Übung 11 Feldwinkelspektrum, Antennen

Elektromagnetische Felder & Wellen
Frühjahrssemester 2017
Photonics Laboratory, ETH Zürich
www.photonics.ethz.ch
Übung 11
Abgabe: 23.05. bzw. 26.05.2017
Feldwinkelspektrum, Antennen
1
Reflexion eines Dipolfeldes (50 Pkt.)
Das Feld einer bei Kreisfrequenz ω oszillierenden Dipolantenne mit komplexem Dipolmoment
p = pnx , gelegen am Ursprung r0 = (0, 0, 0), treffe im Vakuum auf eine ideal leitende sphärische
Oberfläche auf. Der Radius f der sphärischen Oberflache sei viel grösser als die Wellenlänge λ der
emittierten Strahlung, sodass im Folgenden stets nur das Fernfeld zu berücksichtigen ist.
x
(x,y,z)
f
p
θ
z
y
(a) (8 Punkte) Bestimmen Sie das von der Dipolantenne ausgesandte komplexe Fernfeld E∞ (x, y, z)
auf einer Kugel mit Radius R = f um den Ursprung.
Lösung:
Mit Hilfe der Green’schen Funktion (Fernfeld-Anteil) erhält man
↔
E∞ = ω 2 µ0 GF F p ,
(1)
wobei gilt
exp [ikR] ↔
[ I −RR/R2 ] .
(2)
4πR
Somit gilt für das Fernfeld eines x-orientierten Dipols, gelegen im Ursprung r0 = (0, 0, 0),


y 2 +z 2
exp [ikf ] 

wobei
x2 + y 2 + z 2 = f 2 .
(3)
E∞ = ω 2 µ 0 p
 −xy ,
4πf 3
−xz
↔
GF F =
1
(b) (7 Punkte) Auf der leitenden Kugeloberfläche wird das vom Dipol ausgesandte Feld reflektiert.
Welche Randbedingung gilt für das elektrische Feld auf der Kugeloberfläche? Verwenden Sie
diese Randbedingung, um das komplexe reflektierte Feld Eref
∞ (r) in einem beliebigen Punkt
r = (x, y, z) auf der Kugeloberfläche zu formulieren.
Lösung:
Die Tangetialkomponente des elektrischen Feldes muss auf der ideal leitenden Oberfläche
verschwinden. Das Fernfeld ist transvers und somit tangential zur Oberfläche. Somit zeigt das
reflektierte Feld entgegen dem einfallenden Feld und es gilt


−y 2 −z 2
exp [ikf ] 

2
Eref
wobei
x2 + y 2 + z 2 = f 2 .
(4)
 xy
,
∞ = ω µ0 p
4πf 3
xz
(c) (8 Punkte) Anhand des reflektierten Feldes auf der Kugeloberfläche Eref
∞ (x, y, z), berechnen
Sie die räumliche Fouriertransformation Ê(kx , ky ; z = 0) des reflektierten Feldes in der Ebene
z = 0.
Hinweis: Verwenden Sie einen Ihnen bekannten Zusammenhang zwischen dem Feldwinkelspektrum in einer bestimmten Ebene und dem Fernfeld im Realraum.
Lösung:
Das Feld in der Ebene z = 0 setzt sich aus der Überlagerung von ebenen Wellen zusammen.
Jeder Fernpunkt r = (x, y, z) erzeugt eine ebene Welle mit Wellenvektor k = (kx , ky , kz ) =
(−xk/f, −yk/f, −zk/f ), die auf den Ursprung zuläuft. Die Minuszeichen definieren die Ausbreitung auf den Usprung zu.
Für das räumliche Spektrum in der Ebene z = 0 gilt (Methode der stationären Phase)
Êref (kx , ky ; 0) =
wobei f =
f exp [i kf ] ref
E∞ (x = −kx f /k, y = −ky f /k, z = −kz f /k)
2πikz
(5)
p
x2 + y 2 + z 2 . Somit gilt


