Proseminar über Zahlen und Zählen

Proseminar über Zahlen und Zählen
für Studierende des Lehramts
an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen
WiSe 08/09
Prof. Dr. B. Werner
9. Juli 2008
Die Proseminarvorträge sollen sich mit elementaren Inhalten aus der Zahlentheorie (Zahlen)
und der Kombinatorik ( Kunst des Zählens“) befassen, die alle im Rahmen des ersten Seme”
sters (Grundlagen der Mathematik) behandelt wurden bzw. hätten behandelt werden können,
siehe Skript Mathematik I für das Lehramt (WS 06/07) (B. Werner) an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen (Grundlagen). Weitere Literatur siehe am Ende.
Meist geht es um mit wenigen Ausnahmen sehr einfachen Aussagen“ (siehe die Beispiele un”
ten). Diese sollen in Vorträgen von etwa 20 Minuten Länge ohne Unterlagen (also auswendig!)
konventionell in sprachlich korrekter Form an der Tafel erläutert werden. Die zeitliche Vorgabe wird vorher festgelegt und muss eingehalten werden. Pro Doppelstunde wird es drei bis
vier Mini-Vorträge geben. Von allen TeilnehmerInnen erwarte ich, dass sie sich vorher mit den
jeweiligen Themen vertraut machen.
Jede TeilnehmerIn erhlt zwei verschiedene Themen, je eines vom Typ A und vom Typ B (s.u.),
die an verschiedenen Tagen vorgetragen werden. Einer der beiden Vortrge kann bei Nichtgelingen einmal wiederholt werden. Die Vorträge sollen schriftlich ausgearbeitet und mir zwei
Wochen vor dem Vortragstermin vorgelegt werden.
Einen Proseminarschein erhält, wer beide Themen erfolgreich vorträgt.
Ziel der Lehrveranstaltung ist die präzise und verständige Verwendung der mathematischen
Sprache zur Beschreibung elementarer mathematischer Sachverhalte aus den Grundlagen der
Mathematik. Dies kann der Vorübung zur mündlichen Staatsexamensprüfung dienen.
Das Proseminar richtet sich an Studierende, die mindestens Mathematik I-IV inkl. Zwischenprüfung erfolgreich abolviert haben und sich im Hinblick auf die Fähigkeit, mathematische
Sachverhalte sprachlich zu durchdringen, reif fr das erste Staatsexamen halten.
Interessierte TeilnehmerInnen mögen sich per Email an mich (werner at math.uni-hamburg.de)
erst unverbindlich (mit Angabe Ihres Fachsemesters und der von Ihnen bisher absolvierten
Lehrveranstaltungen in Mathematik) und später (nach Bekanntwerden des LV-Plans des WiSe
08/09) verbindlich anmelden.
Die Themenvergabe erfolgt nach endgültiger Anmeldung.
Mögliche Themen:
• Typ A
√
√
1. 2 ist irrational. Der Zusammenhang zwischen DIN-Formaten und 2.
2. Ist 2n − 1 eine Primzahl, so ist n eine Primzahl.
3. Ist 2n + 1 eine Primzahl, so ist n eine Zweierpotenz.
4. Es gibt unendlich viele Primzahlen (zwei verschiedene Beweise).
1
5. Für endliche Mengen M gilt |P otM | = 2|M | . Es gibt einen Zusammenhang zu
|{0, 1}n | = 2n .
6. Für alle Mengen M sind M und ihre Potenzmenge P otM niemals gleichmächtig.
7. Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, die der reellen Zahlen nicht.
8. Die Restklassenmenge ZZp := {0, 1, ..., p−1} ist für eine Primzahl p ein Körper, wenn
man Addition und Multiplikation als Modulo-Operation“ erklärt.
”
n!
k-elementige Teilmengen einer n-elementigen Menge.
9. Es gibt nk := k!(n−k)!
10. Es gilt
n
n
=
,
k
n−k
n
n−1
n−1
=
+
k
k−1
k
unter Zugrundelegung der kombinatorischen Definition von nk als Anzahl der kelementigen Teilmenge einer n-elementigen Menge. Zusammenhang mit dem Pascalschen Dreieck.
