Übungen zur Kombinatorik - Grundaufgaben, Januar 2011

Übungen zur Kombinatorik
Grundaufgaben, Januar 2011
Grundaufgabe 1
Auf wie viele Arten kann ich aus den Ziffern 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eine
dreistellige Zahl bilden, wenn ich jede Ziffer höchstens einmal
verwenden darf?
1. Position (von links):
2. Position (von links):
3. Position (von links):
7 Möglichkeiten
6 Möglichkeiten
5 Möglichkeiten
Multiplikationsregel: 7 · 6 · 5 = 210 Möglichkeiten
Herleitung der Formel mit Faktultäten:
7·6·5=
7·6·5·4·3·2·1
7!
7!
=
=
4·3·2·1
4!
(7 − 3)!
Problemtyp: Variation ohne Wiederholungen
Grundaufgabe 2
Auf wie viele Arten kann ich aus den Ziffern 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 eine
dreistellige Zahl bilden.
Gibt es bei dieser Formulierung einen Interpretationsspielraum?
möglicherweise
→ Verwende das Prinzip: Erlaubt ist, was nicht verboten ist.“
”
1. Position (von links): 7 Möglichkeiten
2. Position (von links): 7 Möglichkeiten
3. Position (von links): 7 Möglichkeiten
Multiplikationsregel: 7 · 7 · 7 = 73 = 343 Möglichkeiten
Problemtyp: Variation mit Wiederholungen
Grundaufgabe 3
Auf wie viele Arten kann ich aus den Ziffern 4, 5, 6, 7, 8, 9 eine
Menge mit drei Elementen bilden.
Gibt es bei dieser Formulierung einen Interpretationsspielraum?
nein ; In Mengen werden Elemente weder mehrfach notiert, noch
ist ihre Reihenfolge von Bedeutung.
Wir gelangen über einen Umweg zur Lösung:
1. Berücksichtige die Reihenfolge. 6 · 5 · 4 Möglichkeiten
2. Dividiere durch alle möglichen Anordnungen in der Menge.
6·5·4
= 20 Möglichkeiten
3·2·1
Problemtyp: Kombination ohne Wiederholungen
Grundaufgabe 4
Auf wie viele Arten kann ich 8 Schokoladen an 5 Personen
verteilen, wenn auch unfaire“ Verteilungen gezählt werden?
”
Wir gelangen über zwei Wechsel des Zählmodells zur Lösung:
1. Für 5 Personen denken wir uns 4 Trennwände. Davor, dazwischen
und dahinter platzieren wir jeweils 8 Schokoladen. Beispiele:
S|SSSS||SSS| oder SS|S|S|SSS|S
2. Also müssen wir alle Möglichkeiten zählen, wie 4 Trennwende (oder
8 Schokoladen) auf 8 + 4 = 12 Positionen gesetzt werden können.
Dazu stellen wir uns die Menge aller Plätze P = {1, 2, . . . , 12} vor
und wählen daraus alle 4-elementigen (oder 8-elementigen)
Teilmengen aus. Beispiel: {2, 7, 8, 12} ⇔ S|SSSS||SSS|
12
Insgesamt gibt es 12
4 = 8 = 792 solcher Teilmengen – also gibt
es auch so viele Verteilungsmöglichkeiten für die 8 Schokoladen.
Problemtyp: Kombination mit Wiederholungen
Grundaufgabe 5
Wie viele achtstellige Zahlen kann ich aus den acht Ziffern 1, 1, 1,
2, 3, 3, 3, 3 bilden?
Man stelle sich zunächst vor, dass alle Ziffern durch Indizies
unterscheidbar gemacht wären: 11 , 12 , 13 , 2, 31 , 32 , 33 , 34
Dies ergäbe 8! Möglichkeiten.
Da wir die Einsen auf 3! Arten und die die Dreien auf 4! Arten
vertauschen können, ohne, dass es einen Unterschied macht,
müssen wir die oben angegebene Anzahl noch durch die Anzahl der
Permutationen gleicher Ziffern dividieren:
8!
8·7·6·5
=
= 56
3! · 1! · 4!
3!
Problemtyp: Permutationen mit Wiederholungen