Protokoll zum Versuch: Rotation starrer Körper

Protokoll zum Versuch: Rotation
starrer Körper
Fabian Schmid-Michels
Nils Brüdigam
Universität Bielefeld
Wintersemester 2006/2007
Grundpraktikum I
25.01.2007
Inhaltsverzeichnis
1 Ziel
2
2 Theorie
2
3 Versuchsaufbau
3
4 Versuchsteil A: Gleichförmigkeit der Winkelbeschleunigung
3
4.1
Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.2
Versuchsauswertung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5 Versuchsteil B: Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung vom Drehmoment
5
5.1
Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5.2
Versuchsauswertung
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Versuchsteil C: Körper unterschiedlicher Massen
6
6.1
Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.2
Versuchsauswertung
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Versuchsteil D: Körper unterschiedlicher Massenverteilung
7
7.1
Messwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
7.2
Versuchsauswertung
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Quellen
8
1
1
Ziel
Untersuchung der Bewegung eines starren Körpers unter Einuss eines konstanten Drehmoments.
2
Theorie
Drehbewegungen starrer Körper um eine feste Achse werden analog zu Bewegungen eines Massenpunktes m beschrieben. Statt der Position r wird der Drehwinkel φ betrachtet. Geschwindigkeit v und Beschleunigung a = v̇ werden durch die
Winkelgeschwindigkeit ω und die Winkelbeschleunigung α ersetzt. Sie werden
durch Vektoren beschrieben, die in Richtung der Drehachse zeigen.
dφ
dt
(1)
d2 φ
dω
= 2
dt
dt
(2)
ω=
α=
~ und nicht mehr
Die Dynamik einer Drehbewegung ist durch das Drehmoment D
durch die Kraft F~ bestimmt.
~ = ~r × F~
D
(3)
Bei beschleunigten Bewegungen sind die dynamischen Eigenschaften eines Körpers durch seine Masse m festgelegt, bei Drehbewegungen ist die Massenverteilung um die Drehachse entscheidend. Sie wird durch das Trägheitsmoment
J beschrieben, dass im Allgemeinen über die Massenverteilung K des Körpers
berechnet werden kann, wobei r der Abstand des Massenelements dm zur Drehachse ist.
Z
J=
r2 dm
(4)
K
Für eine Scheibe mit homogener Massenverteilung und der Masse m ergibt sich
für die Drehung um die senkrechte Achse durch den Mittelpunkt
J=
1 2
mr
2
(5)
Analog zu den Translationsbewegungen ergibt sich für eine mit konstantem
Drehmoment aus dem Stand beschleunigten Drehbewegung
ω = αt und φ =
2
1 2
αt .
2
(6)
3
Versuchsaufbau
Abbildung 1: Versuchsaufbau
Das Gerät, mit dem das Experiment durchgeführ ist besteht im wesentlichen
aus einer Scheibe, die sich um eine feste Achse drehen kann. Zur Verringerung
der Reibung ist diese auf einem Luftkissen gelagert, welches mit einem Gebläse
erzeugt wird. Der Luftstrom wurd unter die Scheibe geleitet und tritt gleichmäÿig zum Rand aus. Um ein Drehmoment zu erzeugen, wird ein Faden um
die Achse der Scheibe gewickelt und über eine Umlenkrolle zu einem Gewicht
geführt. Wird die Scheibe nicht festgehalten, so wirkt die Gewichtskraft dieser
Masse als Drehmoment auf die Scheibe.
4
Versuchsteil A: Gleichförmigkeit der Winkelbeschleunigung
Bei diesem Teilversuch soll das Winkel-Zeit-Gesetz für ein festes Drehmoment
vermessen werden. Das Gewicht, dass das Drehmoment erzeugt, beträgt 10g .