−ky2 −kz2
ip 1 
 2ikf
Êref (kx , ky ; 0) = − 2
.
 kx ky  e
8π ε0 kz
kx kz
(6)
(d) (5 Punkte) Der kugelförmige Spiegel sei endlich gross, rotationssymmetrisch um die z-Achse
und durch den maximalen Öffnungswinkel θ = θmax begrenzt. Bestimmen Sie den Wertebereich von kx und ky im räumlichen Spektrum Êref (kx , ky ; 0).
Lösung:
Es gilt kx2 + ky2 ≤ k 2 sin2 θmax , das heisst, die Werte von kx und ky liegen innerhalb eines
Kreises mit Radius k sin θmax in der (kx , ky )-Ebene.
(e) (6 Punkte) Geben Sie einen Ausdruck an, der die Berechnung des komplexen reflektierten
Feldes Eref (x, y, z) in einem beliebigen Raumpunkt aus dem Feldwinkelspektrum Êref (kx ,ky; 0)
erlaubt. Berücksichtigen Sie dabei den maximalen Öffnungswinkel θmax des Spiegels.
2
Hinweis: Die Auswertung eventuell auftretender Integrale in Ihrem Ausdruck ist nicht erforderlich.
Lösung:
Gemäss Feldwinkelspektrum gilt
ref
E (x, y, z)
Z Z
Êref (kx , ky ; 0) ei [kx x + ky y − kz z] dkx dky ,
=
(kx2 +ky 2 ) ≤ k2
sin2 θ
(7)
max
q
wobei kz = k 2 − (kx2 + ky2 ). Das Minuszeichen vor kz im Exponenten trägt der Tatsache
Rechnung, dass das reflektierte Feld in negative z-Richtung propagiert. Somit


Z Z
ky2 +kz2
1 
i k p 2ikf
 i [k x + ky y − kz z]
Eref (x, y, z) =
e
dkx dky .
(8)
 −kx ky  e x
2
8π ε0
kz k
−kx kz
(kx2 +ky 2 ) ≤ k2 sin2 θmax
(f) (4 Punkte) Der maximale Öffnungswinkel θmax sei klein. Beschreiben Sie (in Worten), welche Näherung Sie bemühen würden, um eine analytische Lösung für das reflektierte Feld
Eref (x, y, z) zu finden. Geben Sie quantitative Näherungen an für kx , ky und kz , jeweils zur
Berechnung von Amplitude und Phase.
Lösung:
Für kleine Öffnungswinkel kann die paraxiale Approximation verwendet werden, das heisst,
kz ≈ k und kx , ky ≈ 0 in der Amplitude und kz ≈ k − (1/2)(kx2 + ky2 )/k in der Phase.
(g) (6 Punkte) Unter der Annahme, dass θmax klein ist, findet man für das komplexe reflektierte
Feld am Ursprung
i p k 3 2ikf 2
e
θmax .
8πε0
Eref (0, 0, 0) =
Geben Sie zunächst ohne Rechnung die vom Dipol im Zeitmittel abgestrahlte Leistung P̄0 in
Abwesenheit des Spiegels an. Berechnen Sie dann die zeitgemittelte abgestrahlte Leistung P̄
des Dipols in Anwesenheit des Spiegels als Funktion des Spiegelradius f .
Lösung:
Das Feld am Orte des Dipols kann geschrieben werden als E = E0 + Es , wobei E0 das primär
abgestrahlte Feld (Feld ohne Spiegel) und Eref , das vom Spiegel reflektierte Feld ist. Die
Leistung des primären Feldes lautet
P̄0 =
|p|2 ω 3
k .
12π ε0
(9)
Das reflektierte Feld wirkt auf den Dipol zurück und ändert dessen abgestrahlte Leistung
gemäss
ω
P̄ = P̄0 + Im{p∗ · Eref (0, 0, 0)} .
(10)
2
Unter Berücksichtigung des gegebenen Feldes erhält man
P̄ = P̄0 +
ωk 3
2
|p|2 θmax
cos[2kf ] .
16πε0
3
(11)
(h) (6 Punkte) Der Dipol sei nun vom Ursprung versetzt, sodass gilt r0 6= (0, 0, 0). Beschreiben
Sie in einigen kurzen Sätzen die essentiellen Schritte der Fraunhofer-Näherung, insbesondere
bezüglich Amplitude und Phase des genäherten Feldes. Verwenden Sie die FraunhoferNäherung, um das Fernfeld E∞ (x, y, z) des versetzten Dipols auf einer Kugel mit Radius f
um den Ursprung zu berechnen.
Lösung:
Die Fraunhofer-Näherung vernachlässigt die Veränderung in der Amplitude durch die kleine
Verschiebung r0 , berücksichtigt jedoch die Phasenänderung in linearer Ordnung in r0 , das
heisst,
|r − r0 | ≈ r − r0 · r/r,
(12)
wobei r = f auf der Kugeloberfläche.
Das Fernfeld im Punkt r = (x, y, z) auf der Kugeloberfläche lautet somit


