Statistik für Business Administration SS 2008 Aufgaben

Statistik für Business Administration
SS 2008
Aufgaben zur Wiederholung
Deskriptive Statistik
1. Bei einer Befragung wurden folgende jährliche Ausgaben für Reisen (in ¤) pro Person
ermittelt:
900 2000 1500 1900 2600 5000 1000 2000 1000 3100 2000 .
Berechnen Sie das arithmetische Mittel, den Median, die Standardabweichung und die
Spannweite.
Wieviel Prozent der Befragten haben mehr als 1600 ¤ausgegeben?
2. Ein Fahrgast der Bahn AG legt 4 Teilstrecken einer Gesamtstrecke in folgenden Geschwindigkeiten zurück:
Teilstrecke
Länge in km
Geschwindigkeit in km/h
1
45
40
2
65
110
3
20
60
4
70
80
Mit welcher (auf der Gesamtstrecke konstant gehaltenen) Durchschnittsgeschwindigkeit
würde er die Gesamtstrecke in der gleichen Zeit zurücklegen?
3. Während eines halben Jahres mit 120 Arbeitstagen wird täglich im Rahmen einer Untersuchung über den Publikumsverkehr beim Sozialamt einer Großstadt die Anzahl der
persönlich vorsprechenden Antragsteller festgehalten. Folgende Häufigkeitsverteilung hat
sich ergeben:
Anzahl Antragsteller
Anzahl der Tage
0
5
1
4
2
10
3
12
4
29
5
18
6
9
7
12
8
15
9
3
10
3
Berechnen Sie das arithmetische Mittel und den Zentralwert für die Anzahl der Antragsteller, die pro Tag vorsprechen.
Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion für die Zahl der Antragsteller.
4. Von einem Merkmal X werden 6 verschiedene Ausprägungen ai , i = 1, ..., 6 mit folgenden
relativen Häufigkeiten registriert:
Ausprägung ai
relative Häufigkeit h(ai )
3,2
10%
2,8
15%
2,7
20%
3,0
17%
3,1
25%
3,4
13%
Berechnen Sie den Modalwert, den Zentralwert, das arithmetische Mittel, die Spannweite
und die mittlere absolute Abweichung vom Zentralwert für dieses Merkmal!
5. Für die Kaufkraft einer Währung wurden für 7 aufeinanderfolgende Jahre folgende Werte
ermittelt: 100; 95; 85; 80; 83; 78; 70. Bestimmen Sie den durchschnittlichen prozentualen
jährlichen Kaufkraftschwund.
6. Bei Fernsehgeräten eines bestimmten Herstellers wurden bei 1000 Geräten folgende Lebensdauern (in Jahren) der Bildröhren ermittelt:
Lebensdauer
Anzahl Geräte
0 bis 2
33
über 2 bis 4
276
über 4 bis 6
404
über 6 bis 8
237
über 8 bis 10
50
Berechnen Sie die mittlere Lebensdauer für diese Geräte.
Wie groß ist der Anteil der Bildröhren mit einer Lebensdauer über 6 Jahren?
7. Für ein Waschpulver eines bestimmten Herstellers wurden in 10 Geschäften in einer Stadt
folgende Preise für ein 1-kg-Paket ermittelt (in ¤):
1,40 1,60 1,70 1,50 1,40 1,80 1,70 1,60 1,50 1,80 .
Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung des Preises.
Bestimmen Sie das α-Quantil für α = 0, 45. Wie läßt sich dieser Wert interpretieren?
1
8. Folgende Tabelle enthält alle Ausprägungen und die unvollständige Verteilung zweier Merkmale:
1
2,1
3,2
4
0,02
0,08
0,1
0,15
0,07
0,08
0,1
α
0,1
0,03
0,05
0,02
Y
X
2
4
5
(a) Berechnen Sie die Konstante α und die Randverteilungen beider Merkmale.
(b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel vom Merkmal Y .
