N s N n−s

Wahr Formelsammlung
v.97
Ereignisraum:
Sei  ein endlicher Ergebnisraum:
1 Jede Teilmenge A von  heißt Ereignis
2 A tritt ein , wenn sich ein Ereignis ∈ einstellt das in A enthalten ist.
3 Die Menge P  aller Ereignisse heißt Ereignisraum.
Menge A und B Teilmenge von M
 ={ x∈ M : x∉ A} ''nicht A''
Komplement: A
Vereinigung: A∪B={ x∈ M : x∈ A oder x∈ B }''A oder B''
Durchschnitt: A∩B={ x∈ M : x∈ A und x∈ B } ''A und B''
Rechengesetze der Mengenalgebra:
Relative Häufigkeit:
Tritt ein Ereignis A bei n Zufallsexperimenten k-mal ein, so heißt:hn  A=k / n
die relative Häufigkeit des Ereignisses A in dieser Versuchsfolge.
Eigenschaften:
0≤hn  A≤1
h n  A∪B=h n  Ah n  B−hn  A∩B
h n  A∪B=h n  Ah n  B falls A∪B=∅
h n  A=∑ h n 
Kommutativgesetz:
Assoziativgesetz:
A∩B=B∩A ; A∪B=B∪A
 A∩B∩C=A∩ B∩C 
A∪ B∪C =A∪ B∪C 
Distributivgesetz:
A∩ B∪C = A∩B∪ A∩C 
A∪ B∩C = A∪B∩ A∪C 
Absorbtionsgesetz:
A∩ A∪B=A ; A∪ A∩B
 ∪B
 ; A∪B= A
 ∩B

