Lösungsvorschlag zum ersten ¨Ubungsblatt

Lösungsvorschlag zum ersten Übungsblatt
Aufgabe 1
Hierzu überlegen wir uns, daß drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen,
−−→
−→
wenn die Vektoren AB und AC auf einer Geraden liegen. Das ist genau dann
−−→
−→
der Fall, wenn das von den Vektoren AB und AC aufgespannte Parallelogramm
zu einer Linie entartet, also die Fläche Null hat. Welchen der drei gegebenen
Punkte wir als A, B oder C wählen, ist irrelevant.
Wir rechnen also:

 
 
 
 
 

43
56
33
56
−13
−23
 88  −  34  ×  77  −  34  =  54  ×  43  =
15
23
44
23
−8
21
  
 
0
1478
54 · 21 − (−8) · 43
 −8 · (−23) − (−13) · 21  =  457  =
6  0 
0
685
−13 · 43 − 54 · (−23)

Die drei Punkte liegen also nicht auf einer Geraden.
Aufgabe 2
Diese Aufgabe können wir mit dem Skalarprodukt erledigen. Wir überprüfen, ob
−−→ −→
AB · AC = 0 gilt, wenn wir einen der drei Punkte als A und die beiden anderen
als B und C wählen. Eventuell muß man mehr als einen Anlauf unternehmen,
bis man die richtige Wahl getroffen hat:

 
 
 
 
 

4
8
−3
1
12
4
 −9  −  −5  ·  −4  −  −5  =  −4  ·  1 
4
7
5
−2
2
−2
= −24 − 4 + 28 = 0
Wir wissen jetzt, daß das Dreick einen rechten Winkel am Punkt (4, −5, −2)
hat.
Aufgabe 3
→
−
→
−
→
−
→
a·b
Wir verwenden die Formel cos ^(−
a, b) = →
→
− . Vorab berechnen wir die
−
k a k·k b k
p
√
Länge des gegebenen Vektors zu (−3)2 + 42 + 52 = 50. Mit den Bezeichnungen ex , ey und ez fü die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse
1
erhalten wir:
cos αx := cos ^(xe , (−3, 4, 5)) =
115, 1◦
(1,0,0)·(−3,4,5)
√
50
=
−3
√
50
≈ −0, 42426 ⇒ αx ≈
cos αy := cos ^(ye , (−3, 4, 5)) =
(0,1,0)·(−3,4,5)
√
50
=
√4
50
≈ 0, 56569 ⇒ αx ≈ 55, 6◦
cos αz := cos ^(ze , (−3, 4, 5)) =
(0,0,1)·(−3,4,5)
√
50
=
√5
50
⇒ αx = 45◦
Der Vektor schließt also mit der x-Achse einen Winkel von 115, 1◦ , mit der
y-Achse von 55, 6◦ und mit der z-Achse von 45◦ ein.
2