(c) Sind die beiden Merkmale unabhängig? (Begründung!)
9. In der folgenden Tabelle sind einige absoluten Häufigkeiten der unabhängigen Merkmale
X und Y gegeben. Bestimme Sie die restlichen Werte:
Y
X
0
1
1
2
3
1
10
30
100
Bestimmen Sie die bedingten Häufigkeiten h(X = 0|Y = 2) und h(Y = 1|X = 1).
10. Ein Bauunternehmer bezieht Fertigfenster von den drei Firmen F1, F2 und F3. Innerhalb
eines Jahres nach dem Einbau der Fenster erhält er 100 Reklamationen. Es werden folgende
Fehler bemängelt:
Fehler A: Die Fenster werden blind.
Fehler B: Die Fenster bekommen Risse.
Fehler C: Die Fenster lassen sich nicht mehr schließen.
Es ergibt sich die folgende Kontingenztabelle:
A
B
C
F1
15
18
5
F2
20
10
20
F3
5
2
5
Berechnen Sie für diese Daten den Kontingenzkoeffizienten nach Pearson und interpretieren Sie den Wert.
11. Ein Handelsunternehmen für Lebensmittel analysiert die Umsätze seiner 10 gleichgroßen
Filialen A,B,...,J einer Region. Die Filiale mit dem größten Umsatz erhält die Nummer 1,
die mit dem zweitgrößten Umsatz die Nummer 2, usw. In einer Fragebogenaktion wird die
Kundenmeinung über die Verkaufskultur (Sauberkeit, Umgang mit Kunden, Kundenservice) eingeholt. Die danach beste Filiale erhält die Nummer 1 usw., die schlechteste die
Nummer 10:
Filiale
Umsatz
Verkaufskultur
A
7
5
B
1
1
C
5
6
D
8
10
E
4
7
F
9
8
G
2
4
H
10
9
I
6
2
J
3
3
Besteht ein Zusammenhang zwischen Umsatz und Verkaufskultur in den Filialen dieses
Handelsunternehmens? Beantworten Sie die Frage mit Hilfe des Rangkorrelationskoeffizienten nach Spearman.
12. Aus 80 Wertepaaren der Merkmale X und Y wurde ein Korrelationskoeffizient rXY = −0, 95
berechnet. Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) Die Beobachtungswerte streuen eng um eine Gerade mit fallendem Anstieg.
(b) Ein Zusammenhang zwischen X und Y ist nicht erwiesen, da rXY < 0 gilt.
2
(c) Die Werte von X und Y sind annähernd umgekehrt proportional zueinander.
(d) Berechnet man für die Wertepaare eine Regressionsgerade Y = aX + b, dann erhält
man für a einen negativen Wert.
13. In der folgenden Tabelle sind die verfügbaren Monatseinkommen von 8 fiktiven deutschen
Haushalten sowie deren Ausgaben für öffentliche Verkehrsmittel angegeben (jeweils in ¤):
Verfügbares Einkommen
Ausgaben für Verkehrsmittel
2500
150
4900
70
2900
180
3500
90
3700
160
5600
90
6300
20
2400
100
(a) Berechnen Sie für diese beiden Merkmale den Korrelationskoeffizienten nach Pearson. Wie läßt sich der Wert interpretieren?
(b) Ermitteln Sie eine lineare Regressionsfunktion nach der Methode der kleinsten Quadrate für diese beiden Merkmale.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Regressionsfunktion die monatlichen Ausgaben für öffentliche Verkehrsmittel bei einem verfügbaren Einkommen von 4000 ¤.
14. Ein Unternehmen hat bei folgenden Preisen p die Absatzmengen m eines Produktes pro
Zeiteinheit beobachtet:
Preis p
Menge m
20
220
18
260
15
350
12
480
10
600
Berechnen Sie mit Regression eine Preis-Absatz-Funktion der Form m = a · pb .