Die Scheibe dreht sich zu Beginn aller Messungen nicht. Mit einer Stoppuhr
wird nach dem loslassen der Scheibe die Zeit für 1/8, 1/4, 1/2, 3/4, 1, 3/2 und
2 Umdrehungen gemessen.
3
4.1
Messwerte
Umdrehungen
1/8
1/4
1/2
3/4
1
3/2
2
Winkel [rad]
0.79
1.57
3.14
4.71
6.28
9.42
12.57
t1 [s]
5.68
7.91
11.37
13.63
15.50
18.72
21.75
t2 [s]
t3 [s]
15.35
15.41
5.68
8.13
5.32
8.00
t [s]
5.56
8.01
11.37
13.63
15.42
18.72
21.75
∆t [s]
0.30
0.30
0.30
0.30
0.30
0.30
0.30
Tabelle 1: Messwerte von Teilversuch A
4.2
Versuchsauswertung
Abbildung 2: Graph der Messwerte von Teilversuch A
Die Versuchsergebnisse werden in einen Graphen eingetragen. Es ist ein quadratischer Zusammenhang zu erkennen. Mittels dem Programm gnuplot werden die Messwerte an eine x2 -Funktion angepasst. Es ergibt sich als Steigung
0.026 ± 0.001[rad/s2 ]. Die Winkelbeschleunigung erhält man aus ω = αt. Geplottet ergibt dies eine Grade mit konstanter Steigung.
4
5
Versuchsteil B: Abhängigkeit der Winkelbeschleunigung vom Drehmoment
Für den zweiten Versuchsteil wird der gleiche Versuchsaufbau verwendet. Es
wird die Zeit für 8 Umdrehungen aus der Ruhe mit verschiedenen Massen (zur
Erzeugung des Drehmoments) gemessen.
5.1
Messwerte
m [g]
10
20
30
40
50
60
t1 [s]
46.18
28.63
21.59
18.44
16.75
15.56
t2 [s]
46.41
18.16
21.66
18.66
16.75
15.25
t3 [s]
45.87
25.91
21.85
18.41
16.78
15.37
t [s]
46.15
24.23
21.70
18.50
16.76
15.39
∆t [s] geschätzt
0.30
0.30
0.30
0.30
0.30
0.30
Tabelle 2: Messwerte von Teilversuch B
5.2
Versuchsauswertung
Nun wird die Winkelbeschleunigung berechnet. Aus Formel (6) folgt für die
Winkelbeschleunigung α:
α=
∆α =
4φ∆t
t
3
2φ
t2
(Gauÿ'sche Fehlerrechnung)
5
Abbildung 3: Graph der Messwerte von Teilversuch B
zu.
Die Winkelbeschleunigung nimmt wie erwartet linear mit dem Drehmoment
6
Versuchsteil C: Körper unterschiedlicher Massen
Das Drehmoment bleibt in diesem Versuchsteil konstant (50g Masse). Es soll
der Einuss von verschiedenen Massenverteilungen beobachtet werden. Hierfür
steht eine zweite (nahezu) identische Scheibe und ein Ring mit gleichem äuÿeren
Durchmesser und gleicher Masse wie die Scheibe bereit. Wie im Versuchsteil A
wird die Zeit für 8 Umdrehungen gemessen. Alle möglichen Kombinationen aus
den zwei Scheiben und dem Ring werden vermessen.
