Geometrie - math.uni

Universität Augsburg
Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie
Skript
Geometrie
Marc A. Nieper-Wißkirchen∗
3. März 2010
http://www.math.uni-augsburg.de/alg
Inhaltsverzeichnis
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
∗
Projektive und affine Varietäten
Projektive Räume . . . . . . . . . .
Projektive Untervarietäten . . . . .
Lineare Unterräume . . . . . . . . .
Der duale projektive Raum . . . . .
Endliche Punktmengen . . . . . . .
Rationale Normkurven . . . . . . . .
Affine Räume . . . . . . . . . . . . .
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[email protected]
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17
1 Projektive und affine Varietäten
1.1 Projektive Räume
Konvention 1.1. Es bezeichne K einen algebraisch abgeschlossenen Körper. Wenn nichts
weiter gesagt ist, seien alle vorkommenden Vektorräume endlich-dimensionale Vektorräume über K.
Gegenstand der Vorlesung ist die Theorie der Varietäten über K, also der Lösungsmengen polynomieller Gleichungssysteme in mehreren Variablen über dem Körper K. Im
Falle von K = C führt dies auf die komplexe Geometrie, aber auch der Fall K = F̄p ist
zum Beispiel möglich, wobei F̄p für einen algebraischen Abschluß des endlichen Körpers
Fp mit p Elementen steht.
Sei V ein Vektorraum.
Definition 1.2. Der Vektorraum V ∨ := Hom(V, K) := HomK (V, K) der linearen Abbildungen von V nach K heißt der Dualraum von V .
Die bilineare Abbildung
h·, ·i : V ∨ × V → K,
(λ, v) 7→ hλ, vi := λ(v)
heißt das Inzidenzprodukt zwischen V und V ∨ .
Wir erinnern daran, daß das Inzidenzprodukt nicht ausgeartet ist, also einen Isomorphismus
∨
V → (V ∨ ) , v 7→ (λ 7→ hλ, vi)
induziert. (Diese Tatsache ist äquivalent zu unserer Annahme, daß V endlich-dimensional
ist.) Vermöge dieses Isomorphismus werden wir V mit seinem Doppeldualraum (V ∨ )∨
identifizieren. Insbesondere ist v ∈ V genau dann Null, wenn hλ, vi = 0 für alle λ ∈ V ∨ .
Auf dem Dualraum V ∨ operiert die Einheitengruppe K × = K \ {0} durch
K × × V ∨ → V ∨,
(a, λ) 7→ a · λ.
Die Teilmenge V ∨ \ {0} ist stabil unter der Gruppenwirkung, das heißt für alle a ∈ K ×
und λ ∈ V ∨ \ {0} gilt auch a · λ ∈ V ∨ \ {0}.
Definition 1.3. Die Menge
P(V ) := K × \(V ∨ \ {0}) = {K × λ | λ ∈ V ∨ \ {0}}
der Bahnen der Vektoren λ ∈ V ∨ \ {0} heißt der projektive Raum über V . Elemente in
P(V ) nennen wir Punkte.
Ist P ein projektiver Raum über V , so schreiben wir auch
V = H0 (P, O(1))
und
K = H0 (P, O).
Notation 1.4. Ist λ ∈ V ∨ ein Vektor, so bezeichnen wir mit [λ] := K × λ ∈ P(V ) seine
Bahn in P(V ), also den durch λ definierten Punkt in P(V ).
Sei ξ = [λ] ∈ P(V ) ein Punkt. Dann ist H|ξ := ker(λ : V → K) eine Hyperebene durch
den Ursprung in V , welche unabhängig vom gewählten Repräsentanten λ des Punktes ξ
ist. Mit
O(1)|ξ := V /H|ξ
bezeichnen wir den Quotientenvektorraum, welcher ein eindimensionaler Vektorraum,
also eine Gerade ist. Nach dem Homomorphiesatz ist
∼
O(1)|ξ → K,
[v] 7→ λ(v)
ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorräumen.
Bemerkung 1.5. Die Zuordnung ξ 7→ O(−1)|ξ , welche jedem Punkt ξ ∈ P(V ) eine Hyperebene durch den Ursprung in V zuordnet, ist eine Bijektion; Punkte in P(V ) parametrisieren also genau die Ursprungshyperebenen von V . Wir geben die Umkehrung an: Sei
H eine beliebige Hyperebene durch den Ursprung in V . Dann ist der Quotientenraum
∼
V /H eindimensional. Damit existiert ein Isomorphismus λH : V /H → K von Vektorräumen. Sei λH : V → K, v 7→ λH [v]. Dann hängt der Punkt ξH := [λH ] ∈ P(V ) nicht vom
gewählten Isomorphismus λ ab. Es ist H 7→ ξH die Umkehrung.
Mit O(−1)|ξ = Hom(O(1)|ξ , K) bezeichnen wir den Dualraum von O(1)|ξ . Nach dem
Homomorphiesatz ist
O(−1)|ξ = (V /H|ξ )∨ ∼
= {µ ∈ Hom(V, K) | µ|H|ξ = 0} = Kλ.
