3. Übungsblatt zur Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften
, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Bernhard Ganter, Daniel Borchmann
Sommersemester 2011
3. Übungsblatt zur Vorlesung
Elemente der Algebra und Zahlentheorie
Natürliche Zahlen und deren Axiomatik
Hausaufgabe ist
vom 2.5.6.5.).
Aufgabe 2.
Abgabetermin ist der Beginn der nächsten Übung (Woche
Aufgabe 1.
Es sei (M, ≤) eine geordnete Menge, in der jede nichtleere Menge N ⊆ M ein minimales
Element hat. Wir sagen dann, dass (M, ≤) wohlfundiert ist. Weiterhin sei A(n) eine
Aussage für n ∈ M .
Es gelte nun für jedes y ∈ M
(∀x ∈ M : (x < y) =⇒ A(x)) =⇒ A(y),
(1)
wobei x < y meint, dass x ≤ y und x 6= y . Zeige, dass dann A(n) für jedes n ∈ M gilt.
Aufgabe 2.
Welche der folgenden, geordneten Mengen sind wohlfundiert (siehe Aufgabe 1) und welche nicht? Gib in jedem Fall einen Beweis Deiner Behauptung an! (Pro Teilaufgabe
jeweils 1 Punkt)
a) (N, ≤)
b) (Z, ≤)
c) (Q, ≤) bzw. (R, ≤)
d) (N × N, ), wobei
(n1 , m1 ) (n2 , m2 ) : ⇐⇒ (n1 < n2 ) oder (n1 = n2 und m1 ≤ m2 ).
e) (N, |)
Aufgabe 3.
Zeige, dass die Peano-Axiome kategorisch sind. Genauer gesagt, seien (M, f, x) und
(N, g, y) zwei Modelle der Peano-Axiome, wobei M, N die Grundmengen sind, f, g die
Nachfolgerfunktionen und x ∈ M, y ∈ N die Nullelemente. Zeige, dass es dann eine
bijektive Abbildung
ϕ : M −→ N
gibt, so dass ϕ(x) = y und ϕ(f (a)) = g(ϕ(a)) ist, für jedes a ∈ M .
Aufgabe 4.
Welche der folgenden Strukturen, bestehend aus Grundmenge, Nachfolgerfunktion und
Nullelement, erfüllen die Peano-Axiome? Welches Axiom ist gegebenenfalls verletzt?
a) (N ∪ {−5, −4, −3, −2, −1}, N, −5) mit N (a) := a + 1,
b) (Z, N, 0) mit N (a) := a + 1,
−a + 1, a ≤ 0
0
0
c) (Z, N , 0) mit N (a) :=
−a,
a>0
d) ({0, 1, . . . , 1000}, Ñ , 0) mit Ñ (a) := (a mod 1000) + 1,
e) (N, N̂ , 1) mit N̂ (a) := 2a,
Aufgabe 5.
Herausforderung! Konstruiere ein Nichtstandardmodell der natürlichen Zahlen, also eine
Struktur (N, f, x), die elementar äquivalent aber nicht isomorph ist zu (N, (x 7→ x+1), 0).
Gehe dabei wie folgt vor:
a) Erweitere die natürlichen Zahlen N durch ein neues, gröÿtes Element a.
b) Argumentiere, dass a einen Vorgänger a − 1 und einen Nachfolger a + 1 haben muss.
c) Folgere daraus, dass unendlich viele Zahlen a − n für n ∈ N gibt, die vor a liegen,
aber gröÿer sind als alle natürlichen Zahlen.
d) Folgere weiterhin, dass es unendlich viele Zahlen a + n für n ∈ N gibt, die gröÿer
sind als a.
e) Insgesamt erzeugt also a eine Menge von Zahlen { a ± n | n ∈ N }, die ordnungsisomorph ist zu (Z, ≤). Bezeichne diese Menge mit a∗ .
f) Argumentiere, dass a + n < a + a gilt für alle n ∈ N. Auch hier müssen wieder
Vorgänger und Nachfolger existieren. Damit existiert auch (a + a)∗ .
g) Argumentiere, dass entweder a oder a + 1 durch 2 teilbar ist. Ohne Einschränkung
sei dann a durch 2 teilbar. Zeige dann, dass alle Elemente in (a/2)∗ kleiner sind als
alle Elemente aus a∗ , aber dass dennoch alle Elemente aus (a/2)∗ gröÿer sind als alle
Elemente aus N. Wir schreiben dies kurz als N < (a/2)∗ < a∗ < (a + a)∗ .
h) Zeige abschlieÿend, dass für je zwei Zahlen a, b ∈ N \N eine Zahl c ∈ N \N existieren
muss, so dass a < c < b und damit auch a∗ < c∗ < b∗ gelten muss. Die Menge
{ x∗ | x ∈ N \ N } ist damit ordnungsisomorph zu (Q, ≤).
i) Skizziere die so konstruierte Menge.
Hinweis: Die Konstruktion ist damit abgeschlossen und die so erhaltene Struktur ist tatsächlich ein
Nichtstandardmodell der natürlichen Zahlen.
Aufgabe 6.
Es stellt sich heraus, dass man mit wohlgeordneten Mengen rechnen
kann. Im folgenden bezeichnen wir wohlgeordnete Mengen mit den Buchstaben α, β, γ .
Wir betrachten folgende Denitionen:
Herausforderung!
i) Wir schreiben α ≈ β , wenn es einen Ordnungsisomorphismus f : α −→ β gibt.
Dies ist eine bijektive Abbildung mit der Eigenschaft, dass
x ≤α y ⇐⇒ f (x) ≤β f (y)
für alle x, y ∈ Nα , wobei α = (Nα , ≤α ) und β = (Nβ , ≤β ) sei.
ii) Es sei α + β die geordnete Menge (N, ≤) mit N = Nα ∪˙ Nβ und x ≤ y falls x ≤α y ,
x ≤β y oder x ∈ Nα und Nβ gilt. Die beiden Wohlordnungen α und β werden also
hintereinander gehängt.
iii) Es sei α · β die geordnete Menge (N, ≤) mit N = Nα × Nβ und
(a, b) ≤ (x, y) : ⇐⇒ (b ≤β y) oder (b = y und a ≤α x).
Intuitiv wird jedes Element von β
ersetzt
durch eine Kopie von α.
Bearbeite folgende Aufgaben:
a) Verdeutliche die Denitionen von + und · durch (jeweils) eine Skizze.
b) Zeige, dass α + β und α · β wohlgeordnet sind.
c) Es sei ω = (N, ≤). Zeige, dass ω 6≈ ω + ω ist.
d) Jede natürliche Zahl kann als Wohlordnung aufgefasst werden, z. B. durch
n := ({ 0, . . . , n − 1 }, ≤).
Zeige, dass ω ≈ n + ω für jedes n ∈ N gilt. Gilt auch ω ≈ ω + n?
e) Zeige, dass ω · 2 6≈ 2 · ω gilt.
f) Hat die Addition und Multiplikation von Wohlordnungen etwas mit der Addition
und Multiplikation von natürlichen Zahlen zu tun?