15. Die Entwicklung der Bruttoerzeugung von Elektroenergie einer bestimmten Region ist folgender Tabelle zu entnehmen:
Jahr
Energie (in Mrd. kWh)
1992
368,8
2002
449,5
2004
462,4
2005
453,2
2006
452,0
2007
455,9
Prognostizieren Sie die erzeugte Energiemenge für 2008 und 2009 mit Hilfe linearer Regression.
16. Bestimmen Sie eine Regressionsfunktion vom Typ Exponentialfunktion y = abx für folgende
xi 1 2 3
4
5
Daten:
.
yi 3 7 12 26 51
17. Die Materialkosten eines Handwerksbetriebes entwickelten sich wie folgt:
Jahr
Materialkosten (in 1000 ¤)
2001
102
2002
103
2003
109
2004
111
2005
116
2006
122
2007
109
Prognostizieren Sie die Materialkosten für 2008 mittels exponentieller Glättung mit Parameter α = 0, 6 und Startwert 102.
18. In einem Unternehmen wurden die Energiekosten über die Quartale von 4 Jahren erfaßt
(in 1000 ¤):
Quartal/Jahr
I
II
III
IV
2003
38,2
36,1
39,4
42,1
2004
40,3
38,6
42,1
45,3
2005
43,1
40,9
46,1
49,0
2006
44,6
44,1
49,2
52,4
Glätten Sie die Werte mit Hilfe gleitender Durchschnitte mit einer geeignet gewählten
Ordnung.
Den Daten wurde folgende lineare Trendfunktion angepaßt :
x̂ = 36, 34 + 0, 81 · t, t = 1, 2, ..., 16 .
Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, daß saisonale Schwankungen dem Trend additiv
überlagert sind, für das 4.Quartal die additive Saisonkomponente. Errechnen Sie daraus
eine Prognose für das 4.Quartal 2007.
Wie lautet diese Prognose für das 4.Quartal 2007 im Fall des multiplikativen Modells?
3
19. Die folgende Tabelle enthält Preise (in ¤/kg) und Produktionsmengen (in kg) von 4 wichtigen Gütern der Lebensmittelbranche für die Jahre 2002, 2003 und 2004 :
Gut A
Jahr
2002
2003
2004
Preis
31
30
32
Menge
1450
1500
1400
Gut B
Preis
71
70
75
Menge
4800
4500
5000
Gut C
Preis
14
15
16
Menge
3100
3200
3000
Gut D
Preis
27
29
34
Menge
2600
2400
2800
Berechnen Sie den Preisindex nach Laspeyres und den Mengenindex nach Lowe jeweils
für 2004 zur Basis 2002 .
Wahrscheinlichkeitsrechnung
20. Wir betrachten das Lottospiel 6 aus 49 und vernachlässigen der Einfachheit halber die
Zusatzzahl. Es bezeichne Ak das Ereignis „Genau k Richtige“, k = 0, 1, ..., 6.
(a) Begründen Sie, daß die Ereignisse A0 , A1 , ..., A6 paarweise (je zwei Ereignisse) unvereinbar sind.
(b) Man gewinnt ab 3 Richtigen. Stellen Sie das Ereignis G: „Erreichen einer Gewinnstufe“
mit Hilfe der Ereignisse Ak dar.
(c) Berechnen Sie P (G) mit Hilfe folgender Wahrscheinlichkeiten: P (A3 ) = 0, 0176504,
P (A4 ) = 0, 0009686, P (A5 ) = 0, 0000184 und P (A6 ) = 0, 0000007.
21. In einer Tombola befinden sich 200 Lose, davon sind 90% Nieten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Ziehen von 5 Losen
(a) genau einen Gewinn,
(b) genau zwei Gewinne,
(c) mindestens zwei Gewinne zu erhalten?
22. Es seien A und B Ereignisse mit p = P (B) und q = P (A ∪ B), 0 ≤ p, q ≤ 1. Berechnen Sie
daraus P (A ∩ B̄) und P (Ā ∩ B̄).