Wir identifizieren daher O(−1)|ξ mit der Ursprungsgeraden durch λ in V . Diese Ursprungsgerade ist insbesondere unabhängig von der Wahl des Repräsentanten λ des
Punktes ξ.
Bemerkung 1.6. Die Zuordnung ξ 7→ L∨ (ξ), welche jedem Punkt ξ ∈ P(V ) eine Ursprungsgerade in V ∨ zuordnet, ist eine Bijektion; Punkte in P(V ) parametrisieren also
auch die Ursprungsgeraden von V ∨ . Wir geben wieder die Umkehrung an: Sei Λ eine
beliebige Gerade durch den Ursprung in V ∨ . Dann existiert ein λΛ ∈ V ∨ \ {0} mit
Λ = K · λΛ . Der Punkt ξΛ := [λΛ ] ∈ P(V ) hängt nicht vom gewählten Vektor λΛ ab. Es
ist Λ 7→ ξΛ die Umkehrung.
Im Falle V = K n+1 , n ≥ −1 schreiben wir
Pn := P(K n+1 ).
Es V ∨ = Kn+1 der Vektorraum der Zeilenvektoren der Länge n + 1. Ist ξ ∈ Pn ein Punkt
mit einem Repräsentanten λ = (λ0 , . . . , λn ) ∈ Kn+1 , so schreiben wir
ξ = (λ0 : · · · : λn ),
und die λi heißen die homogenen Koordinaten von ξ. Die homogenen Koordinaten sind
eindeutig bis auf simultane Multiplikation mit einem Skalar a ∈ K × .
3
1.2 Projektive Untervarietäten
Sei V ein Vektorraum. Sei P ein projektiver Raum über V .
Definition 1.7. Sei d ∈ N0 . Mit Sd V bezeichnen wir die d-te symmetrische Potenz
von V , das heißt den Vektorraum, der erzeugt wird von formalen Produkten der Form
v1 · · · vd mit vi ∈ V , wobei die Relationen
(v1 +
v10 )
v1 · · · vd = vσ(1) · · · vσ(d) ,
· v2 · · · vd = v1 · v2 · · · vd + v10 · v2 · · · vd
und
(v1 α) · v2 · · · vd = (v1 · · · vd ) · α
für vi , v10 ∈ V , α ∈ K und Permutationen σ ∈ Sd gelten.
Ist P ein projektiver Raum über V , so schreiben wir auch
Sd V = H0 (P, O(d)).
Beispiel 1.8. Es ist S0 V = K, erzeugt vom leeren Produkt 1. Weiter ist S1 V = V , ganz
im Einklang mit den bisherigen Bezeichnungen.
Beispiel 1.9. Ist (x0 , · · · , xn ) eine Basis von H0 (P, O(1)), so ist
H0 (P, O(d)) = K[x0 , · · · , xn ]d
der Vektorraum der homogenen Polynome in den xi vom Grad d. Daher nennen wir
Elemente aus H0 (P, O(d)) homogene Polynome vom Grad d in H0 (P, O(1)).
∨
Sei λ ∈ H0 (P, O(1)) ein Vektor. Dann existiert genau eine lineare Abbildung
H0 (P, O(d)) → K,
f 7→ f (λ)
mit
(v1 · · · vd )(λ) = hλ, v1 i · · · hλ, vd i
∨
für vi ∈ H0 (P, O(1)). Ist a ∈ K, so gilt f (aλ) = ad f (λ), d.h. f (·) : H0 (P, O(1)) → K ist
eine homogene Abbildung vom Grad d. Für f ∈ H0 (P, O(d)) ist damit
Z(f ) = {[λ] ∈ P | f (λ) = 0}
eine wohldefinierte Teilmenge von P.
Definition 1.10. Ist f ∈ H0 (P, O(d)) ein homogenes Polynom vom Grade d, so heißt
die Teilmenge Z(f ) ⊂ P die Verschwindungsmenge von f . Ist allgemeiner F eine Menge
homogener Polynome (von nicht notwendigerweise gleichem Grade), so heißt
Z(F ) =
\
f ∈F
4
Z(f )
die Verschwindungsmenge von F . Im Falle einer endlichen Menge F = {f1 , . . . , fr }
schreiben wir auch
Z(f1 , . . . , fr ) = Z(f1 ) ∩ · · · ∩ Z(fr ).
Teilmengen von P der Form Z(F ) heißen projektive Untervarietäten in P. Ein Element
f ∈ F heißt homogene Gleichung von Z(F ).
Bemerkung 1.11. Seien f1 , . . . , fn ∈ H0 (P, O(d)) homogene Polynome vom Grade d. Sei
F := hf1 , . . . , fn i der von den fi erzeugte Untervektorraum in H0 (P, O(d)). Dann gilt
Z(F ) = Z(f1 ) ∩ · · · ∩ Z(fn ).
