Blatt 03 - Mathematik, TU Dortmund

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl IV
Schadenversicherungsmathematik
WS 2014/2015, Blatt 3
Mentemeier
Übungen
Abgabetermin: Mittwoch, 26.11.2014, bis 12 Uhr, Briefkasten 28 / zu Beginn der VL
THEMEN: Markov-Ketten, Cantelli-Ungleichung, Prämienkalkulation im individuellen
Modell, Panjer-Verteilungen, negative Binomialverteilung
Aufgabe 9 (5 Punkte)
Sei (Mn )n∈N eine irreduzible Markovkette mit endlichem Zustandsraum S. Sei i ∈ S ein
fixierter Zustand, und es gelte Pi (M0 = i) = 1. Setze τ0 = 0 und für n ∈
N
τn := inf{k > τn−1 : Mk = i}.
(i) Zeigen Sie, dass (τn − τn−1 )n≥1 eine Folge von u.i.v. Zufallsvariablen bildet unter
Pi .
(ii) Beweisen Sie den folgenden Ergodensatz:
t−1
1
1X
1{Mj =i} =
t→∞ t
Ei τ1
j=0
lim
Pi -f.s.
Aufgabe 10 (5 Punkte)
Sei n ≥ 1 fest, und X1 , · · · , Xn stochastisch unabhängige, identisch verteilte Zufallsgrößen mit endlicher Varianz. Zeigen Sie, dass für alle c > 0
P
n
X
!
Xi ≥ nEX1 + c ≤
i=1
Tipp: Betrachten Sie P (|
Pn
i=1
c2
nVar(X1 )
+ nVar(X1 )
(Ungleichung von Cantelli).
Xi − nEX1 + x| ≥ c + x) für beliebiges x ≥ −c.
Machen wir nun einen kurzen Ausflug in die individuelle Risikotheorie. Ein VU habe
einen Bestand von 1000 Kunden, bei denen innerhalb eines Jahres im Mittel in 90% der
Fälle kein Schaden auftritt, ansonsten verursachen Sie genau einen Versicherungsschaden
in Höhe von 1 EUR. Die Kunden können als unabhängig voneinander angesehen werden.
(i) Bestimmen Sie mit Hilfe der Ungleichung von Cantelli einen minimalen Risikoaufschlag c > 0 so, dass die Gesamtschadenssumme innerhalb eines Jahres den
erwarteten Gesamtschaden (wiederum für ein Jahr) nur mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 0,01 übersteigt.
(ii) Bestimmen Sie ein ebensolches c (näherungsweise) mittels Normalapproximation.
(iii) Welche Versicherungsprämie sollte das VU von seinen Kunden verlangen?
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2014Winter/SVM/
Aufgabe 11 (5 Punkte)
Eine Verteilung (eine Zufallsgröße N ) auf 0 = {0, 1, 2, . . . } heißt (hat eine) PanjerVerteilung mit Parametern a, b ∈ , a + b ≥ 0, falls für die Wahrscheinlichkeiten qn =
P(N = n) folgende Rekursionsgleichung gilt:
N
R
!
b
qn−1 ,
a+
n
qn =
und q0 > 0 der Bedingung
P∞
n=0 qn
n ≥ 1,
= 1 genügt.
(i) Es sei nun a < 1 vorausgesetzt (warum ist das sinnvoll?). Zeigen Sie, dass für eine
a+b
a+b
Panjer-verteilte Zufallsgröße N gilt, dass EN = 1−a
und VarN = (1−a)
2.
(ii) Zeigen Sie, dass die Binomialverteilungen B(n, p), die Poisson-Verteilungen Poi(λ)
und die negative Binomialverteilungen NB(r, p) (s.u.) Panjer-Verteilungen sind,
und bestimmen Sie jeweils a und b.
Aufgabe 12 (5 Punkte)
Eine Verteilung (eine Zufallsgröße N ) auf 0 = {0, 1, 2, . . . } heißt (hat eine) negative
Binomialverteilung mit Parametern p ∈ (0, 1), r > 0, kurz NB(r, p), falls die Wahrscheinlichkeiten wie folgt gegeben sind:
N
qn = P(N = n) =
Γ(r + n) r
p (1 − p)n ,
n! Γ(r)
n ≥ 0.
(i) Seien N1 , · · · , Nk , k ≥ 1, unabhängig identisch Geometrisch(p)-verteilte Zufallsgrößen, p ∈ (0, 1), wobei die geometrische Verteilung nur die Zahl der Misserfolge
zähle. Zeigen Sie, dass N1 + · · · + Nk NB(k, p)-verteilt ist.
N
(ii) Verifizieren Sie im Fall r ∈ , dass die charakteristische Funktion einer NB(r, p)Verteilung gegeben ist durch
ϕ(ξ) =
p
iξ
1 − e (1 − p)
!r
.
(iii) In einem Cramér-Lundberg-Modell (Intensität λ > 0) sei die Verteilung der Schadenshöhen (Xi )i∈N gegeben durch
P (X1 = k) =
k −1 pk
,
− log(1 − p)
k = 1, 2, . . .
die sog. logarithmische Verteilung.
(a) Bestimmen Sie die charakteristische Funktion von X1 .
(b) Zeigen Sie, dass die Gesamtschadenssumme S(t) eine NB(r̃, p̃)-Verteilung mit
Parametern r̃ = −(λt)/(log(1 − p)) und p̃ = 1 − p hat.