23. Beim zweimaligen Würfeln werden folgende Ereignisse betrachtet:
A - Die Augenzahl beim ersten Wurf ist mindestens 5.
B - Die Augenzahl beim zweiten Wurf ist gerade.
Begründen Sie, daß die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind.
24. Es wird ein roter und ein grüner Würfel geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
dafür, daß die Augensumme größer als 8 ist wenn der grüne Würfel eine 4 zeigt?
25. Zwei Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 3
schwarze und 7 weiße Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröße, die die Gesamtzahl
gezogener schwarzer Kugeln angibt.
(a) Geben Sie für jede Realisierung xi von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit pi =
P (X = xi ) an.
(b) Berechnen Sie P (X ≤ 1).
(c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz von X.
26. Zwei Kugeln werden nacheinander mit Zurücklegen aus einer Urne gezogen, die 4 schwarze und 6 weiße Kugeln enthält. X sei diejenige Zufallsgröße, die die Gesamtzahl gezogener
schwarzer Kugeln angibt.
(a) Geben Sie für jede Realisierung xi von X die dazugehörende Wahrscheinlichkeit pi =
P (X = xi ) an.
(b) Berechnen Sie P (X ≤ 1).
(c) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der Zufallsgröße X.
4
27. Eine diskrete Zufallsgröße X sei durch folgende Realisierungen xi und Wahrscheinlichkeiten
P (X = xi ) gegeben:
xi
P (X = xi )
-3
0.1
0
0.14
1
0.11
2
0.34
3
0.31
(a) Berechnen Sie P (X < 1) und P (X > 0).
(b) Bestimmen Sie außerdem den Erwartungswert und die Varianz von X.
(c) Wie lautet die Verteilungsfunktion FX der Zufallsgröße X? Skizzieren Sie FX .
28. Es sei bekannt, daß ein bestimmter Automat beim Herstellen von Schrauben 1,5% Ausschuß
produziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 100 zufällig (bei laufender
Produktion) herausgegriffenen Schrauben weniger als zwei defekte?
29. Beim einmaligen Werfen einer nicht homogenen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit für
das Eintreten des Ereignisses “Zahl oben“ 55%. Wie oft muß die Münze geworfen werden,
daß mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 95% wenigstens einmal das Ereignis “Zahl oben“
eintritt?
30. In einer Autowerkstatt sei die zufällige Reparaturzeit X exponentialverteilt. Die mittlere Reparaturzeit beträgt 4 Stunden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die
Reparaturzeit höchstens 6 Stunden beträgt!
31. Die Lebensdauer X einer Softeismaschine (in Jahren) sei eine exponentialverteilte Zufallsgröße mit a = 61 .
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit “lebt“ die Maschine länger als 10 Jahre?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Lebensdauer kleiner als der Erwartungswert?
32. Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert µ = 6, 5 und der Standardabweichung σ = 1, 5.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X im Intervall I = [6; 8] liegt!
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X kleiner als 4, 5 ist?
(c) Welche reelle Zahl x0 besitzt die Eigenschaft, daß 85% aller Realisierungen von X
größer als x0 sind?
33. Es sei X die poissonverteilte Anzahl der Störungen pro Woche in einer Fertigungsanlage.
Im Durchschnitt werden 5 Störungen pro Woche registriert.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche weniger als 3 Störungen auf?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten pro Woche mehr als 6 Störungen auf?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten für die Dauer einer Woche keine Störungen auf?
34. Die Länge X von Werkstücken, die auf einer Maschine gefertigt werden, sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit Erwartungswert µ = 30mm und Standardabweichung σ = 0, 02mm.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit weicht die Länge mehr als 0, 03mm von µ ab?
(b) Welche Mindestlänge besitzen 85% aller gefertigten Werkstücke?
