L C

An welche Stichwörter von der letzten Vorlesung
können Sie sich noch erinnern?

μS
Es gibt keine magnetischen Monopole.
 
ΦB = 
Der Gaußsche Satz für Magnetfelder:
 BdA = 0

Elektronen besitzen einen Spindrehimpuls (Spin) – S

und einen Bahndrehimpuls – LBahn

e 

e 
μBahn = −
LBahn
μS = − S
Die entsprechende magnetische Momente:
2m
me
Die Komponente entlang der z-Achse:
μS , z = ± μ B
μBahn , z = −l μB
Die drei Arten von Magnetismus:
1. Diamagnetismus:
g
2. Paramagnetismus:


 
μ ( B) ↑↓ B


 
μ ( B) ↑↑ B

 
μ ( B) ↑↑ B
μ ((0)) = 0
μ (0) = 0

μ (0) ≠ 0
3 Ferromagnetismus:
3.
F
ti
U = μB
U = −μ B
U = −μ B
Magnetische Domänen
Hysterese
M
29. Elektromagnetische Schwingkreise und Wechselstrom
Wir untersuchen Schwingungen der elektrischen Ladung q in einem Stromkreis, bestehend
aus einer Induktivität, einem Kondensator und einem ohmschen Widerstand.
Hier fließt die Energie zwischen dem Magnetfeld der Spule und dem elektrischen Feld des
Kondensators hin und her und dabei gleichzeitig im Widerstand langsam in Wärmeenergie
umgewandelt.
d l
Die Schwingungen des elektrischen Felds im Kondensator und des magnetischen Felds in
der Spule bezeichnet man als elektromagnetische Schwingungen.
29.1 LC-Schwingungen: Eine qualitative Diskussion
Wir werden die Analogie zwischen diesem System und einem mechanischen Oszillator
(Masse+Feder+Reibungselement) nutzen.
Li 2
UB =
2
2
L æç dq ö÷
= çç ÷÷
2 è dt ø
Um =
q2
UE =
2C
UF =
1 2
kx
2
1 2
mv =
2
1  dx 
= m 
2  dt 
2
(a-b) Der Kondensator entlädt sich über die
Spule. Der Strom in der Spule wächst langsam.
((c)) W
Wenn der
d K
Kondensator
d
t seine
i Ladung
L d
(Energie) verloren hat, wird diese Energie
vollständig dem Magnetfeld der Spule
g
zugeführt.
Obwohl auf dem Kondensator sich nun
keine Ladung befindet, fließt der Strom
weiter, da die Spule einen plötzlichen
Abf ll auff nullll verhindert.
Abfall
hi d t
(d) Der Strom transportiert Ladung und
lädt den Kondensatorplatte in der
G
Gegenrichtung.
i ht
D St
Der
Strom nimmt
i
td
dabei
b i
langsam ab.
q
i
(e) Steckt die Energie wieder vollständig
im elektrischen Feld des Kondensators,
kommt der Strom zum Stillstand.
Die Zeitabhängigkeiten von q und i
zeigen im Idealfall ein sinusförmiges
Verhalten.
In Wirklichkeit dauern die Schwingungen
in einem LC-Kreis nie unendlich lange an
(Wirkwiderstand!).
29.2 LC-Schwingungen: Eine quantitative Diskussion
Die Gesamtenergie U eines widerstandsfreien LC
LC-Kreises
Kreises lässt sich zu jedem Zeitpunkt als
Summe der Energie Uв des Magnetfelds an der Spule und der Energie UE des elektrischen
Felds im Kondensator schreiben:
q 2 Li 2
+
U = UE +UB =
2C
2
Sie muss konstant sein (widerstandsfrei!):
dq di d 2 q
i=
= 2
2
dt dt
dt
2
2ö
q
dq
dq
d
q
æ
dU
d çq
Li ÷ q dq
q
di
+
L
=0
÷÷ =
= ç
+
+ Li = 0
2
C dt
dt dt
dt
dt çè 2C
2 ÷ø C dt
dt
Diese Differenzialgleichung beschreibt die
Schwingungen eines verlüstenfreien LC-Kreises.
LC-Kreises
Wir suchen die allgemeine Lösung
dq dt = −ω0Q sin (ω0t + φ )
d 2 q dt = −ω02Q cos (ω0t + φ )
2
 t

