Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Lösungen zur 9. Übung
Martin Karl
Aufgabe 1 - Binomischer Satz
b) Zeige für alle ungeraden n ∈ N, dass
ganze Zahl ist.
√
√
√
√
√
2(( 2 + 5)n + ( 2 − 5)n ) eine
Beweis:
Durch Anwendung des Binomischen Satzes erhalten wir:
√
!
n n X
n √ k √ n−k X n √ k √ n−k
2 5
+
2 (− 5)
k
k
k=0
k=0
!
n X
√ n−k √
n √ k √ n−k
2
5
+ (− 5)
= 2·
k
k=0
n X
√
n √ k+1 √ n−k
2
5
+ (− 5)n−k
=
k
√
√
√
√
√
2(( 2 + 5)n + ( 2 − 5)n ) = 2 ·
k=0
Betrachte nun die Summanden der Summe bezüglich k.
k gerade: Ist k gerade, so ist n − k ungerade und
√
n−k
5
√
√ n−k √ n−k
+ (− 5)n−k = 5
− 5
=0
Also haben alle Summanden mit ungeradem k den Wert 0 und sind damit in Z.
√ k+1
k ungerade: Ist k ungerade, so sind k + 1 und n − k gerade, also gilt 2
∈Z
√ n−k
√ n−k √ n−k √ n−k
n−k
2
und 5
∈ Z. Da auch die Bino+ (− 5)
= 5
+ 5
=2·5
mialkoeffizienten ganze Zahlen sind, sind alle Summanden und damit auch die
Summe in Z.
a) analog + leichter.
Aufgabe 2 - Binomialkoeffizienten
a) Im Wort hohohohoooh sind fünf h und sechs o zu finden, die nicht unterscheidbar sind. Wir wollen ein Wort mit elf Buchstaben bilden und beginnen
mit der Verteilung des h’s. Es sind 11
Positionen für 5 nicht unterscheidbare h’s
zur Verfügung. Wir haben also 11
die h’s zu positionieren. Es
5 Möglichkeiten
bleiben 6 Positionen für 6 o’s. Hierfür gibt es 66 = 1 Möglichkeiten. Insgesamt
6
11
also 11
5
6 = 5 Möglichkeiten.
Im Wort hejhejhejhej treten vier h, vier e und vier j auf. Mit dem gleichen
Ansatz positionieren
wir die vier h’s beliebig in den 12 freien Positionen. Dafür
gibt es 12
Möglichkeiten.
Danach positionieren wir die vier e’s auf den rest4
8
lichen acht Positionen ( 4 Möglichkeiten). Es bleiben vier Positionen und vier
1
j’s. Wir erhalten insgesamt
12
4
8 4
4
4
Möglichkeiten.
Für klingelingeling ergeben sich durch analoge Betrachtungen
Möglichkeiten.
15
1
14
3
11
3
8 5 2
3
3
b) 32 Karten werden verteilt. Für den ersten Spieler gibt es 32
, für den zwei10
22
12
ten danach 10 , für den dritten 10 Möglichkeiten, die verbleibenden 2 Karten
22 12 2
kommen in den Skat. Es gibt also insgesamt 32
10 10 10 2 Möglichkeiten zur
Verteilung eines Skatspiels.
Aufgabe 3 - Verteilungen
a)
Objekte
Fächer
Häfen
Schiffe
Anzahl
8
4
unterscheidbar
ja
ja
Gesucht ist eine surjektive Abbildung, da jedes Schiff mindestens einen Hafen
ansteuern muss. Die Anzahl der Verteilungen ist: 4! · S8,4
b)
Objekte
Fächer
Goldstücke
Männer
Anzahl
400
20
unterscheidbar
nein
ja
Gesucht ist eine beliebige Abbildung. Die Anzahl der Verteilungen ist:
400 + 20 − 1
419
=
20 − 1
19
2
2