Übung Mathematik IV (für Informatiker) Übung 7

Übung Mathematik IV (für Informatiker)
Sommersemester 2017
Vorlesung:
Prof. Dr. Bernd Hofmann ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/hofmann/teaching.php
Übung:
Dr. Jens Flemming ([email protected])
https://www.tu-chemnitz.de/∼jgei/teach/stochinf/stochinf.php
Übung 7: Zufallsgrößen und Verteilungen
7.1 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis A bei vier unabhängigen Versuchen mindestens einmal eintritt, sei 0.5904. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses
Ereignis mindestens zweimal eintritt, wenn das Eintreten von A bei jedem Versuch gleichwahrscheinlich ist?
7.2 Die Anzahl der Beschichtungsfehler einer speziellen Magnetbandsorte betrage pro 1000
Meter im Mittel 1.6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein 500 Meter langes
Bandstück keinen Fehler aufweist?
7.3 Ein Automat stellt während eines Arbeitszyklus gleichzeitig 10 Teile her, wobei ein durchschnittlicher Ausschussanteil von 0, 1% auftritt. Wie viele Arbeitszyklen kann der Automat maximal durchlaufen, um mit 90%-iger Sicherheit kein Ausschussteil zu produzieren?
7.4 Eine diskrete Zufallsgröße X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
1
P (X = −1) = ,
2
P (X = 1) =
1
2
heißt Rademacher-verteilt.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X .
(b) Zeigen Sie, dass für ungerades k gilt: mk = µk = 0 .
(c) Seien X1 und X2 stochastisch unabhängig und Rademacher-verteilt. Berechnen Sie
die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße X1 + X2 .
7.5 Gegeben sei die Funktion


falls x < 1,
0,
f (x) = c x, falls 1 ≤ x ≤ 2,


0,
falls x > 2.
(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstanten c so, dass f (x) Dichtefunktion einer stetigen
Zufallsgröße ist.
(b) Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die
Standardabweichung.
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7.6 Die Zufallsgröße X besitze die folgende Verteilungsfunktion:


falls x ≤ 0,
0,
√
2
x
F (x) = 2 , falls 0 < x ≤ 2,

√

1,
falls x > 2.
(a) Berechnen Sie die zugehörige Dichtefunktion f (x) .
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X .
7.7 Seien X1 ∼ πλ1 und X2 ∼ πλ2 unabhängige Poisson-verteilte Zufallsgrößen. Zeigen Sie,
dass die Zufallsgröße
Y = X1 + X2
ebenfalls Poisson-verteilt ist mit dem Parameter λ1 + λ2 .
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