt.
• Punkt-Richtungsform der Ebene
E : ~x = ~a + λ~u + µ~v
• Dreipunkteform der Ebene
E : ~x = ~a + λ(~b − ~a) + µ(~c − ~a)
5.7.1.1 Umwandlung von Parameter- in Koordinatenform
Diese Parameterdarstellung der Ebene kann in eine Koordinatengleichungsform überführt
werden. Hierfür muss ein Gleichungssystem mit Koordinatengleichungen aufgestellt werden
und die Parameter der Ebene ersetzt werden. Beispiel:
 




3
1
−3
E : ~x =  0  + λ  1  + µ  1 
5
−4
2

  




x1
3
1
−3
 x2  =  0  + λ  1  + µ  1 
x3
5
−4
2
Stelle die Koordinatengleichungen auf:
x1 = 3 + λ − 3µ
x2 = λ + µ
x3 = 5 − 4λ + 2µ
Nun müssen die Parameter λ und µ entfernt werden. Je nach Art und Schwere des Gleichungssystems ist unterschiedlich vorzugehen. Forme hier mittels Einsetzen um:
x1
=
3 + λ − 3µ
λ = x2 − µ
x3
=
5 − 4λ + 2µ
Zweite Gleichung in erste einsetzen und danach in die dritte einsetzen
x1
=
3 + x2 − µ − 3µ => µ =
3 x2 x1
+
−
4
4
4
λ = x2 − µ
x3
46
=
5 − 4x2 + x2 + 3 + x1 + 1, 5 +
x2 x1
−
2
2
5.7. EBENEN
Nun kann man die Koordinatengleichungsform aufstellen
x1
− + 2, 5x2 + x3 = 9, 5
2
5.7.1.2 Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform
Um die Koordinatenform in die Parameterform umzuwandeln muss man folgendermaßen vorgehen:
E : x1 − 3x2 + 4x3 = 7
Setze nun x2 = r und x3 = s, da ich zwei Parameter in der Parameterform erhalte(r und s)!
Löse nun oben noch nach x1 auf:
x1 = 7 + 3r − 4s
Aus diesen Angaben kann ich mir nun die Parameterform zusammenbauen, da ich ja

  
 
 
x1
E :  x2  =   + r   + s  
x3
als Grundvoraussetzung habe. Jetzt fülle ich die Zeile bei x2 so, dass ich nur rechts r erhalte.
Bei x3 selbes Verfahren, nur erhalte ich hier s. Ich erhalte deshalb schonmal

  
 
 
x1
E :  x2  =  0  + r  1  + s  0 
x3
0
0
1
Jetzt setze ich noch bei x1 so ein, dass diese Zeile die Gleichung ergibt, die ich oben ausgerechnet habe. Deshalb heißt die Parameterform am Ende



 
  
−4
x1
3
7
E :  x2  =  0  + r  1  + s  0 
1
0
0
x3
5.7.2 Normalenform der Ebene
Die Normalenform der Ebene wird durch einen Normalenvektor zur Ebene, d.h. ein Vektor,
der senkrecht auf der Ebene steht, und einen Punkt in der Ebene gebildet. Die Normalenform
der Ebene lautet daher
E : (~x − p~) • ~n = 0
Hierbei wird die Beziehung des Skalarprodukts klar,cos 90◦ = 0.
Die Normalenform kann direkt in die Koordinatenform überführt werden, indem das Skalarprodukt errechnet wird. Gemäß den Rechengesetzen des Skalarprodukts ergibt sich zunächst
(~x − p~) • ~n = 0
~x • ~n = p~ • ~n
Dieses Skalarprodukt kann ausrechnet werden. Beispiel

   
1
2
E : ~x −  2  •  1  = 0
4
5
47
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA

    
2
1
2





1
2
1 
E : ~x •
=
•
5
3
5
E : 2x1 + x2 + 5x3 = 2 + 2 + 15 = 19
Aus der Beziehung
~x • ~n = p~ • ~n
kann man erkennen, dass bei einer Ebene der Form
E : ax1 + bx2 + cx3 = d


a
der Vektor  b  einen Normalenvektor der Ebene darstellt. Somit lässt sich die Ebenenform
c
in die Normalenform relativ schnell überführen, wenn man noch einen Punkt der Ebene kennt,
bzw bestimmt.
48
5.7. EBENEN
Möchte man die Parameterform in die Normalenform überführen, so muss man folgende
Regel anweden: Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene, damit auch senkrecht zu
beiden Richtungsvektoren. Es gilt daher:
E : ~x = ~a + r · ~u + s · ~v
~u • ~n = ~v • ~n = 0
(Möglich ist ebenfalls ~n = ~u × ~v ) Nutzt man diese Beziehung, so kann man leicht einen
Normalenvektor finden. Hat man diesen, kann man mit dem Punkt, der durch den Ortsvektor
der Ebene gegeben wird, die Normalenform aufstellen.
Beispiel:
 
 
 
1
2
5





1
1
E : ~x =
+r
+s 2 
1
3
0
 
2
~n •  1  = 0
3
 
5
~n •  2  = 0
0
Es ergeben sich:
2n1 + n2 + 3n3 = 0
5n1 + 2n2 = 0
Aus II folgt in I:
n2 = 2, 5n1
4, 5n1 + 3n3 = 0
n3 = −1, 5n1
Wähle nun n1 = 2 so ergibt sich:
n1 = 2
n2 = 2, 5n1 = 5
n3 = −1, 5n1 = −3
Stelle nun den Normalenvektor auf:


2
~n =  5 
−3
Die Ebene lautet daher


 

1
2
E : ~x −  1  •  5  = 0
1
−3
49
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7.3 Schnelles Umformen von Ebenengleichungen
Die Ebenengleichung, welche am einfachsten zu handhaben ist, sollte die Koordinatenform
darstellen.
Da Ebenen häufig durch Punkte oder Geraden gegeben werden, ist also zunächst die Parameterform aufzustellen und diese dann umzuformen. Der schnellste Weg hierfür ist folgender:
Forme zunächst die Parameterform in die Normalenform um, danach von der Normalenform
in die Koordinatenform! Einen Normalenvektor der Ebenen benötigt man ohnehin häufig für
weitere Untersuchungen! Beispiel:
E : ~x = ~a + r~u + s~v
~n = ~u × ~v
Bestimme den Normalenvektor direkt über das Vektorprodukt!( Der Weg über das Skalarprodukt ist auch möglich, wenn auch länger, wohingegen das Vektorprodukt sicheres Rechnen
erfordert.)
E : [~x − ~a] • ~n = 0
Direkt in die Koordinatenform
E : n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = ~a • ~n
Somit sind alle drei Formen der Ebenengleichung direkt aus der Parameterform hergestellt.
Ist bereits die Koordinatenform gegeben, so kann die Parameterform bei Bedarf leicht erstellt
werden, ein Normalenvektor direkt an den Koeffizienten abgelesen werden!
50
5.7. EBENEN
5.7.3.1 Hessesche Normalenform
In der Hesseschen Normalenform wird der Normalenvektor der Ebene ~n durch den Normaleneinheitsvektor n~0 ersetzt. Der Normaleneinheitsvektor wird wie jeder Einheitsvektor bestimmt
durch
~n
n~0 =
|~n|
Die Hessesche Normalenform lautet also:
E : (~x − p~) • n~0 = 0
Wandelt man diese in die Koordinatenform um, ergibt sich letztlich die Koordinatenform:
E:
ax1 + bx2 + cx3 − d
√
=0
a2 + b2 + c2


a
Aus der Beziehung, dass  b  ein Normalenvektor der Ebene ist.
c
Der Weg, die Koordinatenform in die Hessesche Normalenform umzusetzen, ist der schnellere, da kein Normaleneinheitsvektor gebildet werden muss, die Koeffizienten können direkt
eingesetzt werden!
51
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7.4 Durchstoßpunkte und Spurgeraden von Ebenen
Als Durchstoßpunkte einer Ebene werden die Punkte bezeichnet, in denen die Koordinatenachsen die Ebene schneiden(bzw. durchstoßen). Sie lassen sich ermitteln, indem man die
Ebene mit den Koordinatenachsen, bzw. deren Geraden, zum Schnitt bringt. Spurgeraden
sind die Geraden, die entstehen, wenn die Ebene die Koordinatenebenen schneidet. Sie werden bestimmt, indem man die Ebenen zum Schnitt bringt.
Schnitt von Ebenen siehe entsprechendes Kapitel!
5.7.4.1 Achsenabschnittsform
Die Form
x1 x2 x3
+
+
=1
a1
a2
a3
ist dann erfüllt, wenn a1 , a2 , a3 die Achsenabschnitte der Ebenen mit darstellen. Um die
Durchstoßpunkte zu finden, kann diese Form also effektiv genutzt werden. Beispiel: Für den
Achsenabschnitt der x1 -Achse gilt x2 = x3 = 0.
x1
=1
a1
liefert mit a1 diesen Abschnitt. Konkret
3x1
=1
4
Achsenabschnitt bei A1 ( 43 /0/0)!
Der Nenner muss durch den Vorfaktor vor x1 dividiert werden! Nur wenn oben eine 1 davor
steht, darf ich unten direkt den Achsenabschnitt ablesen!
52
5.7. EBENEN
5.7.5 Lage von Ebenen
Zwei Ebenen können parallel zueinander sein oder sich schneiden. Es kann keine windschiefen
Ebenen geben! Ebenen sind unendlich groß! Liegen zwei Ebenen parallel zueinander, besitzen
sie keine gemeinsamen Punkte. Schneiden sie sich, so ergibt sich eine Schnittgerade! Man
bestimmt die Lage zweier Ebenen ähnlich wie die zweier Geraden. Eine Möglichkeit ist es die
Beziehung der Richtungsvektoren zu untersuchen; schneller ist es bei zwei Ebenen jedoch ein
Gleichungssystem aufzustellen. Hat dieses Gleichungssystem
• eine Lösung, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Man kann alle Variablen in
Abhängigkeit einer ausdrücken. Diese wird durch einen Parameter ersetzt, welcher dann
den Parameter der Geraden darstellt.
• unendlich viele Lösungen: Die Ebenen sind identisch!
• keine Lösung: Die Ebenen sind parallel!
Mit Hilfe der Richtungsvektoren lässt sich Parallelität feststellen. Um einen Schnittpunkt
zu bestimmen, muss man ein Gleichungssystem aufstellen. Parallelität wird gezeigt, bzw. ist
vorhanden, wenn bei
E1 : ~x = ~a + λu~1 + µv~1
E2 : ~x = ~a + ru~2 + sv~2
sich die Richtungsvektoren von E1 beide als Linearkombination der Richtungsvektoren von
E2 darstellen lassen. Es müssen also die folgenden zwei Bedingungen gelten:
u~1 = ν u~2 + τ v~2
v~1 = ν u~2 + τ v~2
Sind beide Gleichungen jeweils für einen Wert der Parameter erfüllt, so ist die Parallelität
gezeigt. Sind die Richtungsvektoren nicht linear abhängig, so sind die Ebenen nicht parallel!
Identisch sind die Ebenen dann, wenn der Differenzvektor aus den beiden Stützvektoren ebenfalls noch linear abhängig von den Richtungsvektoren einer der beiden Ebenen ist. Das heißt,
wenn die beiden Bedingungen
~b − ~a = ν u~2 + τ v~2
~b − ~a = ν u~2 + τ v~2
für genau einen Wert der Parameter erfüllt sind.
Es wird deutlich, dass, wenn die Lage der Ebenen untersucht werden soll, der Weg über das
Gleichungssystem schneller und einfacher ist, da das Gleichungssystem im Anschluss an die
Untersuchung der linearen Abhängigkeit ohnehin aufgestellt werden muss, um die Schnittgerade zu finden, falls die Ebenen nicht parallel sind!
53
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.7.6 Schnitt von Ebenen
Schnitt von Ebene und Gerade Möchte man eine Ebene und eine Gerade zum Schnitt bringen, so kann man die Ebene in der Parameterform mit der Geraden zum Schnitt bringen.
Schneller ist es, die Koordinatengleichungen der Geraden zu bilden und in die Koordinatenform der Ebenen einzusetzen, falls diese gegeben ist! Man erhält nach Gleichsetzen der
entsprechenden Terme der Parameterformen ein Gleichunssystem mit 3 Unbekannten. Bekommt man eine Lösung, so gibt es einen Schnittpunkt, gibt es keine Lösung, so sind Ebene
und Gerade parallel. Dies kann man auch erkennen, wenn man prüft, ob der Richtungsvektor
der Geraden linear abhängig ist von den Richtungsvektoren der Ebene. In der Regel ist das
Verfahren mit Gleichunssystem schneller. Hat man eindeutige Lösungen für die Parameter so
kann man durch Rückeinsetzen in die Geradengleichung den Ortsvektor des Schnittpunktes
bestimmen.
Setzt man die Koordinatengleichungen der Geraden in die Koordinatenform der Ebenen ein,
erhält man nur eine Gleichung, die entweder unendlich viele, eine oder keine Lösung besitzt;
nun verhält es sich genauso wie oben!
Schnitt zweier Ebenen Man verfährt hierbei am besten so, dass man die Ebenengleichungen
in die Koordinatenform überführt und dann die Gleichungen miteinander verrechnet. Auf
keinen Fall dürfen die Ebenengleichungen auf der rechten Seite auf Null gebracht und die
linken Seiten gleichgesetzt werden!!!
Man kann das Gleichungssystem entweder nicht lösen, dann sind die Ebenen parallel, oder das
Gleichungssystem ist lösbar, so kann man zwei Variablen jeweils in Abhängigkeit der dritten
ausdrücken. Man ersetzt die dritte durch einen Parameter und bildet die Geradengleichung.
Beispiel:
Lösung sei
x1 = 3x3 − 4
x2 = −2x3 + 2
x3 = r
Es ergibt sich die Schnittgerade