y 2 +z 2
ikf
e

 −ikr0 ·r/r
E∞ = ω 2 µ 0 p
wobei
x2 + y 2 + z 2 = f 2 .
 −xy  e
4πf 3
−xz
4
(13)
2
Die Cantenna (50 Pkt.)
Eine Antenne kann intuitiv stets als Resonator mit präzise kontrollierten Strahlungsverlusten interpretiert werden. Der Resonator kann beispielsweise ein (resonanter) Streuer sein, wie in einer früheren
Aufgabe betrachtet. Hier beschäftigen wir uns hingegen mit einer Rohrantenne, deren Resonator ein
einfaches Metallrohr ist, das an einem Ende metallisch verschlossen ist (im einfachsten Fall genügt
eine Blechdose), so dass an diesem Ende Felder (praktisch) perfekt reflektiert werden. Ein aktiver
Dipol ist in das Rohr eingebracht und regt eine Mode des Resonators an. Am offenen Ende des
Resonators ist die Reflexion partiell, so dass sich einerseits im Rohr eine stehende Welle aufbauen
kann, andererseits jedoch stets Strahlungsenergie aus dem offenen Ende emittiert wird. Solche
“Cantennas” eignen sich gut als “Hausmittel” zur Erweiterung von WLAN Netzen.
In dieser Aufgabe befassen wir uns mit der Abstrahlcharakteristik der “Cantenna”. Wir wenden
uns hierzu zunächst der in Abb. 2 gezeigen kreisförmigen Apertur zu und suchen das Feldwinkelspektrum in der Ebene der Apertur für eine senkrecht einfallende ebene Welle mit komplexer
Feldamplitude E0 .
R
R2
~
R1
Das Fourierspektrum des Feldes in der Ebene jeglicher Apertur mit Aperturfunktion A(x, y) lautet
Z∞ Z∞
E0
Ê(kx , ky ; z = 0) = 2
4π
0
0
A(x0 , y 0 ) e−i(kx x +ky y ) dx0 dy 0 .
(14)
−∞ −∞
Die Aperturfunktion ist gleich der Amplitudentransmissionsfunktion und so gilt für eine binäre
Aperturfunktion
(
1 an transparenten Stellen auf dem Schirm,
A(x, y) =
(15)
0 sonst.
(a) (8 Pkt.) Zeigen Sie, dass das Feldwinkelspektrum in der Ebene der Apertur geschrieben
werden kann als
E0
Ê(kρ ; z = 0) = 2
4π
ZR
Z2π
dφ exp [−ikρ ρ cos(φ − ϕ)] .
dρ ρ
0
(16)
0
Hinweis: Verwenden Sie zylindrische Koordinaten (ρ, φ) mit x = ρ cos φ, y = ρ sin φ im Realraum und entsprechende Koordinaten (kρ , ϕ) im k-Raum. Der Koordinatenursprung liege im
Zentrum der Apertur. Die Identität cos φ cos ϕ + sin φ sin ϕ = cos(φ − ϕ) kann hilfreich sein.
5
Lösung:
Das Fourierspektrum des Feldes in der Ebene der Apertur lautet
E0
Ê(kx , ky ; z = 0) = 2
4π
Z∞ Z∞
0
0
A(x0 , y 0 ) e−i(kx x +ky y ) dx0 dy 0
(17)
−∞ −∞
mit der Aperturfunktion
A(x, y) =
(
p
1 wenn x2 + y 2 ≤ R,
0 sonst.
(18)
Um die zylindrische Symmetrie der Apertur auszunutzen, transformieren wir in Polarkoordinaten mithilfe der Relationen
x =ρ cos φ,
kx =kρ cos ϕ,
y = ρ sin φ;
ky = kρ sin ϕ.
(19)
(20)
