P2.1 Klassische Mechanik SS 16 Prof. Dr. J. Plefka/PD Dr. T.Klose
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P2.1 Klassische Mechanik SS 16 Prof. Dr. J. Plefka/PD Dr. T.Klose Übungsblatt 7 Abgabe Mittwoch 08.06 vor der Vorlesung – Besprechung am 14.06 H18 - Der Runge-Lenz Vektor [2P] Zeigen Sie, dass für das Kepler-Problem (V (r) = − αr ) neben der Energie und dem Drehimpuls eine weitere vektorielle Erhaltungsgröße ~ := ẋ × L ~ − α ~x = const A r existiert, die als Runge-Lenz-Vektor bekannt ist. Tun Sie dies durch direktes Ausrechnen von d ~ A. dt ~ mit dem Bahnvektor ~x rein algebraisch a) Zeigen Sie ferner, dass durch Multiplikation von A (d.h. ohne Ausführung einer Integration) die Bahnkurve r(ϕ) = 1 l2 mα 1 + A cos(ϕ)/α ~ 2 = l2 mit L ~ · ~x = A r cos(ϕ) gilt. In welche Richtung zeigt A? ~ folgt, wobei A ~ A ~ = 2 l2 E +α2 und A· ~ L ~ = 0. D.h. wieviele unabhängige Erhaltungsgrößen b) Zeigen Sie, dass A· m existieren dann im Kepler-Problem? H19 - Isotroper harmonischer Oszillator [2P] ~ = −c~x mit (c > 0). Ein Massenpunkt m stehe unter dem Einfluß der Zentralkraft K ~ = a) Man bestimme für nichtverschwindenden Drehimpuls |L| 6 0 die Bahngleichung r = r(ϕ). b) Für welchen Energiewert E erhält man einen Kreis? H20 - Elliptische Umlaufbahn [1P] Ein Satellit mit der Masse m befindet sich auf einer elliptischen Umlaufbahn um die Erde mit Masse M . Am erdnähsten und am erdfernsten Punkt habe der Satellit den Abstand r1 bzw. r2 von der Erde. Berechnen Sie mit Hilfe von Energie- und Drehimpulserhaltung die Geschwindigkeiten v1 und v2 , die der Satellit an diesen beiden Punkten besitzt. Die Erde und der Satellit können als punktförmig angenommen werden. 1