11. Beweis der Binomischen Formel für
n
(a + b) =
n X
n
k=0
und von
n X
n
k=0
k
k
ak bn−k
= 2n
unter Zugrundelegung der kombinatorischen Definition von
elementigen Teilmenge einer n-elementigen Menge.
n
k
als Anzahl der k-
12. Eine Zahl x ist rational genau dann, wenn ihre Dezimalbruchdarstellung endlich oder
periodisch unendlich ist.
13. Es gibt n+k−1
Mglichkeiten, aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln k Kugeln
k
zu ziehen, wenn man wieder zurcklegt und die Reihenfolge nicht beachtet.
14. Die Menge aller Permutationen einer n-elementigen Mange M umfasst n! Elemente
und bildet eine Gruppe (die sog. symmetrische Gruppe Sn ).
15. Multipliziert man zwei komplexe Zahlen, so werden ihre Winkel addiert und ihre
Lngen multipliziert.
• Typ B
1. Trennt man von einem Rechteck mit Kantenlngen a < b ein Quadrat der Lnge b
ab und erhlt ein zum Ausgangsdreieck hnliches Restrechteck, so handelt es sich um
goldene Rechtecke. Beschreibung der Goldenen Spirale.
2
2. Fibonacci-Zahlen und das Kaninchenproblem: Wieviele Kaninchenpaare gibt es nach
12 Monaten, wenn es im ersten Monat ein Jungtierpaar gibt und wenn jedes Jungtierpaar nach einem Monat geschlechtsreif wird und ab da jeden Monat ein Jungtierpaar
als Nachwuchs hat?
3. Es gilt für alle n = 1, 2, ...
n
X
Fk2 = Fn · Fn+1
k=1
für Fibonacci-Zahlen. Diese Aussage kann sehr schön geometrisch gedeutet werden.
4. Es gilt
Fn+1
=Φ
n→∞ Fn
mit der großen Goldenen Schnittzahl
lim
1 √
Φ = ( 5 + 1).
2
5. Es gilt
1
Φ=1+
1
1+
1+
1
1 + ..
.
+
1
1 + ..
.
mit der großen großen Goldenen Schnittzahl
1 √
Φ = ( 5 + 1).
2
6. Es gilt
√
1
2=1+
1
2+
2+
1
2 + ..
.
+
1
2 + ..
7. Es gilt für alle n = 1, 2, ... die Simpson-Identität
Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n
für Fibonacci-Zahlen Fn
8. Es gilt für alle n = 1, 2, ...
n
X
k=1
3
F2k−1 = F2n ,
.
n
X
F2k = F2n+1 − 1
k=1
für Fibonacci-Zahlen.
9. Es gibt genau zwei verschiedene reelle Zahlen λ, so dass die geometrische Folge
an := λn der Fibonacci-Rekursion
an+1 = an + an−1
genügt. Hieruas folgt die Formel von Binet.
10. Erläuterung des Euklidischen Algorithmus zur Berechnung von ggT (m, n) und zur
Berechnung eines Kettenbruchs einer Zahl o > 0 mit der Folgerung
π≈
355
.
113
11. Warum fallen die Vollmondtage (und damit auch Ostern) alle 19 Jahre fast“ auf
”
dasselbe Datum?
12. Seien
p1
q1
und
p2
q2
zwei Farey-benachbarte Brüche, d.h. es gelte
p
1
1 p2 −
.
=
q1
q2
q1 q2
Sei
p3
q3
p1 +p2
q1 +q2
und pq22
:=
ihr Mediant. Dann ist dieser zu beiden Brüchen Farey-benachbart.
13. Seien pq11
zwei Farey-benachbarte Brüche (s.o.). Dann hat jeder Bruch zwischen
diesen beiden Brüchen einen Nenner ≥ q1 + q2 . Oder anders ausgedrückt: Der Bruch
mit dem kleinsten Nenner, der zwischen diesen beiden Brüchen liegt, ist ihr Mediant
(s.o).
Literatur:
• Skript Mathematik I für das Lehramt (WS 06/07) (B. Werner) an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen
• Kettenbrüche (B. Werner, OE 2007)
• Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt, Kettenbrüche und Anwendungen (B. Werner, SoSe
2006)
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