Für das infinitesimale Flächenelement dx dy finden wir ρdρ dφ und für das Feldwinkelspektrum
ergibt sich
E0
Ê(kρ ; z = 0) = 2
4π
=
=
E0
4π 2
E0
4π 2
Z∞
Z2π
dφ A(ρ) exp [−ikρ ρ(cos φ cos ϕ + sin φ sin ϕ)]
dρ ρ
0
0
Z∞
Z2π
dφ A(ρ) exp [−ikρ ρ cos(φ − ϕ)]
dρ ρ
0
0
ZR
Z2π
dφ exp [−ikρ ρ cos(φ − ϕ)] .
dρ ρ
0
(21)
0
(b) (8 Pkt.) Bringen Sie das Feldwinkelspektrum nun in die Form
Ê(kρ ; z = 0) =
E0 R2
jinc(kρ R),
2π
(22)
wobei gilt jinc(x) = J1x(x) . Hier ist J1 (x) die erste zylindrische Besselfunktion.
d
Hinweis: Die Besselfunktionen sind rekursiv definiert über die Relation dx
[xn+1 Jn+1 (x)] =
R 2π
1
n+1
ix
cos
α
x
Jn (x) sowie J0 (x) = 2π 0 dα e
. Beachten Sie, dass die Funktion J0 (x) gerade ist.
Lösung:
Mit der Besselfunktion J0 (x) =
1
2π
R 2π
0
dα eix cos α und der Substitution x = −kρ ρ erhalten wir
Z
E0 /kρ R
dρ J0 [−kρ ρ]kρ ρ
Ê(kρ ; 0) =
2π
0
Z
E0 /kρ2 kρ R
=
dx J0 [x]x.
2π
0
6
(23)
(24)
d
[xn+1 Jn+1 (x)] = xn+1 Jn (x) ergibt sich durch InteAus der Bessel’schen Rekursionsformel dx
Rx 0
0
0
gration 0 x J0 (x ) dx = xJ1 (x) und wir finden
E0 /kρ2
kρ R J1 [kρ R]
Ê(kρ ; 0) =
2π
E0 R2 J1 [kρ R]
=
.
2π
kρ R
(25)
(26)
(c) (6 Pkt.) Verschaffen Sie sich einen Eindruck von der jinc-Funktion, indem Sie jinc(x) sowie
jinc2 (x) im Bereich x = ±20 numerisch auswerten und graphisch darstellen.
Lösung:
Abbildung (c) zeigt einen Graphen der jinc-Funktion sowie ihres Quadrates.
0.5
jinc(x)
jinc 2 (x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-20
-10
0
10
20
x
(d) (10 Pkt.) Die bislang angestellten Überlegungen ergeben die Abstrahlcharakteristik der
Cantenna, sofern das Feld im Rohr eine radial konstante Amplitudenverteilung aufweist. Dies
ist nicht der Fall, schliesslich werden sich auch in radialer Richtung im Resonator Stehwellen
ausbilden. Um eine bessere Näherung zu erhalten, berechnen Sie das Feldwinkelspektrum
einer ringförmigen Apertur mit Innenradius R1 und Aussenradius R2 .
Hinweis: Stellen Sie die Aperturfunktion der annularen Blende als Superposition zweier
Lochblenden dar, deren Feldwinkelspektren Ihnen aus Aufgabe (b) bekannt sind.
Lösung:
Die Aperturfunktion lautet
A(x, y) =
(
1
0
wenn R1 ≤
sonst.
7
p
x2 + y 2 ≤ R2 ,
(27)
Wir berechnen das Fourierspektrum
Z
E0 /kρ ∞
dρ A(ρ)J0 [kρ ρ]kρ ρ
Ê(kρ ; 0) =
2π
0
Z
E0 /kρ R2
=
dρ J0 [kρ ρ]kρ ρ
2π
R1
Z R 2
Z R1
E0 /kρ
dρ J0 [kρ ρ]kρ ρ
=
dρ J0 [kρ ρ]kρ ρ −
2π
0
0
E0
2 J1 [kρ R2 ]
2 J1 [kρ R1 ]
R2
− R1
.
=
2π
kρ R2
kρ R1
(28)
(29)
(30)
(31)
(e) (8 Pkt.) Zeigen Sie, dass die Intensitätsverteilung hinter der annularen Blende auf einem
