Lö sungsskizzen zum Buch Mathematik fü r Informatiker Kapitel 1

Lo sungsskizzen zum Buch
Mathematik fu r Informatiker
Peter Hartmann
Kapitel 1
1. Beweisen Sie die Formel S È ( M Ç N ) = ( S È M ) Ç ( S È N )
äÌä 1. Fall: x Î S Þ x Î S È M und x Î S È N Þ x Î (S È M) Ç (S È N)
2. Fall: x Î M Ç N Þ x Î M
x Î N Þ x Î S È M und x Î S È N Þ x Î (S È M) Ç (S È N).
äÉä 1. Fall: x Î S Þ x Î S È (M Ç N)
2. Fall: x Ï S Þ (wegen x Î S È M und x ÎS È N) xÎM und xÎN
Þ x Î M Ç N Þ x Î S È (M Ç N)
2. Beweisen Sie die Formel M È N = M Ç N .
x Î M È N Û x Ï M È N Û x Ï M und x Ï N Û x Î M und x Î N Û x Î M Ç N
3. Untersuchen Sie die Relationen Ì und Ë auf Reflexivitat, Symmetrie und Transitivitat.
Das Ergebnis: Ì ist transitiv und reflexiv, Ë ist gar nichts.
4. Sei R = {(m, n) Î Z | m n ist durch 5 teilbar} und r Î {0,1,2,3,4}. Wir wissen schon, dass
R eine Aquivalenzrelation ist. Zeigen Sie, dass [r], die Aquivalenzklasse von r genau die
Menge der Zahlen ist, die Rest r bei Division durch 5 lassen.
m hat Rest r bei Division durch q genau dann, wenn es ein k Î Z gibt mit m = qk+r.
Zu zeigen ist, dass die Mengen M = {x | xRr} = {x | Es gibt ein k Î ¢ mit x - r = 5k} und
N = {x | x lasst Rest r bei Division durch 5} = {x | Es gibt ein k Î ¢ mit x = 5k + r} u bereinstimmen. Es gilt: x Î M Û x - r = 5k Û x = 5k + r Û x Î N .
5. Es seien folgende Mengen von natu rlichen Zahlen gegeben:
M
N
T
S
=
=
=
=
{x | 4 teilt x}
{x | 100 teilt x}
{x | 400 teilt x}
{x | x ist ein Schaltjahr}
Formulieren Sie die Menge S mit Hilfe der Mengenoperationen È, Ç und \ aus den Mengen M, N, T. Eliminieren Sie in dieser Darstellung das \ Zeichen durch Komplementbildung.
Schaltjahre sind Jahre die durch 4 teilbar sind, auÜer den Jahren die durch 100, nicht aber durch 400 teilbar sind. (1900 und 2000 waren
Schaltjahre, 2400 ist kein Schaltjahr!)
Es gibt verschiedene Mo glichkeiten. Zum Beispiel:
S = M \ ( N \ T ) = M \ ( N Ç T ) = M Ç ( N Ç T ) = M Ç ( N È T ) oder
S = T È M \ N = T È ( M Ç N ) = (T È M ) Ç (T È N ) = M Ç (T È N ) .
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Mathematik fu r Informatiker
Peter Hartmann
Kapitel 1
6. U berpru fen Sie, ob die folgenden Abbildungen surjektiv beziehungsweise injektiv sind:
a) f : ¡3 ® ¡ 2 , ( x, y, z ) a ( x + y, y + z )
b) f : ¡ 2 ® ¡3 , ( x, y ) a ( x, x + y, y )
a) ist surjektiv: (x, z) hat zum Beispiel das Urbild (x, 0, z).
ist nicht injektiv: denn (0,1,0) und (1,0,1) haben Bild (1,1).
b) ist injektiv: (x1, y1) ¹ (x2, y2) Þ (x1, x1+ y1, y1) ¹ (x2, x2+ y2, y2).
ist nicht surjektiv: denn zum Beispiel hat (1,1,1) kein Urbild.
7. Ist f : M ® N eine Abbildung, so werden dadurch zwei Abbildungen zwischen den Potenzmengen erzeugt:
F : P( M ) ® P( N ),
U a f (U )
G : P( N ) ® P ( M ),
V a f -1 (V )
Sind dies wirklich Abbildungen? (U berpru fen Sie die Definition.) U berlegen Sie mit einem
einfachen Beispiel fu r f, dass F und G nicht invers zueinander sind.
Die Vorschriften ordnen jeder Menge aus P(M) (bzw. P(N)) genau eine Bildmenge aus
P(N) bzw. P(M) zu, sie sind also Abbildungen. Das Besipiel M = {1, 2}, N ={a, b} f (1) =
f (2) = a zeigt, dass F nicht injektiv ist, denn z.B. F({1}) = F({2}) = {a}. Damit sind sie
auch nicht invers zueinander.
8. Zeigen Sie: Sind f und g Abbildungen, und ist die Verknu pfung f o g mo glich, so gilt:
Sind f und g surjektiv beziehungsweise injektiv, so ist auch f o g surjektiv beziehungsweise injektiv.
f o g ist surjektiv: Seien g : M ® N, f : N ® S surjektiv. Sei z Î S. Dann gibt es y Î N mit
f (y) = z und weiter ein x Î M mit g(x) = y. Dann ist f o g ( x) = f ( g ( x)) = f ( y ) = z , also x
Urbild von z unter f o g .
f o g ist injektiv: sei x ¹ y. Dann ist g(x) ¹ g(y) und da auch f injektiv ist folgt auch
f ( g ( x)) ¹ f ( g ( y )) .
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