Gesetz von de Morgan :
A∩B= A
 =A
 =∅ ; A∪ A
 = ; A
Gesetz für Komplemente: A∩ A

 =1−hn  A
hn  A
Die mathematische Wahrscheinlichkeit
Axiomatische Def. der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogoroff
Laplace−Experiment : Wenn alle Ergebnisse  des endlichen Ergebnisraum ={ 1,
2, ... , n } gleichmäßig auftreten.
P  A=
Anzahl der Fälle bei denen A eintritt
;
Anzahl aller mögl. Ereignissen
statistischeW.: P A=lim hn  A
n ∞
∣A∣
P  A=
∣∣
Axiom1:
Axiom2:
Axiom3:
Bez.:
P =2∣∣
GeometrischeW.: P A=
Länge der Strecken A
Gesamtlänge
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen
1
2
3
4
P A≥0 Nichtnegativität
P=1 Normierung
A∩B=∅ P A∪B P  AP B Additivität
P : Pℝ Wahrscheinlichkeitsmaß
P  AWahrscheinlichkeitvon A ;  , PWahrscheinlichkeitsraum
Additionssätze
n=2 P  A∪B=P  AP  B−P  A∩B
n=3 P  A∪B∪C =P AP BP C −P  A∩B−P  A∩C −P B∩C P  A∩B∩C 
P  AP A =1
P ∅=0
A⊂B  P A≤P BMonotoniegesetz
P  A∪B=P AP  B−P A∩B
n
n
n
5 A1, ... , A N ∈ P paarweiseunvereinbar P  A1∪A2∪...∪An =∑ P Ai 
i=1
6 P  A ∑ P {}
W.−maße sind :
1 Laplace−W.
2 Empirische−W.
3Geometrische−W.
∈ A
n
n
allg. P  U Ai =∑ P Ai − ∑ P  Ai ∩A j  ∑ P  Ai ∩A j ∩Ak −1n−1 P  A1∩A2∩...∩An 
i=1
i , j=1
i , jk=1
i =1
i j
i jk
Eine auf einen endlichen EreignisraumP  defenierte Funktion P ist ein
Wahrscheinlichkeitsmaß über, wenn für die Elementarereignisse{ } , ∈ gilt :
Mehrfeldtafel
1 0≤P { }≤1 für alle ∈ 2
∑
P { }=1
∈
4 P  A= ∑ P { }
3 P ∅=0
∈ A
Zufallszahlen
Monte−Carlo−Methode : Berechnung von Wahrscheinlichkeitendurch
Simulation von Zufallsexperimente mit Hilfe von Zufallszahlen.
Erzeugung : 1 Laplace−Münze Wappen:=1 ; Zahl :=0
Serie :
1000 1100 1001 0000 1011 0111
8
12
9
0
11
7
2 Zufallstabellen : 62654, 70882, 77855,...
32
3T −Pacsal Zg.:
y n1= y n∗1347758131 mod 2  y 0 belieb. Startwert
Bedingung für Zufallszahlen :
a ) h n 0≈hn 1≈h n 2≈...≈hn 10≈1/10
b ) h n 00≈h n 01≈hn 02≈...≈h n 99≈1/100
c ) h n 000≈hn 001≈hn 002≈...≈h n 999≈1/1000
Kombinatorik
Laplace Experiment im Urnenmodell
Binomialk. :
n!
0≤k≤n
n =
n−k !∗k !
k
0
kn
Auswahl von k Elementen
auseiner n−Menge
M ={a 1, a 2, ... , an }
ncr Binomial Ti30
mit Berücksichtigung
der Reihenfolge
k −Tupel
a 1,.. , a k
ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge
k −Kombination
[ a 1, a 2, ... , a k ]
nk
ohne Wiederholung
k −Permutation
{ a1, a 2, ... , a k } k≤n
nk−1
k 
{
}
n!
n−k !
B
A∩B
A
Ziehen ohne Zurücklegen :
P X =s=
k −Menge
{ a1, a 2, ... ,a k } k≤n
Ziehen mit Zurücklegen :
Ss ∗ Nn−s−S 
 Nn 
ohne
Wiederholung
N=
S=
n=
s=
kn
Wahrscheinlichkeit unter einer Bedingung
 s  N   N 
s
P X =s= n ∗ S ∗ 1− S
n−s
gesamtzahl der Kugeln
gesamtzahl der schwarzenKugeln
gesamtzahl der gezogenen Kugeln
gesamtzahl der gezogenen schwarzenKugeln
Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten mit B-diagramm
Wahrscheinlichkeit von A unter B
Ist B ein Ereignis mit P  B≠0 und A ein Ereignis , dann heißt :
P  A∩B
P B  A=
P  B
die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung  B.
1. Pfadregel Die Wahrscheinlichkeit das in einem Baumdiagramm
ein bestimmter Pfad durch laufen wird ist gleich dem Produkt
der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades.
Produktsatz : P  A∩B=P  B∗P B  A
P  A∩B∩C =P  B∗P B  A∗P A∩B C 
2. Pfadregel : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe
der Wahrscheinlichkeiten der Pfade die dieses Ereignis bilden.
P
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Sei  ein Ergebnisraumund sei A1 ,.. , An eine Zerlegung von 
n
d.h. A1, ... , An paarweiseunvereinbar und U Ai =
i =1
n
Definition :
Eine irrationale Zahl
heißt normal , wenn jede endliche
Zahlenfolge gleich häufig vorkommt.
A1
B
A2
A5
A4
A3
A
A
P A B
B
P A∩C C 
C
Formel von Bayes
Sei A1,.. , An eine Zerlegung von und B ein Ereignismit PB≠0.
Dann gilt für jedes A:
für n=2
P  A∗P A  B
P  Ai ∗P Ai  B
P B  A=
P B  Ai = n
 ∗P A  B
P  A∗P A  BP  A
∑ P  A j ∗P Aj  B
j=1
P  B=∑ P  Ai ∗P Ai  B
i=1
Seite 1
Medizin :
P  Ai =
P Ai B=
P B  Ai =
B
A