q = Q cos 
+φ
 LC

1
 t

i=−
Q sin 
+φ
LC
 LC

d 2q
1
q=0
+
2
dt
LC
q = Q cos (ω0t + φ )
−ω02Q cos (ω0t + φ ) +
damit ist die Kreisfrequenz
1
Q cos (ω0t + φ ) = 0
LC
ω0 =
1
LC
Q und φ erhält man aus den Anfangsbedingungen
Schwingungen der elektrischen und magnetischen Energie
Die elektrische Energie
g in
einem LC-Kreis:
Die magnetische Energie:
q2
1 2
UE =
=
Q cos2 (ω0t + φ )
2C 2C
Li 2 L 1 2 2
1 2 2
UB =
=
Q sin
i (ω0t + φ ) =
Q sin
i (ω0t + φ )
2
2 LC
2C
1 2
1 2 2
Q2
2
Die Gesamtenergie:U = U E + U B =
= const
Q cos (ω0t + φ ) +
Q sin (ω0t + φ ) =
2C
2C
2C
29.3 Gedämpfte Schwingungen in einem RLC-Kreis
Die gesamte elektromagnetische Energie des Stromkreises ist nicht erhalten,
sondern nimmt mit der Zeit ab und wird im Widerstand in Wärmeenergie
umgewandelt. Deshalb nehmen die Scheitelwerte der Ladungs- und
Stromschwingungen kontinuierlich ab. Man spricht von gedämpften Schwingungen.
dU
q dq
di
q dq 2
di
d 2 q R dq
1
2
=
+ Li = -i R 
+ i R + Li = 0  2 +
+
q=0
dt
C dt
dt
C dt
dt
dt
L dt LC
Oder:
d 2q
dq
+
2
δ
+ ω02 q = 0
2
dt
dt
δ= R/2L ist die Dämpfungskonstante
ω0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingungen
d 2q
dq
2
+
2
δ
+
ω
q=0
0
2
dt
dt
für ω0 > δ die Lösung ist:
q = Qe −δ t cos (ωt + φ )
mit ω = ω02 − δ 2
Die Lösung entspricht einer sinusförmigen Schwingung zusammen mit einer exponentiell
gedämpften Amplitude. Die Kreisfrequenz ω des gedämpften Oszillators ist immer kleiner
als die Kreisfrequenz ω0 der ungedämpften Schwingung.
29.4 Wechselstrom
Wechselstrom (im Gegensatz zu Gleichstrom) bzw. Wechselspannung haben einen
sinusförmigen Zeitverlauf und haben in fast allen europäischen Ländern eine Frequenz von
f= 50 Hz (in Nordamerika beträgt die Frequenz meist f = 60 Hz.)
Zwei wesentliche Vorteile von Wechselstrom sind: 1) man kann Wechselstrom einfacher
erzeugen; 2) man kann ihn effektiver auf große Distanzen übertragen.
Das Prinzip eines Wechselstromgenerators:
die leitende Drahtschleife wird (unter Kraftaufwand)
in dem äußeren Magnetfeld В gedreht, wodurch in
der Schleife eine sinusförmig oszillierende Spannung
induziert wird:
E =Em sin (ωa t )
Die Kreisfrequenz ωa der erzeugten Spannung ist gleich der Winkelgeschwindigkeit, mit der
die Schleife in dem Magnetfeld rotiert.
Ist das Generator Teil eines geschlossenen Stromkreises, induziert die erzeugte Spannung in
diesem Stromkreis einen sinusförmigen Strom mit derselben Kreisfrequenz.
i = I sin (ωa t − φ )
Der Strom i muss nicht in Phase mit der erzeugten Spannung E sein.
Ein Lastwiderstand
E − vR = 0  vR =Em sin (ωa t ) = VR sin (ωa t )
iR =
vR VR
E
= sin (ωa t )= m sin (ωa t )
R
R
R
Bei einem reinen Lastwiderstand sind
die Spannung und der Strom in Phase
(die Phasenkonstante ф verschwindet),
d. h., sie erreichen im selben
Augenblick ihre Scheitelwerte.
Man kann die
zeitabhängigen
it bhä i
G
Größen
öß vR
und iR auch geometrisch in
einem Zeigerdiagramm
durch zweidimensionale
Vektoren darstellen.
E =Em sin (ωa t )
i = I sin (ωa t − φ )
Die beiden Vektoren (die
Spannung am Wirkwiderstand
und der Strom durch den
Wirkwiderstand) sind zu einem
beliebigen Zeitpunkt t
wiedergegeben.
vR = VR sin (ωa t )
iR = I R sin (ωa t )
Diese Vektoren haben die folgenden Eigenschaften:
Länge: Die Länge entspricht der Amplitude der sich verändernden Größe: VR für die
Spannung und IR für den Strom.
Drehwinkel: Der Drehwinkel des Vektors ist gleich der Phase der sich verändernden
Größe zum Zeitpunkt t. Für einen Lastwiderstand sind die Spannung und der Strom in
Phase, daher haben beide Vektoren auch immer dieselbe Phase.
Projektion: Die Projektion der Zeiger auf die vertikale Achse entspricht dem Wert der sich
verändernden Größe zum Zeitpunkt t: vR(t) für die Spannung und iR(t) für den Strom.
Winkelgeschwindigkeit: Beide Vektoren drehen sich gegen den Uhrzeigersinn um den
Ursprung mit einer Winkel-geschwindigkeit, die der Kreisfrequenz ωa entspricht.
E =Em sin (ωa t )