Seien Z(F1 ), . . . , Z(Fr ) ⊂ P projektive Untervarietäten. Mit F1 · · · Fr bezeichnen wir
die Menge aller Polynome f1 · · · fr mit fi ∈ Fi . Dann ist
Z(F1 · · · Fr ) = Z(F1 ) ∪ · · · ∪ Z(Fr ).
Insbesondere ist die endliche Vereinigung projektiver Untervarietäten wieder eine projektive Untervarietät. Der Spezialfall r = 0 liefert, daß die leere Teilmenge ∅ = Z(1) eine
projektive Untervarietät von sich P ist.
Sei (Z(Fi ))i∈I eine Familie projektiver Untervarietäten. Dann ist
!
Z
[
Fi =
i∈I
\
Z(Fi ).
i∈I
Insbesondere ist ein beliebiger Schnitt projektiver Untervarietäten wieder eine projektive
Untervarietät. Der Spezialfall I = ∅ liefert, daß der ganze projektive Raum P = Z(∅)
eine projektive Untervarietät von sich selbst ist.
Damit gibt es auf P genau eine Topologie bezüglich der die projektiven Untervarietäten
gerade die abgeschlossenen Mengen sind. Diese Topologie heißt die Zariski-Topologie auf
P.
Bemerkung 1.12. Im Falle K = C trägt P neben der Zariski-Topologie noch eine wei∨
tere Topologie, die sogenannte analytische Topologie: Zunächst trägt V ∨ = H0 (P, O)
als endlich-dimensionaler Vektorraum über C eine Topologie, welche durch eine Norm
induziert wird. Wir versehen V ∨ \ {0} mit der Teilraumtopologie. Die davon auf
P = K × \(V ∨ \ {0}) induzierte Quotiententopologie ist die analytische Topologie von
P. Eine Teilmenge Z ⊂ P ist also genau dann in der analytischen Topologie abgeschlossen, wenn die Menge {λ ∈ V ∨ \ {0} | [λ] ∈ Z} der Repräsentanten von Punkten in Z im
Teilraum V ∨ \ {0} abgeschlossen ist.
Im folgenden wird für uns nur die für jeden Körper K definierte Zariski-Topologie eine
Rolle spielen, es sei denn, wir weisen im Falle K = C speziell darauf hin.
Beispiel 1.13. Eine projektive Untervarietät der Form Z(f ) mit f ∈ H 0 (P, O(d)) für
ein d > 0 mit f 6= 0 heißt auch Hyperfläche in P. Wir erinnern daran, daß der Ring
aller Polynome in V ein faktorieller Ring ist, also ein Ring, in dem jedes Element bis
auf Einheiten eindeutig in Produkte irreduzibler Elemente zerfällt. Es folgt, daß jede
Hyperfläche in P Verschwindungsmenge eines homogenen Polynoms ohne mehrfache irreduzible Faktoren ist.
5
Wir bemerken, daß für eine Hyperfläche stets Z(f ) 6= ∅ gilt. Dies folgt daraus, daß
der Körper K algebraisch abgeschlossen ist: Nach Wahl einer Basis (x0 , . . . , xn ) von
H0 (P, O(1)) können wir f als Polynom in K[x0 , . . . , xn ] vom Grad d auffassen. Es ist zu
zeigen, daß dieses Polynom eine nicht triviale Nullstelle besitzt. Wir unterscheiden zwei
Fälle: Im ersten Falle enthält f das Monom xd0 . In diesem Falle gibt es eine Nullstelle
a ∈ K von f (X, 1, . . . , 1) ∈ K[X]. Dann ist (a, 1, . . . , 1) eine nicht triviale Nullstelle von
f . Im anderen Falle enthält f das Monom xd0 nicht. Dann ist zum Beispiel (1, 0, . . . , 0)
eine nicht triviale Nullstelle von f .
Beispiel 1.14. Sei K = C. In diesem Falle kann P mit der analytischen Topologie auch
als kompakte komplexe Mannigfaltigkeit aufgefaßt werden. Jede abgeschlossene komplexe Untermannigfaltigkeit Z ⊂ P ist Verschwindungsmenge von Polynomen, also eine
projektive Untervarietät im algebraischen Sinne. Dies ist die Aussage des Chowschen
Satzes.
1.3 Lineare Unterräume
Sei f : V → W eine lineare Abbildung.
Definition 1.15. Die lineare Abbildung
f ∨ : W ∨ → V ∨,
µ 7→ (µ ◦ f : v 7→ µ(f (v)))
heißt die duale Abbildung zu f .
Die duale Abbildung ist durch
hµ, f (v)i = hf ∨ (µ), vi
für alle µ ∈ W , v ∈ V eindeutig festgelegt.