−4
3
g : ~x =  2  + r ·  −2 
0
1
Das Finden dieser Parameterform funktioniert genauso wie das Umformen einer Ebenengleichung in Parameterform(s.o.), man benutzt nur eine Geradengleichung als Blankoform und
hat nur einen Parameter.
54
5.7. EBENEN
5.7.7 Abstandsberechnungen
1. Abstand eines Punktes von einer Ebene
Um den Abstand eines Punktes P von einer Ebenen E zu bestimmen, muss man in der
Hesseschen Normalenform der Ebenen den Vektor ~x durch den Ortsvektor des Punktes
P ersetzen. Hierbei gibt es zwei Formen der Hesseschen Normalenform:
a) Ebene ist in Normalenform gegeben
Ist die Ebene in Normalenform gegeben, so bestimmt man n~0 und setzt für ~x den
Ortsvektor des Punktes ein.
E : [~x − ~a] • n~0 = 0
d(P, E) = | [~
p − ~a] • n~0 |
Auch ist es möglich, die Normalenform in die Koordinatenform umzuwandeln und
dann nach Punkt 2 zu verfahren!(meist schneller)
b) Ebene ist in Koordinatenform gegeben
Ist die Ebene in Koordinatenform gegeben
E : ax1 + bx2 + cx3 = d
so formt man um nach
E:
ax1 + bx2 + cx3 − d
√
=0
a2 + b2 + c2
Der Abstand ergibt sich nun, wenn man für x1 , x2 , x3 die Koordinaten des Punktes
einsetzt.
Wichtig: −d im Zähler muss stehen, notfalls umformen, da sonst die erste unten
aufgeführte Bedingung nicht gilt!
Ist der Wert in den Betragsstrichen positiv, so liegt P in dem Halbraum von E,
der dem Ursprung abgewandt ist. Ist der Wert negativ, so liegt P in dem Halbraum, in
dem sich auch der Koordinatenursprung befindet.
In jedem Fall befindet sich P, falls der Betrag positiv ist, in dem Halbraum, in den der
Normalenvektor der Ebenen zeigt. Falls der Betrag negativ ist, befindet sich P in dem
Halbraum, in den der Normalenvektor nicht zeigt.
2. Abstand Ebene/Ebene;Ebene/Gerade
Der Abstand zweier Ebenen voneinander wird genauso wie der Abstand einer Gerade
von einer Ebenen so bestimmt wie der Abstand eines Punktes von einer Ebenen. Man
verwendet bei zwei Ebenen einen Punkt, welcher in einer der beiden Ebenen liegt, und
ermittelt dessen Abstand zur anderen Ebene. Bei der Abstandsberechnung von Ebene
und Gerade verwendet man einen Punkt, der auf der Geraden liegt, und bestimmt dessen
Abstand zur Ebenen.
55
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
3. Abstand eines Punktes von einer Geraden
Um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen, muss man die Gleichung der Ebenen finden, in der der Punkt liegt und zu der die Gerade senkrecht steht.
Es muss also der Richtungsvektor der Geraden der Normalenvektor der Ebenen sein.
Außerdem liegt der Punkt P in der Ebene, somit folgt für ~u als Richtungsvektor der
Geraden
E : [~x − p~] • ~u = 0
Hat man diese Ebene, so bestimmt man den Fußpunkt der Geraden mit der Ebenen(den
Schnittpunkt). Man überführe die Ebene am besten in Koordinatenform, setze die Geradengleichungen ein und setzt dann die Lösung für den Parameter wieder in die Geradengleichung ein. Dann kann man den Betrag des Differenzvektors F~R bilden und kennt
den Abstand.
Abbildung 5.1: Abstand eines Punktes von einer Ebene
4. Abstand zweier windschiefer Geraden
Den Abstand zweier windschiefer Geraden kann man bestimmen, indem man einen
gemeinsamen Normalenvektor der beiden Geraden sucht, mit diesem kann man die Hessesche Normalenform bilden.
g : ~x = p~ + r · ~u
h : ~x = ~q + s · ~v
~u · ~n = 0, ~v · ~n = 0
d(g, h) = |(~q − p~) • n~0 |
56
5.7. EBENEN
5.7.8 Winkel von Ebenen und Geraden
1. Winkel zweier Geraden
Der Winkel zwischen zwei Geraden, die sich schneiden oder windschief sind
(Winkel der Projektion), lässt sich durch folgende Betrachtung finden:
Der Winkel zwischen den Geraden entspricht dem Winkel zwischen den Richtungsvektoren u~1 , u~2 der einzelnen Geraden.
Abbildung 5.2: Winkel zwischen zwei Geraden
Wir können ihn mit Hilfe des Skalarprodukts bestimmen:
cos α =
|u~1 • u~2 |
|u~1 | · |u~2 |
2. Winkel zweier Ebenen
Der Winkel zwischen zwei Ebenen entspricht dem Winkel der Normalenvektoren n~1 , n~2
der Ebenen. Daher gilt für den Winkel zwischen zwei Ebenen:
Abbildung 5.3: Winkel zwischen zwei Ebenen
cos α =
|n~1 • n~2 |
|n~1 | · |n~2 |
57
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
3. Winkel zwischen Ebene und Gerade
Den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden kann folgendermaßen mithilfe
des Richtungsvektors ~u der Geraden und des Normalenvektors ~n der Ebene bestimmt
werden:
Abbildung 5.4: Winkel zwischen Gerade und Ebene
Da uns diesmal cos α nicht den gesuchten Schnittwinkel liefert, sondern gerade den
Winkel α1 , für den
α + α1 = 90◦
gilt, nutzen wir hier geometrisch die Sinusbeziehung und gelangen damit zu
sin α =
58
|~n • ~u|
|~n| · |~u|
5.7. EBENEN
4. Orthogonalität von Geraden und Ebenen
a) Zwei Geraden sind orthogonal zueinander
Zwei Geraden sind dann orthogonal zueinander, wenn die Richtungsvektoren ebenfalls orthogonal zueinander sind.
g : ~x = ~a + λ~u
h : ~x = ~b + µ~v
Es muss also für g senkrecht zu h gelten:
~u • ~v = 0
Ist dies erfüllt, so sind die Geraden orthogonal.
b) Gerade und Ebene sind orthogonal zueinander
Eine Gerade und eine Ebene sind dann orthogonal zueinander, wenn der Richtungsvektor der Geraden g ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene E ist. ~u
und ~n sind dann linear abhängig. Das heißt:
g : ~x = ~a + λ~u
E : (~x − p~) • ~n = 0
und es gilt
~u = r · ~n
c) Ebene und Ebene sind orthogonal
Zwei Ebenen sind dann orthogonal zueinander(bzw. schneiden sich orthogonal)
wenn die Normalenvektoren der beiden Ebenen zueinander orthogonal sind.
E1 : (~x − p~) • n~1 = 0
E1 : (~x − ~q) • n~2 = 0
Es muss hier gelten, damit E1 senkrecht zu E2 ist:
n~1 • n~2 = 0
59
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.8 Kreise und Kugeln
5.8.1 Kreis-, bzw. Kugelgleichung
Die altbekannte Kreisgleichung
(xp − xm )2 + (yp − ym )2 = r2
übertragen auf Vektoren, gilt für zweidimensionale Vektoren
(~x − m)
~ 2 = r2
Für Kugeln gilt nun im Dreidimensionalen als Kugelgleichung
(x1 − m1 )2 + (x2 − m2 )2 + (x3 − m3 )2 = r2
(~x − m)
~ 2 = r2
wobei 2 als Skalarprodukt aufzufassen ist.m
~ ist der Ortsvektor des Kugelmittelpunkts. Um
zu prüfen ob ein Punkt in der Kugel, auf der Kugel oder außerhalb liegt, muss man den
Ortsvektor des Punktes für ~x einsetzen. Es gibt drei Möglichkeiten:
1.
|~
p − m|
~ 2 < r2
Der Punkt liegt in der Kugel.
2.
|~
p − m|
~ 2 = r2
Der Punkt liegt auf der Kugeloberfläche.
3.
|~
p − m|
~ 2 > r2
Der Punkt liegt außerhalb der Kugel.
5.8.2 Tangenten, Tangentialebene
Kreisgleichung bzw. Kugelgleichung
(~x − m)
~ 2 = r2
Gleichung der Tangente bzw. Tangentialebene.
(~x − m)
~ • (~b − m)
~ = r2
Bei zweidimensionalen Vektoren erhält man die Tangente, bei dreidimensionalen Vektoren
die Tangentialebene in Koordinatenform. Satz zur Tangentialebene:
Eine Ebene T ist Tangentialebene an die Kugel K, wenn der Abstand des Mittelpunktes M
von der Ebene E gleich dem Radius r der Kugel ist. Die Gerade durch den Mittelpunkt M
und den Berührpunkt B steht senkrecht auf der Tangentialebene T.
60
5.8. KREISE UND KUGELN
5.8.3 Schnittkreis zweier Kugeln
Bringt man zwei Kugeln zum Schnitt, so sollte man zunächst den Vektor M1~M2 zwischen
den Mittelpunkten der Kugeln ermitteln. Kennt man nämlich Mittelpunkte und Radien der
beiden Kugeln kann man zunächst folgendes untersuchen:
1.
M1¯M2 > r1 + r2
Die Kugeln schneiden sich nicht!
2.
M1¯M2 = r1 + r2
Die Kugeln berühren sich in einem Punkt!
3.
M1¯M2 = r1 + r2
Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis!
4.
r2 − r1 < d < r1 + r2 ; d = |M1¯M2 |
Ist d kleiner oder gleich der Differenz der Radien, dann liegen die Kugeln ineinander!
Schneiden sich die Kugeln, muss man den Schnittkreis ermitteln. Hierfür bringt man die
Kugeln zum Schnitt und man erhält die Trägerebene des Schnittkreises. Dort, wo die Gerade
M1¯M2 diese Ebene schneidet befindet sich der Mittelpunkt des Schnittkreises. Der Radius
des Schnittkreises wird nun durch die Anwendung des Satzes des Pythagoras in dem Dreieck
ermittelt, das sich durch einen Kugelradius, die Strecke vom Schnittkreismittelpunkt zum
zugehörigen Kugelmittelpunkt sowie durch den Radius des Schnittkreises ergibt.
Abbildung 5.5: Berechnung des Schnittkreisradius
61
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.8.4 Parameterdarstellung des Schnittkreises
Kennt man zwei orthogonale Einheitsvektoren, welche die Schnittkreisebene aufspannen, so
kann man den Schnittkreis mit Hilfe dieser zwei Vektoren darstellen als
~ 0 + (r0 cos ϕ)u~0 + (r0 sin ϕ)v~0
~x = m
Wobei X ein Punkt auf der Kreislinie ist und M 0 der Mittelpunkt des Schnittkreises. Über
den Winkel ϕ wird hier der Kreis erzeugt.
Abbildung 5.6: Parameterdarstellung des Schnittkreises
62
5.9. TEILVERHÄLTNISSE
5.9 Teilverhältnisse
Man kann mit Hilfe von Vektoren die Teilverhältnisse von Strecken, die durch einen Punkt
geteilt werden, ermitteln.
¯ die von einem Punkt T geteilt wird.
Der einfachste Fall ist eine Strecke AB,
Abbildung 5.7: Darstellung eines Teilverhältnisses
Hier gilt:
¯ vom Punkt T im Verhältnis m : n geteilt, dann ist
Wird die Strecke AB
~ = m · T~B
AT
n
~ =
AT
m
~
· AB
m+n
63
KAPITEL 5. ANALYTISCHE GEOMETRIE UND LINEARE ALGEBRA
5.9.1 Teilverhältnisse in ebenen und räumlichen Gebilden
Um die Teilverhältnisse einer Strecke in einem ebenen oder räumlichen Gebilde zu ermitteln,
ist folgendermaßen vorzugehen:
1. Bilde einen geschlossenen Vektorzug, wobei die End- und Teilungspunkte der Strecken
als End- und Teilungspunkte der Vektoren auftreten.
2. Stelle alle Vektoren als Linearkombination von zwei - in der Ebene (drei im Raum) linear unabhängigen Vektoren (~a, ~b, ~c) dar.
3. Stelle eine Gleichung der Form r~a + s~b = 0 her! Da für linear unabhängige Vektoren
r = 0 und s = 0 gilt, gelingt es die Teilverhältnisse zu bestimmen!
Abbildung 5.8: Teilverhältnisse im Dreieck
Beispiel für die Bestimmung der Teilverhältnisse: Beweise, dass der Schwerpunkt des Dreiecks die Seitenhalbierenden stets im Verhältnis 2:1 teilt! (Skizze siehe oben) Geschlossener
Vektorzug wird aufgebaut:
~ + SB
~ + BA
~ = ~0
AS
Wähle nun die zwei linear unabhängigen Vektoren
~ ~b = AC,
~ BC
~ = ~b − ~a
~a = AB,
~ = xAM
~ a = x · (~a + 1 (~b − ~a)
AS
2
~ = y M~b B = y · (~a − 1~b)
SB
2
~ = −~a
BA
64
5.9. TEILVERHÄLTNISSE
Setze in Vektorzug ein:
1
x · (~a + (~b − ~a) + y M~b B = y · (~a −
2
1~
b) − ~a = ~0
2
Vereinfache zu
1
1
1
(x + y − x − 1)~a + ( x − y)~b = ~0
2
2
2
Aus den Bedingungen der linearen Unabhängigkeit folgt:
1
y+ x−1=0
2
1
1
x− y =0
2
2
Löse und erhalte
x=y=
2
3
Daher ist
~ = 2 AM
~ a
AS
3
~ = 2 M~b B
SB
3
So ist gezeigt, dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt!
65
6 Statistik
Anhand eines Beispiels sollen nun die wichtigsten Begriffe in der Statistik geklärt werden.
Außerdem werden die häufigsten Diagramme vorgestellt und verglichen.
Beispiel: Bundestagswahl 2005: Endgültige Sitzverteilung im Bundestag:
Partei
CDU/CSU
SPD
Grüne
FDP
Linkspartei
Anzahl der Sitze
226
222
51
61
54
Diese Tabelle kann man als Urliste bezeichnen. Hier werden die Ergebnisse der Wahl unabhängig voneinander gesammelt. Es werden die absoluten Häufigkeiten dargestellt. Anstelle der
absoluten Häufigkeiten kann man auch die relativen Häufigkeiten darstellen. Diese sind die
Anteile an der Gesamtheit. Die relative Häufigkeit kann als Bruch angegeben werden, häufig
jedoch wird sie prozentual angegeben.
Partei
CDU/CSU
SPD
Grüne
FDP
Linkspartei
Anzahl der Sitze
226
222
51
61
54
Anteil
36,8%
36,2%
8,3%
9,9 %
8,8 %
Die absolute Häufigkeit wird mit H, die relative Häufigkeit mit h bezeichnet. Somit lässt sich
diese Tabelle überführen zu
Partei
CDU/CSU
SPD
Grüne
FDP
Linkspartei
H
226
222
51
61
54
h
36,8%
36,2%
8,3%
9,9 %
8,8 %
Partei
CDU/CSU
SPD
Grüne
FDP
Linkspartei
H
226
222
51
61
54
h
36,8%
36,2%
8,3%
9,9 %
8,8 %
Grad
132,5
130,3
29,9
35,6
31,7
In der rechten Tabelle werden in der Spalte Grad aufgeführt, wie groß die Sektoren in einem
Kreisdiagramm bei der Darstellung zu wählen sind. Beim Runden ist darauf zu achten, dass
die relativen Häufigkeiten in der Summe 100 % ergeben und die Sektorengrößen summiert
360°ergeben.
66
6.1. DIAGRAMME
6.1 Diagramme
Es gibt unterschiedliche Arten von Diagrammen. Die häufigsten sind:
• Kreisdiagramm: In einem Kreisdiagramm werden relative Häufigkeiten dargestellt
• Säulendiagramm: In einem Säulendiagramm(auch Histogramm genannt) können absolute und relative Häufigkeiten dargestellt werden.
• Stabdiagramm: Das Stabdiagramm entspricht dem Säulendiagramm, wobei die Säulen
zu Stäben reduziert werden.
• Häufigkeitspolygon: Dieses entsteht, wenn die Häufigkeiten als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen und verbunden werden.
• Balkendiagramm: Ähnlich dem Säulendiagramm, jedoch verlaufen die Balken waagerecht im Gegensatz zum Säulendiagramm.
Anstatt der relativen Häufigkeiten können auch die Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden.
Im Bereich der Stochastik wird zur Darstellung von Verteilungen häufig ein Säulendiagramm
verwendet.
Nachfolgend nun unterschiedliche Diagramme, die jeweils die Häufigkeiten des Beispiels darstellen.
Abbildung 6.1: Unterschiedliche Diagramme zur Darstellung der Urliste
Die Gestalt des Säulendiagramms ändert sich nicht, wenn statt der absoluten Häufigkeit
die relative Häufigkeit aufgetragen wird!
67
7 Stochastik
7.1 Begriffsdefinitionen
In der Stochastik
wir nicht wissen,
mente theoretisch
auftreten.
Wir bezeichnen
betrachten wir Zufallsexperimente. Dies sind Experimente, bei denen
welchen Ausgang das Experiment nimmt. Wir betrachten diese Experiund bestimmen die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bestimmte Ausgänge
in diesem Zusammenhang:
• Ergebnisse des Zufallsexperimentes: Dies sind die möglichen Ausgänge, die ein Zufallsexperiment nehmen kann. Welche das sind, liegt daran, wie wir die Sache betrachten.
So können wir zum Beispiel einen normalen Spielwürfel (6 Seiten) betrachten und als
Ergebnisse die verschiedenen Augenzahlen betrachten.
Genauso könnten wir, falls nur das von Interesse ist, nur als Ergebnisse zwischen gerader
und ungerader Augenzahl unterscheiden.
In diesem Fall würde die Ergebnismenge unseres Experimentes anders aussehen. Dies
hängt immer davon ab, welches Merkmal wir betrachten wollen. Die Ergebnismenge
eines Zufallsexperiments wird dadurch definiert, dass bei jedem Zufallsversuch stets ein
Element in der Ergebnismenge getroffen wird. Sie enthält also alle möglichen Ausgänge
des Zufallsexperiments. Wir bezeichnen diese spezielle Menge mit Ω.
• Ereignisse des Zufallsexperiments sind das, was uns interessiert. Mögliche Ereignisse
wären zum Beispiel: Gewinn eines Würfelspiels, Lottogewinn, eine fabrikneue Glühbirne
ist defekt, etc.
Zu einem Ereignis gehören meist verschiedene Ergebnisse eines Zufallsexperimentes.
Diese fassen wir dann in der zum Ereignis gehörigen Ereignismenge zusammen.
Ereignismengen sind stets Teilmengen von Ω. Das bedeutet, alle Elemente, die in einer
Ereignismenge sind, müssen auch in Ω zu finden sein.
Zu den definierten Begriffen machen wir zuerst einmal ein Beispiel:
Wir betrachten wieder einen Spielwürfel mit 6 Seiten, solche “normalen” Würfel nennt man
auch Laplace-Würfel.
Wir betrachten als Ergebnisse die Augenzahlen, somit erhalten wir als Menge Ω:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Wir wollen jetzt das Ereignis E: “Die geworfene Augenzahl ist eine Primzahl“ betrachten.
Die Ereignismenge, welche wir ebenfalls mit E bezeichnen1 , ist dann also:
E = {2, 3, 5}
1
Dies ist mathematisch nicht korrekt gemacht, da zwei verschiedene Objekte gleich bezeichnet werden. In der
Regel ist aber mit einem Ereignis in der Stochastik die zugehörige Ereignismenge so eng verknüpft, dass
wir darunter beides, Ereignis und Ereignismenge, gleichermaßen verstehen.
68
7.1. BEGRIFFSDEFINITIONEN
Ein weiteres Beispiel wäre E : ”der Wurf ist ungerade”. Nun ist
E = {1, 3, 5}
Stets ist E eine Teilmenge von Ω.
Wenn wir jetzt das gleiche Experiment, also den Würfelwurf, anders betrachten, können sich
Ω und auch die Ereignismenge verändern. Zum Beispiel so:
Ω = {Wurf gerade, Wurf ungerade }
Nun interessiert uns als Ausgang nur, ob der Wurf gerade oder ungerade ist. Beachte: Ω muss
immer so gebaut sein, dass bei jeder Durchführung stets ein Element aus Ω getroffen wird!
Wenn wir nun das Ereignis E : ”der Wurf ist ungerade” betrachten, so liegt in E
E = { Wurf ungerade }
nur ein Aufgang.
7.1.1 Einschub: Mengenlehre
An dieser Stelle geben wir nur einige intuitive Definitionen, vor allem Symbole, an, die wichtig
sind, wenn wir uns mit Mengen beschäftigen:
• Enthält eine Menge ein bestimmtes Element, so schreiben wir das mit dem Zeichen ∈.
Zum Beispiel ist 1 ∈ Z, 1 ist also eine ganze Zahl.
• Die leere Menge enthält keine Elemente. Wir schreiben dafür {} oder meist kürzer ∅.
• Liegt eine Menge A vollständig in einer anderen Menge B , so nennen wir A eine
Teilmenge von B, in Zeichen A ⊂ B. So sind zum Beispiel alle natürlichen Zahlen auch
ganze Zahlen, in diesem Fall ist dann N ⊂ Z.
• Häufig interssiert uns der Durchschnitt von zwei Mengen. Dies sind alle Elemente, die
in beiden Mengen liegen.
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
Wir schreiben dann:
A ∩ B = {3}
Man sieht, dass der Durchschnitt ebenfalls eine Menge darstellt!
• Genauso kann man zwei Mengen vereinigen. Hierbei bilden wir aus zwei Mengen eine
neue Menge, in der alle Elemente der beiden Mengen liegen, wobei Elemente, welche
doppelt vorkommen würden, nur einfach aufgeführt werden:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5}
Wir schreiben:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
69
KAPITEL 7. STOCHASTIK
In Bezug auf die Stochastik spielen Durchschnitt und Vereinigung von Mengen eine wichtige
Rolle, denn sie beschreiben ebenfalls Ereignismengen. So bedeutet E1 ∩E2 , dass die Ereignisse
E1 und E2 zugleich eintreten. Im Durchschnitt liegen ja nur diejenigen Ergebnisse, welche zu
E1 und E2 gehören. E1 ∪ E2 bedeutet hingegen: Es tritt E1 oder E2 ein. In der Vereinigung
liegen alle Ergebnisse, die zu E1 oder zu E2 gehören.
Wir können also zu zwei Ereignissen E1 und E2 ebenso angeben:
• E1 und E2 treten ein. Die zugehörige Ereignismenge ist E1 ∩ E2 .
• Es tritt E! oder E2 ein. Die zugehörige Ereignismenge ist E1 ∪ E2 .
7.1.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff
Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ist eine theoretische Größe, die wir mathematisch beschreiben
können. In der Realität haben wir bei Zufallsexperimenten immer relative Häufigkeiten zu
betrachten. Auch wenn die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, bei 50 % liegt, ist es möglich, dass sechs mal hintereinander in Folge Zahl geworfen wird. Bei wenigen Würfen ist die
Wahrscheinlichkeit also nicht leicht zu ermitteln. Erst wenn wir viele Versuche durchführen,
die Münze also 10000mal werfen, so stellen wir fest, dass am Ende etwa 5000mal Kopf und
5000mal Zahl gefallen ist. Auch hier werden wir fast nie genau 5000mal Kopf bzw. Zahl finden.
Mathematisch wird dies beschrieben im sog. Gesetz der großen Zahlen, welches vereinfacht
aussagt:
Es gilt für jedes beliebige Zufallsexperiment mit den absoluten Häufigkeiten H und den
relativen Häufigkeiten h für ein dazugehöriges Ereignis E:
Mit wachsendem Stichprobenumfang n nähert sich die relative Häufigkeit h der Wahrscheinlichkeit P an.
lim h → P
n→∞
Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E zu bestimmen, können wir immer so vorgehen,
dass wir die Wahrscheinlichkeiten aller zu E gehörigen Ergebnisse berechnen und diese dann
summieren. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller
zugehörigen Ergebniswahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E wird bei Laplace-Zufallsversuchen grundsätzlich
definiert als
Anzahl günstige Ausfälle
P (E) =
Anzahl aller möglichen Ausfälle
⇐⇒ P (E) =
|E|
|Ω|
Als günstige Ausfälle werden alle Ausfälle bezeichnet, die zum Ereignis E führen. Beispiel:
Augenzahl eines Würfels kleiner als drei. Günstig: 1 und 2.
Möglich:1,2,3,4,5,6. P (E) = 26 = 13 .
Als Laplace-Zufallsversuche werden diejenigen Zufallsexperimente bezeichnet, bei denen jeder mögliche Ausgang die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt.
Haben wir keinen Laplace-Zufallsversuch, so muss dies bei der Berechnung der
Wahrscheinlichkeit berücksichtigt werden! Enthält zum Beispiel eine Urne 7 blaue, 3
rote und 1 gelbe Kugel und betrachtet man die Farbe als Merkmal, so sind die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Farben nicht gleich!
70
7.2. BAUMDIAGRAMM UND PFADREGELN
Beispiel: Wenn wir den Würfelwurf betrachten, so handelt es sich um ein Laplace-Experiment, wenn wir die Augenzahlen als Merkmal nehmen. Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich mit der Wahrscheinlichkeit 16 . Im Beispiel mit den Kugeln ist hingegen die Wahrscheinlich1
keit die gelbe Kugel zu ziehen 11
, während die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen bei
3
liegt.
Dies
ist
also
kein
Laplace-Experiment.
Wie ermittelt man aber nun die Wahrschein11
lichkeit für das Ziehen einer roten Kugel? Der Trick liegt in den Betrachtungsweise: Betrachte
ich die Ausgänge rot,gelb,blau, so haben sie unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten und zwar
3
1
7
11 , 11 und 11 . Ich kann den Versuche aber sozusagen zu einer Art Laplace-Experiment machen, wenn ich als Ergebnisse ansehe:
Ω = {rot, rot, rot, blau, blau, blau, blau, blau, blau, blau, gelb}
Ich betrachte also jede Kugel einmal einzeln. Jetzt ist es gleich wahrscheinlich, die Kugeln zu
ziehen. Somit erhalte ich dann die Wahrscheinlichkeiten nach der Laplace-Formel.
Abschließend kann man noch festhalten:
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Zufallsexperimentes ist stets
gleich 1. Man schreibt als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P (E). Wir könnten hier formal
schreiben:
P (Ω) = 1
. Wir nennen Ω dann auch das sichere Ereignis. Man erinnere sich: Es wird stets ein Ergebnis
aus Ω getroffen!
Das unmögliche Ereignis erhält die Wahrscheinlichkeit 0. Da das unmögliche Ereignis
nicht auftritt, enthält es keine Ergebnisse, es wird also durch die leere Menge repräsentiert.
Somit ist
P (∅) = 0
.
7.2 Baumdiagramm und Pfadregeln
Zu jedem Zufallsexperiment lässt sich ein Baumdiagramm aufstellen. Ein Baumdiagramm
enthält in jeder Stufe Äste für die möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments. Je nach Merkmal oder Art der Betrachtung enthält ein Baumdiagramm eine unterschiedliche Anzahl von
Ästen pro Stufe, mindestens jedoch 2.
An jeden Ast wird die zugehörige Wahrscheinlichkeit für das entsprechende Ergebnis notiert.
Bei sog. mehrstufigen Zufallsexperimenten, mehrfaches Werfen einer Münze zum Beispiel,
wird für jeden Wurf eine neue Stufe an die vorhergehende angeschlossen, die Zahl der Äste in
der letzten Stufe ist erheblich höher als die der ersten Stufe (beim Münzwurf 2n , wobei n die
Anzahl der Würfe festlegt.
Als Beispiel nun ein Baumdiagramm für das Werfen von drei Münzen nacheinander:
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt stets 1! Dies ist eine Kontrollmöglichkeit für
die Rechnung. Ebenso ergeben die Wahrscheinlichkeiten der jeweils abzweigenden Äste addiert
stets 1.
71
KAPITEL 7. STOCHASTIK
Abbildung 7.1: Baumdiagramm für dreifachen Münzwurf
Um mit Hilfe eines Baumdiagramms Wahrscheinlichkeiten für ein Zufallsexperiment zu
bestimmen, gibt es zwei Regeln, sog. Pfadregeln.
1. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird ermittelt, indem der zum Ergebnis zugehörige Pfad durchlaufen und die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades
multipliziert werden. Dies ergibt sich aus folgender Überlegung: Mit jeder Stufe vergrößert sich die Anzahl der Pfade. Bei unserem Beispiel wird sie stets verdoppelt. Die
Wahrscheinlichkeit muss daher ebenfalls multipliziert werden, da die Anzahl aller möglichen Kombinationen steigt.
2. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addition aller
zum Ereignis gehörenden Ergebniswahrscheinlichkeiten.
Beispiel: Berechnung der Wahrscheinlichkeit für 2x Wappen beim dreifachen Münzwurf:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, z.B. WWZ, wird mit Hilfe von Pfadregel 1 berechnet:
1
1·1·1
P (W W Z) =
=
2·2·2
8
In dem vorliegenden Beispiel sind die Berechnungen einfach, werden jedoch ebenso wie bei
einem komplexeren Zufallsexperiment durchgeführt.
Die Wahrscheinlichkeit für unser Ereignis ergibt sich nun aus der Summation der entsprechenden Pfade:
P (2 Wappen) = P (W W Z) + P (ZW W ) + P (W ZW ) =
72
1 1 1
3
+ + =
8 8 8
8
7.3. KOMBINATORIK
7.3 Kombinatorik
Mit Hilfe der Kombinatorik lassen sich meist schnell die Anzahl der Möglichkeiten ausrechnen,
die zu einem Zufallsexperiment gehören. Man unterscheidet zwischen drei Gruppen:
1. r-Tupel
Wieviele unterschiedliche Kombinationen können beim Werfen von drei unterscheidbaren Würfeln auftreten?
Antwort: 63
Allgemein nr , n Möglichkeiten bei einem Würfel, r Anzahl. Wichtig: Die Anzahl der
Möglichkeiten darf sich bei diesem mehrstufigen Experiment nicht von Stufe zu Stufe
ändern, sondern bleibt stets gleich.
Eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen!
2. r-Pemutation
Wieviele Möglichkeiten gibt es, 4 Schüler, die nacheinander den Raum betreten, auf 7
Stühle zu verteilen?
7!
7·6·5·4=
(7 − 4)!
Allgemein:
n!
(n − r)!
Eine geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen!
3. r-elementige Teilmenge
Auf gut Glück werden aus zehn nummerierten Kugel drei gezogen. Wieviele Kombinationen gibt es?
10
= 120
3
Hierbei werden die Kombinationen aussortiert, die bei unterscheidbarem Ziehen zugelassen werden. Es gibt also zum Beispiel nur {1, 2, 3}, nicht jedoch {3, 1, 2} oder {2, 3, 1}.
Allgemein
n
n!
=
r
r!(n − r)!
Ungeordnete Stichprobe ohne Zurücklegen!
73
KAPITEL 7. STOCHASTIK
7.4 Verknpüfung von Ereignissen
Ereignisse können auf verschiedene Arten verknüpft werden. Zum einen können wir betrachten, wann zwei Ereignisse gleichermaßen eintreten oder eines der beiden eintritt.
7.4.1 Und-Oder Verknüpfung
1. A und B
P (A und B) = P (A ∩ B)
Um dies zu ermitteln, stelle man die Mengen A und B auf und bilde die Schnittmenge.
P (A ∩ B) =
|A ∩ B|
|Ω|
2. A oder B
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
7.4.2 vereinbar/unvereinbar
Es gilt:
Sind zwei Ereignisse unvereinbar, dann sind sie abhängig.
Sind zwei Ereignisse unabhängig, dann sind sie vereinbar.
Umkehrschluss geht nicht!
7.5 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten spielt die bedingte Wahrscheinlichkeit eine wichtige
Rolle. Wir haben sie bereits indirekt kennengelernt, als wir die Wahrscheinlichkeiten an die
Baumdiagramme angetragen haben. Sind zwei Ereignisse voneinander abhängig, so gilt zunächst stets
P (A ∩ B) = P (A) · PA (B)
daraus folgt
PA (B) =
P (A ∩ B)
P (A)
Die Ereignisse A und B sind voneinander unabhängig, wenn gilt:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Zur Erläuterung der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt nun ein Baumdiagramm an dem die
Wahrscheinlichkeiten angetragen sind:
74
7.5. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT
Abbildung 7.2: Baumdiagramm zur Erläuterung der bedingten Wahrscheinlichkeit
7.5.1 Verallgemeinerung des Satzes von Bayes
Sind A, B Ereignisse des Ergebnisraumes Ω mit P (B) 6= 0, dann heißt
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Dies ist der Satz von Bayes
für zwei Ereignisse. Er lässt sich folgendermaßen in der Formel von Bayes verallgemeinern:
Bilden die Ereignisse B1 , B2 , ..., Bn (P (Bi ) 6= 0; i = 1, 2, ..., n) eine Zerlegung von Ω und ist A
ein Ereignis mit P (A) 6= 0, dann gilt für i = 1, 2, ...n
PA (Bi ) =
P (A ∩ Bi )
P (Bi ) · PBi (A)
= Pn
P (A)
k=1 P (Bk ) · PBk (A)
75
KAPITEL 7. STOCHASTIK
7.6 Zufallsgröße X
Die Zufallsgröße X eines Zufallsexperiments nimmt, je nach Ausgang des Experiments, unterschiedliche Werte an. So kann die Verteilung der Zufallsgröße angegeben werden durch
eine Tabelle aller Werte k, die mögliche Ausfälle beschreiben, und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten P (X = k). Mit der Zufallsgröße können unter Anderem auch Glücksspiele
mit Gewinn/Verlust betrachtet werden und auf die Fairness hin überprüft werden. Ein faires
Spiel hat den Erwartungswert 0.
Erwartungswert Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist definiert als
X
E(X) = µ =
k · P (X = k)
Er gibt an, um welchen Wert die Verteilung gestreut ist.
Varianz Die Varianz der Zufallsgröße X ist ein Maß für die Streuung. Sie wird berechnet
durch
X
Var(X) = σ 2 =
(k − µ)2 · P (X = k)
√
p
Aus der Varianz ergibt sich die Standardabweichung σ = σ 2 = Var(X).
76
7.7. BINOMIALVERTEILUNG
7.7 Binomialverteilung
Bei Binomialverteilungen wird ein unabhängiges ZE mehrfach durchgeführt(n-mal). Für Binomialverteilungen mit dem Umfang n und der Wahrscheinlichkeit p gilt:
E(X) = µ = n · p
Hier hat das Histogramm der Verteilung ein Maximum. Außerdem gilt:
V ar(X) = σ 2 = n · p · (1 − p)
Es lässt sich die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferanzahl k folgend berechnen:
n
P (X = k) = B(n, p, k) =
· pk · (1 − p)n−k
k
Diese Werte sind für einige n tabelliert. Ebenso gibt es die Möglichkeit zu bestimmen wie die
Wahrscheinlichkeit für höchstens k Treffer ist:
P (X ≤ k) = F (n, p, k) =
i=k
X
B(n, p, i)
i=0
Diese Werte sind ebenso tabelliert. Folgende Operationen sind hilfreich
1. genau k Treffer
P (X = k) = B(n, p, k) = F (n, p, k) − F (n, p, k − 1)
2. höchstens k Treffer
P (X ≤ k) = F (n, p, k)
3. mindestens k Treffer
P (X ≥ k) = 1 − F (n, p, k − 1)
4. weniger als k Treffer
P (X < k) = F (n, p, k − 1)
5. mehr als k Treffer
P (X > k) = 1 − F (n, p, k)
77
KAPITEL 7. STOCHASTIK
7.8 σ-Intervalle
Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße streuen die Wahrscheinlichkeitswerte um den Erwartungswert µ. Man kann nun Intervalle um den Erwartungswert herum betrachten und kommt
zu folgendem Schluss:
• Im 1-σ-Intervall [µ − σ; µ + σ] liegen 68,7% aller Wahrscheinlichkeitswerte.
• Im 2-σ-Intervall [µ − 2σ; µ + 2σ] liegen 95,5% aller Wahrscheinlichkeitswerte.
• Im 3-σ-Intervall [µ − 3σ; µ + 3σ] liegen 99,7% aller Wahrscheinlichkeitswerte.
Möchte man also einen Bereich um einen gegebenen Erwartungswert µ angeben, in dem z.B.
95% aller Wahrscheinlichkeitswerte liegen, so kann man sich des 2-σ-Intervalls bedienen. Die
Prozentwerte für die σ-Intervalle lassen sich mit Hilfe der Normalverteilung herleiten und
bestätigen.
7.9 Tschebyscheff-Ungleichung
Mit der Ungleichung von Tschebyscheff kann man eine Abschätzung gewinnen, wie hoch die
Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das Ergebnis des Zufallsexperiments in einem bestimmten
Intervall um den Erwartungswert befindet. Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert hierbei kein
genaues Ergebnis, sondern stattdessen einen groben Richtwert!
Es gibt zwei Formen der Tschebyscheff-Ungleichung:
P (|X − µ| ≥ c) ≤
σ2
c2
σ2
c2
Somit lässt sich die Wahrscheinlichkeit, in welchem Maß die Zufallsgröße um den Erwartungswert streut, mit Hilfe von Erwartungswert und Varianz abschätzen, ohne sie genau auszurechnen, so z.B. bei großem Stichprobenumfang, um ein ungefähres Ergebnis zu erhalten,
mit dem sich z.B. auch der genaue Wert der Berechnung überprüfen lässt.
Es gibt durchaus auch Fälle, in denen die Abschätzung mit Hilfe der Ungleichung ausreicht,
um Aussagen über ein Zufallsexperiment treffen zu können.
P (|X − µ| < c) >≥ −
78
7.10. STANDATISIERUNG UND NORMALVERTEILUNG
7.10 Standatisierung und Normalverteilung
Besonders bei großem Stichprobenumfang, aber generell wenn gilt
√
n·p·q =σ >3
Kann die Näherungsformel von Le Moivre Laplace verwendet werden und die Binomialverteilung durch die Normalverteilung angenähert werden. Aus der diskreten Binomialverteilung