Eine Lastkapazität
i = I sin (ωa t − φ )
E − vC = 0  vC =Em sin (ωa t ) = VC sin (ωa t )
qC = CvC = CVC sin (ωa t )
iC =
dqC
= CωaVC cos (ωa t )
dt
VR
IR
Deshalb kann man aus Symmetriegründen die Größe XC einführen,
die man als kapazitiven Widerstand eines Kondensators bezeichnet
und die über folgende Beziehung definiert ist:
V
1
XC = C XC =
IC
ωaC
Für einen Lastwiderstand
R=
iC = CωaVC cos (ωa t ) = I C sin (ωa t + 900 )
Für eine reine Lastkapazität ist die
Phasenkonstante ф des Stroms daher -90°.
Der iC-Vektor eilt dem vC-Vektor um 90° voran.
Dieser Winkel bleibt konstant.
Eine reine Lastinduktivität
E − vL = 0  vL =Em sin (ωa t ) = VL sin (ωa t )
E =Em sin (ωa t )
i = I sin (ωa t − φ )
VL
diL
i
=
−
cos (ωa t )
vL = L
L
L
ω
dt
a
Entsprechend führt man die Größe XL ein,
ein die man als den
induktiven Widerstand einer Induktivität bezeichnet, und die
folgendermaßen definiert ist:
V
X L = L X L = ωa L
IL
V
iL = − L cos (ωa t ) = I L sin (ωa t − 900 )
ωa L
Für eine reine Lastinduktivität ist die Phasenkonstante ф des
Stroms gleich +90°
+90 .
Die Größen iL und vL sind um 90° außer Phase, und zwar eilt vL
diesmal iL voran. Aus dem Liniendiagramm erkennt man, dass iL
seinen Scheitelwert immer um eine viertel Periode nach vL
annimmt.
29.5 Erzwungene Schwingungen
Schwingen der Ladung, der Spannung und des Stroms in einem ungedämpften LC
LC-Kreis
Kreis
bleiben für immer, sofern die einmal in Gang gesetzt wurde.
Solche Schwingungen bezeichnet man als frei oder ungezwungen, und die Kreisfrequenz
ω0 ist die natürliche Kreisfrequenz des Stromkreises.
Wird an den RLC-Kreis eine äußere Wechselspannungsquelle E =Em sin(ωat) angeschlossen,
bezeichnet man die Schwingungen von Ladung, Spannung und Strom als angetrieben oder
erzwungen.
Die Kreisfrequenz solcher erzwungener Schwingungen
entspricht immer der treibenden Kreisfrequenz ωa .
Wir betrachten einen RLC-Schwingkreis,
g
, an den die
sinusförmige Spannung E =Em sin (ωa t ) angelegt ist
Man kann die RLC-Differentialgleichung modifizieren:
d 2q
dq
Em
2
+
2
δ
+
ω
=
sin (ωa t )
q
0
2
dt
dt
L
und eine Lösung in die Form q = Q sin (ωa t + φ ) suchen um die Amplitude und die
Phasenkonstante von den erzwungenen Schwingungen zu bestimmen.
Wir lösen diese Aufgabe mithilfe von dem Vektordiagramm.
Wir nehmen an, dass
i ( t ) = I sin (ωa t − φ )
ωat −φ
Dann:
ωat −φ
vR = VR sin (ωa t − φ )
vL = VL sin (ωa t − φ + 90° )
vC = VC sin (ωa t − φ − 90° )
Kirchhoffsche
hh ff h
Maschenregel:
ωat
ωat ωat −φ
E ( t ) = vR ( t ) + vC ( t ) + vL ( t )
Das ist erfühlt wenn der Zeiger zum Em gleich der Vektorsumme der Zeiger zu VR, VC
und VL ist.
Aus dem Vektordiagramm: Em2 = VR2 + (VL − VC )
Die entsprechenden Amplituden:
VR = RI
(
2
VL = X L I
Em2 = I 2 R 2 + ( X L − X C )
2
)
VC = X C I
Em = I
2
I=
2
(R
2
+ ( X L − XC )
E
R2 + ( X L − X C )
2
2
)
wobei
X L = ωa L
XC =
1
ωaC
Den Nenner in dieser Gleichung bezeichnet man als
Impedanz Z des Stromkreises mit der antreibenden
Kreisfrequenz ωa
2
Z = R2 + ( X L − X C )
E
=
Z
Die Impedanz ist minimal und der Strom ist maximal, wenn X L − X C = 0
ωa L −
1
=0
ωaC
ωa =
1
= ω0
LC
Resonanzkurven
Resonanz – die Kreisfrequenz der angelegten
S
Spannung
i t gleich
ist
l i h der
d natürlichen
tü li h Kreisfrequenz.
K if
Der Maximalwert der Stromamplitude nimmt mit
zunehmendem R ab.
Die Breite der Kurven nimmt
mit zunehmendem R zu.
ωat ωat −φ
X L − XC = 0
VL = VC
In Resonan
Resonanz sind der Strom i(t) und
nd die angelegte
Wechselspannung E ( t ) in Phase ( φ = 0 )
29.6 Die Leistung in Wechselstromkreisen
Betrachten wir einen Wirkwiderstand und berechnen die
Leistung, die im Wirkwiderstand in Wärmeenergie umgewandelt
wird. Momentane Leistung:
P = i 2 (t ) R = I 2 sin 2 (ωa t − φ ) R
Die mittlere Leistung am Wirkwiderstand erhalten wir aus der
Mittelung der momentanen Leistung über die Zeit.
2
1
 I 
2
Pgem = P = I 2 sin 2 (ωa t − φ ) R = I 2 R = 
R
=
I
eff R