A
B=Sympton ; Ai =mögl. Krankheit :
W. für das Auftreten der Krankheit.
Bedingte W. für das Auftreten von B.
W. für das vorliegen d. Krankheit falls B eintritt.
stochastische Unabhängigkeit von 2 Ereignissen
Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Sei  Ergebnisraumeines Zufallsexperimentes.
Eine Funktion X :  R ,   X  heißt ZufallsgrößeZufallsvariable
Die Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig in , P wenn
P  A∩B=P  A∗P  B
A , B stochastisch unabh. <=> P A  B=P  B
P B  A=P  A
{
}
={ X : ∈}=Wertemengevon X ⊂ℝ
Sei  , PW.−raum und X :  ℝ eine Zufallsgröße :
P  X =a=P⅛ { ∈: X =a } a ∈
P a X ≤b=P ⅛ { ∈: aX ≤b }
P  X ≤c=P ⅛ { ∈: X ≤c }
1 A , B unvereinbar <=> A∩B=∅
Es gilt für jedes P∈ P  A∪B=P  AP  B
2 A , B unabhängig ∈ , P<=> P  A∩B=P  A∗P  B
W.verteilungen diskreter Zufallsgrößen
{
X heißt diskret , falls  abzählbar
stetig , falls  überabzählbar
Graphische Darstellung diskreter W.-verteil.
P(X=x)
37
37
12/37
-1
Histogramm
2
d(x)
25
337
F : ℝ [ 0,1 ] , F  x=P  X ≤x= ∑ f  xi  xi ∈
(
0
-1
(
2
0,5
3,5
a5 a6
0
1
2
3
4
5
6
stetige Verteilungsfunktion
Die Verteilungsf. F einer diskreten Zufallsgröße X besitzt folgende Eigenschaften :
1 F ist monoton steigend Treppenf. 
2 F ist rechtseitg stetig  F  x=P  X ≤ x  d.h. linksseitige Punkte gehören dazu.
3 lim F  x=0 lim F  x=1
Sei X stetige Zufallsgröße auf  , P:
1 Die Verteilungsfunktion F  x von X ist defeniert durch F  x=P  X ≤x
Wahrscheinlichkeits −
dichte von F  x
x
 2 F  x heißt stetig , wenn F  x die folgende Integraldarstellung besitzt : F  x= ∫ f t ∗dt
x ∞
−∞
4 P  X =x i =F  x i −F  x i−1 
xi ≤x= f
2
heißt diskreteVerteilungsfunktion.
  

