Axiomensystem von Peano - math.uni

Axiomensystem von Peano
∗)
(nach Wikipedia)
Ausformulierte Version
1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Jede natürliche Zahl n hat eine natürliche Zahl n0 als Nachfolger.
3. 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.
5. Enthält X die 1 und mit jeder natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n0 , so
bilden die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von X.
Das letzte Axiom heißt Induktionsaxiom, da auf ihm die Beweismethode der vollständigen Induktion beruht. Es ist äquivalent zur Aussage, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein
kleinstes Element hat.
Formalisierte Version
1. 1 ∈ N
2. ∀n (n ∈ N ⇒ n0 ∈ N).
3. ∀n (n ∈ N ⇒ n0 6= 1).
4. ∀n, m ∈ N (n0 = m0 ⇒ n = m).
5. ∀X ((1 ∈ X ∧ (n ∈ N ⇒ n0 ∈ N)) ⇒ X ⊆ N).
∗)
Giuseppe Peano (* 27. August 1858 in Spinetta, heute Teil von Cuneo, Piemont; † 20. April 1932 in Turin) war
ein italienischer Mathematiker. Er arbeitete in Turin und befasste sich mit mathematischer Logik, mit der Axiomatik
der natürlichen Zahlen (Entwicklung der Peano-Axiome) und mit Differentialgleichungen erster Ordnung.