Sei speziell f : V → W eine surjektive lineare Abbildung. Dann ist f ∨ : W ∨ → V ∨
eine injektive lineare Abbildung; wir können insbesondere W ∨ vermöge f ∨ als Untervektorraum von V ∨ auffassen. Damit wird durch
P(f ) : P(W ) → P(V ),
[µ] 7→ [f ∨ (µ)]
eine wohldefinierte injektive Abbildung gegeben. Insbesondere können wir P(W ) mit
seinem Bild in P(V ) identifizieren.
Sei F = ker f ⊂ V . Nach dem Homomorphiesatz ist dann
f : V /F 7→ W,
[v] 7→ f (v)
ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorräumen.
Das Bild von P(W ) in P(V ) ist durch die projektive Untervarietät Z(F ) gegeben: Für
ξ = [λ] ∈ P(V ) gilt:
ξ ∈ Z(F ) ⇐⇒ (∀v ∈ F : hλ, vi = 0)
⇐⇒ (∃µ ∈ W ∨ : λ = f ∨ (µ))
⇐⇒ (∃η ∈ P(W ) : ξ = P(f )(η)) .
Sei im folgenden P ein projektiver Raum.
6
Definition 1.16. Sei F ⊂ H0 (P, O(1)) ein Untervektorraum. Eine projektive Untervarietät L der Form L = Z(F ) von P heißt linearer Unterraum.
Damit ist also das Bild von P(f ) ein linearer Unterraum von P(V ).
Sei L ⊂ P ein linearer Unterraum, etwa L = Z(F ) für einen Untervektorraum F ⊂
0
H (P, O(1)). Dann ist
F = {v ∈ V | ∀[λ] ∈ L : hλ, vi = 0},
das heißt durch F 7→ Z(F ) wird eine (inklusionsumkehrende) Bijektion zwischen den
Untervektorräumen von H0 (P, O(1)) und den linearen Unterräumen von P gegeben. Wir
schreiben
F = L∗ .
Beispiel 1.17. Sei F = H0 (P, O(1)). Dann ist Z(F ) = ∅. Damit ist die leere Teilmenge
von P ein linearer Unterraum.
Beispiel 1.18. Sei (Li )i∈I eine Familie linearer Unterräume von P. Mit F :=
P
i∈I
L∗i ⊂
H0 (P, O(1)) bezeichnen wir die Summe der L∗i , das heißt den von allen Vektoren aus
S ∗
Li erzeugten Untervektorraum. Dann ist
i∈I
Z(F ) =
\
Li ,
i∈I
das heißt, beliebige Schnitte linearer Unterräume von P sind wieder lineare Unterräume.
Linearen Unterräumen läßt sich außerdem leicht ein Dimensionsbegriff zuordnen:
Definition 1.19. Sei L ⊂ P ein linearer Untervektorraum. Dann heißt
dim L := dim H0 (P, O(1)) − dim L∗ − 1
die Dimension von L.
Beispiel 1.20. Es ist dim P = dim Z(0) = dim H0 (P, O(1)) − 1. Weiter ist dim ∅ =
dim Z(H0 (P, O(1)) = −1. Umgekehrt ist jeder lineare Unterraum der Dimension −1
der leere Unterraum. Für einen allgemeinen linearen Unterraum L von P gilt schließlich
dim L = dim P − dim L∗ = dim P H0 (P, O(1))/L∗ .
Definition 1.21. Ein linearer Unterraum L ⊂ P mit dim L = 1 heißt eine Gerade in P.
Ein linearer Unterraum L mit dim L = dim P − 1 heißt eine Hyperebene in P.
Seien L1 , L2 zwei lineare Unterräume von P.
Definition 1.22. Der lineare Unterraum
L1 L2 := Z(L∗1 ∩ L∗2 )
von P heißt der lineare Spann von L1 und L2 .
7
Der lineare Spann L1 L2 ist der kleinste lineare Unterraum, welcher L1 und L2 umfaßt. Die Definition des linearen Spanns läßt sich von zweien auf eine endliche und sogar
unendliche Menge linearer Unterräume ausdehnen. Aus der Dimensionsformel für Untervektorräume folgt die Dimensionsformel für lineare Unterräume:
dim L1 L2 = dim L1 + dim L2 − dim(L1 ∩ L2 ).
Daraus können wir insbesondere folgern: Sind L1 , L2 ⊂ P zwei lineare Unterräume mit
dim L1 + dim L2 ≥ dim P, so folgt L1 ∩ L2 6= ∅. Dies ist eine grundlegende Eigenschaft
des projektiven Raumes. Allgemeiner gilt, daß
dim L1 ∩ L2 ≥ dim L1 + dim L2 − dim P.
Beispiel 1.23. Ist P eine projektive Ebene, also dim P = 2, so schneiden sich je zwei
Geraden in mindestens einem Punkt.
1.4 Der duale projektive Raum
Sei P ein projektiver Raum. Sei V = H0 (P, O(1)).
Definition 1.24. Der projektive Raum
P∨ := P(V ∨ )
heißt der duale projektive Raum zu P.