]
Eigenschaften diskreter Verteilungsf.
∑
a 3 a4
Man bestimme zu der Zufallsgröße X =Anzahl der Richtigeni bei einen Tipp im Lotto 6 aus 49
i Anzahl der
Verteilungsfkt.
0
1
2
3
Richtigen
6 43
1
f(xi) =
0,44
0,41 0,13 0,0018
P(X=i)
i 6−i
i Anzahl der
f i=
}0,41
4
5
6
Richtigen
49
0,44
f(xi) =
-8
72*10-9
6
0,00097 18*10
P(X=i)
]
(
sonst
-2,5
5 F  x=
-1
xi ≤x
]
xi −∞
a2
Verteilungsfunktion diskreter Zufallsgr.
P a i  X ≤a i1 
a i1−a i
(0,5 , 3,5]
12
337
12/37
h
a1
Dichtefunktion Beispiel
X (-2,5 , 0,5]
}
Bsp : Roulett 1 € auf 1 Dutzend Gewinn: X : { 0...36 } X = 2 € , ∈{1,12 }
−1 € , sonst
Stab Zerlegung eines Intervalles[a , b]
diagramm
mit ⊂[a , b]indisjunkte Teilintervalle
X
-1
2
f(x)
Pa2x≤a3=25/37=ha3−a2
25
12
25/37
Sei X diskrete Zufallsgröße auf  , P mit WertemengeW ={ x 1, x 2,.. , }⊂ℝ
f : W [0,1] , f  xi =P  X =x i 
heißt diskreteWahrscheinlichkeitsverteilung von X
allgemein : d  x=
{
}
mit f t ≥0 für alle t ∈ℝ
X heißt dann stetig verteilt
x
 x i  <--> F  x ∫ f t ∗dt
−∞
Summe und Produkt von Z-zahlen
x
Sei F  x= ∫ f t ∗dt stetige Verteilungsfunktion einer stetige Zufallsgröße X es gilt :
Für die Verteilungsfkt. F  xeiner
diskretenoder stetigen Zufallsgröße gilt :
Pa X ≤b=F b−F a
−∞
∞
1 Es gilt : ∫ f t ∗dt=1
Summe ;  x y=x  y 
Produk :  x∗y=x ∗y 
r∗X =r  X 
−∞
2 F '  x= f  x
b
3 P a X ≤b=F b−F a=∫ f t dt
a
Funktion einer Zufallsgröße
Erwartungswert
Sei X :   ℝ einer Zufallsgröße und g :  x  ℝ eine Funktion. Dann ist
g  x:   ℝ , g  X =g  X  ebenfalls eine Zufallsgröße.
DiskreteVerteilung :
 x
x
g
ℝ
g  x=g ° x
x1
E axb=a∗E  xb
−∞
µ
Sei  der Erwartungswertvon X. Die VarianzV  X  von x ist defeniert durch:
diskreteVerteilung :
stetigeVerteilung
f  xi =P  X =xi 
V X
1 P −c X c≥1− 2
c
1
2 P −∗r X ∗r≥1− 2
r
für jedes c0
V X 
c2
−c
∞
V  X = ∫  x−2∗ f  x dx
−∞
= V  X  heißt Standardabweichung von X.
E  x y=E  xE  y
E ax=a∗E  x
r0
  NS 1− NS 
P X =s= n ∗ p s∗1− pn−s= n
s
s
S
p=
N
Bernoullische Gesetz der großen Zahlen
d.h.
lim P∣H n − p∣=1
n ∞
Verteilungsfkt.:
 =Bernoulli Experminet.
Zufallsexp. mit nur 2 Ergebnisse. A und A
n p k 1− pn−k , x≥0,
n− fache Ausführung=Bernoulli Kette der Länge n.
F  x= ∑
k≤ x k
1 Die W.−verteilung Bn , p:
0
, x0
B n , p , k :=P  X =k = n ∗ p k∗1− pn−k
k
summierte Binomialverteilung
X =Anzahl der Treffer , p=Trefferwahrscheinlichkeit, n=Länge
{ 

1
2
3
Sei
c
n−s
d.h. E linear
Binomialverteilung
Urnenmodell
N =Kugeln ; S=schw. Kugeln , N −S weiße Kugeln ,
X =Anz der gez. schw. Kugeln bei n Ziehungen.=binomialverteit
p1− p
P∣H n − p∣≥1−
n∗2
x2
Erwartungswert von Summen von Zufallsgrößen
Die Ungleichung von Tschebyscheff und Folgerung

Schwerpunkt
n
1 Es gilt Varianz von X =Erwartungswert V  X =E  X −2 =E  X −E  X 2 
2
von y= X −
2
2
2
2
2 Es gilt
V  X =E  X − =E  X − E  X 
≤
∞
−∞
i=1
Verschiebungssatz
V X 
P ∣X −E  X ∣≥c≤ 2
c
j=1
=E  x=∫ x∗ f  x∗dx
V  X =∑  xi −2∗ f  xi 
∞
E  g  x= ∫ g  x∗ f  x dx
j=1
j=1
stetige Verteilung :
E  X =Erwartungswert
Varianz
Sei X  ℝ Zufallsgrößeund g :ℝ  R eine Funktion.
Für die Zufallsgröße g  x:ℝ , g  x=g  x  gilt.
n
n
f(x)
Erwartungswert einer Funktion g(x)
E  g  x=∑ g  x j ∗ f  x j 
n
=E  x=∑ x j∗P  X =x J =∑ x j∗ f x j 
Ist x Bn ,1/ 2−verteilt so gilt P  X =k =P  X =n−k  0≤k≤n
Ist x Bn , p−verteilt und Y B n ,1− p−verteilt so gilt P  X =k =P Y =n−k 
Die B-verteilung nimmt ihr max. im Intervall[n1∗ p−1,n1∗ p]an
X B(n,p)-verteilt es gilt
1 E  X =n∗ p
2 V  X =n∗p 1− p
Geometrischer Verteilung
1
p1− p≤
4
Zufallsgröße heißt hypergeo.verteilt mit den Parameternunder S≤N n≤N wenn:
1 W X ={0,... , S } 2 P  X =s=
Seite 2
  