6.1
Messwerte
nichts zusätzlich
zusätzliche Scheibe
zusätzlicher Ring
zus. Scheibe + Ring
t1 [s]
16.75
22.94
26.63
32.35
t2 [s]
16.75
23.00
26.72
31.44
t3 [s]
16.78
22.87
26.63
31.53
t [s]
16.76
22.94
26.66
31.77
∆t [s] geschätzt
Tabelle 3: Messwerte von Teilversuch C
6
0.30
0.30
0.30
0.30
6.2
Versuchsauswertung
nichts zusätzlich
zusätzliche Scheibe
zusätzlicher Ring
zus. Scheibe + Ring
t [s]
16.76
22.94
26.66
31.77
∆t [s]
Winkelbeschl. α [rad/s2 ]
0.358
0.191
0.141
0.100
0.30
0.30
0.30
0.30
∆α [rad/s2 ]
0.013
0.005
0.003
0.002
Tabelle 4: Messwerte von Teilversuch C ausgewertet
Wie erwartet werden die Winkelbeschleunigungen gröÿer, wenn ein zusätzlicher
Körper angebracht wird. Man sieht jedoch, dass nur die Masse alleine nicht der
Grund sein kann für den Unterschied zwischen der Scheibe und dem Ring. Beide
haben das gleiche Gewicht. Es muss also an der Massenverteilung liegen. Dies
dadurch erklärbar, dass der Ring ein höheres Trägheitsmoment hat.
7
Versuchsteil D: Körper unterschiedlicher Massenverteilung
Im letzten Versuchsteil wird die Massenverteilung durch zwei zusätzliche Gewichte an verschiedenen radialen Abständen verändert. Es wird ebenfalls die
Zeit gemessen, die für 8 Umdrehungen benötigt werden. Zur Beschleunigung
dient wieder die Masse 50g.
Abbildung 4: Versuchsaufbau von Versuchsteil D
7
7.1
Messwerte
2x250g auf r/2
2x250g auf r
2x1000g auf r/2
2x1000g auf r
t1 [s]
18.37
23.00
24.09
36.87
t2 [s]
18.66
23.09
23.94
37.09
t3 [s]
18.37
23.00
24.16
37.06
t [s]
18.47
23.03
24.06
37.01
∆t [s] geschätzt
0.30
0.30
0.30
0.30
Tabelle 5: Messwerte von Teilversuch D
7.2
Versuchsauswertung
2x250g auf r/2
2x250g auf r
2x1000g auf r/2
2x1000g auf r
t [s]
18.47
23.03
24.06
37.01
∆t [s]
0.30
0.30
0.30
0.30
Winkelbeschl. α [rad/s2 ]
0.295
0.190
0.174
0.073
∆α [rad/s2 ]
0.010
0.005
0.004
0.001
Tabelle 6: Messwerte von Teilversuch D ausgewertet
Es fällt auf, dass die Winkelbeschleunigungen für 2x250g auf r und 2x1000g
auf r/2 fast gleich sind. Dies ist ebenfalls mit dem Trägheitsmoment erklärbar.
Da es von r2 abhängt ist das Trägheitsmoment annähernd gleich. Um besser
mit Versuchsteil C zu vergleichen noch eine Tabelle mit den zusammengefassten
Werten.
Massenverteilung
nichts zusätzlich
zusätzliche Scheibe
zusätzlicher Ring
zus. Scheibe + Ring
2x250g auf r/2
2x250g auf r
2x1000g auf r/2
2x1000g auf r
α
[rad/s2 ]
0.358
0.191
0.141
0.100
0.295
0.190
0.174
0.073
Tabelle 7: Ergebnisse von C+D
Bei diesem Vergleich fällt noch auf, dass ausserdem die Winkelbeschleunigung von der Messung mit der zusätzlichen Scheibe mit denen von 2x250g auf
r und 2x1000g auf r/2 zusammenfällt, diese haben also das gleiche Trägheitsmoment wie die zwei Scheiben zusammen. Für die Scheibe gilt: J = 12 mr2 . Die
250g-Gewichte entsprechen 14 m. Für 2x250g gilt: J = 2 · 14 mr2 = 12 mr2 . Für
2x1000g auf r/2 gilt: J = 2 · m( 2r )2 = 12 mr2 . Deshalb ist es nicht verwunderlich,
dass die Winkelbeschleunigungen gleich sind.
8
Quellen
1. Udo Werner: Physikalisches Grundpraktikum I S.36-39. Universität Bielefeld Fakultät für Physik, 2006.
8