Übungsblatt 4

S TOCHASTIK
Boris Girnat
Technische Universität Braunschweig
Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik
Wintersemester 2006/07
Abgabe: 14. Februar 2007
Übungsblatt 4
Aufgabe 1:
1) Die Bewohner von Villa Lobos veranstalten jährlich eine Lotterie. Dabei werden vier Kugeln mit 1 bis 4 beschriftet und in eine Urne gelegt, und die Bewohner tippen jeweils
zwei Zahlen. Anschließend erscheint eine Glücksfee und zieht zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne.
a) Zeichnen Sie einen Baum als Modell dieses Zufallsexperimentes.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung zur Anzahl der Richtigen und stellen Sie diese Funktion grafisch dar.
c) Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.
2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung, den Erwartungswert, die Varianz und
die Standardabweichung für die Augensumme eines zweifachen Wurfs mit einem Würfel mit Laplace-verteilten Elementarereignissen.
3) Ein Würfel mit Laplace-verteilten Elementarereignissen wird viermal geworfen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Einsen.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung dafür, das wenigstens dreimal eine
Eins gewürfelt wird.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der
Einsen, wenn der Würfel nicht viermal, sondern dreißigmal geworfen wird.
Aufgabe 2:
1) Definieren Sie den Begriff „lineare Funktion“.
2) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert eine lineare Funktion ist.
3) In einem Bernoulli-Experiment habe das Ereignis A die Wahrscheinlichkeit 0, 3, und X
sei die Anzahl des Eintreffens von A, wenn das Experiment n-mal wiederholt wird.
a) Berechnen Sie P( X = 2) für n ∈ {1, 2, 3, 4}.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert für n ∈ {1, 2, 3, 4}.
4) Sie stellen einer Klasse mit 24 Schülern eine Aufgabe, die im Durchschnitt von 75% der
Schüler des betreffenden Jahrganges gelöst wird. Beantworten Sie begründet die folgenden Fragen:
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 20 Ihrer Schüler die Aufgabe lösen?
b) Wie viele (korrekte) Lösungen erwarten Sie?
Aufgabe 3:
1) In einer Lostrommel auf einem Jahrmarkt liegen 100 Lose, davon 5 Hauptgewinne, 20
Trostpreise und 75 Nieten.
a) Führen Sie geeignete Bezeichnungen für die Ergebnisse beim Ziehen eines Loses ein.
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b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten der drei Elementarereignisse an und begründen
Sie ihre Entscheidung.
c) Skizzieren Sie einen Baum für den Fall, dass zwei Lose aus der Trommel gezogen
werden.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man mit diesen beiden Losen keine Niete
zieht.
2) Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Familie 0, 1, . . . , 5 Kinder hat, seien durch 0, 3; 0, 2;
0, 2; 0, 15; 0, 1 und 0, 05 gegeben (höhere Anzahl von Kindern werden der Einfachheit halber ausgeschlossen). Ermitteln Sie, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein zufällig
ausgewählter Junge mindestens eine Schwester hat (dabei nehme man der Einfachheit
halber an, dass ein Kind gleichwahrscheinlich männlich oder weiblich ist).
Aufgabe 4: Geben Sie begründet an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch
sind:
1) Für fast sichere Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit nahezu unendlich groß.
2) Für alle Ereignisse A und B ist P( A| B) größer als P( A).
3) Für alle Ereignisse A und B ist P( A ∩ B) kleiner als P( A).
4) Mit dem Satz von Bayes kann man höchstens zwei Informationen verarbeiten.
5) Zufallsgrößen sind bijektive Funktionen.
6) Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist das Ereignis, dass mit der höchsten Wahrscheinlichkeit eintritt.
7) Wahrscheinlichkeit wird ein der Mathematik als reellwertige Funktion modelliert.
8) Die Varianz der Zufallsgröße X ist der Erwartungswert der Zufallsgröße Y = ( X −
E( X ))2 .
9) Die Wahrscheinlichkeit ist eine Hypothese über die relative Häufigkeit eines Ereignisses
in sehr vielen Wiederholungen eines Zufallsexperimentes.
10) Die relative Häufigkeit eines Ereignisses in sehr vielen Wiederholungen eines Zufallsexperimentes ist eine Hypothese über die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
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