Es ist insbesondere
∨
H0 (P∨ , O(1)) = H0 (P, O(1)) .
Für die Dimension des dualen projektiven Raumes gilt dim P∨ = dim P. Es existiert aber
keine natürliche Isomorphie zwischen P und P∨ .
Sei x = [v] ∈ P∨ mit v ∈ V \ {0} ein Punkt im dualen projektiven Raum. Dann
ist F (x) := vK ⊂ V ein eindimensionaler Untervektorraum von V , welcher nicht vom
Repräsentanten v von x abhängt. Der lineare Unterraum H(x) := Z(F (x)) ⊂ P ist eine
Hyperebene in P. Wir behaupten, daß durch x 7→ H(x) eine Bijektion von der Menge der Punkte des dualen projektiven Raumes P∨ auf die Menge der Hyperebenen des
projektiven Raumes P gegeben wird; Punkte des dualen projektiven Raumes P∨ parametrisieren damit die Hyperebenen im projektiven Raum P. Wir geben die Umkehrung
an: Sei H ⊂ P eine Hyperebene, das heißt, es ist H = Z(FH ) für einen eindimensionalen
Untervektorraum FH ⊂ H0 (P, O(1)). Sei vH ∈ V \ {0} mit vH K = FH . Dann hängt
xH = [vH ] ∈ P∨ nur von FH , also von H ab. Es ist H 7→ xH die Umkehrung.
Definition 1.25. Seien ξ ∈ P und x ∈ P∨ . Gilt ξ ∈ H(x), so sagen wir, daß x und ξ
inzidieren, geschrieben
x ⊥ ξ.
8
Es ist
H(x) = {ξ ∈ P | x ⊥ ξ}.
∨
Der kanonische Isomorphismus V ∼
= (V ∨ ) induziert einen kanonischen Isomorphismus
∨
P∼
= (P∨ ) . Damit parametrisieren die Punkte ξ ∈ P Hyperebenen H(ξ) von P∨ . Es gilt
H(ξ) = {x ∈ P∨ | x ⊥ ξ}.
1.5 Endliche Punktmengen
Sei P ein projektiver Raum. Sei ξ ∈ P ein Punkt. Dann ist {ξ} = Z(H|ξ ) ein nulldimensionaler linearer Unterraum. Ist umgekehrt L ⊂ P ein nulldimensionaler linearer
Unterraum, so ist L∗ eine Hyperebene durch den Ursprung von H0 (P, O(1)). Damit existiert genau ein ξ ∈ P mit L∗ = H|ξ . Es ist L = {ξ}. Damit ist ξ 7→ {ξ} eine Bijektion
zwischen den Punkten von P und den nulldimensionalen linearen Unterräumen von P.
Es folgt, daß alle endlichen Punktmengen von P projektive Untervarietäten sind.
Aufgabe 1.26.
1. Sei Z ⊂ P eine endliche Teilmenge mit d = |Z| Elementen. Zeige,
daß homogene Polynome fi ∈ H0 (P, O(di )), i = 1, . . . , n mit di ≤ d existieren, so
daß Z = Z(f1 , . . . , fn ).
2. Sei f ∈ H0 (P, O(e)) mit e < d. Sei L ⊂ P eine Gerade, welche Z(f ) in mindestens
d verschiedenen Punkten schneidet. Zeige, daß dann schon L ⊂ Z(f ).
3. Seien umgekehrt ξ1 , . . . , ξd ∈ P Punkte, welcher nicht auf einer Geraden liegen.
Zeige, daß dann homogene Polynome f1 , . . . , fn ∈ H0 (P, O(d − 1)) existieren, so
daß Z(f1 , . . . , fn ) = {ξ1 , . . . , ξd }.
Definition 1.27. Es heißen d Punkte ξ1 , . . . , ξd in P unabhängig, falls dim P1 . . . Pd =
d − 1 mit Pi = {ξi }, ansonsten abhängig.
Sei n = dim P. Es sind je n + 2 Punkte in P notwendigerweise abhängig. Es sind n + 1
Punkte genau dann abhängig, wenn sie in einer Hyperebene von P liegen.
Definition 1.28. Eine endliche Teilmenge Z von Punkten in P heißt in allgemeiner
Lage, falls keine Teilmenge aus n + 1 oder weniger Punkten von Z abhängig ist.
Enthält Z mindestens n + 1 Punkte, so ist dies dasselbe wie zu sagen, daß keine n + 1
Punkte von Z in einer Hyperebene liegen.
Hilfssatz 1.29. Sei Z eine endliche Teilmenge von Punkten in allgemeiner Lage in P.
Dann existiert ein weiterer Punkt ξ ∈ P \ Z, so daß auch Z ∪ {ξ} in allgemeiner Lage
ist.
Beweis. Jede Teilmenge von höchstens n Punkten von Z liegt in einer Hyperebene.