35. In einer Fußballmannschaft stammen statistisch gesehen 50% aller Torschüsse vom Stürmer
A, 40% vom Stürmer B und 10% entfallen auf den Rest der Mannschaft. Die Trefferwahrscheinlichkeit von Stürmer A liegt bei 0,7, die von Stürmer B bei 0,8, die restlichen Spieler
treffen mit Wahrscheinlichkeit 0,3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit führt ein Torschuß dieser
Mannschaft zu einem Tor?
5
36. Ein Posten von 100 Teilen enthält 60 Teile von Werk I und 40 Teile von Werk II. Es ist
bekannt, daß die Ausschußwahrscheinlichkeit in Werk I bei 3% liegt und in Werk II bei
2%. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß ein zufällig ausgewähltes Teil dieses
Postens
(a) von Werk I stammt,
(b) Ausschuß ist,
(c) von Werk II stammt und kein Ausschuß ist,
(d) kein Ausschuß ist, wenn es von Werk II stammt,
(e) von Werk II stammt, wenn es kein Ausschuß ist?
37. Zwei Personen wollen sich an einem festgelegten Ort treffen, wobei beide garantiert zwischen 14 Uhr und 15 Uhr erscheinen. Die genaue Ankunftszeit der beiden Personen ist
unabhängig voneinander und kann jeder Zeitpunkt innerhalb dieser Stunde sein. Sie vereinbaren, daß jeder 25 Minuten auf den anderen warten wird und dann wieder geht. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit treffen sich beide Personen?
(Hinweis: Berechnen Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe geometrischer Wahrscheinlichkeiten.)
38. Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion FX :

0
falls
x<0

x3 (4 − 3x) falls 0 ≤ x < 1
FX (x) =
.

1
falls
x≥1
Ermitteln Sie die Dichte fX der Zufallsgröße X.
R∞
Zeigen Sie, daß für die Dichte gilt
fX (x)d(x) = 1 .
−∞
Berechnen Sie den Erwartungswert EX der Zufallsgröße.
Induktive Statistik
39. Die Zufallsgröße X beschreibe das Abfüllgewicht (in Gramm) von Maiskörnern in Dosen.
Dabei sei X näherungsweise normalverteilt. 100 Dosen wurden zufällig ausgewählt und der
Inhalt gewogen. Ihr Gesamtgewicht beträgt 34584 g.
(a) Bestimmen Sie einen Schätzwert für den Erwartungswert µ von X.
(b) Berechnen Sie ein Konfidenzintervall für µ zum Konfidenzniveau 0,95, falls die Standardabweichung σ = 4, 5 g eine bekannte (unveränderliche) Maschinengröße ist.
(c) Wie groß muß der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit man bei bekannter
Standardabweichung σ = 4, 5 g zum Konfidenzniveau 0,99 ein Konfidenzintervall für
µ erhält, dessen Länge höchstens 1 g ist?
40. Die Wirkung eines Medikaments zur Fiebersenkung wird an 12 Patienten beobachtet. Die
folgende Tabelle enthält die Körpertemperatur (in ◦ C) vor und eine Stunde nach Verabreichung des Medikaments :
vor
nach
38,7
38,1
39,2
39,0
39,6
39,3
38,5
37,9
38,8
38,5
39,0
39,0
39,1
39,2
39,4
39,2
38,4
38,6
38,5
38,0
37,9
37,4
37,4
37,5
Berechnen Sie ein 95%-Konfidenzintervall für die mittlere Senkung des Fiebers durch dieses
Mittel unter der Voraussetzung, daß die Werte normalverteilt sind.
41. Eine Abfüllmaschine für Kaffee ist auf ein Füllgewicht von 500 g eingestellt. Das Abfüllgewicht sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit unbekannter Varianz. Durch folgende
Stichprobe vom Umfang n = 8 für das Füllgewicht (in g)
498 501 502 497 502 504 496 496
soll überprüft werden, ob das mittlere Gewicht von 500 g eingehalten wird. Prüfen Sie die
Hypothese H0 : µ = 500 gegen H1 : µ 6= 500 zum Niveau α = 0, 05.
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