Stochastik 3 - Zufallsgrößen - Mathe
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Stochastik 3 Zufallsgrößen Mathe-Squad GbR 9. Januar 2017 Zufallsgrößen 1 Definitionen Zufallsgröße X Ordnet jedem Ereignis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahle x1 zu Wahrscheinlichkeitsverteilung Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , . . . , pn der Zufallsgrößen x1 , x2 , . . . , xn xi P ( X = xi ) Zufallsgrößen x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn Definitionen 2 Erwartungswert Erwarteter Wert bei mehrfacher Wiederholung des Zufallsexperiments P µ = E (X ) = ni=1 xi · pi = x1 · p1 + . . . + xn · pn Varianz Streuung um den Erwartungswert P 2 = Var (X ) = ni=1 (xi µ)2 ·pi = (x1 µ)2 ·p1 +. . .+(xn µ)2 ·pn Standardabweichung Streuungpum den Erwartungswert (X ) = Var (X ) Anmerkung Die Standardabweichung benötigt man primär, wenn man mit Einheiten rechnet Zufallsgrößen Definitionen 3 Binomialverteilung Bernoulli-Experiment Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen mit Trefferwahrscheinlichkeit p Bernoulli-Kette der Länge n n-fache unabhängige Wiederholung des Zufallsexperiments Binomialverteilte Zufallsgröße Zufallsgröße, die Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette der Länge n angibt Zufallsgrößen Binomialverteilung 4 Für X ⇠ B (n; p ) gilt für die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer ⇣ ⌘ Ppn (X = k ) = B (n; p ; k ) = kn · p k · (1 p )n k Erwartungswert: µ = E (X ) = n · p Varianz: 2 = Var (X ) = n · p · (1 p ) p Standardabweichung: (X ) = n · p · (1 p) Erinnerung Binomialverteilung äquivalent zum Urnenmodell „Ziehen mit Zurücklegen“ Zufallsgrößen Binomialverteilung 5 Kumulierte Binomialverteilung Kumulierte Verteilungsfunktion von X ⇠ B (n; p ) ist P Fpn (k ) = Ppn (X k ) = ki=0 B (n; p ; i ) Möglichkeiten: höchstens k Treffer: P (X k ) weniger als k Treffer: P (X < k ) = P (X k 1) mindestens k Treffer: P (X k ) = 1 P (X k 1) mehr als k Treffer: P (X > k ) = P (X k + 1) = 1 P (X k ) Anmerkung Bei der kumulierten (=summierten) Verteilungsfunktion interessiert man sich für die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich an Treffern Zufallsgrößen Kumulierte Binomialverteilung 6