Damit reicht es zu zeigen, daß das Komplement endlich vieler Hyperebenen in P nicht
leer ist. Eine Hyperebene in P ist eine Verschwindungsmenge der Form Z(v) für ein
v ∈ H0 (P, O(1)) mit v 6= 0. Eine endliche Vereinigung von Hyperebenen in P ist damit
9
durch ein nicht verschwindendes Produkt f := v1 · · · vr mit vi ∈ H0 (P, O(1)) gegeben. Da
K als algebraisch abgeschlossener Körper unendlich viele Elemente besitzt, f aber nur
∨
∨
endlich viele Nullstellen in H0 (P, O(1)) , existiert ein λ ∈ H0 (P, O(1)) mit f (λ) 6= 0.
Damit ist ξ := [λ] ∈ P im Komplement der endlich vielen Hyperebenen.
Satz 1.30. Sei Z eine endliche Teilmenge von d ≤ 2n Punkten in allgemeiner Lage in
P. Dann existieren quadratische Formen q1 , . . . , qr ∈ H0 (P, O(2)) mit Z = Z(q1 , . . . , qr ).
Wir sagen auch, Z sei ein Schnitt endlich vieler Quadriken Z(qi ) in P. In der projektiven Ebene sind also alle Teilmengen von höchstens vier Punkten in allgemeiner Lage
(das heißt keine drei liegen auf einer Geraden) Schnitte von Quadriken.
Beweis. Wir gehen zunächst davon aus, daß d = 2n. Für ein ξ ∈ P gelte, daß ξ ∈ Z(q)
für alle q ∈ H0 (P, O(2)) mit Z ⊂ Z(Q). Wir wollen zeigen, daß ξ ∈ Z. Sei Z = Z1 ∪ Z2
eine disjunkte Zerlegung mit |Zi | = n. Dann spannen nach Voraussetzung Z1 und Z2
jeweils Hyperebenen H1 , H2 auf, welche Verschwindungsmengen linearer Polynome sind.
Damit ist H1 ∪ H2 die Verschwindungsmenge eines quadratischen Polynoms, also muß
ξ ∈ H1 ∪ H2 gelten. Damit liegt ξ in einer Hyperebene, welche von Punkten aus Z
aufgespannt wird.
Sei ξ1 , . . . , ξk ein minimale Teilmenge von Z, so daß ξ in dem von ξ1 , . . . , ξk aufgespannten Unterraum liegt. Nach dem Vorhergehenden ist k ≤ n. Sei Z 0 ⊂ Z \ {ξ1 , . . . , ξk } eine
Teilmenge mit |Z 0 | = n − k + 1. Nach der Voraussetzung an die allgemeine Lage von Z
enthält die von Z 0 und ξ2 , . . . , ξk aufgespannte Hyperebene H den Punkt ξ1 nicht. Es
kann H den Punkt ξ nicht enthalten, denn aufgrund der Minimalität von k muß der
Spann von ξ2 , . . . , ξk und ξ auch ξ1 enthalten. Nach dem Vorhergehenden muß ξ dann
auf der Hyperebene liegen, welche von ξ1 und den restlichen n − 1 Punkten aufgespannt
wird. Insgesamt muß ξ damit auf jeder Hyperebene liegen, welche von ξ1 und einer beliebigen Teilmenge von n − 1 Punkten aus ξk+1 , . . . , ξ2n aufgespannt wird. Da der Schnitt
aller dieser Hyperebenen ξ1 ist, muß ξ = ξ1 gelten.
Damit ist Z die Verschwindungsmenge von F := {q ∈ H0 (P, O(2)) | Z ⊂ Z(q)}. Ist
q1 , . . . , qr eine Basis von F , so folgt Z = Z(q1 , . . . , qr ).
Es bleibt, den Fall d < 2n zu behandeln. Nach dem Hilfssatz existieren endlich viele
endliche Teilmengen Z10 , . . . , Zr0 ⊃ Z von 2n Punkten in allgemeiner Lage in P mit
T
Z = Zi0 . Nach dem schon bewiesenen existieren quadratische Polynome qi1 , . . . , qisi
i
mit Zi0 = Z(qi1 , . . . , qisi ). Damit ist Z = Z(q11 , . . . qrsr ).
Aufgabe 1.31. Sei k ≥ 2. Sei Z ⊂ P eine endliche Teilmenge von d ≤ kn Punkten
in allgemeiner Lage in P. Zeige, daß f1 , . . . , fr ∈ H0 (P, O(k)) existieren, so daß Z =
Z(f1 , . . . , fr ).
Schließlich führen wir noch folgende Begrifflichkeit ein: Sei f ∈ Aut(H0 (P, O(1))) ein
Automorphismus. Dieser induziert eine Bijektion
f∗ : P → P,
∨
[λ] 7→ [(f −1 ) λ]
10
des projektiven Raumes. Insbesondere können wir für jede Teilmenge Z ⊂ P ihr Bild
f (Z) := f∗ (Z) betrachten. Ist speziell Z = Z(F ) eine projektive Untervarietät, so ist
f (Z) = Z(f (F )).
