Einführung in die Mathematische Statistik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
A. Neuenkirch
B. Niese
A. Rößler
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2006
03.05.2006
Einführung in die Mathematische Statistik
2. Tutorium - Lösungsvorschlag
Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeiten unter der Laplace–Annahme)
1. Da ein Ereignis als Element der σ–Algebra A definiert ist, gilt A ∈ A, aber nicht
A ⊆ A. Im betrachteten Fall enthält A als die Potenzmenge von Ω alle Teilmengen
von Ω, d.h. es gilt außerdem A ⊆ Ω. A ∈ Ω ist falsch, da A ein Ereignis und kein
Ergebnis ist. Daher ist auch nicht (vi), sondern nur (v) ein Ereignis.
2. Unter der Laplace–Annahme ist die erste angegebene Wahrscheinlichkeit P (A), denn
es gilt (vgl. Lehn/Wegmann, Beispiel 2.5):
P (A) =
|A|
Anzahl der für A günstigen Ergebnisse
=
Anzahl der möglichen Ergebnisse
|Ω|
.
Außerdem ergibt sich:
|A ∩ B|
= P (A ∩ B)
|Ω|
|Ω| − |B|
|B|
= 1−
= 1 − P (B) = P (B C )
|Ω|
|Ω|
1
= P ({ω})
für ω ∈ Ω .
|Ω|
Dagegen ist
|A|
|B|
kann und damit
im allgemeinen keine Wahrscheinlichkeit, da A mächtiger als B sein
|A|
|B|
> 1 wäre.
Aufgabe 2 (Modellierung eines Zufallsexperiments durch einen Wahrscheinlichkeitsraum)
1. As im 2. Zug“ ={(0,
ˆ
1), (1, 1)} =: Ã
”
As im 1. Zug“ ={(1,
ˆ
0), (1, 1)} =: B̃
”
In die σ–Algebra A gehören die Mengen ∅ und Ω̃, sowie à und B̃. Da auch die Komplemente ÃC = {(1, 0), (0, 0)} und B̃ C = {(0, 1), (0, 0)} in A enthalten sein müssen,
folgt
ÃC ∩ B̃ C
à ∩ B̃
à ∩ B̃ C
ÃC ∩ B̃
=
=
=
=
{(0, 0)} ∈ A
{(1, 1)} ∈ A
{(0, 1)} ∈ A
{(1, 0)} ∈ A ,
d.h. alle einelementigen Teilmengen von Ω̃ sind in A enthalten. Durch Vereinigung
dieser Mengen erhält man jede beliebige Teilmenge von Ω̃, so daß als σ–Algebra die
Potenzmenge P(Ω̃) entsteht.
Unter der Laplace Annahme gilt:
P̃ (Ã) =
|Ã|
2
1
= =
4
2
|Ω̃|
.
Dieses Resultat ist offensichtlich unrealistisch.
2. Modelliert man das Experiment mit dem in a) angegebenen Wahrscheinlichkeitsraum,
ist die Laplace–Annahme nicht realistisch. Ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) ist gegeben durch die Ergebnismenge Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 32, i 6= j},
wobei die Karten gedanklich von 1 bis 32 durchnumeriert werden und z.B. 1, 2, 3, 4
für die vier Asse stehen, die σ–Algebra A = P(Ω) und das Wahrscheinlichkeitsmaß P ,
das auf A durch
|C|
P (C) =
C∈A
|Ω|
definiert sei. Für das Ereignis A := {(i, j) : 1 ≤ i ≤ 32, 1 ≤ j ≤ 4, i 6= j}=
ˆ As im 2.
”
Zug“ ergibt sich
31 · 4
1
|A|
P (A) =
=
=
.
|Ω|
32 · 31
8
Aufgabe 3 (Kombinatorische Grundbegriffe)
1. Situation A: Da es bei dem Zahlenschloß auf die Reihenfolge der Ziffern ankommt,
liegen geordnete Proben vor. Dabei sind Wiederholungen erlaubt, wie der Zusatz in
Klammern erklärt. Eine mathematische Formulierung aller Möglichkeiten sollte die
geordneten Proben durch Tupel darstellen:
{(x1 , x2 , x3 ) : xi ∈ M für i = 1, 2, 3} .
Situation B: Erneut ist die Reihenfolge entscheidend. Allerdings gibt es hier keine
Wiederholungen, da ein Pferd nicht gleichzeitig zwei Plätze belegen kann. Es liegen
also geordnete Proben ohne Wiederholung vor. Eine mathematische Beschreibung aller
Möglichkeiten ist gegeben durch:
{(x1 , x2 , x3 ) : xi ∈ M für i = 1, 2, 3 und xi 6= xj für i 6= j} .
Situation C: Beim Lottoschein geht es nur darum, welche Zahlen angekreuzt werden,
aber nicht in welcher Reihenfolge. Da genau drei Zahlen ein Kreuzchen erhalten, ist
eine Wiederholung ausgeschlossen. Somit ist dies ein Beispiel für ungeordnete Proben
ohne Wiederholung. Die Menge aller Möglichkeiten besteht somit aus 3-elementigen
Mengen mit lauter verschiedenen Ziffern:
{{x1 , x2 , x3 } : xi ∈ M für i = 1, 2, 3 und xi 6= xj für i 6= j} .
2. A: Für alle k = 3 Stellen des Schlosses sind n = 9 Ziffern möglich. Deshalb lautet die
Anzahl aller Möglichkeiten nk = 93 = 729.
B: Für den ersten Platz kommen n = 9 Pferde in Frage, für den zweiten 8 Pferde und
für den dritten nur noch n − k + 1 = 7 Pferde. Somit ist die Anzahl aller Möglichkeiten
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = 9 · 8 · 7 = 504.
C: Gesucht wird die Anzahl aller Möglichkeiten, aus der 9-elementigen Menge M eine
3-elementige Menge auszuwählen. Die Berechnungsformel hierfür ist
n
9
9!
=
=
= 84 .
3! · 6!
k
3
3. Bei einem Tupel ist die Reihenfolge der Koordinaten relevant. Beispielsweise ist in Situation A Schloßnr. 774 verschieden von 747. Bei einer Menge ist die Reihenfolge der
Elemente unwichtig (Situation C). Zudem können hier Elemente mehrfach angegeben
werden, ohne daß sich die Menge ändert.
Dagegen unterscheidet sich ein 4-Tupel von einem 3-Tupel, genauso wie sich ein vierstelliges von einem dreistelligen Schloß unterscheidet. Also:
{0, 2, 5, 6} = {6, 5, 2, 0}
(0, 2, 5, 6) = (6, 5, 2, 0)
{8, 7, 7, 0} = {8, 7, 0}
(8, 7, 7, 0) = (8, 7, 0)
X
X
richtig
richtig X
richtig
richtig X
falsch
falsch
falsch
falsch