ergibt sich eine stetige Funktion, die sogenannte Gaußsche Glockenfunktion
1 2
1
N (t) = √ e− 2 t
2π
Die Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann, rechnet man mittels
t=
x−µ
σ
um und erhält die entsprechenden Funktionswerte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
Die Glockenfunktion wird als ϕ(t) bezeichnet, ihre Stammfunktion als Φ(t). Die Glockenfunktion hat die y-Achse als Symmetrieachse. Die Stammfunktion liefert uns die Fläche unter der
Glockenfunktion, welche gleichbedeutend mit der Wahrscheinlichkeit ist.
Die Funktionswerte der Integralfunktion Φ(t) sind tabelliert.
79
KAPITEL 7. STOCHASTIK
7.10.1 Zentraler Grenzwertsatz
80
7.10. STANDATISIERUNG UND NORMALVERTEILUNG
7.10.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Normalverteilung
Bemerkung:
P (X < k) = P (X ≤ k) gilt, da wir es hier mit einer Näherung zu tun haben und außerdem
die Wahrscheinlichkeit für P (X = k) mit der Normalverteilung nicht angeben können; es
würde sich als Fläche nur ein schmaler Streifen ohne Inhalt ergeben. P (X = k) kann man
stets, auch bei großen n, wenn X binomialverteilt ist, bestimmen über
n
P (X = k) = B(n; p; k) =
· pk · (1 − p)n−k
k
Beispiele für Normalverteilung:
Z
k
P (X < k) = P (X ≤ k) =
ϕµ,σ (t)dt = Φ(
−∞
k−µ
)
σ
P (X > k) = P (X ≥ k) = 1 − P (X < k) = 1 − Φ(
k−µ
)
σ
Ergibt sich auch aus der Symmetrie zur y-Achse!
P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = Φ(
k2 − µ
k1 − µ
) − Φ(
)
σ
σ
c
c
c
P (|X − µ| ≤ c) = Φ( ) − Φ(− ) = 2 · Φ( ) − 1
σ
σ
σ
h
i
c
c
P (|X − µ| > c) = 1 − P (|X − µ| ≤ c) = 1 − 2 · Φ( ) − 1 = 2 − 2 · Φ( )
σ
σ
81
KAPITEL 7. STOCHASTIK
7.10.3 Stetigkeitskorrektur
Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung im Gegensatz zur Binomialverteilung ist,
muss bei der Wahrscheinlichkeitsberechnung dies berücksichtigt und ggf. mit einem sog. Korrekturglied gearbeitet werden. Hierbei muss zu dem Wert, den die Zufallsgröße annehmen soll,
noch 0,5 addiert bzw. abgezogen werden. Beispiel:
145 + 0, 5 − µ
P (X < 145) = Φ
σ
1
2
wird erzwungen, da zwar bei der diskreten Verteilung keine Werte, die nicht ganzzahlig sind,
angenommen werden, bei der stetigen Verteilung und der Annäherung der Wahrscheinlichkeit
jedoch berücksichtigt werden müssen:
P (100 < X < 145) = Φ(
145 + 0, 5 − µ
100 − 0, 5 − µ
) − Φ(
)
σ
σ
Dies muss auf beiden Seiten geschehen, falls es zwei Grenzen bei der Wahrscheinlichkeitsbetrachtung gibt. Nur mit der Stetigkeitskorrektur kann auch mit Hilfe der Normalverteilung
die Wahrscheinlichkeit für P (X = k) bestimmt werden!
Z a+0,5
P (X = a) =
ϕµ,σ (t)dt
a−0,5
Nun erhalten wir eine Fläche, die wir berechnen mit
Z a+0,5
a + 0, 5 − µ
a − 0, 5 − µ
ϕµ,σ (t)dt = Φ(
) − Φ(
)
σ
σ
a−0,5
7.11 Additivität von Erwartungwert und Varianz
Sind X und Y voneinander unabhängige Zufallsgrößen und werden addiert, so addieren sich
Erwartungswerte und Varianzen der Zufallsgrößen.
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
Dies gilt auch für mehr als zwei Zufallsvariablen!
7.12 Poissonverteilung
Ist X binomialverteilt und es gilt µ > 6;p < 0, 1, so ist
P (X = k) = B(n; p; k) ≈
µk −µ
·e
k!
Man nennt X dann auch poissonverteilt. Die Poissonverteilung kann immer dann angewendet
werden, wenn ein großer Stichprobenumfang mit einer sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeit
vorliegt! Groß ist der Stichprobenumfang, wenn die beiden Faustregeln für die Poissonverteilung erfüllt sind.
82
7.13. HYPOTHESENTESTS
7.13 Hypothesentests
7.13.1 Sammlung wichtiger Begriffe
• Nullhypothese: Aufgestellte Behauptung, die es zu prüfen gilt:
H0 : p = p0 ; H0 : p ≤ p0
• Gegenhypothese/Alternative:
H1 : p 6= p0 ; H1 : p > p0
• Fehler 1.Art
Der Fehler 1.Art beschreibt den Fehler, der begangen wird, wenn die Hypothese zutrifft, man sie aber irrtümlicherweise als falsch annimmt. Mathematisch gesehen heißt
das: X ist so verteilt, wie angenommen, das Ergebnis liegt jedoch außerhalb des Annahmebereichs der Hypothese. Es gilt z.B.p = p0 , das Ergebnis lässt jedoch auf p 6= p0
schließen.
• Fehler 2.Art
Der Fehler 2.Art hingegen beschreibt denjenigen Fehler, der begangen wird, wenn die
Hypothese nicht zutrifft, man sie aber irrtümlicherweise als korrekt annimmt. Mathematisch heißt das: X ist nicht so verteilt, wie angenommen. Es gilt also
p 6= p0 , das Testergebnis fällt jedoch in den Annahmebereich, weshalb die Hypothese
p = p0 als korrekt angenommen wird.
Abbildung 7.3: Darstellung des Fehlers 1. Art bzw. des Fehlers 2.Art
• Risiko 1. und 2.Art
Das Risiko 1. bzw. 2. Art ist jeweils die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. bzw. 2.Art.
Während das Risiko 1.Art (zumeist mit α bezeichnet) zum Aufstellen des Tests gegeben
ist bzw. man einen Wert für α setzen muss - üblicherweise 5% - ist das Risiko 2.Art
(meist β) nicht ohne Vorgaben zu bestimmen, da der Wahrscheinlichkeitswert von der
83
KAPITEL 7. STOCHASTIK
Annahme der Hypothese abweicht. So lässt sich β erst bestimmen, wenn man einen
konkreten Wahrscheinlichkeitswert annimmt und dann die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass das Ergebnis auf Grundlage dieses neuen Wahrscheinlichkeitswertes innerhalb
des Annahmebereichs liegt.
7.13.2 einseitiger/zweiseitiger Test
Es gibt zwei unterschiedliche Testverfahren, einen sog. einseitigen Test, und einen sog. zweiseitigen Test. Der zweiseitige Test wird immer dann angewendet, wenn der Annahmebereich
zwei Grenzen aufweisen muss, eine obere und eine untere, (auch mit rechter und linker Grenze
bezeichnet).
Dies ist immer dann der Fall, wenn die Hypothese H0 : p = p0 lautet.
Diese muss nämlich für sehr kleine Werte und sehr große Werte verworfen werden. Der Annahmebereich A muss hier lauten:
A = [gl ; gr ]
Ā = [0; gl − 1] ∪ [gr + 1; n]
Ā ist hier der Ablehnungsbereich. Beim einseitigen Test gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Einseitige Testverfahren haben zunächst alle gemeinsam, dass es jeweils nur eine Grenze
des Annahmebereichs gibt, die ermittelt werden muss. Ein einseitiger Test liegt immer dann
vor, wenn
H0 : p ≤ p0
oder
H0 : p ≥ p0
Da für den Annahmebereich gilt:
A = [0; gr ]
bzw.
A = [gl ; n]
H0 : p ≤ p0 wird auch für sehr kleine Testergebnisse (0,1,2) akzeptiert! Man nennt Tests der
Art H0 : p ≤ p0 rechtsseitige Tests, da es eine rechte Grenze gibt!
Tests der Art H0 : p ≥ p0 werden als linksseitige Tests bezeichnet, weil es eine linke Grenze
gibt!
84
7.13. HYPOTHESENTESTS
Ermitteln der Grenzen von A: Bei gegebener Irrtumswahrscheinlichkeit α für den Fehler
1.Art bestimmt man wie folgt die Grenzen:
1. linksseitiger Test
Es gilt:
P (X < gl ) ≤ α
2. rechtsseitiger Test
Es gilt:
P (X > gr ) ≤ α
3. zweiseitiger Test Es gilt:
α
2
α
P (X > gr ) ≤
2
Erläuterung: Bei den Tests darf die Wahrscheinlichkeit den Annahmebereich bei korrekter
Hypothese nicht zu treffen maximal α betragen. Bei links- bzw. rechtsseitigen Tests dürfte
die Gleichung leicht nachzuvollziehen sein. Den Wert für gl bzw gr erhält man aus der Tabelle
für die Binomialverteilung bzw. bei großen n durch die Näherung mit der Normalverteilung.
Bei zweiseitigen Tests muss α aufgeteilt werden, da es zwei Grenzen und somit auch zwei
Bereiche gibt, die α abdecken muss. Die Wahrscheinlichkeit außerhalb des Annahmebereichs
zu landen, darf maximal α betragen, daher muss die Wahrscheinlichkeit unterhalb der linken
bzw. oberhalb der rechten Grenze zu landen je α2 betragen!
Es gibt eine sehr schnelle Möglichkeit den Annahmebereich zu bestimmen.
Es gilt grundsätzlich für einseitige Tests:
P (X < gl ) ≤
A = [0; µ + c · σ]
für H0 : p ≤ p0 bzw.
A = [µ − c · σ; n]
für H0 : p ≥ p0 .
Für zweiseitge Tests gilt demensprechend:
A = [µ − c · σ; µ + c · σ]
Für häufige Werte von α sind entsprechende Werte für c meist gegeben. So können die Grenzen
bei bekanntem µ und σ sehr schnell ermittelt werden.
α
0,1%
1%
5%
10%
Einseitiger Test
c = 3, 09
c = 2, 33
c = 1, 64
c = 1, 28
Zweiseitiger Test
c = 3, 29
c = 2, 58
c = 1, 96
c = 1, 64
Tabelle 7.1: c-Werte für häufige Werte von α
85
KAPITEL 7. STOCHASTIK
7.13.3 Schema zum Aufstellen und Prüfen einer Hypothese:
1. Nullhypothese H0 und Gegenhypothese H1 finden und aufstellen.
2. Entscheidung, ob einseitiger oder zweiseitiger Test
3. Definition der Zufallsgröße X mit zugehöriger Verteilung(meist binomial)
4. Bestimmen des Ablehnungs- bzw. Annahmebereichs
5. Auswertung des Ergebnisses des Tests in Bezug auf Ablehnungs- bzw. Annahmebereich
mit Schlussfolgerung!
Beispiele sind im Kapitel Beispiele gegeben!
86
8 Der Binomialkoeffizient
Der Binomialkoeffizient, der aus der Stochastik als
n
n!
=
k
k!(n − k)!
bekannt ist, ist in anderem Zusammenhang ebenfalls schon bekannt. Der Binomialkoeffizient
spielt ebenfalls bei den Binomischen Formeln eine wichtige Rolle, daher seine Herkunft bzw.
seine Bezeichnung als Binomialkoeffizient!
Als Binomialkoeffizienten werden die Faktoren bezeichnet, die beim Ausmultiplizieren von
binomischen Formeln auftreten, so z.B.
(a + b)2 = 1 · a2 + 2 · ab + 1 · b2
oder
(a + b)4 = 1 · a4 + 4 · a3 b + 6 · a2 b2 + 4 · ab3 + 1 · b4
Die Binomialkoeffizienten lassen sich sehr leicht am sog. Pascalschen Dreieck ablesen. Benannt ist dieses Dreieck nach dem französischen Mathematiker Pascal, der als erster die
Binomialkoeffizienten systematisch untersuchte.
Abbildung 8.1: Das Pascalsche Dreieck
Das Dreieck baut sich hierbei wie folgt auf: Die Koeffizienten jeder Zeile ergeben sich aus
der Summe der beiden darüberliegenden Zahlen, wobei der erste und letzte Koeffizient in
jeder Zeile 1 ist.
Die erste Stufe wird nicht mit 1 sondern mit 0.Stufe bezeichnet, da
(a + b)0 = 1
87
KAPITEL 8. DER BINOMIALKOEFFIZIENT
lediglich 1 ergibt. Für n = 1
(a + b)1 = 1 · a + 1 · b
ergeben sich die Koeffizienten der ersten Zeile. So lassen sich also die Koeffzienten bestimmen,
man könnte also auch schreiben
3 3
3 2
3
3 3
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 =
a +
a b+
ab2 +
b
0
1
2
3
Wie zu erkennen ist, nimmt mit jedem Glied die Potenz von a um 1 ab, während die Potenz
von b um 1 zunimmt. Somit ergibt sich für die n-te Zeile
(Binomischer Lehrsatz!)
n n 0
n n−1 1
n n−2 2
n
n 0 n
n
1 n−1
(a + b) =
a b +
a
b +
a
b + ... +
a b
+
a b
0
1
2
n−1
n
⇐⇒ (a + b)n =
n X
n n−k k
a
b ;n ∈ N
k
k=0
Aus den Gesetzmäßigkeiten des Aufbaus des Dreiecks ergeben sich für den Binomialkoeffizienten nk folgende Gesetze:
Zuerst gilt: n, k ∈ N0
•
•
•
•
•
n
= 0; n < k
k
n
n
=1
=
n
0
n
n
=
=n
1
n−1
n−1
n−1
n
+
=
k−1
k
k
0
=1
0
Wobei im letzten Punkt das Gesetz des Aufbaus des Dreiecks verarbeitet wird, denn ein
Koeffizient ergibt sich ja gerade aus der Summe der beiden darüberliegenden Koeffizienten.
Das letzte Gesetz ist nur für n und k größer 0 zulässig!
88
9 Differentialgleichungen
Eine Gleichung, in welcher die erste oder eine höhere Ableitung einer Funktion vorkommt,
heißt Differentialgleichung. In einer Differentialgleichung kann auch die Funktion selbst oder
die Variable vorkommen. Ein Beispiel für eine Differentialgleichung ist:
f (x) = x · f 0 (x)
oder auch
f 0 (x) = 2x · f 000 (x)
9.1 Lösen von Differentialgleichungen
Eine Möglichkeit zur Lösung einer Differentialgleichung besteht in der sog. Separation. Hierbei
werden die Terme für die Funktion bzw. ihre Ableitung auf eine Seite der Gleichung gebracht.
Nicht alle Differentialgleichungen sind auf diese Weise lösbar! An einem Beispiel aus der Natur
soll nun die Separation erklärt werden.
Beispiel: Radioaktive Teilchen zerfallen proportional zu ihrer Anzahl in einer bestimmten
Geschwindigkeit. Da die Geschwindigkeit die Ableitung der Menge der Teilchen nach der Zeit
t ist, gilt:
N 0 (t) = k · N (t)
Wobei beim Zerfall k < 0 ist. Um eine Lösung dieser Differentialgleichung zu bestimmen,
wenden wir das Prinzip der Separation an:
N 0 (t)
=k
N (t)
Integriere nun auf beiden Seiten.
Z
N 0 (t)
dt =
N (t)
Z
kdt
89
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Mit der Substitution N (t) = u gelangen wir zu
Z
1
du = kt + c
u
Integriere nun auch links und erhalte
ln (N (t)) = kt + c
Löse ln auf
N (t) = ekt+c
Da c ein konstanter Wert ist, forme um nach
N (t) = a · ekt
Also ist
N (t) = a · ekt
Eine Schar von Lösungen für die Differentialgleichung
N 0 (t) = k · N (t)
Auch wenn für Wachstums- und Zerfallsvorgänge stets e-Funktionen als Wachstumsfunktionen
verwendet werden, so ist immer der Nachweis zu erbringen, dass jene e-Funktion eine Lösung
für die Differentialgleichung darstellt.
Eine weitere Möglichkeit, Differentialgleichung zu lösen, besteht darin, eine Umkehrung von
Produkt- oder Quotientenregel durchzuführen, wenn klar ist, dass der vorliegende Term durch
Anwendung einer dieser Regeln zustande gekommen ist. Beispiel:
f 0 (x) · x2 + f (x) · 2x = x
Hier wurde eine Produktregel zur Ableitung durchgeführt, wobei die einzelnen Funktionen
u = f (x) und v = x2 sind. Durch Integration erhalten wir also:
Z
0
1
f (x) · x2 + f (x) · 2x dx = x2 + c
2
1
f (x) · x2 = x2 + c
2
Die Schar der Lösungen ist daher
f (x) =
90
k
1
+
2
x
2
9.1. LÖSEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Faustregel für das Lösen einer Differentialgleichung ist also einen der folgenden drei Fälle
zu erreichen:
1. Separation
Trennen der Funktion und ihrer Ableitungen von den anderen Termen, sodass Ausdrücke
der Form
f 0 (x)
= ...
f (x)
bzw.
f 0 (x) · f (x) = ...
entstehen, da sich diese über eine Integration durch Substitution mit u = f (x) direkt
integrieren und lösen lassen.
2. Produkt- oder Quotientenregel
Die Anwendung von Produkt- oder Quotientenregel ist erkennbar, sodass sich diese
umkehren lässt also entweder
f 0 (x)0 v + f (x)v 0 = g(x)
oder
f 0 (x)v − f (x)v 0
= g(x)
v2
3. Die Funktion selbst tritt nicht auf, sondern es ist lediglich eine Ableitung der Funktion
verschachtelt.
Beispiel:
p
f 00 (x) = x
Weitere Aufgaben zum Lösen von Differentialgleichungen sowie praxisorientierte komplexere
Aufgaben sind im Kapitel Aufgaben enthalten!
91
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
9.2 Prüfen einer speziellen Lösung
Um eine spezielle Lösung für eine Differentialgleichung zu prüfen, muss man diese in die
Differentialgleichung einsetzen und überprüfen, ob eine wahre Aussage entsteht. Beispiel:
Es soll überprüft werden, ob y = c1 + 2x + c2 x2 eine Lösung der Diffenrentialgleichung
d2 y
1 dy
2
− ·
+ =0
2
dx
x dx x
darstellt. Bilde hierzu die ersten zwei Ableitungen und setze ein:
dy
= 2 + 2c2 x
dx
d2 y
= 2c2
dx2
Einsetzen:
2c2 −
1
· (2 + 2c2 x) +
x
2
2c2 − − 2c2 +
x
2
= 0
x
2
= 0
x
0 = 0
Also stellt y = c1 + 2x + c2 x2 eine Lösung der Differentialgleichung dar.
9.2.1 Aufstellen der Differentialgleichung zu einer Funktionsschar
Gegeben sei eine Funktionsschar fc durch einen Funktionsterm fc (x) mit dem Parameter
c. Gelingt es, den Parameter c aus den Gleichungen für fc (x) und fc0 (x) zu eliminieren, so
erhält man eine Differentialgleichung der Funktionenschar fc . Jede Funktion von fc erfüllt
die Differentialgleichung. Es kann aber auch Funktionen außerhalb von fc geben, welche die
Differentialgleichung erfüllen.
Beispiel:
f (x) = cx2
f 0 (x) = 2cx
Durch Umformen der Ableitung und Einsetzen in die Funktion erhält man nun eine Differentialgleichung:
f 0 (x)
c=
2x
0
f (x) 2
f (x) =
·x
2x
x
f (x) = f 0 (x) ·
2
92
9.3. NUMERISCHE LÖSUNG
9.3 Numerische Lösung
Für die numerische Lösung einer Differentialgleichung müssen zwei Bedinungen erfüllt sein:
Es tritt nur die erste Ableitung und keine Ableitungen höherer Ordnung auf und es sei ein
Punkt PK (xk /f (xk )) des Graphen der speziellen Lösung bekannt.
Es gibt eine Möglichkeit, wenn diese Voraussetzungen gegeben sind, numerisch eine Lösung
zu finden. Anhand der folgenden Darstellung wird nun die Herleitung erläutert:
Abbildung 9.1: Numerische Lösung einer Differentialgleichung
Es sei die Funktion f (x) gegeben und der Punkt P (xk /f (xk )) gegeben. Es lässt sich nun
leicht ein zweiter Punkt definieren, indem wir auf der Abzisse um das Stück h fortschreiten.
Dieser zweite Punkt P2 (xk + h/f (xk + h)) ist also ebenfalls zu ermitteln. Nun wenden wir die
Gesetzmäßigkeiten im herausgezeichneten Dreieck an. Hier gilt
tan α = f 0 (xk ) =
l
h
Ersetzen wir den Ausdruck für l, so lässt sich auflösen:
f 0 (x) =
f (xk + h) − f (xk )
h
f (xk + h) = f (xk ) + h · f 0 (xk )
Damit ist eine Formel gefunden, um den Funktionswert von P2 bestimmen zu können. So
kann nun weiter verfahren werden, bis sich schließlich eine gute Nährerung für die spezielle
Lösung der Differentialgleichung ergibt.
93
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Beispiel für die numerische Lösung:
f 0 (x) = x + f (x)
h = 0, 1, P (1/1)
k xk f (xk ) f 0 (xk ) = xK + f (xK ) (xk+1 ) = f (xk ) + h · f 0 (xk )
1
1
1
2
1,2
2 1,1
1,2
2,3
1,43
3 1,2 1,43
2,63
1,693
4 1,3 1,693
3
2
5 1,4
2
3,4
2,34
Hinweis: Manche Werte sind gerundet, da es sich hier ohnehin um eine Näherung handelt.
Wir erhalten somit eine Menge von Punkten, die aufgetragen eine Näherung der Kurve ergeben, die eine spezielle Lösung der Differentialgleichung ist.
Für diese Differentialgleichung gibt es noch einen rechnerischen Weg, die spezielle Lösung zu
ermitteln, welcher im Folgenden aufgezeigt werden soll.
94
9.3. NUMERISCHE LÖSUNG
Finden der speziellen Lösung zur Differentialgleichung
f 0 (x) = x + f (x)
Bilde zunächst auf beiden Seiten die Ableitung
f 00 (x) = 1 + f 0 (x)
f 00 (x)
=1
1 + f 0 (x)
Bilde nun das Integral auf beiden Seiten
Z f 00 (x) ·
1
dx = x + c
1 + f 0 (x)
Substituiere ich u = 1 + f 0 (x), so ergibt sich u0 = f 00 (x), daher kann ich direkt schreiben
Z Z
1
1
00
f (x) ·
du = x + c
dx =
1 + f 0 (x)
u
Z
1
du = ln(u) = x + c
u
also
ln(f 0 (x) + 1) = x + c
f 0 (x) + 1 = ex+c
f 0 (x) = c0 · ex − 1
Integriere erneut
Z
f 0 (x)dx =
Z
[c0 · ex − 1]dx
f (x) = c0 · ex − x + c1
Jetzt muss ich einen der beiden Parameter über den Zusammenhang von Funktion und Ableitung bestimmen.
f 0 (x) = x + f (x)
c0 · ex − 1 = x + c0 · ex − x + c1
c1 = −1
und damit
f (x) = c0 · ex − x − 1
Ich weiß, dass P (1/1) ein Punkt von f ist. Setze daher ein und bestimme c0
f (1) = 1 = c0 · e − 2
3
e
Die spezielle Lösung der Diffenrentialgleichung, die durch P (1/1) verläuft, lautet daher
c0 =
f (x) =
3 x
·e −x−1
e
95
KAPITEL 9. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
9.4 Wachstums- und Schwingungsvorgängen
Es gibt drei unterschiedlichen Formen von Wachstum:
1. Natürliches Wachstum
Das Wachstum ist unbeschränkt und exponentiell.
f 0 (t) = k · f (t)
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist
f (t) = a · ekt
2. Beschränktes Wachstum
Ein durch Platzproblem beschränktes Wachstum, aber z.B. auch eine Angleichung der
Temperatur einer Flüssigkeit an die Umgebungstemperatur.
f 0 (t) = k(G − f (t))
Wobei G den Grenzwert des Wachstums darstellt.
f (t) = G − a · ekt
ist hierzu die Lösung der Differentialgleichung. Die Lösung lässt sich auf dem gleichen
Weg wie die Lösung des natürlichen Wachstums herleiten.
3. Logistisches Wachstum
Beim logistischen Wachstum werden natürliches Wachstum und beschränktes Wachstum
gekoppelt.
f 0 (t) = (k · f (t)) · (G − f (t))
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist nicht mehr allzu einfach herzuleiten. Sie lautet:
G
f (t) =
1 + b · e−Gkt
Bei Schwingungsvorgängen treten oftmals harmonische Schwingungen auf, die sich mit Sinusoder Kosinusfunktionen beschreiben lassen. Ist f (t) eine von t abhängige Größe mit
f 00 (t) = −k 2 · f (t)
so gilt
f (t) = a · sin(kt + c)
mit den Konstanten a und c. Merke: Sinus und Kosinus können ineinander durch eine Phasenverschiebung von π2 überführt werden!
96
9.4. WACHSTUMS- UND SCHWINGUNGSVORGÄNGEN
9.4.1 Bekannte Differentialgleichungen
An dieser Stelle seien einige bekannte Differentialgleichungen aufgeführt:
1. Bernoullische Differentialgleichung
dy
+ p(x)y + q(x)y n = 0
dx
2. Riccatische Differentialgleichung
y 0 = p(x)y 2 + q(x)y + r(x)
3. Clairantsche Differentialgleichung
y = xy 0 + f (y 0 )
4. Lagrange-d’Alambertsche Differentialgleichung
y = x · f (y 0 ) + g(y 0 )
97
10 Vollständige Induktion
Die vollständige Induktion stellt ein mächtiges Beweiswerkzeug dar. Sie kann stets verwendet
werden, wenn ein Satz für natürliche Zahlen bewiesen werden soll.
1. 2n + 1 < 2n ; n ≥ 3
P
2. (x + y)n = nk=0 nk xn−k y k ; n ∈ N
Pn
n
3.
k=1 k = 2 · (n + 1); n ∈ N
4. Nachweis für die Taylorentwicklung
Am Beispiel der oben genannten Summenvorschrift soll das Prinzip der vollständigen Induktion erläutert werden.
Es soll gezeigt werden, dass
n
X
k = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
k=1
n
· (n + 1)
2
1. Induktionsanfang
Damit die Vorschrift überhaupt Gültigkeit besitzen kann, muss sie für das erste Glied
gelten. Es muss also gelten:
1
X
1 · (1 + 1)
k=
2
k=1
1
X
k=1
k=1
=⇒ 1 = 1
Der Induktionsanfang ist also erfüllt.
2. Induktionsvoraussetzung
Es wird vorausgesetzt, dass die Vorschrift bereits für die ersten n Glieder gilt. Es gilt
also
n
X
n
k = · (n + 1)
2
k=1
Im Induktionsschluss ist nun zu zeigen, dass sie auch für alle Glieder bis n + 1 gilt.
98
3. Induktionsschluss
n→n+1
Zu zeigen:
n+1
X
(n + 1) · (n + 2)
2
k=
k=1
Beweis:
n+1
X
k=
k=1
n
X
k + (n + 1)
k=1
Nutze nun die Induktionsvoraussetzung
=⇒
n+1
X
k=
n · (n + 1)
+ (n + 1)
2
k=
n · (n + 1) + 2 · (n + 1)
2
k=1
Hauptnenner bilden
⇐⇒
n+1
X
k=1
Ausklammern
⇐⇒
n+1
X
k=1
k=
(n + 1) · (n + 2)
2
was zu zeigen war.
99
11 Approximation von Funktionen
In diesem Kapitel wird behandelt, wie beliebige Funktionen durch ganzrationale Funktionen
angenähert werden können. Dies führt letztendlich zu einer Taylorentwicklung der jeweiligen
Funktion.
Am Beispiel der Sinus-Funktion wird nun das Verfahren der Approximation vorgestellt.
Wir beginnen mit einer Näherungefunktion ersten Grades, welche die Tangente an die Funktion an einem Punkt darstellt. Wir nähern die Funktion grundsätzlich in der Umgebung U
um x = 0 an. Gegeben sei außerdem eine Funktion f , die stetig im Intervall ] − c; c[, c > 0
verläuft und differenzierbar ist.
p1 (x) = a0 + a1 x
sei die Näherungsfunktion 1.Grades, wobei gefordert wird, dass die Näherungsfunktion möglichst gut mit der eigentlichen Funktion übereinstimmt. Gefordert ist daher
p1 (0) = f (0) = a0
p01 (0) = f 0 (0) = a1
Die Näherungsfunktion 1.Grades hat demnach folgende Gleichung:
p1 (x) = f (0) + f 0 (0)x
Sie besitzt den selben Funktionswert und die selbe Steigung wie die zu nähernde Funktion
f (x).
Eine Näherungsfunktion 1.Grades ist nur exakt an der Stelle 0 eine gute Näherung, daher
versuchen wir nun eine Näherungsfunktion 2.Grades aufzustellen
p2 (x) = a0 + a1 x + a2 x2
Um die Koeffizienten bestimmen zu können, müssen wir hier noch eine zusätzliche Bedingung
fordern
p2 (0) = f (0) = a0
p02 (0) = f 0 (0) = a1
p002 (0) = f 00 (0) = 2a2
Es ergibt sich daher als Näherungsfunktion 2.Grades für die Funktion f
p2 (x) = f (0) + f 0 (0)x +
100
f 00 (0 2
x
2
11.1. TAYLORFORMEL
Eine Näherungsfunktion dritten Grades fordert die Übereinstimmung einer weiteren, der
dritten, Ableitung; eine Näherungsfunktion 4.Grades die Überstimmung der 4.Ableitung usw.
Während sich die erste Ableitung anschaulich mit der Steigung, die zweite Ableitung mit
dem Steigungsverhalten, erklären lässt, sind höhere Ableitungen nicht mehr anschaulich darzustellen. Die Näherungsfunktion dritten Grades ergibt sich nach Ermitteln der Koeffizienten
zu
000
p000
3 (0) = f (0) = 6a3
p3 (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3
x +
x
2
6
Die Näherung 4.Grades
p4 (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4
zu:
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 f (4) (0) 4
x +
x +
x
2
6
24
Nun lässt sich die Näherungsfunktion nten Grades aufstellen
p4 (x) = f (0) + f 0 (0)x +
pn (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3
f (n) (0) n
x +
x + ... +
x
2
6
n!
Ein Koeffizient an einer beliebigen Stelle i lässt sich somit durch
ai =
f (i) (0)
i!
bestimmen.
11.1 Taylorformel
Diese Betrachtungen führen zur Taylorformel: Taylorformel für die Stelle 0:
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
f 00 (0) 2 f 000 (0) 3
f (n) (0) n
x +
x + ... +
x + Rn (x)
2
6
n!
Rn (x) ist ein Restglied, welches den Fehler der Approximation zwischen f und pn angibt.
Viele beliebig oft differenzierbare Funktionen f sind auf ganz R bereits durch den Funktionswert und die Werte der Ableitung allein an der Stelle 0 festgelegt.
Für sie gilt:
!
f (0) f 0 (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
f (x) = lim
+
x+
x + ... +
x
n→∞
0!
1!
2!
n!
Diese Darstellung nennt man die Taylorentwicklung.
101
KAPITEL 11. APPROXIMATION VON FUNKTIONEN
Am Beispiel der Kosinusfunktion sei nun zunächst gezeigt, wie gut die Näherung durch
ganzrationale Funktion funktioniert. Gegeben ist hier f (x) = cos(x) sowie die Näherungen
p2 , p4 , p6 , p8 , p10
Abbildung 11.1: Näherung der Cosinus-Funktion durch Polynome 2.,4.,6.,8. und 10. Grades
102
11.1. TAYLORFORMEL
11.1.1 Beispiele für Taylorentwicklungen
Im Folgenden werden nun die Taylorentwicklungen für typische Funktionen hergeleitet.
f (x) = sin x
Die Ableitungen der Sinusfunktion ergeben sich zu
f 0 (x) = cos x; f 00 (x) = − sin(x); f 000 (x) = − cos(x)
f (4) = sin x = f (x)
Die Werte von ± sin(0) = 0. Daher sind nur die Ableitungen, in denen cos x auftritt relevant.
Da das Vorzeichen alterniert muss dies beim Aufstellen der Näherung beachtet werden, außerdem müssen immer ungerade Zahlen für n auftreten. Daher
p2n−1 = .... +
alternativ
p2n−1 = .... +
(−1)n 2n−1
x
(2n − 1)!
1
· f (2n−1) (x) · x2n−1
(2n − 1)!
Es gilt also
sin x = lim p2n−1 (x)
n→∞
mit
p2n−1 = .... +
1
· f (2n−1) (x) · x2n−1
(2n − 1)!
Informationen über den Funktionswert und die Ableitung der Sinusfunktion an der Stelle
0 gestatten Aussagen über Funktionswerte an anderen Stellen. Das heißt: Aus lokalen Informationen lassen sich globale Informationen gewinnen. Die Sinusfunktion lässt sich durch
ganzrationale Funktionen nicht nur in der Nähe des Ursprungs gut annähern! (Auf andere
beliebig oft differenzierbare Funktionen übertragbar!) Die gilt für alle x ∈ R !
sin x = lim p2n−1 (x)
n→∞
mit
p2n−1 = .... +
1
· f (2n−1) (x) · x2n−1
(2n − 1)!
103
KAPITEL 11. APPROXIMATION VON FUNKTIONEN
Auch für die Kosinusfunktion und die natürliche Exponentialfunktion lassen sich die Taylorentwicklungen herleiten. Sie lauten:
cos(x) = lim p2n (x)
n→∞
mit
p2n (x) = 1 −
1 2
1
(−1)n 2n
x + x4 + ... +
x
2!
4!
(2n)!
Bei der Kosinusfunktion werden die ungeraden Ableitungen jeweils 0, da hier die Sinusfunktion
auftritt. Auch bei Kosinus alterniert das Vorzeichen!
ex = lim pn (x)
n→∞
mit
pn = 1 +
x2
xn
x
+
+ ... +
1!
2!
n!
11.1.2 Unendliche Reihenentwicklung von Funktionen
Für sin x, cos x, ex konvergiert das Restglied gegen 0. Daher schreibt man die Taylorentwicklung auch als unendliche Reihe (Taylor-Reihe).
∞
X
x
x3 x5
x2i+1
sin x = −
+
+ −... =
(−1)i
1!
3!
5!
(2i + 1)!
i=0
∞
X
x2 x4
x2i
cos x = 1 −
+
+ −... =
(−1)i
2!
4!
(2i)!
i=0
∞
X xi
x2 x3
x
+
+ ... =
e =1+ +
1!
2!
3!
i!
x
i=0
104
11.1. TAYLORFORMEL
11.1.3 Einschub: Geometrische Reihe
Gehört zu einer geometrischen Folge (a1 ; q n−1 ) die geometrische Reihe (sn ) so gilt für q 6= 1
sn = a1
Für |q| < 1 gilt
sn =
1 − qn
1−q
a1
1−q
Geometrische Reihe:
sn = a1 + a1 q 1 + a1 q 2 + a1 q 3 + ... + a1 q n−1
11.1.4 Logarithmische Reihe
1 − (−1)n xn
1+x
Rechte Seite der Gleichung folgt aus der Beziehung der geometrischen Reihe!
Z x
Z x
Z x
(−1)n tn
1
2
3
n−1 n−1
1 − t + t − t ... + (−1)
t
dt +
dt =
dt
1+t
1+t
0
0
0
1 − x + x2 − x3 + x4 ... + (−1)n xn−1 =
x2 x3 x4
+
−
+ −... = ln(1 + x)
2
3
4
Mit Hilfe dieser Reihe lassen sich ohne Taschenrechner Werte des ln im Bereich von 0 bis
2 approximieren, da |x| < 1 gilt!
x−
105
12 Herleitungen und Beweise
12.1 Analysis
12.1.1 Kettenregel
Ist eine Funktion f differenzierbar ina ∈ X,X ∈ R und liegen alle Funktionswerte in einem
Intervall Y , in dem eine Funktion g differenzierbar ist in b = f (a), so ist g(f (x)) differenzierbar
in a und es gilt:
(g(f (a)))0 = g 0 (f (a)) · f 0 (a)
Beweis:
Definiere eine Funktion g· durch
(
g · (y) =
g(y)−g(b)
y−b
g 0 (b)
y=
6 b
y=b
=⇒ g· ist stetig in b mit
lim g · (y) = g · (b) = g 0 (b)
y→b
Daher gilt für alle y ∈ Y : g(y) − g(b) = g · (y)(y − b)
So folgt:
g(f (x)) − g(f (a))
(g(f (a)))0 = lim
x→a
x−a
g · (f (x))(f (x) − f (a))
x→a
x−a
= lim
= g 0 (f (a)) · f 0 (a)
106
12.1. ANALYSIS
12.1.2 Produktregel
Zu zeigen
f (x) = u(x) · v(x) =⇒ f 0 (x) = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x)
Beweis:
dy
u(x0 + h)v(x0 + h) − u(x0 )v(x0 )
= lim
dx h→0
h
Addieren einer geeigneten 0
u(x0 + h)v(x0 + h) − u(x0 )v(x0 ) v(x0 + h)u(x) v(x0 + h)u(x)
dy
lim
+
−
dx = h→0
h
h
h
u(x
+
h)
−
u(x
)
v(x
+
h)
−
v(x
0
0
0
0
dy
=⇒ dx
= lim v(x0 + h)
+ u(x0 )
h→0
h
h
=⇒
dy
dx
= v(x0 )u0 (x0 ) + u(x0 )v 0 (x0 )
12.1.3 Quotientenregel
Zu zeigen
h(x) =
f (x)
f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)
=⇒ h0 (x) =
g(x)
g 2 (x)
Erweitern auf den Hauptnenner und Addieren einer geeigneten 0
dy
= lim
dx h→0
=⇒
=⇒
f (x+h)
g(x+h)
−
f (x)
g(x)
h
dy
f (x + h) · g(x) − f (x) · g(x + h)
= lim
dx h→0
g(x + h) · g(x) · h
f (x + h) · g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x) · g(x + h)
dy
= lim
dx h→0
g(x + h) · g(x) · h
"
#
(x)
g(x) · f (x+h)−f
− f (x) · g(x+h)−g(x)
dy
h
h
=⇒
= lim
dx h→0
g(x + h) · g(x)
dy
g(x) · f 0 (x) − f (x) · g 0 (x)
=⇒
= lim
dx h→0
g(x + h) · g(x)
=⇒
dy
g(x) · f 0 (x) − f (x) · g 0 (x)
=
dx
g 2 (x)
107
KAPITEL 12. HERLEITUNGEN UND BEWEISE
12.1.4 Ableiten und Integrieren von ex
Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion lässt sich - wie jede Ableitung einer beliebigen Funktion - über den Differentialquotienten bilden:
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
mit f (x) = ex ergibt sich:
ex+h − ex
h→0
h
f 0 (x) = lim
Durch Ausklammern erhält man:
ex (eh − 1)
h→0
h
f 0 (x) = lim
Wählt man nun x = 1 und lässt h gegen 0 laufen, so erkennt man, dass der Ausdruck gegen
e läuft. Es gilt also:
eh − 1
lim
=1
h→0
h
und somit
f (x) = ex
f 0 (x) = ex
damit auch
108
Z
ex dx = ex + c
12.1. ANALYSIS
12.1.5 Ableiten und Integrieren von ln(x)
Zur Bestimmung der Ableitung der ln-Funktion muss die Methode angewendet werden, dass
die Ableitung der Umkehrfunktion gebildet wird und so die Ableitung der eigentlichen Funktion bestimmt werden kann.
f (x) = ex
Umkehrfunktion
x = lny = ϕ(y)
Es gilt
1
ϕ0 (y) =
f 0 (x)
1
ex
ϕ0 (y) =
Ersetze x
ϕ0 (y) =
1
eln y
Vertausche die Variablen und erhalte so:
ϕ(x) = ln x
ϕ0 (x) =
1
eln x
=
1
x
1
ln x0 =
x
Daraus folgt:
Z
1
dx = ln |x| + c
x
Die Stammfunktion zu ln x lässt sich mittels partieller Integration herleiten:
Z
Z
ln xdx = 1 · ln xdx
Wähle
u0 = 1; v = ln x
u = x; v 0 =
1
x
Daraus folgt:
Z
Z 1
1 · ln xdx = x · ln x −
x · dx + c = x · ln x − x + c
x
109
KAPITEL 12. HERLEITUNGEN UND BEWEISE
12.1.6 Regeln von L’Hospital
110
12.2. VEKTOREN
12.2 Vektoren
12.2.1 Skalarprodukt
Die Herleitung, bzw. die eigentliche Bestimmung des Winkels, verläuft über den Kosinus-Satz.
~ Für dieses Dreieck gilt nun
Wir bilden ein Dreieck aus den Vektoren ~a,~b und AB.
~ 2
|~a|2 + |~b|2 − 2 · |~a| · |~b| · cos α = |AB|
Alle Terme, die in der zweiten Potenz stehen, lassen sich nun lösen
(a21 + a22 + a23 ) + (b21 + b22 + b33 ) − 2 · |~a| · |~b| · cos α = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2
Die Binome auf der rechten Seite lassen sich nun ausrechnen und danach können alle Quadrate
aus der Gleichung eliminiert werden.
(a21 +a22 +a23 )+(b21 +b22 +b33 )−2·|~a|·|~b|·cos α = b21 −2a1 b1 +a21 +b22 −2a2 b2 +a22 +b23 −2a3 b3 +a23
−2 · |~a| · |~b| · cos α = −2a1 b1 − 2a2 b2 − 2a3 b3
Vereinfache nun und löse auf
cos α =
a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
|~a| · |~b|
Wir schreiben nun kurz
~a • ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
als Skalarprodukt der Vektoren ~a und ~b. Somit ist
cos α =
~a • ~b
|~a| · |~b|
111
KAPITEL 12. HERLEITUNGEN UND BEWEISE
12.2.2 Vektorprodukt
Zu zeigen:

a2 b3 − a3 b2
~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3  = ~c
a1 b2 − a2 b1

Es gilt
~c • ~a = 0
~c • ~b = 0
Aus diesen beiden Gleichungen lässt sich das Kreuzprodukt herleiten. Zunächst werden die
Skalarprodukte aufgelöst und das unterbestimmte Gleichungssystem durch Additionsverfahren jeweils in eine neue Gleichung mit zwei Variablen verarbeitet. Es ergibt sich:
a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 = 0
b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 = 0
Löse durch Additionsverfahren in drei neue Gleichungen auf
a2 b1 c2 − a1 b2 c2 + a3 b1 c3 − a1 b3 c3 = 0
a1 b2 c1 − a2 b1 c1 + a3 b2 c3 − a2 b3 c3 = 0
a1 b3 c1 − a3 b1 c1 + a2 b3 c2 − a3 b2 c2 = 0
Durch Ausklammern
(a2 b1 − a1 b2 )c2 + (a3 b1 − a1 b3 )c3 = 0
(a1 b2 − a2 b1 )c1 + (a3 b2 − a2 b3 )c3 = 0
(a1 b3 − a3 b1 )c1 + (a2 b3 − a3 b2 )c2 = 0
Löse nun c1 und c2 nach c3 auf.
c2 = −
(a3 b1 − a1 b3 )
(a3 b1 − a1 b3 )
c3 =
c3
(a2 b1 − a1 b2 )
(a1 b2 − a2 b1 )
(a3 b2 − a2 b3 )
c3
(a1 b2 − a2 b1 )
Setze nun c3 = a1 b2 − a2 b1 fest und erhalte die Lösungen
c1 = −
c1 = a2 b3 − a3 b2
c2 = a3 b1 − a1 b3
c3 = a1 b2 − a2 b1
Hieraus ergibt sich nun das Kreuzprodukt in Kurzschreibweise:


a2 b3 − a3 b2
~a × ~b =  a3 b1 − a1 b3  = ~c
a1 b2 − a2 b1
112
12.2. VEKTOREN
Geometrischer Bezug Zu zeigen:
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin α
1. Lemma
Es gilt
|~a|2 · |~b|2 = (a21 + a22 + a23 ) · (b21 + b22 + b23 )
= a21 b21 + a22 b21 + a23 b21 + a21 b22 + a22 b22 + a23 b22 + a21 b23 + a22 b23 + a23 b23
2. Lemma
Es gilt
(~a • ~b)2 = a21 b21 + a22 b22 + a23 b23 + 2 · (a1 a2 b1 b2 + a2 a3 b2 b3 + a1 a3 b1 b3 )
Betrachte das Quadrat des Betrags, da somit die Wurzeln entfallen, im letzten Schritt wird
die Wurzel gezogen.


a2 b3 − a3 b2 |~a × ~b|2 =  a3 b1 − a1 b3 
a1 b2 − a2 b1 = (a2 b3 − a3 b2 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2
= a22 b23 + a23 b22 + a23 b21 + a21 b23 + a21 b22 + a22 b21 − 2(a2 a3 b2 b3 + a1 a3 b1 b3 + a1 a2 b1 b2 )
Mit Lemma (1)
=⇒ |~a × ~b|2 = |~a|2 · |~b|2 − a21 b21 − a22 b22 − a23 b23 − 2(a2 a3 b2 b3 + a1 a3 b1 b3 + a1 a2 b1 b2 )
Mit Lemma (2)
⇐⇒
|~a × ~b|2 = |~a|2 · |~b|2 − (~a • ~b)2
|~a × ~b|2 = |~a|2 · |~b|2 − |~a|2 · |~b|2 · cos2 α
|~a × ~b|2 = |~a|2 · |~b|2 (1 − cos2 α)
=⇒
|~a × ~b| = |~a| · |~b| · sin α
=⇒
⇐⇒
was zu zeigen war
113
KAPITEL 12. HERLEITUNGEN UND BEWEISE
12.3 Binomischer Lehrsatz
Der Beweis des binomischen Lehrsatzes ist in der Regel kein Stoff des Leistungskurses. Er
wird hier der Vollständigkeit halber aufgeführt!
Zu zeigen:
n X
n n−k k
n !
(x + y) =
x
y ∀n ∈ N0
k
k=0
Induktionsanfang: n = 0
(x + y)0 = 1
0 X
0 0−k 0
0 0 0
x y =
x y =1
k
0
k=0
0 X
0 0−k 0
=⇒ (x + y) =
x y
k
0
k=0
Induktionsvoraussetzung:
n X
n n−k k
(x + y) =
x
y
k
n
k=0
114
12.3. BINOMISCHER LEHRSATZ
Induktionsschluss: n → n + 1
Zu zeigen:
(x + y)
n+1
X
n+1 !
=
k=0
n + 1 n−k+1 k
x
y
k
(x + y)n+1 = (x + y)n (x + y)
mit I.V.
=⇒ (x + y)n+1 =
" n X n
k=0
" n X n
k=0
k
#
x
n−k k
y
k
#
xn−k y k (x + y)
n n X
n n−k+1 k X n n−k k+1
(x + y) =
x
y +
x
y
k
k
k=0
k=0
" n # "n−1 #
X n
X n
n+1
n−k+1 k
n−k k+1
= x
+
x
y +
x
y
+ y n+1
k
k
k=1
k=0
"n−1 #
" n #
X n
X
n
n−k k+1
n−k+1 k
x
y
=
x
y
k
k−1
k=0
k=1
=⇒
" n X n
k=0
k
#
xn−k y k (x + y) =
=
=
=
" n X n
#
n
xn+1 +
xn−k+1 y k +
xn−k+1 y k + y n+1
k
k−1
k=1
#
" n X n
n
xn+1 +
+
xn−k+1 y k + y n+1
k
k−1
k=1
" n #
X n + 1
n+1
n−k+1 k
x
+
x
y + y n+1
k
k=1
n+1
X n + 1
xn−k+1 y k
k
k=0
=⇒ (x + y)
n+1
=
n+1
X
k=0
n + 1 n−k+1 k
x
y
k
was zu zeigen war
115
KAPITEL 12. HERLEITUNGEN UND BEWEISE
12.3.1 Herleitung der Potenzregel
Mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes lässt sich nun auch die Potenzregel der Differentiation
herleiten. Die Potenzregel ist
(xn )0 = n · xn−1
Die Herleitung war bisher nicht einfach durchzuführen, mit Hilfe des Binomialkoeffizienten
kann dies jedoch leicht geschehen. Herleitung über den Diffenrenzenquotienten:
f (x) = xn
(x + h)n − xn
dy
=
dx
h
n 0
n−1 1
n
n 0 n
n
n
x
h
+
x
h
+
...
+
(x + h)n − xn
1
n x h −x
= 0
h
h
Vereinfache nun und klammere h aus und erhalte, da n0 = nn = 1 und n1 =
=
n
n−1
=1
h(xn−1 + h · xn−2 + ... + hn−1 h = xn−1 + h · xn−2 + ... + hn−1
h
Bilde nun den Grenzwert für h gegen 0:
lim xn−1 + h · xn−2 + ... + hn−1 = xn−1
h→0
womit gezeigt ist, dass
f 0 (x) =
dy
(x + h)n − xn
=
= xn−1
dx
h
gilt.
Beweis der Potenzregel durch vollständige Induktion Mit Hilfe der vollständigen Induktion
kann die Formel für die Potenzregel einfach bewiesen werden:
n = 0 : (x0 )0 = 0 = 0 · x0−1
n → (n + 1) : (xn+1 )0 = (x · xn )0
Wende Produktregel und Induktionsvoraussetzung ((xn )0 = n · xn−1 ) an
=⇒ (xn+1 )0 = xn + x · n · xn−1
=⇒ (xn+1 )0 = xn (n + 1)
was zu zeigen war.
116
13 Beispiele
13.1 Analysis
13.1.1 Muster für eine Kurvendiskussion
f (x) = x3 + 3x2 + x
1. Ableitungen
Bilde zunächst die ersten drei Ableitungen, da diese später benötigt werden.
f 0 (x) = 3x2 + 6x + 1
f 00 (x) = 6x + 6
f 000 (x) = 6
2. Definitions- und Wertebereich
D=R
W =R
bei ganzrationalen Funktionen trivial, bei e oder ln-Funktion oder zusammengesetzten
Funktionen unbedingt zu berücksichtigen!
3. Symmetrie
• Achsensymmetrie zur y-Achse
Für eine Achsensymmetrie zur y-Achse muss gelten
f (a) = f (−a)
f (a) = a3 + 3a2 + a
f (−a) = −a3 + 3a2 − a
f (a) 6= f (−a)
Damit ist keine Achsensymmetrie vorhanden.(Hinschreiben!)
• Punktsymmetrie zum Ursprung (0/0)
Bei der Punktsymmetrie zum Ursprung muss gelten
f (a) = −f (−a)
Untersuche auf Punktsymmetrie:
f (a) = −f (−a)
f (a) = a3 + 3a2 + a
−f (−a) = a3 − 3a2 + a
Keine Punktsymmetrie zum Ursprung vorhanden. (Hinschreiben!)
117
KAPITEL 13. BEISPIELE
Bei ganzrationalen oder gebrochen rationalen Funktionen lässt sich der Symmetrienachweis auch über die Argumentation erbringen, ob die Funktion(en) gerade oder ungerade
sind.
4. Nullstellenberechnung
Bedingung für Nullstellen : f (x) = 0
f (x) = 0
0 = x3 + 3x2 + x
0 = x(x2 + 3x + 1)
x = 0 ∨ x2 + 3x + 1 = 0 =⇒ x1 = 0
Entweder das eine, oder das andere 0, ∨ bedeutet “oder“
x2 + 3x + 1 = 0
r
9
x2/3 = −1, 5 ±
−1
4
√
5
=⇒ x2 = −1, 5 +
≈ −0, 382
2
√
5
≈ −2, 618
=⇒ x3 = −1, 5 −
2
Die Wurzeldarstellung ist genauer, für das Zeichnen später, brauchen wir aber den
Zahlenwert, wenn auch gerundet.
118
13.1. ANALYSIS
5. y-Achsenabschnitt
Den y-Achsenabschnitt hat man schnell berechnet. Man setzt in die Funktion einfach
Null ein.
f (0) = 0 =⇒ Sy (0/0)
6. Extrema
Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema:
f 0 (x) = 0 ∧ f 00 (xE ) 6= 0
Erste Ableitung muss 0 sein und die zweite Ableitung des Extremspunktes muss ungleich
Null sein. Es gilt:
ist f 00 (xE ) < 0 dann ist an der Stelle xE ein lokales Maximum,
ist f 00 (xE ) > 0 dann ist an der Stelle xE ein lokales Minimum,
Ist die zweite Ableitung ebenfalls 0, dann liegt an der Stelle xE ein Sattelpunkt vor,
ein Punkt bei dem die Funktion weder steigt noch fällt (Steigung 0) es aber keinen
Vorzeichenwechsel der Steigung gibt
Untersuche nun die Funktion auf Extrema:
f 0 (xE ) = 0
0 = 3x2E + 6xE + 1
0 = x2E + 2xE +
1
3
r
xE1 /E2 = −1 ±
1−
r
2
3
r
2
3
xE1 = −1 +
xE2 = −1 −
1
3
r
r
2
2
f (−1 +
) = −6 + 6
+ 6 > 0 =⇒ lokales Minimum
3
3
r
r
2
2
00
f (−1 +
) = −6 − 6
+ 6 < 0 =⇒ lokales Maximum
3
3
Daraus folgen die Extrempunkte, jetzt mit Zahlenwerten zum Zeichnen. Man setzt für
die y-Koordinate des Extrempunktes den errechneten x-Wert in f (x) ein, nicht in die
Ableitungen!!!, man möchte ja den Punkt auf dem Graphen bekommen!
00
PM in (−0, 184/ − 0, 089)
PM ax (−1, 82/2, 1)
Werte sind für das Zeichnen gerundet!!!
119
KAPITEL 13. BEISPIELE
7. Wendepunkte
Notwendige und hinreichende Bedingung für Wendepunkte
f 00 (xW ) = 0 ∧ f 000 (xW ) 6= 0
Untersuche auf Wendepunkte
f 00 (xW ) = 0
0 = 6xW + 6
=⇒ xW = −1
f 000 (−1) = 6 6= 0 =⇒ W endepunkt
Wendepunkt gefunden, y-Koordinate ermitteln durch Einsetzen
der x-Koordinate in Funktionsgleichung, dann folgt
PW (−1/1)
8. Betrachtung des Verhaltens für x → ±∞
lim (x3 + 3x2 + x) = +∞
x→+∞
lim (x3 + 3x2 + x) = −∞
x→−∞
Bei ganzrationalen Funktionen muss man sich hierbei einfach den größten Exponenten
anschauen, ist er ungerade geht die Funktion bei x gegen Minus-Unendlich auch gegen
Minus-Unendlich. Saubere Formulierung ist hierbei aber
lim (x3 + 3x2 + x) = lim (x3 (1 +
x→−∞
x→−∞
3
1
+ ) = −∞
x x2
Hier sieht man, dass die Klammer gegen 1 geht. x3 ist also entscheidend für den Verlauf
der Funktion im Unendlichen.
120
13.1. ANALYSIS
9. Graph Bevor man gleich zeichnet ist es ratsam, so man die Zeit hat, zunächst alle
ermittelten Ergebnisse wieder zusammenzuschreiben(sei an dieser Stelle ausgespart)
Achsen beschriften, Einteilung, Punkte eintragen und aufgrund des Verhaltens im Undendlichen die Kurve so zeichnen, wie es einem nach der Diskussion nun möglich ist.
Gegebenfalls ist trotz der charakteristischen Punkte eine Wertetabelle anzufertigen!
121
KAPITEL 13. BEISPIELE
13.1.2 Durchgerechnete Aufgabe zur Analysis
Muster für Bearbeitung von Analysis-A2 aus Stark
Gegeben ist die Funktion
f (x) =
100
2 + e−3x
Sie stellt eine sog. Sättigungskurve dar.
1. Bestimmen Sie die asymptotische Verhalten von f und geben Sie den Wertebereich von
f an.
Es gilt
f (x) > 0
da sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion stets größer Null sind, für jedes
beliebige x ∈ R.
100 > 0; 2 + e−3x > 0|x ∈ R
Bestimme nun das asymptotische Verhalten von f
100
lim
=0
x→−∞ 2 + e−3x
100
100
lim
=
= 50
−3x
x→∞ 2 + e
2
Aus den Grenzwerten von f folgt der Wertebereich von f
W = [0; 50]
2. Besonders interessant ist die Stelle, an der sich das Sättigungstempo am schnellsten
ändert, die Steigung von f’ also am größten ist. Bestimmen Sie diese Stelle und die Gleichung der Tangenten durch den dadurch bestimmten Punkt der Kurve von f. Zunächt
müssen wir die Ableitungen bilden
f (x) =
100
2 + e−3x
mit Quotientenregel erhalten wir
f 0 (x) =
und
f 00 (x) =
−900e−3x · (2 + e−3x )2 − 300e−3x · 2(2 + e−3x ) · (−3) · e−3x
(2 + e−3x )4
f 00 (x) =
122
−100 · (−3)e−3x
300 · e−3x
=
(2 + e−3x )2
(2 + e−3x )2
−900 · e−3x (2 + e−3x ) + 1800e−6x
(2 + e−3x )3
13.1. ANALYSIS
Für die Wendestelle gilt f 00 (x) = 0 als notwendige Bedingung. Da der Nenner von f 00 (x)
für kein x aus R Null werden kann, genügt es, die Zählerfunktion ohne Berücksichtigung
des Nenners auf Nullstellen zu untersuchen.
0 = −900 · e−3x (2 + e−3x ) + 1800e−6x
0 = −1800e−3x − 900e−6x + 1800e−6x
Substitution
e−3x = u
0 = 900u2 − 1800u
0 = u2 − 2u
erhalte aus pq-Formel die Lösungen für u
u1/2 = 1 ±
√
1−0
u1 = 0; u2 = 2
Rücksubstitution:
e−3x1 = 0
hat keine Lösung!
e−3x2 = 2
−3x2 = ln 2
ln 2
≈ −0, 23
x2 = −
3
Bestimme nun die Tangentengleichung
t : y = mx + b
Bestimme zunächst die Steigung der Tangenten
f 0 (x2 ) = f 0 (−
ln 2
300 · eln 2
300 · 2
)=
=
= 37, 5 = mt
3
(2 + 2)2
(2 + eln 2 )2
Bestimme nun die y-Koordinate des Berührpunktes, um einen Punkt auf der Tangenten
zu kennen
100
ln 2
f (x2 ) = f (−
)=
= 25
3
2 + eln 2
Damit kennen wir P (− ln32 /25) ∈ t. Setze P nun in die Tangentengleichung ein, um die
Verschiebung zu bestimmen.
t : y = 37, 5x + b
ln 2
25 = −37, 5 ·
+b
3
ln 2
b = 25 + 37, 5 ·
= 33, 67
3
Damit ist die Tangentengleichung
t : y = 37, 5x + 33, 67
123
KAPITEL 13. BEISPIELE
3. Weisen Sie nach, dass G(x) eine Stammfunktion von g(x) ist
g(x) =
1
b + ceax
x
1
−
· ln(b + ceax )
b
ab
G(x) =
Um dies nachzuweisen, leitet man G(x) ab und muss zeigen, dass sich diese Ableitung
zu g(x) ergibt. alsoG0 (x) = g(x) gilt.
G0 (x) =
1
1
1
−
·
· ca · eax
b ab b + ceax
G0 (x) =
Hauptnenner bilden.
G0 (x) =
1
ca · eax
−
b ab · (b + ceax )
a · (b + ceax ) − ca · eax
ab · (b + ceax )
G0 (x) =
ab + caeax − ca · eax
ab · (b + ceax )
G0 (x) =
G0 (x) =
ab
ab · (b + ceax )
1
= g(x), qed
(b + ceax )
Damit wurde gezeigt, dass G(x) die Stammfunktion zu g(x) darstellt.
124
13.1. ANALYSIS
4. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Ergbenisse von Aufgabe c die Fläche zwischen
Kurve und x-Achse zwischen den Abzissenwerten 0 und 1
Aus c wissen wir, dass für jede Funktion g(x) mit
g(x) =
1
b + ceax
G(x) mit
x
1
−
· ln(b + ceax )
b
ab
eine Stammfunktion darstellt. Wir wenden diese Erkenntnis nun auf die konkrete Funktion f an. Diese hat folgende Werte für die Parameter
G(x) =
f (x) =
100
= 100 · g(x); b = 2, c = 1, a = −3
2 + e−3x
Daher ergibt sich
Z
Z
100 · g(x) = 100 ·
F (x) =
F (x) = 100 ·
g(x) = 100 · G(x)
x ln(2 + e−3x )
+
2
6
Damit ergibt sich der Flächeninhalt
Z
A=
0
1
x ln(2 + e−3x )
f (x)dx = 100 ·
+
2
6
1
0
1 ln(2 + e−3 )
ln 2 + e0
A = 100 · [ +
−0−
]
2
6
6
A ≈ 43, 652
Der Flächeninhalt beträgt daher etwa 43,65 [FE].
125
KAPITEL 13. BEISPIELE
5. Äußern Sie sich zur Existenz der Umkehrfunktion von f durch Betrachtung der Monotonie von f. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion und geben Sie ihren Definitionsbereich
an
Ist eine Funktion streng monoton fallend, bzw streng monoton steigend, so existiert sicher eine Umkehrfunktion. Die Kriterien streng monoton fallend bzw. wachsend können
über die Steigung der Funktion, das heißt die 1. Ableitung nachgewiesen werden. Ist
die erste Ableitung für alle x des Definitionsbereiches (hier R) größer als Null, so ist
die Steigung immer positiv und die Funktion damit streng monoton steigend. Ist die
Steigung stets kleiner 0, so ist sie streng monoton fallend.
f 0 (x) =
300 · e−3x
(2 + e−3x )2
besitzt keine Nullstelle, es gibt daher keine Extrema. Die Funktion kann also nur streng
monoton wachsend bzw fallend sein im gesamten Definitionsbereich, es muss keine Intervalleinteilung vorgenommen werden. Da
300 · e−3x > 0
und
(2 + e−3x )2 > 0
für alle x ∈ R, ist die Steigung der Funktion stets größer 0
f 0 (x) > 0|x ∈ R
und die Funktion damit streng monoton steigend.
Die Umkehrfunktion lässt sich nun durch Vertauschen der Parameter finden
f (x) = y =
x=
100
2 + e−3x
100
2 + e−3y
löse nach y
100
x
100
− 2)
−3y = ln(
x
1
100
y = − · ln(
− 2) = f −1 (x)
3
x
2 + e−3y =
Da für alle x > 50 das Argument ln negativ wird, ist der Definitionsbereich von f −1 (x)
D = [0; 50]
Er entspricht damit dem Wertebereich von f.
126
13.1. ANALYSIS
6. Bestimmen Sie die Stelle a der Umkehrfunktion, an der die Tangente an die Umkehrfunktion die Steigung 1 besitzt
1
100
f −1 (x) = − · ln(
− 2)
3
x
Bestimme zunächst die Ableitung
1
f 0−1 (x) = − ·
3
f 0−1 (x) =
100
x
3x2
f 0−1 (x) =
1
−100
·
x2
−2
100
· ( 100
x − 2)
100
300x − 6x2
Bestimme nun die Stelle a
f 0−1 (a) = 1 =
100
300a − 6a2
−6a2 + 300a = 100
100
=0
a2 − 50a +
6
r
50
a1/2 = 25 ± 625 −
3
r
50
a1 = 25 + 625 −
≈ 49, 66
3
r
50
a2 = 25 − 625 −
≈ 0, 34
3
Es gibt also zwei Stellen bei denen die Steigung der Tangenten an die Umkehrfunktion
1 ist.
127
KAPITEL 13. BEISPIELE
13.2 Vektorrechnung
13.2.1 Beispiele zur Lagen von Geraden zueinander