Damit ist das Bild einer projektiven Untervarietät unter einem Automorphismus wieder
eine projektive Untervarietät.
Definition 1.32. Zwei projektive Untervarietäten Z1 , Z2 von P heißen projektiv äquivalent, falls ein Automorphismus f ∈ Aut(H0 (P, O(1))) mit f (Z1 ) = Z2 (oder äquivalent
Z2 = f −1 (Z1 )) existiert.
Aufgabe 1.33. Zeige, daß je zwei Teilmenge von je n + 2 Punkten in allgemeiner Lage
0
in P projektiv äquivalent sind. Genauer: Sind ξ1 , . . . , ξn+2 , ξ10 , . . . , ξn+2
∈ P, so daß die
0
} in allgemeiner Lage sind, so
Teilmengen Z1 := {ξ1 , . . . , ξn+2 } und Z2 := {ξ10 , . . . , ξn+2
existiert ein Automorphismus f ∈ Aut(H0 (P, O(1))) mit f∗ (ξi ) = ξi0 für alle i.
1.6 Rationale Normkurven
Sei P1 eine projektive Gerade, das heißt dim P = 1. Es folgt, daß H0 (P, O(1)) ein zweidimensionaler Vektorraum ist. Für d ∈ N0 setzen wir
Pd := P(Sd H0 (P1 , O(1))).
Es ist dim Pd = dim Sd H0 (P1 , O(1)) − 1 = (d + 1) − 1 = d, denn ist (x, y) eine Basis
von H0 (P1 , O(1)), so ist (xd , xd−1 y, . . . , y d ) eine Basis von Sd H0 (P, O(1)). Wir definieren
∨
eine natürliche Abbildung n : P1 → Pd wie folgt: Sei λ ∈ H0 (P1 , O(1)) eine Linearform.
Dann ist
λd : Sd Hd (P, O(1)) → K, f 7→ f (λ)
eine wohldefinierte Linearform. Es ist λd 6= 0, falls λ 6= 0, und es (aλ)d = ad λd für alle
a ∈ K. Damit ist die Abbildung
v : P1 → Pd ,
ξ = [λ] 7→ ξ d := [λd ]
wohldefiniert. In homogenen Koordinaten ist die Abbildung durch
v : (x : y) 7→ (xd : xd−1 y : · · · : y d )
gegeben. Daraus folgt für d > 0 insbesondere, daß n eine injektive Abbildung ist.
Definition 1.34. Das Bild C := v(P1 ) heißt die rationale Normkurve in Pd . Im Falle
von d = 3 heißt C auch getwistete Kubik.
Sei η = [φ] ∈ C ein Punkt auf der rationalen Normkurve. Dann ist H|η = ker φ ⊂
H (P1 , O(d)) eine Hyperebene mit Z(H|η ) 6= ∅ ⊂ P1 : Denn da η ∈ C, existiert ein
ξ = [λ] ∈ P1 mit φ = λd . Es folgt, daß ξ ∈ Z(H|η ). Sei umgekehrt η = [φ] ∈ Pd
ein Punkt, so daß Z(H|η ) 6= ∅ ⊂ P1 . Dann existiert ein ξ = [λ] ∈ Z(H|ξ ) ⊂ P1 . Sei
0
11
φ = λd . Dann ist H|η ⊂ H|[φ] ⊂ H0 (P1 , O(d)) = H0 (Pd , O(1)). Da H|η und H|[φ] als
Hyperebenen dieselbe Dimension haben und Punkte in Pd Hyperebenen in H0 (Pd , O(1))
parametrisieren, folgt η = [φ] = [λd ] = ξ d . Also ist η ∈ C. Damit haben wir gezeigt,
daß die Punkte auf der rationalen Normkurve C ⊂ P1 genau die Hyperebenen H ⊂
H0 (P1 , O(d)) parametrisieren, für die Z(H) 6= ∅ ⊂ P1 gilt.
Wir behaupten, daß die rationale Normkurve eine projektive Untervarietät von Pd ist.
Wir können d > 0 annehmen. Dazu erinnern wir zunächst an folgende Definitionen der
linearen Algebra:
Definition 1.35. Seien V, W zwei Vektorräume. Mit V ⊗ W bezeichnen wir das Tensorprodukt von V und W , das heißt den Vektorraum, der erzeugt wird von Produkten
der Form v ⊗ w mit v ∈ V und w ∈ W , wobei die Relationen
(v + v 0 ) ⊗ w = v ⊗ w + v 0 ⊗ w,
v ⊗ (w + w0 ) = v ⊗ w + v ⊗ w0
und
(vα) ⊗ w = (v ⊗ w) · α
für v, v 0 ∈ V , w, w0 ∈ W und α ∈ K gelten.
Beispiel 1.36. Ist (x1 , . . . , xm ) eine Basis von V und (y1 , . . . , yn ) eine Basis von W , so
ist (x1 ⊗ y1 , x2 ⊗ y1 , . . . , xm ⊗ yn ) eine Basis von V ⊗ W .
