Folie 5. Die natürlichen Zahlen ∑ ∑ ∑ n

Folie 5. Die natürlichen Zahlen
Peano-Axiome (R. Dedekind
N 0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
14.10.04 P.Vachenauer
1888, G. Peano 1891)
(1) Erstes Element
0 ∈ N0
(2) Jede Zahl hat Nachfolger
∀n ∈ N 0 n + 1 ∈ N 0
(3) Nachfolge ist injektiv
∀n , m ∈ N 0 ( n ≠ m ) ⇒ n + 1 ≠ m + 1
Guiseppe Peano
1858 - 1932
Turin
(4) 0 ist kein Nachfolger
∀n ∈ N 0 ( n + 1 ) ≠ 0
(5) Vollständigkeit
∀M ⊂ N 0 ( ( 0 ∈ M ) ∧ ∀( n ∈ M ) ⇒ ( n + 1 ) ∈ M ) ⇒ M = N 0
Das Induktionsprinzip
1. Schritt
Zeige: Die Ausage A(0) ist richtig.
2. Schritt
Zeige für beliebiges n ≥ 0 : A(n) ist richtig
⇒
A(n+1) ist richtig.
Dann folgt mit (5), dass die Aussage A(n) für alle n ∈ N 0 richtig ist.
Rekursive Definition
1. Schritt
Objekt (Element, Abbildung) A 0 vorgeben.
2. Schritt
Vorschrift angeben, die Objekt A n + 1 durch A 0 , … , A n ausdrückt.
Bezeichnungen. Fakultät (Faktorielle) von n
0! := 1 , (n+1)! := ( n+1) n! .
k
Fallende Faktorielle : n := n ⋅ ( n – 1 )… ( n – k + 1 ) für k ≤ n .
k
n
n ⋅ ( n – 1) ⋅ … ⋅ ( n – k + 1)
n!
Binomialkoeffizient „n über k“ :=
: ----- = ----------------------------------------------------------------- = ----------------------k ⋅ ( k – 1 ) …2 ⋅ 1
k! ( n – k )!
oben und unten gleich viele Faktoren k!
k-Permutationen aus n :
k
n = Anzahl von verschiedenen (geordneten) k-Tupeln aus einer
n-elementigen Menge
k-Kombinationen aus n :  n = Anzahl von verschiedenen (ungeordneten) k-elementigen
 k
Teilmengen aus einer n-elementigen Menge
n
n (n + 1 )
k = 1 + 2 + … + n = -------------------Drei wichtige Formeln. a) Arithmetische Summe
2
∑
k=1

n + 1 , falls m =1

k
2
n
b) Geometrische Summe
m = 1 + m + m + … + m =  mn + 1 – 1
 ------------------------ , falls m ≠ 1
k=0
m–1

n
 n a n – k b k
c) Binomische Formel
( a + b) n =
 k
n
∑
∑
k=0