1
g : ~x =  2  + t1 
3
 

0
h : ~x =  0  + t2 
1

3
2 
1

2
0 
1
Prüfe zunächst auf Parallelität:

λ~v = ~u
 

2
3
λ 0  =  2 
1
1
Aus
II : 0 · λ = 2
folgt Die Geraden sind nicht parallel!
Bringe nun die Geraden zum Schnitt:
 
   
 
1
3
0
2
 2  + t1  2  =  0  + t2  0 
3
1
1
1
1 + 3t1 = 2t2
2 + 2t1 = 0
3 + t1 = 1 + t2
II in III
1 + 3t1 = 2t2
t1 = −1
3 − 2 = t2 => t2 = 1
in I
1−3=2
Es gibt also keine Lösung der Gleichung! Daraus folgt: Die Geraden sind windschief!
128
13.2. VEKTORRECHNUNG
Beispiel 2


 
7
1
g : ~x =  3  + s  1 
9
1
 


0
1
h : ~x =  4  + t  −1 
2
1
Prüfe auf Parallelität




1
1
 1  = λ  −1 
1
1
λ = 1, λ = −1, λ = 1− > Geraden sind nicht parallel
7+s = t
3+s = 4−t
9+s = 2+t
Setze I in II
7+s = t
3 + s = 4 − 7 − s => s = −3
9+s = 2+t
Erhalte s = −3 und aus I t = 4. Prüfe in III
9−3=2+4
Gleichung ist erfüllt. Daraus folgt
L = {(−3, 4)}
Setze nun s in g ein, um den Ortsvektor zu S zu bekommen
 
   
7
1
4





3
0 
~s =
−3 1
=
9
1
6
Der Schnittpunkt ist also S(4/0/6).
129
KAPITEL 13. BEISPIELE
13.2.2 Beispielaufgaben zum Schnitt von Ebenen und Geraden
E1 : 3x1 + x2 − 4x3 = −3
E2 : x1 + x2 + 2x3 = 8




1
3
g : ~x =  2  + µ  −2 
−4
7
Schneide zunächst E1 mit g.
Setze dazu die Koordinatengleichungen von g
x1 = 1 + 3µ
x2 = −2µ + 2
x3 = 7µ − 4
in die Koordinatengleichung von E1 ein und erhalte:
3 + 9µ + 2 − 2µ + 16 − 28µ = −3
Löse nach µ und erhalte
21µ = 24
µ=
24
21
Setze ein in g



1
3
24 
−2 
~s =  2  +
21
−4
7
 31 

7
~s =  − 27 
4
Somit ist der Schnittpunkt S(
130
31
2
/ − /4).
7
7
13.2. VEKTORRECHNUNG
Beispiel 2: Schneide Ebene mit Ebene
Schneide E1 mit E2
E1 : 3x1 + x2 − 4x3 = −3
E2 : x1 + x2 + 2x3 = 8
Ziehe die zweite Gleichung von der ersten ab und erhalte
2x1 − 6x3 = −11
x1 = 3x3 −
11
2
Setze ein in II und löse nach x2
x2 = 8 − 2x3 − x1
x2 = 13, 5 − 5x3
Setze x3 = r
x1 = 3r − 5, 5
x2 = −5r + 13, 5
x3 = r
 
 
gs : ~x =   + r ·  
Vervollständige gemäß den Gleichungen nach




3
−5, 5
gs : ~x =  13, 5  + r ·  −5 
0
1
131
KAPITEL 13. BEISPIELE
13.2.3 Beispiele zu Abstandsberechnungen
1. Abstand eines Punktes von einer Ebenen auf zwei Arten
Welchen Abstand hat der Punkt P (2/5/8) von den Ebenen

  

1
12
E1 : ~x −  3  •  5  = 0
6
7
E2 : 3x1 + 5x2 − x3 = −9
Berechne den Abstand zu E1 , bestimme zunächst n~0
p
√
|~n| = 122 + 52 + 72 = 218


12
1 
5 
n~0 = √
218
7
Setze nun p~ und n~0 ein.

  


2
1
12
1 
5 |
d(P, E1 ) = |  5  −  3  • √
218
8
6
7


 
12
1
1 
5 |
d(P, E1 ) = |  2  • √
218
7
2
d(P, E1 ) = |
12 + 10 + 14
36
√
| = |√
| ≈ 2, 44
218
218
Abstand von P zu E1 , forme dazu in die Hessesche Normalenform um
E2 : 3x1 + 5x2 − x3 = −9
E2 : 3x1 + 5x2 − x3 + 9 = 0
umformen, damit der konstante Term abgezogen wird!
=> −3x1 − 5x2 + x3 − 9 = 0
Hessesche Normalenform
−3x1 − 5x2 + x3 − 9
√
=0
9 + 25 + 1
Setze P ein
−3 · 2 − 5 · 5 + 8 − 9
√
|
35
−32
d(P, E2 ) = | √ | ≈ | − 5, 4| = 5, 4
35
Das heißt: P liegt zu E1 im Halbraum, in dem der Ursprung nicht liegt, zu E2 hingegen
in dem Halbraum in dem der Ursprung liegt! Man sieht deutlich, dass Methode zwei
schneller ist, daher, wenn die Ebene in Koordinatenform gegeben ist, stets so verfahren!
d(P, E2 ) = |
132
13.2. VEKTORRECHNUNG
13.2.4 Umfassendes Beispiel
1. Gegeben sind die Ebenen
E1 : 3x1 + 4x2 − x3 = 17
und die Ebene E2 durch die Punkte :A(3/0/5), B(6/ − 5/4), C(5/ − 8/16)
• Bestimmen Sie die Durchstoßpunkte von E1 mit den Koordinatenachsen
• Bestimmen Sie, falls vorhanden, die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2 und
geben Sie den Schnittwinkel der Ebenen an.
• Es sei ein Punkt P gegeben P (10/2/ − 5). Welchen Abstand hat P von E2 ? Wie
liegt P zu E2 verglichen mit dem Ursprung?
2. Gegeben ist die Gerade




2
−4
g : ~x =  1  + r  1 
9
5
und die Kugel K mit dem Mittelpunkt M (1/1/1) und dem Radius r = 4.
• Bestimmen Sie die Lage von Kugel und Gerade zueinander.
• Welchen Abstand hat der Mittelpunkt von der Geraden g ?
3. Zusatz
Gegeben seien zwei Kugeln.
Kugel K1 : M1 (2/ − 5/0), r1 = 5
Kugel K2 : M2 (7/0/1), r2 = 8
Bestimmen Sie die Lage der Kugeln zueinander.
133
KAPITEL 13. BEISPIELE
1. Gegeben sind die Ebenen
E1 : 3x1 + 4x2 − x3 = 17
und die Ebene E2 durch die Punkte :A(3/0/5), B(0/5/6), C(5/ − 8/16)
• Bestimmen Sie die Durchstoßpunkte von E1 mit den Koordinatenachsen
Für den Durchstoßpunkt mit der x1 -Achse gilt
x2 = x3 = 0
in E1
3x1 = 17
17
x1 =
3
Also ergibt sich der Durchstoßpunkt
D1 (
17
/0/0)
3
Analog für x2 - und x3 -Achse
x1 = x3 = 0
4x2 = 17
17
D2 (0/ /0)
4
x1 = x2 = 0
−x3 = 17
D3 (0/0/ − 17)
• Bestimmen Sie, falls vorhanden, die Schnittgerade der Ebenen E1 und E2 und geben Sie den Schnittwinkel der Ebenen an.
Zur Bestimmung der Schnittgeraden werden die beiden Ebenen zum Schnitt gebracht. Bestimme zunächst die Ebenengleichung von E2 und erhalte die Parameterform
 




3
−3
2
E2 : ~x =  0  + λ  5  + µ  −8 
5
1
11
Leite aus E2 folgende Koordinatengleichung ab
x1 = 3 − 3λ + 2µ
x2 = 5λ − 8µ
x3 = 5 + λ + 11µ
Setze diese Gleichungen in die Ebenengleichung von E1 ein
9 − 9λ + 6µ + 20λ − 32µ − 5 − λ − 11µ = 17
134
13.2. VEKTORRECHNUNG
10λ − 37µ = 13
Löse nach λ
λ=
37µ 13
+
10
10
Setze diese Lösung nun in E2 ein.






−3
3
2
37µ 13 
5  + µ  −8 
~x =  0  +
+
10
10
5
1
11
Umformen und Ausrechnen ergibt




−0, 9
−9, 1
~x =  6, 5  + µ  10, 5 
6, 3
14, 7
und damit



−91
−0, 9
g : ~x =  6, 5  + µ  105 
147
6, 3

als Schnittgerade von E1 und E2 .
Ermittle nun den Schnittwinkel der beiden Ebenen. Der Winkel zwischen den Ebenen entspricht dem Winkel der Normalenvektoren der Ebenen zueinander. Erhalte
den Normalenvektor für E1 direkt aus der Koordinatengleichung


3
n~1 =  4 
−1
Für den Normalenvektor von E2 bilde ich das Vektorprodukt der Richtungsvektoren von E2

 
 

−3
2
55 + 8
 5  ×  −8  =  2 + 33 
1
11
24 − 10


63

35 
n~2 =
14
Wird vereinfacht zu




9
63
n~2 =  5  (= 7 ·  35 )
2
14
Der Winkel ergibt sich nun aus der Beziehung des Skalarprodukts.
n~1 • n~2 = |n~1 | · |n~2 | · cos ϕ
cos ϕ =
n~1 • n~2
|n~1 | · |n~2 |
135
KAPITEL 13. BEISPIELE
Setze n~1 und n~2 ein und erhalte
27 + 20 − 2
√
cos ϕ = √
≈ 0, 841
26 · 110
ϕ = 32, 7
Also ist der Schnittwinkel ϕ zwischen den beiden Ebenen etwa 32,7°.
• Es sei ein Punkt P gegeben P (10/2/ − 5). Welchen Abstand hat P von E2 ? Wie
liegt P zu E2 verglichen mit dem Ursprung?
Da ich einen Normalenvektor der Ebenen kenne, kann ich die Hessesche Normalenform ohne Probleme aufstellen. Wir wählen hier die Koordiantenform der Hesseschen Normalenform, diese ist leichter zu handhaben. Stelle zunächst die Normalenform der Ebenen auf
   
3
9
E2 : [~x −  0 ] •  5  = 0
5
2
Stelle die Koordinatenform her
E2 : 9x1 + 5x2 + 2x3 = 27 + 0 + 10 = 37
Forme zur Hesseschen Normalenform um
E2 :
9x1 + 5x2 + 2x3 − 37
√
=0
81 + 25 + 4
Ich kann nun P dort einsetzen, um den Abstand zu bestimmen
d(P, E2 ) = |
9 · 10 + 5 · 2 − 2 · 5 − 37
√
| = |5, 05| = 5, 05
110
Der Abstand beträgt daher etwa 5, 05[LE]. P liegt zudem in dem Halbraum von
E2 , der dem Ursprung abgewandt ist. E2 liegt also zwischen Ursprung und P .
136
13.2. VEKTORRECHNUNG
2. Gegeben ist die Gerade




2
−4
g : ~x =  1  + r  1 
9
5
und die Kugel K mit dem Mittelpunkt M (1/1/1) und dem Radius r = 4.
• Bestimmen Sie die Lage von Kugel und Gerade zueinander.
Zunächt muss ich die Kugelgleichung aufstellen. Aus den Angaben ergibt sich
K : (x1 − 1)2 + (x2 − 1)2 + (x3 − 1)2 = 16
als Kugelgleichung.
Bringe nun Gerade und Kugel zum Schnitt. Bilde dazu Koordinatengleichungen
aus der Geradengleichung und erhalte
x1 = 2 − 4r
x2 = 1 + r
x3 = 9 + 5r
Setze ein in K
(−4r + 1)2 + (r)2 + (5r + 8)2 = 16
Multipliziere aus
16r2 − 8r + 1 + r2 + 25r2 + 80r + 64 = 16
42r2 + 72r + 49 = 0
49
72
=0
r2 + r +
42
42
p-q-Formel
s
r1/2
36
=− ±
42
2
( 72
49
42 )
−
4
42
2
( 72
49
42 )
−
<0
4
42
Daher gibt es keinen Schnittpunkt von g mit K, da es keine Lösung für r gibt. g
ist daher eine Passante.
137
KAPITEL 13. BEISPIELE
• Welchen Abstand hat der Mittelpunkt von der Geraden g ?
Um den Abstand eines Punktes von einer Geraden zu bestimmen, muss man die
sog. Trägerebene bilden.
Diese enthält den Punkt, zu dem man den Abstand sucht, und die Gerade steht
senkrecht auf ihr. Folglich ergibt sich für die Trägerebene in unserem Fall
  

1
−4
E : [~x −  1 ] •  1  = 0
1
5
E : −4x1 + x2 + 5x3 = 2
Bringe diese Ebene nun mit der Geraden zum Schnitt um den Fußpunkt zu ermitteln.
g schneidet E
−8 + 16r + r + 1 + 25r + 45 = 2
6
r=−
7
Setze ein in g

 

2
−4
6
f~ =  1  −  1 
7
9
5
Der Fußpunkt ist also
38 1 33
/ / )
7 7 7
Nun kann ich den Abstand bestimmen
F(
d(M, g) = |F~M | = |(m
~ − f~|
 31 
r
−7
312 + 62 + 262
6
d(M, g) = |  7  | = |
| ≈ 5, 843
72
26
−7
Der Abstand von g zu M beträgt daher circa 5, 843[LE].
138
13.2. VEKTORRECHNUNG
3. Gegeben seien zwei Kugeln.
Kugel K1 : M1 (2/ − 5/0), r1 = 5
Kugel K2 : M2 (7/0/1), r2 = 8
Bestimmen Sie die Lage der Kugeln zueinander.
Stelle zunächst beide Kugelgleichungen auf:
K1 : (x1 − 2)2 + (x2 + 5)2 + x23 = 25
K2 : (x1 − 7)2 + x22 + (x3 − 1)2 = 64
Ausmultiplizieren der beiden Gleichungen liefert
K1 : x21 − 4x1 + 4 + x22 + 10x2 + 25 + x23 = 25
K2 : x21 − 14x1 + 49 + x22 + x23 − 2x3 + 1 = 64
Eliminiere durch Additionsverfahren die quadratischen Terme und erhalte mit I − II
10x1 − 45 + 10x2 + 25 + 2x3 − 1 = −41
Erhalte die Schnittkreisebene der beiden Kugeln mit
E : 5x1 + 5x2 + x3 = −10
139
KAPITEL 13. BEISPIELE
13.3 Stochastik
13.3.1 Hypothesentest Metallica
Metallica-Fans behaupten, dass mindestens 85% aller Menschen ihre Lieblingsband kennen.
Zur Überprüfung wird eine Umfrage bei 1000 repräsentativ gewählten Personen durchgeführt.
Geben Sie eine Entscheidungsregel an(fürα = 5%) und erläutern Sie in diesem Zusammenhang
auch den Fehler 1.Art bzw. 2.Art, und geben Sie das Risiko 2.Art an für den Fall, dass in
Wirklichkeit nur 75% aller Menschen Metallica kennen.
Zunächst müssen wir die Nullhypothese aufstellen
H0 : p ≥ 0, 85
H1 : p < 0, 85
Stichprobenumfang n = 1000
Risiko 1.Art α = 0, 05
Der Fehler 1.Art ist hier, dass die Hypothese zutrifft, tatsächlich also mindestens 85% der
Menschen Metallica kennen, das Testergebnis uns jedoch zum Schluss kommen lässt, dass die
Nullhypothese nicht zutrifft, wir die Hypothese also verwerfen und den Test nicht als erfolgreich einstufen.
Der Fehler 2.Art hingegen bedeutet, dass in Wirklichkeit die Nullhypothese nicht zutrifft, das
bedeutet weniger als 85% kennen Metallica, wir kommen jedoch zum Schluss, mindestens 85%
der Menschen würden Metallica kennen. Wir nehmen also die Nullhypothese irrtümlicherweise
als zutreffend an! Das Risiko 2.Art kann erst durch die Vorgabe eines neuen Wahrscheinlichkeitswerts berechnet werden.
140
13.3. STOCHASTIK
Aufgrund unserer Nullhypothese p ≥ 0, 85 entscheiden wir uns für ein einseitiges Testverfahren, nämlich einen linksseitigen Test.
Damit ergibt sich der Annahmebereich zu:
A = [g; n]
mit g als linker Grenze.
Aus n = 1000 als Stichprobenumfang ergibt sich mit p = 0, 85 als Grenzfall, wenn X binomialverteilt sei mit X: Anzahl der Menschen, die Metallica kennen:
µ = n · p = 850
p
√
σ = n · p · q = 127, 5 ≈ 11, 29
Die linke Grenze wird wie folgt bestimmt. Es gilt:
P (X < g) ≤ 0, 05
Mit Hilfe der Normalverteilung über die Näherung von Le Moivre Laplace lässt sich g
bestimmen. Schneller jedoch, da α = 5% ist, durch
g =µ−c·σ
Mit c = 1, 65, da α = 0, 05 und ein einseitiges Testverfahren angewendet wird. Es ergibt sich
damit
µ − 1, 65 · σ = 831, 36
g = 832
A = [832; 1000]
Damit wird die Nullhypothese akzeptiert, solange 832 oder mehr Befragte Metallica kennen.
Bestimme nun den Fehler 2.Art für den Fall, dass p = 0, 75 beträgt.
Es ergeben sich durch den neuen Wert für p neue Werte für µ und σ
µ = n · p = 750
p
√
σ = n · p · q = 187, 5 ≈ 13, 7
Es muss nun die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, innerhalb des Annahmebereichs zu
landen
P (832 ≤ X ≤ 1000) = 1 − P (X < 832) = 1 − P (X ≤ 831)
831, 5 − 750
√
=1−Φ
187, 5
= 1 − Φ(5, 94) = 1 − 1 = 0
Der Fehler zweiter Art ist damit vernachlässigbar klein!
Es gibt Fälle, in denen der Fehler 2.Art sehr groß ist ( bis zu 0,5). Hier sollte entweder das
Signifikanzniveau α verkleinert werden oder der Stichprobenumfang n vergrößert werden, um
das Risiko 2.Art zu verkleinern!
141
14 Aufgaben mit Lösungen
14.1 Analysis
14.1.1 Integralrechnung
1. Integralberechnung
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Integrale
R4
• 0 (x3 − 2x + 4)dx
R1
• 0 (x8 + 3x6 − 5x4 + 3x − 1)dx
R2√
• 0 xdx
R 2π
• 0 cos(x)dx
R8
1
• 3 (x9 − 3x5 + √ )dx
x
R4 1
• 1 2 dx
x
R8 1
1
• 4 ( 3 − 2 )dx
x
x
2. Gib eine Stammfunktion an
R
• ex dx
R
• lnxdx
R
• x1 dx
R
• (sin(x) + cos(x))dx
R
• sin(x) · cos(x)dx
R
• sin2 (x)dx
R
• (x4 − 3x)dx
R
• (a2 x − b4 z)dz
R sin t
• * 1+cos
t dt
R
2
• * s · (s2 + 3) · es +3 ds
R
• * x · sin x · cos xdx
R
• * sin4 xdx
142
14.1. ANALYSIS
3. Flächenberechnung
Bestimmen Sie die Flächen, die der Graph mit der x-Achse einschließt
• f1 (x) = −4x2 + 8
• f2 (x) = 0, 5x4 − 2x2 + 2
4. Flächenberechnung II
Bestimmen Sie die Fläche, die die Graphen einschließen
• f (x) = x2 ; g(x) = −0, 5x + 5
• h(x) = 2x4 − 4x2 + 5;und der Tangente im Hochpunkt
√
• f (x) = x; g(x) = x − 3; y = 0
5. Rotationsvolumen
Bestimme das Rotationsvolumen des Köpers, das entsteht,
wenn man die Funktion f im Bereich von a bis b um die x-Achse rotieren lässt.
√
• f1 (x) = x, a = 1, b = 5
1
• f2 (x) = e− 2 x , a = 2, b = 4
143
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
Lösungen
1. Integralberechnung
Bestimmen Sie die Werte der folgenden Integrale
h 4
i4
R4
• 0 (x3 − 2x + 4)dx = x4 − x2 + 4x = 64
0
h 9
i1
R1 8
7
2
• 0 (x + 3x6 − 5x4 + 3x − 1)dx = x9 + 3x7 − x5 + 3x2 + x =
0
h 3 i2
√
R2√
• 0 xdx = 23 x 2 = 34 2
0
R 2π
• 0 cos xdx = [sin x]2π
0 =0
h 10
√ i8
R8 9
1
6
• 3 (x − 3x5 + √ )dx = x10 − x2 + 2 2 = 1, 072 · 108
x
3
1 4 3
R4 1
• 1 2 dx = − x 1 = 4
x
8
R8 1
1
13
• 4 ( 3 − 2 )dx = − 2x12 + x1 4 = − 128
x
x
2. Gib eine Stammfunktion an
R
• ex dx = ex
R
• ln xdx = x · ln x − x
R
• x1 dx = ln |x|
R
• (sin x + cos x)dx = − cos x + sin x
R
2
• sin x · cos xdx = sin2 x
R
• sin2 xdx
R
Mit cos2 x = (1 − sin2 x) =⇒ sin2 xdx = − sin x cos x +
R
5
• (x4 − 3x)dx = x5 − 32 x2 + 1
R
4
• (a2 x − b4 z)dz = a2 xz − b2 z 2
144
x
2
5
126
14.1. ANALYSIS
3. Flächenberechnung
Bestimmen Sie die Flächen, die der Graph mit der x-Achse einschließt
• f1 (x) = −4x2 + 8
√
Integrationsgrenzen: ± 2
Ergebnis: A = 15, 085
• f2 (x) = 0, 5x4 − 2x2 + √
2
Integrationsgrenzen: ± 2
Ergebnis: A = 3, 017
4. Flächenberechnung II
Bestimmen Sie die Fläche, die die Graphen einschließen
• f1 (x) = x2 ; g(x) = −0, 5x + 5
2
Z
−0, 5x + 5 − x2 dx
−2,5
A = 15, 1875
• f2 (x) = 2x4 − 4x2 + 5;und die Tangente im Hochpunkt
√
Z
2
2·
0
1 3
1 4
− x + 5x − x dx
4
3
A ≈ 3, 017
• f (x) =
√
x; g(x) = x − 3; y = 0
√
Z
3,5+
13
2
√
√
Z
xdx −
0
3,5+
13
2
[x − 3] dx
3
√
2 3
x2
3
13
2
0
1
− x2 − 3x
2
√
13
2
3
≈ 8, 141 − 2, 651 ≈ 5, 49
5. Rotationsvolumen
Bestimme das Rotationsvolumen des Köpers, das entsteht,
wenn man die Funktionf im Bereich von a bis b um die x-Achse rotieren lässt.
√
• g(x) = x, a = 1, b = 5
V = 12π
1
• h(x) = e− 2 x , a = 2, b = 4
V ≈ 0, 3676
145
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
14.1.2 Zusatzaufgaben*
1.
R
sin t
1+cos t dt
Mit Substitution u = 1 + cos t
Z
=⇒
2.
sin t
dt = − ln(1 + cos t)
1 + cos t
2
s · (s2 + 3) · es +3 ds
Substitution u = s2 + 3
Z
2
=⇒ s · (s2 + 3) · es +3 ds =
R
=
...
=
3.
146
R
Z
1
u3 · eu du
2
Z
1 3 u
2 u
u e −3 u e
2
1 3 u
u e − 3u2 eu + 6ueu − 6eu
2
x · sin x · cos xdx
Z
Z
x · sin x · cos xdx = x · sin2 x − sin x · (sin x + x · cos x)dx
Z
Z
2
2 · x · sin x · cos xdx = x · sin x − sin2 xdx
Z
x · sin2 x sin x cos x − x
=⇒ x · sin x · cos xdx =
+
2
4
14.1. ANALYSIS
4.
R
sin4 xdx
Z
4
Z
sin xdx =
sin2 x · sin2 xdx
Z x sin x cos x
x sin x cos x
=⇒ sin xdx = sin x
−
· 2 sin x cos xdx
−
−
2
2
2
2
Z
Z
Z
x sin x cos x
4
2
sin xdx = sin x
− x · sin x cos xdx + sin2 x cos2 xdx
−
2
2
Z
4
2
Wende nun an:
a) cos2 x = (1 − sin2 x)
R
b) x · sin x · cos xdx =
x·sin2 x
2
+
sin x cos x−x
4
Z
Z
x sin x cos x
−
− x · sin x cos xdx + sin2 x cos2 xdx
sin xdx = sin x
2
2
Z
Z
Z
Z
x sin x cos x
sin4 xdx = sin2 x
−
− x · sin x cos xdx + sin2 xdx − sin4 xdx
2
2
Z
x sin x cos x
x sin x cos x x · sin2 x x sin x cos x
4
2
2 · sin xdx = sin x
−
+ −
−
+ −
2
2
2
2
2
4
4
Z
3x 3 · sin x cos x sin3 x cos x
=⇒ sin4 xdx =
−
−
8
8
4
Z
4
2
147
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
14.2 Vektorrechnung und lineare Algebra
14.2.1 Allgemeine Aufgaben
1.
a) Es sind die Punkte A(3/4/1) und B(1/8/ − 2) gegeben. Gib die Ortsvektoren der
~ an.
Punkte und den Vektor AB
b) Gib eine Parameterdarstellung der Geraden g an, die durch die Punkte C(0/4/3)
und D(2/5/7) verläuft.
c) Gib, wenn vorhanden den Spurpunkt von g in der x1 x2 Ebene an.
 