S ∗ N −S
s
n−s
N
n
s = 0,...,S
}
Annäherung der hyperg. Verteilung durch Binomialvert.
S ∗ N −S
s
n−s
N
S
s
n−s
Für ≥10 und p= gilt :
≈ n ∗ p 1− p
n
N
s
N
n
Poisson Verteilt
Zufallsgröße X heißt poisson verteilt mit den Parametern0 P −verteilt wenn:
1 W x=ℕ
1 E  X =
X P −verteilt 
k
2 V  X =
2 P  , k =P  X =k = e−
k!
−Betriebsunfälle pro Zeiteinheit
−Ausschussstückeeiner Produktionsserie
−Ankünfte inWarteschlange je Zeitpunkt −Ausfall eines PCs pro Zeiteinheit
−Druckfehler pro Seite in Bücher
−Schadensmeldungenbei Versicherungen
 


Annäherung der Binomialvert. durch Poissonvert.

Gleichverteilung
=n∗ p
k

1
Für p≤
und =n∗ p gilt : n pk 1− pn−k ≈ e−
k!
k
 10 n
Expotentialverteilung
Dichtefunktion :
{
Verteilungsfunktion :
{
}
− x
− x
1−e
, x≥0
0 F  x=
0
, sonst
∗e
f  x=
0
}
, x≥0
heißt exponentialverteilt.
, sonst
1

1
V  X = 2

{
1
f  x= b−a
0
, axb
, sonst
}
∞
b
−∞
a
1
∗dx=1
b−a
2
b−a
ba
X gleichverteilt  E  X =
V  X =
2
2
Bem. : ∫ f  x∗dx=∫
heißt gleichverteilt
Normalverteilung
E  X =
  x=
 
−1 x−
2

1
∗e
  2
2
x
  ∗dt
−1 t−
2

1
  x=
∗∫ e
  2 −∞
2
Standartisierte Zufallsgröße
Es gilt :
2
2
X N  ,  −verteilt  E  X = V  X =
Zufallsgröße X standarisiert , wenn E  X =0 V  X =1
Eine N 0,1−verteilte Zufallsgröße S ist standarasiert und heißt Standartnormalverteilung:
 x=0,1  x=
1
2
−x2
2
 x=0,1  x=
e
1
−t 2
x
2
Faustformel : =n∗ p∗q9
  =
2

 x=
1
 2∗n∗ p∗q
 
 
   
P ∣X −∣≤k =2 k −1
x−

3 P a≤ X b=
b−
a−
−


Summenproblem

−1 k −
2

2   x=
∫ e 2 ∗dt
=n∗ p
2
 =n∗ p∗q
B n , p , k =P  X =k = n ∗ p k 1− pn−k
k
Für große n und 0 p1 gilt mit =n∗ p und  2=n∗ p∗q
1
∗e
  2
Es gilt :
 x=−x
−x=1− x
 2 −∞
Annäherung der Binomialvert. durch Normal
B n , p , k ≈ k =
X N  ,  2 −verteilt
x−
1
1   x= 


−1  k−n∗p 
2 n∗ p∗q
∗e
x2
P  x1≤ X ≤x 2 = ∑ B n , p , k 
X B n , p−verteilt
k= x1
Ist X eine Bn , p−verteilte Zufallsgröße und ist a x1, x 2 ∈W x={ 0,.. , N }
so gilt für große n und beliebige p mit =n∗ p und  2=n∗ p∗q die Näherung :
2
1 P  x1 ≤ X ≤x 2 ≈


a−0,5
2 P  X ≤a≈

Seite 3
 
x 2−0,5
x −−0,5
− 1




=n∗ p
2
 =n∗ p∗q