9.¨Ubungsblatt zur Quanteninformationstheorie I u.II

Technische Universität Berlin
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. K.-E.Hellwig
10.01.05
Abgabe: 24.01.05
9. Übungsblatt zur Quanteninformationstheorie I u.II
Nächste Übung: Mo., 09.01.05, 12:15, PN 733
Aufgabe 25 (4 Punkte):
Sei x = [a0 , a1 , a, . . . ] ein endlicher oder unendlicher Kettenbruch, dann heiße a0n =
[an , an+1 , an+2 , . . . ] sein n-ter vollständiger Quotient. Verwendet man das bisher für
endliche Kettenbrüche betrachtete Symbol [. . . ] mit der gleichen arithmetischen Bedeutung auch dann, wenn das letzte Glied aM durch eine reelle Zahl ξ > 1 ersetzt ist,
dann gilt offenbar
x = [a0 , a1 , a2 , a3 , . . . ; an−1 , a0n ]
.
252.1: Man zeige: Für 2 ≤ n und n < M , falls x rational ist, gilt
x=
a0n pn−1 + pn−2
,
a0n qn−1 + qn−2
wobei pk /qk den k-ten Näherungsbruch von x bezeichnet. (Hinweis: Betrachte die
Herleitung der Rekursionen für pn und qn .)
25.2: Man zeige: Sei
ξP + R
x=
,
ξQ + S
wobei 1 < ξ ∈ R, P, Q, R, S ∈ Z, Q > S > 0 und P S − QR = ±1 ist. Dann
gilt P/Q = pm /qm und R/S = pm−1 /qm−1 , wobei pk /qk den k-ten Näherungsbruch
von x bezeichnet und m < M im Fall x rational. Ferner ist ξ der erste vollständige
Quotient. (Hinweis: Folgere, dass P, Q und R, S teilerfremd sind, denke sich P/Q in
einen Kettenbruch der Länge m entwickelt, wobei m (durch Manipulation am letzten
Nenner) so zu wählen ist, dass P S − QR = (1)m ist.)
Aufgabe 26 (3 Punkte): ) Man zeige: Gilt für x ∈ R, P, Q ∈ Z, Q > 0
|
P
1
− x| <
,
Q
2Q2
P
Θ
dann ist PQ ein Näherungsbruch von x. (Hinweis: Setze Q
−x = Q
2 mit = ±1 und
1
P
Θ ∈ (0, 2 ). Denke Q = [a0 , a1 , . . . , am ], wobei m so gewählt ist, dass = (−1)m−1 .
Setze
ωpm − pm−1
x=
ωqm − qm−1
und zeige ω > 1. Schließe unter Verwendung von (25.2) auf die Behauptung
Aufgabe 27 (3 Punkte):
27.1: Man beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.
Dazu betrachte man die Menge A ⊆ N derjenigen natürlichen Zahlen, die wenigstens
zwei voneinander verschiedene Primfaktorzuerlegungen haben , und zeige, dass die Annahme A 6= ∅ auf einen Widerspruch führt.
βm
Schritt 1: Sei A 3 n = pα1 1 pα2 2 . . . pαnn = pq1β1 qpβ2 2 . . . qm
, wobei 0 < pk , ql Primzahlen sind und 1 ≤ αk , βl . Man zeige: ist n das kleinste Element von A, dann gilt
{p1 , p2 , . . . , pn } ∩ {q1 , q2 , . . . , qm } = ∅.
Schritt 2: Für p1 = min{pk }, q1 = min{ql } betrachte man die Zahl N := n − p1 q1
und zeige, dass p1 und q1 Primfaktoren von N (∈
/ A) sind. Daraus folgere man p1 q1 |n)
und schließlich (etwa) q1 ∈ {p2 , p3 , . . . , pn }
27.2: Man folgere den Ersten Euklidischen Satz : Sei p Primzahl und a, b ∈ N. Dann
gilt p|ab) ⇒ p|a) ∨ p|q).
27.3: Für x, y ∈ N bezeichne (x.y) den größten gemeinsamen Teiler und [x, y] das
kleinste gemeinsame Vielfache von x und y. Man zeige:
(x, y)[x, y] = xy.