2
 2
Die Größe I 2 bezeichnet man als den Effektivwert des
Stroms
Stroms.
Alternativ:
2
Pgem
2
VR2
1 VR2  VR  1 Veff
2
=
sin
i (ωa t − φ ) =
=
=
2 R  2  R
R
R
Wechselstrommessgeräte (Amperemeter, Voltmeter), sind so geeicht, dass ihre Anzeige
d Effektivwerten
den
Eff kti
t entspricht.
t i ht W
Wenn ein
i Wechselstromvoltmeter
W h lt
lt t iin einer
i
St
Steckdose
kd
stecken den Wert 230 V abliest, handelt es sich um den Effektivwert der Spannung. Der
Maximalwert der Spannung an dieser Steckdose ist
2 × 230 = 325V
Allgemein für einen Element mit einer Phasenverschiebung zwischen der Spannung und
dem Strom :
1
Pgem = VI sin (ωa t ) sin (ωa t − φ ) = VI cos φ sin 2 (ωa t ) = VI cos φ = Veff I eff cos φ
2
Pgem = Veffff I effff cos φ
29.6 Transformatoren
r
Den Faktor cos ф in dieser Gleichung bezeichnet man
als Leistungsfaktor.
g g der elektrischen Energie
g vom
Wie soll die Übertragung
Kraftwerk zum Verbraucher erfolgen?
Man soll es bei möglichst niedrigem Strom (und damit
g
Spannung),
p
g) realisieren. Warum?
der höchstmöglichen
P = Veff I eff
- Die Leistung des Verbrauchers.
2
r – ist der Widerstand der Leitung
R – ist
i td
der Wid
Widerstand
t dd
des V
Verbrauchers
b
h
Die verlorene Leistung
P
Pver = I 2 r =   r
V 
Die Forderung nach einer Hochspannung bei der Energieübertragung steht im Widerspruch
zu der Niedrigspannung, die zur sicheren Erzeugung und zum sicheren Gebrauch erwünscht
ist Man benötigt also ein Transformator,
ist.
Transformator ein Gerät mit dem man die Wechselspannung zur
Übertragung anheben und zum Gebrauch wieder absenken kann, sodass das Produkt aus
Strom und Spannung im Wesentlichen konstant bleibt.
Der ideale Transformator
Der ideale Transformator besteht aus zwei Wicklungen
(Spulen) mit unterschiedlichen Windungszahlen um einen
Eisenkern.
Die Primärwicklung mit einer Windungszahl Np ist mit
einem
i
W
Wechselstromgenerator
h lt
t verbunden,
b d
d
dessen
Augenblicksspannung E =Em sin(ωat) ist.
Der Strom in der Primärwicklung induziert in dem Eisenkern einen alternierenden
magnetischen
i h Fluss
l
ФB. Da sich
i hd
der Eisenkern
i k
auch
hd
durch
h di
die SSekundärwicklung
k d
i kl
erstreckt,
k
verläuft auch dieser Fluss durch die Sekundärwicklung.
Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz ist die induzierte
Spannung pro Windung (für Primär- und die Sekundärwicklung)
Daher folgt:
VP
dΦ V
=− B = S
NP
dt NS
VS =
EW =−
dΦB
dt
NS
VP
Np
Für NS > NP spricht man von einem „step-up“ Transformator, weil die Primärspannung
Vp auf eine höhere Spannung Vs transformiert wird.
Aus die Energieerhaltung:
PP =VPIP = PS =VS IS
IS = IP
VP
N
= IP P
VS
NS