1. Grundlagen - Ing. Johannes Wandinger

08.06.17
1. Grundlagen
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Die wesentlichen Schritte einer Stabilitätsanalyse werden
anhand eines einfachen Beispiels erläutert.
Aufgabenstellung:
cT
F
L
–
Ein starrer Balken ist am linken Ende gelenkig gelagert und
wird dort von einer Torsionsfeder mit der Federsteifigkeit cT
gehalten.
–
Am rechten Ende greift eine Druckkraft an.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-1
08.06.17
1. Grundlagen
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Gleichgewichtslagen:
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Zur Untersuchung der Stabilität müssen die Gleichgewichtsbedingungen am verformten System betrachtet
werden.
L
M
F
ϕ
F
A
A
M
∑ =0 : F L sin (ϕ)−M =0
Feder : M =c T ϕ → F L sin (ϕ)−c T ϕ=0
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-2
1. Grundlagen
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08.06.17
Lösung 1: ϕ1 = 0
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Für eine kleine Störung Δϕ gilt:
F L sin (Δ ϕ)−c T Δ ϕ≈ ( F L−c T ) Δ ϕ=Δ M
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Für FL < cT haben Störung Δϕ und Moment ΔM verschiedene
Vorzeichen. Das Moment führt den Stab in die ursprüngliche
Lage zurück. Das System ist stabil.
Für FL > cT haben Störung Δϕ und Moment ΔM das gleiche
Vorzeichen. Das Moment führt den Stab noch weiter aus der
Gleichgewichtslage heraus. Das System ist instabil.
Die Kraft
heißt kritische Last.
Prof. Dr. Wandinger
F krit =c T / L
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-3
08.06.17
1. Grundlagen
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Lösung 2:
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sin (ϕ2 ) c T F krit
ϕ2 = F L = F
Wegen sin(ϕ) < ϕ hat diese Gleichung nur für F > Fkrit eine Lösung. Die Lösung kann numerisch ermittelt werden.
Wenn die Kraft F größer als die kritische Last ist, dann existieren mehrere Gleichgewichtslagen.
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Für die Kraft-Verschiebungs-Kurve gilt:
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Für eine kleine Störung Δϕ gilt:
F (ϕ)=F krit
ϕ
sin (ϕ)
F L sin (ϕ2 +Δ ϕ)−c T ( ϕ2 + Δ ϕ ) =Δ M
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-4
1. Grundlagen
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Mit
folgt:
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sin (ϕ2 +Δ ϕ)=sin (ϕ 2 )cos (Δ ϕ)+cos(ϕ2 ) sin(Δ ϕ)
≈sin (ϕ2 )+cos(ϕ 2 ) Δ ϕ
F L sin (ϕ2 )−c T ϕ2 +F L cos(ϕ2 ) Δ ϕ−c T Δ ϕ
=( F L cos(ϕ2 )−c T ) Δ ϕ=Δ M
Mit F (ϕ 2 )=F krit ϕ 2 / sin (ϕ 2 ) und c T =F krit L
folgt weiter:
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08.06.17
ϕ2
ΔM=
−1 F krit L Δ ϕ
tan (ϕ 2 )
(
)
Wegen tan(ϕ) > ϕ haben Störung und Moment verschiedene
Vorzeichen. Die Gleichgewichtslage ist stabil.
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-5
1. Grundlagen
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Ergebnis:
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Solange die Kraft kleiner
als die kritische Last ist,
hat das System nur eine
Gleichgewichtslage, die
stabil ist.
08.06.17
Diese Art der Instabilität
wird als Verzweigungsinstabilität bezeichnet.
Wenn die Kraft die
kritische Last überschreitet, wird die ursprüngliche Gleichgewichtslage instabil.
Dafür entstehen zwei
neue stabile Gleichgewichtslagen.
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-6
1. Grundlagen
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08.06.17
Imperfektionen:
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Ein Verzweigungspunkt im Kraft-Verschiebungs-Diagramm
tritt nur bei idealen Systemen auf.
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Die Abweichungen des realen Systems vom idealen System
werden als Imperfektionen bezeichnet.
–
Wenn beim untersuchten Stab die Wirkungslinie der Kraft
nicht exakt mit der Stabachse zusammenfällt oder die Stabachse nicht exakt gerade ist, dann tritt keine Verzweigung
mehr auf.
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Als Beispiel für eine Imperfektion soll eine leicht außermittig
angreifende Kraft untersucht werden.
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-7
08.06.17
1. Grundlagen
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Wenn die Kraft um die Exzentrizität e oberhalb des Flächenschwerpunkts angreift, tritt zusätzlich ein Moment auf:
eF
L
cTϕ
F
ϕ
F
A
A
M
∑ =0 : F ( L sin (ϕ)+ e )−c T ϕ=0
cT ϕ
F krit ϕ
→ F (ϕ)=
=
L sin (ϕ)+e sin (ϕ)+e / L
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-8
1. Grundlagen
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Infolge der Imperfektion
nimmt die Auslenkung bereits vor Erreichen der
kritischen Last stark zu.
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Da sich Imperfektionen
nicht vermeiden lassen,
muss mit einer ausreichenden Sicherheit gegen Erreichen der
kritischen Last dimensioniert werden.
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6. Stabilitätsprobleme
08.06.17
TM 2 6.1-9
1. Grundlagen
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08.06.17
Ermittlung der kritischen Last:
–
Die für den Stab durchgeführten Untersuchungen werden
bei komplizierteren Systemen recht aufwändig.
–
Die kritische Last lässt sich jedoch einfach ermitteln, indem
die Verformungen bei der Gleichgewichtsbetrachtung als
klein angenommen werden.
–
Beim Stab vereinfacht sich die Gleichgewichtsbedingung für
einen kleinen Winkel ϕ wegen sin(ϕ) ≈ ϕ zu
( F L−c T ) ϕ=0
Eine von null verschiedene Lösung für den Winkel existiert
nur für
F L=c T
–
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-10
1. Grundlagen
08.06.17
cT
F krit =
L
–
Daraus folgt:
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Die Größe der Auslenkung sowie die Stabilität der neuen
Gleichgewichtslagen kann mit dieser linearisierten Betrachtung nicht ermittelt werden.
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-11
08.06.17
1. Grundlagen
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Arten von Instabilitäten:
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Kippen von Balken:
Verzweigungsprobleme:
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F
Die Last-VerschiebungsKurve hat einen Verzweigungspunkt.
Knicken von Stäben:
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F
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6. Stabilitätsprobleme
Beulen von Blechen:
TM 2 6.1-12
08.06.17
1. Grundlagen
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Auf Torsion beanspruchte dünnwandige geschlossene Profile
können durch Drillknicken versagen.
MT
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6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-13
08.06.17
1. Grundlagen
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Durchschlagsprobleme:
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Die Last-Verschiebungs-Kurve ist nicht monoton steigend.
F
L
ϕ0 v
Prof. Dr. Wandinger
B
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-14
1. Grundlagen
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08.06.17
Ein Durchschlagen kann bei dünnwandigen gekrümmten Blechen auftreten, die senkrecht zu ihrer Fläche belastet werden.
Prof. Dr. Wandinger
6. Stabilitätsprobleme
TM 2 6.1-15