 
2
3



1
d) Wie liegt g zu h : ~x =
+λ 3  ?
3
3
 


4
−5
~ =  2 .
2. Gegeben sind P (4/5/1), P~Q = 2  3  undQR
2
−1
a) Bestimme die Koordinaten der Punkte P, Q, R und S, wobei das Viereck P QRS
ein Parallelogramm darstellt.
~ durch ~a = P~Q und ~b = QR
~ dar.
b) Stelle den Vektor SQ
3. Gegeben seien die Ebenen






2
2
5
E1 : ~x =  1  + λ  −2  + µ  7 
4
1
−8
E2 : 2x1 − 5x2 + 10x3 = 17
a) Untersuche die Lage der beiden Ebenen. Bestimme falls vorhanden die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen.
b) Gib die Gleichung der Geraden g an, die E1 senkrecht schneidet und auf der
B(4/1/ − 5) liegt
c) Bestimme die Spurgeraden von E2
d) Bestimme den Abstand der Geraden g zur x1 -Achse.
4. Es seien die Punkte A(1/1/1), B(3/1/2)undC(3/5/2) die Eckpunkte einer rechteckigen
Pyramide mit der Spitze S(1, 5/4/9)
a) Bestimme den fehlenden Eckpunkt D
b) Gib die Raumhöhe der Pyramide an
−
−
c) Gib den Winkel zwischen der Kante AC und der Kante AS an.
148
14.2. VEKTORRECHNUNG UND LINEARE ALGEBRA
Lösungen
1.
a) Es sind die Punkte A(3/4/1) und B(1/8/ − 2) gegeben. Gib die Ortsvektoren der
~ an.
Punkte und den Vektor AB
 




3
1
−2
~ = ~b − ~a =  4 
~a =  4  ; ~b =  8  ; AB
1
−2
−3
b) Gib eine Parameterdarstellung der Geraden g an, die durch die Punkte C(0/4/3)
und D(2/5/7) verläuft.
 
 
0
2
g : ~x =  4  + r ·  1 
3
4
c) Gib, wenn vorhanden den Spurpunkt von g in der x1 x2 Ebene an.
x3 = 0
0 = 3 + 4r

  
−1, 5
2
0
3
s~12 =  4  − ·  1  =  3, 25 
4
0
4
3


S(−1, 5/3, 25/0)
 
 
2
3



1
d) Wie liegt g zu h : ~x =
+λ 3  ?
3
3
Prüfe die Richtungvektoren auf Parallelität:
 
 
2
3
 1 =λ· 3 
4
3
Führt zu einer einheitlichen Lösung für λ! Die Geraden sind daher nicht parallel!
Bringe die Geraden zum Schnitt
 
   
 
0
2
2
3
 4  + r ·  1  =  1  + λ 3 
3
4
3
3
Ausrechnen führt zu einer einheitlichen Lösung für r und λ, die Geraden sind daher
windschief!
149
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN




4
−5
~ =  2 .
2. Gegeben ist P (4/5/1), P~Q = 2  3  undQR
2
−1
a) Bestimme die Koordinaten der Punkte P, Q, R und S, wobei das Viereck P QRS
ein Parallelogramm darstellt.
P (4/5/1); Q(8/8/3); R(3/10/2); S(−1/7/0)
~ durch ~a = P~Q und ~b = QR
~ dar.
b) Stelle den Vektor SQ
~ = ~a − ~b
SQ
3. Gegeben seien die Ebenen






2
2
5
E1 : ~x =  1  + λ  −2  + µ  7 
4
1
−8
E2 : 2x1 − 5x2 + 10x3 = 17
a) Untersuche die Lage der beiden Ebenen. Bestimme falls vorhanden die Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen.
Die Ebenen schneiden sich. Schnittgerade


 131 
−110
7
gs : ~x =  0  + r  1 
− 39
29
24
n~1 • n~2 = |n~1 | · |n~2 | · cos ϕ


 
2
3
n~1 =  7  ; n~2 =  −5 
10
8
Schnittwinkel ϕ = 66, 01°.
b) Gib die Gleichung der Geraden g an, die E1 senkrecht schneidet und auf der
B(4/1/ − 5) liegt


 
4
3



1
g2 : ~x =
+s 7 
−5
8
150
14.2. VEKTORRECHNUNG UND LINEARE ALGEBRA
c) Bestimme die Spurgeraden von E2



8, 5
2, 5



0
1
g12 : ~x =
+ r1
0
0



8, 5
−5
g13 : ~x =  0  + r2  0
0
1



0
0
g23 : ~x =  −8, 5  + r3  2
0
1






d) Bestimme den Abstand der Geraden g zur x1 -Achse. Gemeinsamer Normaleneinheitsvektor der Geraden g und der x1 -Achse


0
1 
8 
n~0 = √
113
−7
Hessesche Normalenform




0
4
√




8
1
d = −
• 113
−7 −5
d = |2, 54| = 2, 54
4. Es seien die Punkte A(1/1/1), B(3/1/2)undC(3/5/2) die Eckpunkte einer rechteckigen
Pyramide mit der Spitze S(1, 5/4/9)
a) Bestimme den fehlenden Eckpunkt D
D(1/5/1)
b) Gib die Raumhöhe der Pyramide an
Stelle hierfür die Ebene der Grundfläche mit den Punkten A,B,C auf. Prüfe ob D
in E liegt und bestimme dann den Abstand von S zu E
 
 
 
1
2
2
E(ABC) : ~x =  1  + λ  0  + µ  4 
1
1
1
−x1 + 2x3 − 1 ≈ |8, 27| ≈ 8, 27
√
d(S, E) = 5
−
−
c) Gib den Winkel zwischen der Kante AC und der Kante AS an.
Über die Beziehung des Skalarprodukts folgt
cos ϕ = 0, 535; ϕ = 57, 6°
151
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
14.2.2 Winkel
1. Bestimmen Sie die Winkel zwischen den beiden Vektoren:
a)

  
3
1
 1 , 7 
−4
3
b)

 

2
13
 1  ,  65 
3
39
c)

 

3
51
 4  ,  68 
2
34
d)
  
1
0
 0 , 0 
8
1

2. Bestimmen Sie die Winkel zwischen Gerade und Gerade bzw. Ebene
a)
E1 : 3x1 + 5x2 − x3 = 17; E2 = x1 − x2 = 10
b)


 
1
4
g : ~x =  1  + r ·  0  ; E(ABC) : A(0/2/1), B(3/1/8), C(10, 9, 3)
1
1
152
14.2. VEKTORRECHNUNG UND LINEARE ALGEBRA
14.2.3 Umformen von Ebenengleichungen
1. Formen Sie die Ebenen E1 bis E4 in Koordinaten- und Normalenform um
E1 (ABC) : A(3/2/8), B(−10/0/4), C(3, 7, −11)
E2 : x1 − 3x2 + 4x3 = 19


 


−3
5
−4
E3 : ~x =  0  + r  3  + s  9 
1
1
7

 

1
2
E4 : [~x −  7 ] •  −5  = 0
−5
11
153
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
1. Formen Sie die Ebenen E1 bis E4 in Koordinaten- und Normalenform um
a)
E1 (ABC) : A(3/2/8), B(−10/0/4), C(3, 7, −11)
 




3
13
0
E1 : ~x =  2  + r  2  + s  5 
8
4
−19
  

3
−58



247  = 0
E1 : [~x 2 ] •
8
65
E1 : −58x1 + 247x2 + 65x3 = 840
b)
E2 : x1 − 3x2 + 4x3 = 19

 

19
1
E2 : [~x −  0 ] •  −3  = 0
0
4
c)


5
−3



3
0
+r
E3 : ~x =
1
1

 
−3

0 ] • 
E3 : [~x −
1


−4
 + s 9 
7

4
−13  = 0
19


E3 : 4x1 − 13x2 + 19x3 = 7
d)

 

2
1
E4 : [~x −  7 ] •  −5  = 0
11
−5
E4 : 2x1 − 5x2 + 11x3 = −88
154
14.2. VEKTORRECHNUNG UND LINEARE ALGEBRA
14.2.4 Vektorprodukt
Übung für das Vektorprodukt. Berechnen Sie:

  
1
0
1.  −3  ×  5 
4
2
  

2
7
2.  2  ×  9 
2
13

  
−3
1



5
0 
3.
×
−9
8

  
−0, 5
3
4.  2  ×  0 
18
2

 

1
4
5.  17  ×  −7 
2
−1

 

−5
5
6.  −2  ×  2 
1
−1
   
2
1
7.  5  ×  3 
2
0
   
1
0



0 
0
×
8.
0
1

  
−3
3
9.  9  ×  7 
−12
1
   
2
1



3
1 
10.
×
a
1

 

−3
−2
11.  b  ×  6 
5
5
   
1
a
12.  5  ×  b 
7
c
155
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 
156
   

1
0
−26
−3  ×  5  =  −2 
4
2
5
 
 

2
7
8
2  ×  9  =  −12 
2
13
4
   

−3
1
40
5  ×  0  =  15 
−9
8
−5
   

−0, 5
3
4
2  ×  0  =  55 
18
2
−6
 
 

1
4
−3
17  ×  −7  =  9 
2
−1
−75
 
  
−5
5
0
−2  ×  2  =  0 
1
−1
0
   

2
1
−6
5 × 3 = 2 
2
0
1
   

0
1
−1
0 × 0 = 1 
1
0
−1
   

93
−3
3
9  ×  7  =  −33 
−48
−12
1
   

2
1
3−a
3 × 1 = a−2 
a
1
−1
 
 

