Wahrscheinlichkeitstheorie für Physiker WS 09/10

Stochastik I – Wahrscheinlichkeitstheorie für Physiker
WS 09/10
W. Nagel
Übungsaufgaben, 7. Serie
1. Pflichtaufgabe. Mindestens die schriftliche Lösung der Aufgabe 1
ist am 9.2.10 abzugeben.
Die Zufallsgröße X sei standard-normalverteilt.
a) Sind X und |X| unabhängig?
b) Berechnen Sie cov(X, |X|).
c) Zeigen Sie, dass |X| und sgn(X) unabhängig sind. Dabei ist sgn : R →
{−1, 1} mit sgn(x) = 1, falls x ≥ 0, und sgn(x) = −1, falls x < 0.
2. Bei einem Messvorgang wird angenommen, dass er durch eine Zufallsgröße
mit unbekanntem Erwartungswert µ und einer Varianz σ 2 = 0, 01 [Maßeinheiten2 ]
angemessen beschrieben werden kann. Wieviele getrennte Messungen (ohne gegenseitige Beeinflussung der Ergebnisse) sind durchzuführen, so dass
mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 der Betrag der Differenz zwischen dem arithmetischen Mittel der Messwerte und µ kleiner als
0,02 [Maßeinheiten] ist? Beantworten Sie diese Frage durch Anwendung der
Tschebyschevschen Ungleichung.
3. Es seien X1 , ..., Xn i.i.d. Zufallsgrößen, deren Varianzen existieren und endlich sind.
a) Drücken
Erwartungswert und Varianz des arithmetischen Mittels
PSie
n
1
X̄ = n i=1 Xi durch die entsprechenden Parameter von X1 aus.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße
n
1X
σ̃ 2 =
(Xi − X̄)2 .
n i=1
4. Es seien X eine Zufallsgröße und k ∈ N mit E|X|k < ∞. Zeigen Sie (für die
beiden Fälle, dass X diskret oder stetig ist), dass dann E|X|l < ∞ für alle
l ∈ N, l < k.
5.∗ (Für diejenigen, die den Unterschied zwischen Konvergenzarten besser verstehen wollen.)
1. Beispiel: (Vgl. Irle, A.: Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Teubner
2001. S. 178)
Es seien X1 , X2 , ... stochastisch unabhängige Zufallsgrößen mit P (Xn =
1) = 1 − P (Xn = 0) = n1 , n = 1, 2, . . . Diese Folge konvergiert in W. gegen
0; sie ist aber nicht fast sicher konvergent.
2. Beispiel:
Betrachten Sie die Folge von Zufallsgrößen X1 , X2 , ... mit
1
1
P (Xn = n) = P (Xn = −n) =
, P (Xn = 0) = 1−
.
2n ln(n + 1)
n ln(n + 1)
Es wird vorausgesetzt, dass dies eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen ist.
Zeigen
Pn Sie dass für diese Folge gilt:
1
i=1 Xi konvergiert für n → ∞ in Wahrscheinlichkeit gegen 0, aber nicht
n
fast sicher.
x
(Hinweis: Die Funktion g mit g(x) = ln(x+1)
ist auf dem Intervall [1, ∞)
streng isoton.)