Schirm im Abstand z = d als Funktion des Radius ρ (gemessen von der optischen Achse) in
der Näherung ρ d lautet
2
1 k2
2 2 J1 [kρR2 /d]
2 J1 [kρR1 /d] I=
,
(32)
|E0 | R2
− R1
2
2Z0 d
kρR2 /d
kρR1 /d wenn die Blende von einer ebenen Welle mit Intensität I0 =
beschienen wird.
1
2Z0
|E0 |2 unter normalem Einfall
Lösung:
Die Fernfelder hinter der annularen Apertur lauten
ikr
e
2 J1 [kρ R2 ]
2 J1 [kρ R1 ]
E∞ (sρ ) = −iksz E0 R2
.
− R1
kρ R2
kρ R1
r
und die Intensitätsverteilung auf einem Schirm bei z = d ist somit
2
1
1 (ksz )2
2
2 2 J1 [kρ R2 ]
2 J1 [kρ R1 ] I=
|E∞ (sρ )| =
|E
|
−
R
R
.
0
1
2
2Z0
2Z0 r2
kρ R2
kρ R1 Für kleine Winkel gilt kz ≈ k und r ≈ d, sodass wir erhalten
2
1 k2
2 2 J1 [kρR2 /d]
2 J1 [kρR1 /d] |E0 | R2
− R1
.
I=
2
2Z0 d
kρR2 /d
kρR1 /d (33)
(34)
(35)
Ihr Internetanschluss sei ausgefallen. An der Strassenecke in 100 m Entfernung, mit Sichtkontakt
zu Ihrem Balkon, befinde sich glücklicherweise die Filiale einer Kaffeehauskette, die WiFi im
ω = 2π × 5.9 GHz Frequenzband zur Verfügung stelle. Sie montieren eine Cantenna mit einem
Durchmesser von Dant = 15 cm auf Ihrem Balkon.
100m
8
(f) (10 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der normierten Intensität I(ρ)/I0 des von Ihner Cantenna
ausgesandten Signals um die WiFi-Antenne der Kaffehauskette. Hierbei sei I0 die Intensität
in einer Ebene direkt vor Ihrer Antenne. Wählen Sie geeignete Werte für den Bereich von ρ,
sodass Sie aus ihrem Graphen den Durchmesser des Strahlkegels am Kaffeehaus abschätzen
können. Legen Sie als Kriterium für den Strahldurchmesser den halben Abstand zwischen
den ersten beiden Minima um das globale Maximum der Abstrahlcharakteristik zugrunde.
Beschriften Sie Ihre Achsen inklusive passend gewählter Einheiten. Fügen Sie einen Graphen
für den Fall einer annularen Apertur mit Innendurchmesser R1 = 1 cm hinzu. Welchen Einfluss
hat diese Änderung auf das Strahlprofil?
Lösung:
Wir berechnen die normierte Intensität aus Gl. (32) mit I0 =
I
k2
= 2
I0
d
1
2Z0
|E0 |2 zu
2
2 J1 [kρR2 /d]
2 J1 [kρR1 /d] R2
.
−
R
1
kρR2 /d
kρR1 /d (36)
Mit den angegebenen Werten R2 = Dant /2 und R1 sowie k = 2πf /c und d = 100 m erhalten
wir den gezeigten Graphen der normierten Intensität. Der Durchmesser des Strahlkegels
beträgt etwa 80 m. Die Einführung der inneren Blende führt zu einem Abfall der Maximalintensität. Dies ergibt Sinn, schliesslich wird ein Teil der Quelle verschattet. Zudem wir die Breite
des Strahlkegels ein wenig kleiner, im Gegenzug fällt mehr Intensität in die Nebenmaxima.
R1=1cm
R1=0
I/I0 (10-5)
1.2
0.6
100m
0
9
-50
0
ρ (m)
50