−3
−2
5b − 30

b × 6 =
5
5
5
−18 + 2b
   

1
a
5c − 7b
5  ×  b  =  7a − c 
7
c
b − 5a
14.3. STOCHASTIK
14.3 Stochastik
14.3.1 Kombinatorik
1. Schlüssel
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es 5 Schlüssel nacheinander an ein Schlüsselbrett zu
hängen?
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn der Hausschlüssel auf jeden Fall ganz links
hängt?
c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Hausschlüssel ganz links hängt?
2. Party
Frau Meier lädt zu einer Gartenfeier ein. Wie viele Möglichkeiten hat sie ihre 6 Gäste
an den runden Gartentisch zu setzen, wenn
a) sie auf einem beliebigen Platz sitzt?
b) sie auf ihrem Lieblingssessel sitzen möchte?
c) sie auf ihrem Lieblingssessel sitzen will und ihre beste Freundin ihr zur Rechten
sitzen soll?
3. Münzen, Würfel und Co.
a) Wieviele möglichen Kombinationen gibt es, wenn 5 Münzen nacheinander geworfen
werden?
b) Wieviele Kombinationen gibt es, wenn zwei Münzen geworfen und danach noch
mit zwei Würfeln gewürfelt wird?
c) Eine Münze wird geworfen, danach ein Würfel geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die Münze Wappen zeigt und der Würfel eine ungerade Zahl.
4. Möglichkeiten II Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es
a) Drei Briefe in 5 bunte Umschläge zu stecken?
b) Ich habe 6 verschieden farbige Einbände und 4 Hefte. Wieviele Möglichkeiten habe
ich, die Hefte einzubinden...
i. ,wenn jedes Heft einen beliebigen Umschlag haben darf?
ii. , wenn das Deutschheft rot eingebunden werden soll?
iii. , wenn ich das Matheheft auf keinen Fall schwarz einbinden will?
c) für Zahlenkombinationen wenn ich drei Würfel nacheinander werfe?
d) mit einem Griff 3 Kugeln aus einer Trommel mit Kugeln mit den Zahlen von 1-20
zu ziehen?
e) für Zahlenkombinationen wenn ich drei Würfel nacheinander werfe und nie eine
Zahl größer als 4 dabei ist?
f) beim Zahlenlotto 6 aus 49 ?
157
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
Lösungen
1. Schlüssel
a) 120
b) 20
3 = 1140
c) 24
d)
1
5
= 0, 2
2. Party
Frau Meier lädt zu einer Gartenfeier ein. Wie viele Möglichkeiten hat sie ihre 6 Gäste
an den runden Gartentisch zu setzen?
a) 5040
b) 720
c) 120
3. Münzen, Würfel und Co.
a) 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
b) 144 = 2 · 2 · 6 · 6
c)
1
2
3
6
·
=
1
4
= 0, 25
4. Möglichkeiten II Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es
a) 5 · 4 · 3 = 60
b) Ich habe 6 verschieden farbige Einbände und 4 Hefte. Wieviele Möglichkeiten habe
ich, die Hefte einzubinden...
i. 6 · 5 · 4 · 3 = 360
ii. 1 · 5 · 4 · 3 = 60
iii. 5 · 5 · 4 · 3 = 300
c) 216
d) 64
e)
49
6
= 13983816
14.3.2 Binomialverteilung
• Deutsche Bahn Die Wahrscheinlichkeit für eine Verspätung eines Zuges bei der deutschen Bahn betrage 0,7. Es werden 100 Fahrten auf Verspätungen hin kontrolliert. Wie
hoch ist die Wahrscheinlichkeit für
1. mindestens 60 Verspätungen?
2. höchstens 30 Verspätungen?
3. genau 85 Verspätungen?
4. mehr als 75 aber höchstens 90 Verspätungen?
158
14.3. STOCHASTIK
5. Wie oft muss ich mit der Bahn wenigstens fahren, um mit einer Wahrscheinlichkeit
mindestens von 99,5% mindestens ein Mal zu spät anzukommen?
• Weiße Weihnachten Die Wahrscheinlichkeit für weiße Weihnachten beträgt konstant
pro Jahr 0,3. Es wird ein Zeitraum von 50 Jahren betrachtet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für
1. genau 12 weiße Weihnachten ?
2. mindestens 5 weiße Weihnachten ?
3. höchstens 20 weiße Weihnachten ?
4. weniger als 3 weiße Weihnachten ?
5. mindestens 20 jedoch weniger als 30 weiße Weihnachten ?
6. Wie viele Jahre muss ich mindestens warten um mit einer Wahrscheinlichkeit von
mindestens 95% wenigstens einmal weiße Weihnachten erlebt zu haben?
• Hooligans Eishockeyfans seien zu 60% Hooligans. Eine Stichprobe von 1000 Fans wird
untersucht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit
1. mehr als 630 Hooligans zu finden?
2. weniger als 575 Hooligans zu finden?
3. genau 611 Hooligans zu finden?
159
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
• Lösung Deutsche Bahn
1. P (X ≥ 60) = 1 − P (X ≤ 59) = 0, 9875
2. P (X ≤ 30) = 0
3. P (X = 85) =
100
85
· 0, 785 · 0, 315 = 0, 000247
4. P (75 < X ≤ 90) = P (X ≤ 90) − P (X ≤ 74) = 0, 1631
5. Wie oft muss ich mit der Bahn wenigstens fahren, um mit einer Wahrscheinlichkeit
von mindestens 99,5% mindestens ein Mal zu spät anzukommen?
P (X ≥ 1) ≥ 0, 995
1 − P (X = 0) ≥ 0, 995
0, 3n ≤ 0, 005
n≥5
• Lösung weiße Weihnachten
12
38 = 0, 0838
1. P (X = 12) = 50
12 · 0, 3 · 0, 7
2. P (X ≥ 5) = 1 − P (X ≤ 4) = 0, 9998
3. P (X ≤ 20) = 0, 9522
4. P (X < 3) = P (X ≤ 2) = 0
5. P (20 ≤ X < 29) = P (20 ≤ X ≤ 28) = 1 − 0, 9522 = 0, 0478
6. Wie viele Jahre muss ich warten um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
95% einmal weiße Weihnachten erlebt zu haben?
P (X ≥ 1) ≥ 0, 95
1 − P (X = 0) ≥ 0, 95
0, 7n ≤ 0, 05
n≥9
• Lösung Hooligans
√
1. P (X > 630) = 1 − P (X ≤ 630) = 1 − Φ 630,5−600
= 0, 0244
240
√
2. P (X < 575) = P (X ≤ 574) = Φ 574,5−600
= 0, 0495
240
610,5−600
√
√
3. P (X = 611) = Φ 611,5−600
−
Φ
= 0, 022
240
240
160
14.3. STOCHASTIK
14.3.3 Tassenpfand
Auf Weihnachtsmärkten geschieht es, dass Glühweinbecher nicht wieder zurückgebracht werden, da sie bei Sammlern begehrt sind. Ein Verkäufer überlegt nun, ob es nötig ist, die Tassen
mit einem Pfand zu belegen, damit nicht zu große Verluste durch fehlende Tassen entstehen.
Sobald mehr als ein Drittel aller Leute Tassen sammeln, muss er einen Pfand einführen. Da
er jedoch seinen Kunden Vertrauen entgegenbringen will, würde er gerne darauf verzichten.
Geben Sie eine Entscheidungsregel an, ab wievielen Sammlern unter 100 Kunden ein Pfand
eingeführt werden muss, bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α =10%.
Wie hoch ist das Risiko irrtümlicherweise einen Pfand einzuführen, wenn nur ein Viertel aller
Leute Sammler von Tassen sind?
161
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
Nullhypothese:
H0 : p ≥
1
3
α = 0, 1
X: Anzahl Menschen, die sammeln.
X sei binomialverteilt
1
3
n = 100
100
µ=
3
r
200
σ
6
p=
Wähle den linksseitigen Test mit
A[g; 100]
P (X < g) ≤ 0, 1
Aus der Tabelle für die Binomialverteilung erhalten wir
g = 26
Daher ist der Annahmebereich
A[26; 100]
Ab 26 Sammlern muss er also einen Tassenpfand einführen, bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 10% ! Bestimme nun
qden Fehler 2.Art für p = 0, 25.
Es ergeben sich µ = 25, σ =
75
4
P (X ≥ 26) = 1 − P (X ≤ 25) = 1 − 0, 5535 = 0, 4465
β = 0, 4465
Der Fehler 2.Art ist mit etwa 44,6 % sehr groß. In diesem Fall sollte n vergrößert werden;
ggf. könnte man α verkleinern, jedoch wird mit der Verkleinerung von α der Fehler 1.Art
vergrößert.
162
14.4. ANWENDUNGSAUFGABEN
14.4 Anwendungsaufgaben
14.4.1 Radfahrer
Die absolute Höchstgeschwindigkeit eines Radfahres sei 72 km
h . Der Radfahrer startet mit einer
km
Geschwindigkeit von 10 h und erhöht dann sein Tempo. Nach 10 Sekunden wurde er dabei
um 50% schneller.
1. Bestimme eine Funktion v(t),(v in m
s !) die die Geschwindigkeit des Radfahrers zur Zeit
t beschreibt(die Geschwindigkeit zur Zeit t und deren Änderung seien proportional).
2. Wie lange braucht der Radfahrer um bis auf 95% an seine absolute Höchstgeschwindigkeit heranzukommen?
3. Der Radfahrer sei 5km von Frankfurt entfernt. Gelingt es ihm auf 95% der Höchstgeschwindigkeit noch vor Frankfurt zu beschleunigen?
163
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
1. Aus der Angabe, dass die Geschwindigkeit des Fahrers proportional zu ihrer Änderung
ist, entwickeln wir die Grundgleichung. Wir haben zu beachten, dass der Radfahrer
niemals schneller werden kann als 72 km
h . Wir haben es also mit begrenztem Wachstum
zu tun!
v 0 (t) = k · v(t)
ist die Differentialgleichung zu der
v(t) = G − a · ekt
eine spezielle Lösung darstellt. Merke: G− entsteht aus der Bedingung, dass das Wachstum begrenzt ist! G stellt hierbei den Grenzwert dar, gegen den die Funktion für t → ∞
geht.
Nun müssen wir die Angaben, die wir noch haben, verarbeiten:
G = 72
v(0) = 10
km
m
=
b 20
h
s
m
km
=
b 2, 778
h
s
Nach 10 Sekunden ist er 50% schneller geworden
v(10) = 1, 5 · v(0) = 4, 167
m
s
Mit diesen zwei Funktionswerten können wir nun die Parameter in der Funktionsgleichung bestimmen:
v(0) = 20 − a · e0 = 20 − a = 2, 778
a = 17, 22
v(t) = 20 − 17, 22 · e−kt
Nun setzen wir den zweiten Wert ein, um den Parameter k zu bestimmen.
v(10) = 20 − 17, 22 · e−10k = 4, 167
17, 22e−10k = 15, 833
−10k = ln
15, 833
= ln 15, 833 − ln 17, 22
17, 22
k=−
ln 15, 833 − ln 17, 22
10
k = 0, 0084
Daraus folgt nun die konkrete Gleichung
v(t) = 20 − 17, 22e−0,0084t
164
14.4. ANWENDUNGSAUFGABEN
2. Nun müssen wir die Zeit t1 bestimmen, die der Radfahrer braucht, um auf 95% der
maximalen Geschwindigkeit zu kommen. Wir wissen
v(t1 ) = 0, 95 · 20 = 19
Einsetzen
v(t1 ) = 20 − 17, 22e−0,0084t1 = 19
und nach t1 lösen
17, 22e−0,0084t1 = 1
t1 = −
1
ln 17,22
0, 0084
=
ln 17, 22
0, 0084
Bei dieser Umformung Logarithmengesetze beachten!
t1 = 338, 8
Er braucht also 5 Minuten und 38 Sekunden bis er auf 95% der maximalen Geschwindigkeit ist.
3. Der Radfahrer ist 5km von FFM entfernt. Die Frage ob er es schafft noch vor Frankfurt
95% seiner Höchstgeschwindigkeit zu erreichen, lässt sich nur beantworten, indem wir
berechnen, welchen Weg er in der in b berechneten Zeit zurücklegt. Es gilt hierbei, wie
auch allgemein
Z
s(t) =
v(t)dt
Aus der Beziehung, dass die Geschwindigkeit
die erste Ableitung der s(t)-Funktion nach der Zeit t darstellt.
165
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
Daher intergrieren wir über v(t)
Z
338,8
s=
[20 − 17, 22e−0,0084t ]dt
0
Z
338,8
s = 20t −
17, 22e−0,0084t ]dt
0
s = [20t + 2050e−0,0084t ]0338,8
Nach Einsetzen der Grenzen erhalten wir
s ≈ 6895
Er legt also bis zum Erreichen der in b geforderten Geschwindigkeit 6,895 km zurück.
Er schaffts daher nicht vor Frankfurt.
166
14.4. ANWENDUNGSAUFGABEN
14.4.2 Schaum
Ein Schaumhersteller stellt folgende Behauptung auf: Nach 8 Minuten sind noch über 60%
der Blasen bei dieser Art von Schaum vorhanden. Beim Zerfall von Schaumblasen an der Wasseroberfläche sei die Zerfallsgeschwindigkeit zur Menge der vorhandenen Blasen proportional.
Nach 2 Minuten sind 15% der Blasen zerfallen.
Die Menge der Blasen zur Zeit t = 0 sei A0
1. Wann sind die Hälfte aller Blasen zerfallen?
2. Prüfen Sie, ob die Behauptung des Schaumherstellers korrekt ist.
167
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
1. Zunächst müssen wir eine Funktion aufstellen, die uns die Anzahl Blasen zur Zeit t
liefert, sonst können wir diesen Fall hier nicht untersuchen. Diese Funktion aufzustellen,
ist zwar nicht explizit gefordert, aber rechne das mal ohne Funktion ;-)
Wir haben es hier mit einem Zerfall zu tun, ähnlich einem radioaktiven Zerfall. Daraus
und aus der Proportionalität von Geschwindigkeit zur Teilchenzahl folgt
A0 (t) = k · A(t)
A(t) = a · ekt
Die Anfangsmenge ist nicht speziell festgelegt, sondern mit A0 bezeichnet.
A(0) = A0 = a = a · e0
A(t) = A0 · ekt
Man kann auch mit e−kt als Ansatz wegen Zerfallsfunktion rechnen, der Betrag von k
ist allerdings gleich und das Minus kommt beim Ausrechnen des Parameters, wenn man
es nicht vorher setzt, auch hinein. Ich setze hier jetzt kein Minus, aber man sollte es
sich immer hinsetzen, wenns um Zerfall geht, das weiß man gleich was Sache ist, und
hat ein Minus weniger ;-)
Wir haben nun die Angabe, dass nach 2 Minuten 15% Schaum zerfallen sind.
A(2) = 0, 85A0 = A0 · e2k
Hieraus folgt für k
0, 85
= ln 0, 85 − ln 2 = −0, 081
2
Und hieraus die konkrete Funktion
k = ln
A(t) = A0 · e−0,081t
a) Es ist zunächst die Halbwertszeit zu bestimmen. Schneller und eleganter Weg
tH =
tH =
ln 2
k
ln 2
= 8, 55
0, 081
Für alle Fälle nochmal der ausführliche Ansatz wies immer geht
tH
A(tH ) = 0, 5A0 = A0 · e−0,081tH
ln 0, 5
− ln 2
ln 2
=
=
=
= 8, 55
−0, 081
−0, 084
0, 084
Die Halbwertszeit beträgt also etwa 8 21 Minuten.
b) Wir sollen die Behauptung des Händlers überprüfen. Wir bestimmen dazu den
Zeitpunkt, wenn noch 60% Schaum vorhanden sind.
A(t1 ) = 0, 6A0 = A0 · e−0,084t1
ln 0, 6
= 6, 3
−0, 084
Da nach 6,3 Minuten, das entspricht 6 Minuten und 18 Sekunden, bereits 40%
zerfallen sind, also noch 60 % da sind, ist die Behauptung nicht korrekt.
t1 =
168
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
14.5 Umfassende Aufgaben
14.5.1 Kurvenschar,ganzrational
Gegeben ist die Kurvenschar ft mit dem Schaubild Kt
3
3
ft (x) = tx4 − x2 + 1, 5
8
2
• Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Schar an und bestimmen Sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Schar sowie das Verhalten gegen Unendlich und
skizzieren Sie K1
• Welchen Punkt haben alle Kurven der Schar gemeinsam? Erklären Sie kurz die Ursache!
• Die Wendepunkte der Schar liegen ebenfalls auf einer Kurve. Geben Sie die Gleichung
dieser Kurve an!
• K1 nähert brauchbar gut ein Tunnelportal an. Das Luftvolumen eines Tunnels muss
durch die Belüftungsanlage innerhalb von 5 Minuten vollständig ausgetauscht worden
sein.
Überprüfen Sie, ob dieser Tunnel diese Auflage erfüllt! (Informationen: Die Fläche innerhalb der Minima ist zu wählen; 1LE =
b 5m; Tunnellänge: 750m. Leistung der Lüfm3
tungsanlage: 8250 min )
169
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
• Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Schar an und bestimmen Sie die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Schar sowie das Verhalten gegen Unendlich und
skizzieren Sie K1
D=W=R
Der Definitions- und Wertebereich sind bei dieser ganzrationalen Funktion die Menge
der reellen Zahlen R.
Bilde nun die ersten drei Ableitungen, um die Untersuchungen durchführen zu können:
3 4 3 2
tx − x + 1, 5
8
2
3 3
0
ft (x) =
tx − 3x
2
9 2
tx − 3
ft00 (x) =
2
ft000 (x) = 9tx
ft (x) =
Eine Betrachtung der Symmetrie zeigt, dass die Graphen der Schar achsensymmetrisch
sind. Es gilt:
f (a) = f (−a)
3
3
3
3
3
3
(−a)4 − (−a)2 + 1, 5 = a4 − a2 + 1, 5 = ta4 − a2 + 1, 5
8
2
8
2
8
2
Dies ist hilfreich bei weiteren Betrachtungen!
Bestimme nun die markanten Punkte der Schar
– Nullstellen
Für Nullstellen gilt f (x) = 0
Daher also
3 4 3 2
tx − x + 1, 5 = 0
8
2
Hier liegt eine biquadratische Gleichung vor. Substituiere daher z = x2 !
3 2 3
tz − z + 1, 5 = 0
8
2
170
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
Forme nun um und wende die pq-Formel an
0 =
0 =
z1/2 =
z1/2 =
z1/2 =
z1/2 =
3 2 3
tz − z + 1, 5
8
2
4z 4
2
+
z −
st t
−2 2 4
2
±
−
t
t
t
r
2
4
4
±
−
2
t
t
t
r
2
4
±
(1 − t)
t
t2
2 2√
±
1−t
t
t
Diese Gleichung lässt sich nicht weiter vereinfachen! So ergibt sich nun bei Resubstitution folgendes für x
r
2 2√
+
1−t
x1 =
t
t
r
2 2√
x2 = −
+
1−t
t
t
r
2 2√
x3 =
−
1−t
t
t
r
2 2√
1−t
x4 = −
−
t
t
– y-Achsenabschnitt
f (0) = 1, 5
Der Schnittpunkt ist daher Sy = 1, 5!
171
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
– Extrema
Für die Extrempunkte sind zwei Bedingungen aufzustellen:
Notwendige Bedingung f 0 (x) = 0
Hinreichende Bedingung f 00 (x) 6= 0
Bestimme nun die Extrempunkte:
3 3
tx − 3x
2
3
0 = x( tx2 − 3)
2
0 =
3
x = 0 ∧ ( tx2 − 3) = 0
2
Bestimme nun zunächst die Werte für x, wenn der zweite Ausdruck gilt:
3 2
tx − 3
2
2
0 = x2 −
t
2
2
x =
t
0 =
Es ergeben sich also drei Extremwerte für x:
xE1
= 0
r
xE2
xE3
172
2
t
r
2
= −
t
= +
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
Bestimme nun die Werte der zweiten Ableitung für diese Werte:
f 00 (0) = −3
Bei x = 0 liegt also ein Maximum vor! Dies ist der y-Achsenabschnitt. Daher:
H(0/1, 5)
Nun für die beiden anderen Werte(aufgrund des x2 sind die Werte gleich):
r
2
00
)=6>0
f (±
t
Es liegen also zwei Minima vor. Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Funktionswerte gleich!
r
2
3
3
f(
)=− +
t
2t 2
r
r
3
3
3
3
2
2
/−
+ ); T2 (
/−
+ )
T1 (−
t
2t 2
t
2t 2
173
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
– Wendepunkte
Für die Wendepunkte sind zwei Bedingungen aufzustellen:
Notwendige Bedingung f 00 (x) = 0
Hinreichende Bedingung f 000 (x) 6= 0
Bestimme nun die Wendepunkte:
9
0 = tx2 − 3
2
x2 =
2
3t
r
xW1
xW2
2
3t
r
2
= −
3t
= +
Da f 000 (x) = 9tx ist f 000 (x) = 0 nur für x = 0 erfüllt! Daher liegen hier Wendepunkte
vor!
Aufgrund der Achsensymmetrie sind die Funktionswerte gleich, bestimme also die
Wendepunkte:
r
5
2
f (±
) = − + 1, 5
3t
6t
r
r
2
5
2
5
W1 (−
/−
+ 1, 5); W2 (
/−
+ 1, 5)
3t
6t
3t
6t
– Verhalten im Unendlichen
Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion. Bestimme nun den Grenzwert:
3 4
lim
tx − f rac32x2 + 1, 5
x→±∞ 8
1, 5
2
4 3
= lim
x ( t − f rac32x + 4
x→±∞
8
x
3
1, 5
lim
x4 ( t − f rac32x2 + 4 = +∞
x→±∞
8
x
Die Funktion geht daher für x → ±∞ gegen +∞.
174
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
– Skizze für f1
Um f1 skizzieren zu können, müssen wir die Punkte bestimmen:
1. Nullstellen
Allgemein:
r
2 2√
1−t
+
t
t
r
2 2√
= −
+
1−t
t
t
r
2 2√
=
−
1−t
t
t
r
2 2√
= −
1−t
−
t
t
x1 =
x2
x3
x4
mit t = 1 ist
r
√
2 2√
2 2√
+
1−t=
+
1−1= 2
t
t
1 1
Es ergeben sich daher als Nullstellen aus x1 bzw. x3 und x2 bzw. x4
√
√
N1 (− 2/0); N2 ( 2/0);
r
2. Extrema
Maximum: H(0/1, 5)
Minima:
r
T1 (−
mit t = 1
3
3
2
/−
+ ); T2 (
t
2t 2
r
T1 (−
r
3
3
2
/−
+ )
t
2t 2
r
2
3 3
2
3 3
/ − + ); T2 (
/− + )
1
2 2
1
2 2
√
√
T1 (− 2/0); T2 ( 2/0)
175
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
3. Wendepunkte
r
W1 (−
mit t = 1
2
5
/−
+ 1, 5); W2 (
3t
6t
r
W1 (−
4. Graph
176
2
14
/ − ); W2 (
3
6
r
2
5
/−
+ 1, 5)
3t
6t
r
2
14
/− )
3
6
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
• Welchen Punkt haben alle Kurven der Schar gemeinsam? Erklären Sie kurz die Ursache!
Die Graphen der Schar verlaufen alle durch das Maximum der Schar bei
Sy (0/1, 5).
Dies liegt daran, dass für x = 0 der Parameter t aus der Gleichung
3
3
ft (x) = tx4 − x2 + 1, 5
8
2
eliminiert wird.
Daher ist es unabhängig, welcher Wert für t gewählt wird.
Es gilt stets:
f (0) = 1, 5
177
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
• Die Wendepunkte der Schar liegen ebenfalls auf einer Kurve. Geben Sie die Gleichung
dieser Kurve an!
Gesucht ist hier die Ortskurve der Wendepunkte. Diese wird nun berechnet, es genügt
von den zwei Wendepunkten einen Punkt für diese Berechnung auszuwählen, sie muss
nicht mit beiden Punkten durchgeführt werden, allerdings kann der zweite Punkt sehr
gut zur Überprüfung verwendet werden!
r
2
5
W2 (
/−
+ 1, 5)
3t
6t
r
2
x=
3t
Umformen nach t ergibt:
2
t= 2
3x
Setze ein in y-Koordinate des Punktes
y=−
y=−
5
+ 1, 5
6t
5
4
x2
+ 1, 5
5
y = − x2 + 1, 5
4
Daher stellt y = − 54 x2 + 1, 5 die Ortskurve der Wendepunkte dar, auf ihr befinden sich
alle Wendepunkte der Schar!
178
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
• K1 nähert brauchbar gut ein Tunnelportal an. Das Luftvolumen eines Tunnels muss
durch die Belüftungsanlage innerhalb von 5 Minuten vollständig ausgetauscht worden
sein.
Überprüfen Sie, ob dieser Tunnel diese Auflage erfüllt! (Informationen: Die Fläche innerhalb der Minima ist zu wählen; 1LE =
b 10m; Tunnellänge: 750m. Leistung der Lüfm3
tungsanlage: 3500 min )
Aus der Untersuchung
von f1 geht hervor, dass die Minima identisch mit den Nullstellen
√
sind und bei ± 2 liegen.
Gesucht ist daher zunächst als Querschnittsfläche des Tunnels
√
Z
√
2
√
− 2
Z
2
f1 (x)dx = 2
f1 (x)dx
0
Nun berechnen wir die Querschnittfläche
√
Z
√
2
Z
f1 (x)dx = 2
2
0
0
2
3 4 3 2
x − x + 1, 5 dx
8
2
3x5 x3
−
+ 1, 5x
=2·
40
2
√2
√
= 1, 6 2
0
Um das Tunnelvolumen zu bestimmen muss der Betrag dieser Fläche nun mit der Länge
des Tunnels multipliziert werden. Außerdem muss die Angabe 1LE =
b 5m berücksichtigt
werden! Wenn 1[LE] =
b 5m gilt, so gilt 1[F E] =
b 25m2 !
√
V = 750m · 25m2 · 1, 6 2 ≈ 42426m3
Das Tunnelvolumen beträgt daher etwa 42426m3 .
m3
Die Lüftungsanlage pumpt pro Minute 8250m3 Luft. Das sind in 5 Minuten 8250 min
·
5min = 41250m3 .
Die Auflage wird daher knapp nicht erfüllt!
179
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
14.5.2 ln-Funktion (Stark LK-Abitur 2007)
Gegeben sei die Funktion
fk (x) = x · ln(x) − kx
• Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von fk an und untersuchen Sie die Funktion
auf Symmetrieeigenschaften und Nullstellen.
• Untersuchen Sie das Verhalten der Schar für x → ∞.
• Es sei k = 1. Ermitteln Sie Extrem- und Wendepunkte und geben Sie die Art der
Extrema an.
• Bestimmen Sie die Extrema allgemein für die Funktionenschar fk und ermitteln Sie die
Ortskurve der Extrema.
• Skizzieren Sie den Graphen im Intervall [0; 5].
• Bestimmen Sie die Maßzahl der Fläche zwischen dem Graphen der Funktion fk und der
x-Achse im Intervall [1; x0 ](x0 stellt die Nullstelle der Funktion dar). Diskutieren Sie die
Veränderung der Maßzahl dieser Fläche, wenn k variiert.
180
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
14.5.3 Exponentialfunktion
2
Gegeben ist f (x) = e−0,5x sowie g(x) = e−x+0,5
• Bestimmen Sie die Wendepunkte und Wendetangenten von f (x) und skizzieren Sie den
Graph samt Wendetangenten.
• Zeigen Sie, dass der Graph von g(x) den Graph von f in dessen rechtem Wendepunkt
berührt.
R∞
Berechnen Sie 1 g(x)dx
• Begründen SIe, dass für alle x ∈ R die Ungleichung
2
e0,5(x−1) ≥ 1
erfüllt ist und leiten Sie hieraus durch Ausrechnen des Exponenten die Ungleichung
2
g(x) = e−x+0,5 ≥ e−0,5x = f (x)
her.
• Verwenden Sie die Ergebnisse von 1 bis 3, um eine Abschätzung für
Z ∞
f (x)dx
−∞
zu ermitteln.
181
KAPITEL 14. AUFGABEN MIT LÖSUNGEN
14.5.4 Burghotel
182
14.5. UMFASSENDE AUFGABEN
14.5.5 Pharao Seltsamis
183
Tabellenverzeichnis
184
1.1
Mathematische Eigenschaften einer Funktion bei gegebenen Bedinungen . . . . 14
7.1
c-Werte für häufige Werte von α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Abbildungsverzeichnis
1.1
1.2
1.3
Geometrische Herleitung des Differentialquotienten . . . . . . . . . . . . . . . .
Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel für Subtangente und Subnormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Näherung der Fläche über Riemann-Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1
3.2
Näherung der Bogenlänge einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Näherung der Mantelfläche des Rotationskörpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Abstand eines Punktes von einer Ebene
Winkel zwischen zwei Geraden . . . . .
Winkel zwischen zwei Ebenen . . . . . .
Winkel zwischen Gerade und Ebene . .
Berechnung des Schnittkreisradius . . .
Parameterdarstellung des Schnittkreises
Darstellung eines Teilverhältnisses . . .
Teilverhältnisse im Dreieck . . . . . . .
6.1
Unterschiedliche Diagramme zur Darstellung der Urliste . . . . . . . . . . . . . 67
7.1
7.2
7.3
Baumdiagramm für dreifachen Münzwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Baumdiagramm zur Erläuterung der bedingten Wahrscheinlichkeit . . . . . . . 75
Darstellung des Fehlers 1. Art bzw. des Fehlers 2.Art . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.1
Das Pascalsche Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.1
Numerische Lösung einer Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
.
.
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.
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.
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1
3
4
56
57
57
58
61
62
63
64
11.1 Näherung der Cosinus-Funktion durch Polynome 2.,4.,6.,8. und 10. Grades . . . 102
185
Index
Arcus-Funktionen, 12
Cosinus
Ableitung, 25
Stammfunktion, 25
Umkehrfunktion des, 12
Definitionslücke, 9
Ebene
Schnitt mit Ebene, 54
Schnitt mit Gerade, 54
Faktorregel
der Differentiation, 5
Kettenregel, 5
Natürlicher Logarithmus
Ableitung, 25
Stammfunktion, 25
Ortskurve, 11
Polstelle, 9
Potenzregel
der Differentiation, 5
Produktregel, 6
Quotientenregel, 6
Sinus
Ableitung von, 25
Stammfunktion von, 25
Umkehrfunktion des, 12
Stetig behebbar, 10
Stetigkeit, 10
Summenregel
der Differentiation, 5
Tangens
Umkehrfunktion des, 12
186
Umkehrfunktion, 12
Bestimmen, 12
Volumen
des Rotaionskörpers um die x-Achse, 24
des Rotaionskörpers um die y-Achse, 24

Zugehörige Unterlagen

UE 7

Gesamtes PDF, alle drei Teile plus Beispiele und Aufgaben

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