Beispiel 1.37. Es ist V → V ⊗ K, v 7→ v ⊗ 1 ein Isomorphismus von Vektorräumen.
Außerdem brauchen wir noch die äußere Potenz eines Vektorraumes:
Definition 1.38. Sei V ein Vektorraum. Sei k ∈ N0 . Mit Λd V bezeichnen wir die
d-te äußere Potenz von V , das heißt den Vektorraum, der erzeugt wird von formalen
Produkten der Form v1 ∧ · · · ∧ vk mit vi ∈ V , wobei die Relationen
v1 ∧ · · · ∧ vk = sgn σ · vσ(1) ∧ · · · ∧ vσ(k) ,
(v1 +
∧ v2 ∧ · · · ∧ vk = v1 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk + v10 ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk ,
(v1 α) ∧ v2 ∧ · · · ∧ vk = (v1 ∧ · · · ∧ vk ) · α
v10 )
und
v1 ∧ v1 ∧ v3 ∧ · · · ∧ vk = 0
für vi , v10 ∈ V , α ∈ K und Permutationen σ ∈ Sk gelten.
Beispiel 1.39. Es ist Λ0 V = K, erzeugt vom leeren Produkt. Weiter ist Λ1 V = V .
Beispiel 1.40. Ist (x1 , . . . , xn ) eine Basis von V , so ist eine Basis von Λk V durch alle
Vektoren der Form xi1 ∧ · · · ∧ xik mit i1 ≤ · · · ≤ ik gegeben. Es folgt dim Λk V = nk ,
insbesondere also Λk V = 0, falls k > n.
12
Beispiel 1.41. Für alle d ∈ N0 gibt genau eine kanonische wohldefinierte lineare Abbildung Λd V ⊗ Λd W → Sd (V ⊗ W ) mit
Λd V ⊗ Λd W → Sd (V ⊗ W ),
(v1 ∧ · · · ∧ vd ) ⊗ (w1 ∧ · · · ∧ wd ) 7→
X
sgn σ
d
Y
vi ⊗ wσ(i) .
i=1
σ∈Sd
Diese Abbildung hat folgende Bedeutung: Sei β : V × W → K eine Bilinearform. Diese
induziert eine lineare Abbildung
Sd (V ⊗ W ) → K,
(v1 ⊗ w1 ) · · · (vd ⊗ wd ) 7→ β(v1 , w1 ) · · · β(vd , wd ).
Komposition mit der kanonischen Abbildung Λd V ⊗ Λd W → Sd (V ⊗ W ) liefert das
d-Volumen Λd V ⊗ Λd W → K bezüglich der Bilinearform β. Dieses verschwindet genau
dann nicht, wenn β mindestens Rang d hat.
Nach diesem Einschub kehren wir zur rationalen Normkurve zurück. Dazu wählen wir
k, l ∈ N mit k + l = d. Es ist
H0 (P1 , O(k)) ⊗ H0 (P1 , O(l)) → H0 (P1 , O(d)) = H0 (Pd , O(1)),
f ⊗ g 7→ f g
eine wohldefinierte lineare Abbildung. Das Quadrat dieser Abbildung ist die lineare
Abbildung
S2 H0 (P1 , O(k)) ⊗ H0 (P1 , O(l)) → S2 H0 (Pd , O(1)) = H0 (Pd , O(2)),
(f1 ⊗ g1 ) · (f2 ⊗ g2 ) 7→ (f1 g1 ) · (f2 g2 ),
wobei die rechte Seite ein quadratisches Polynom in Polynomen vom Grad d in
H0 (P1 , O(1)) ist. Diese Abbildung können wir mit der kanonischen Abbildung
Λ2 H0 (P1 , O(k)) ⊗ Λ2 H0 (P1 , O(l)) → S2 H0 (P1 , O(k)) ⊗ H0 (P1 , O(l))
komponieren und erhalten eine natürliche wohldefinierte lineare Abbildung
Λ2 H0 (P1 , O(k)) ⊗ Λ2 H0 (P1 , O(l)) → H0 (Pd , O(2)),
(f1 ∧ f2 ) ⊗ (g1 ∧ g2 ) 7→ (f1 g1 ) · (f2 g2 ) − (f1 g2 ) · (f2 g1 ),
deren Bild in H0 (Pd , O(2)) wir mit Fk bezeichnen. Wir zeigen jetzt, daß C = Z(Fk ). Sei
dazu ξ = [λ] ∈ P1 . Für f1 , f2 ∈ H0 (P1 , O(k)) und g1 , g2 ∈ H0 (P1 , O(l)) gilt dann
D
((f1 g1 ) · (f2 g2 ) − (f1 g2 ) · (f2 g1 )) (λd ) = λd , f1 g1
ED
E
D
λd , f2 g2 − λd , f1 g2
ED
λd , f2 g1
E
f1 (λ)g1 (λ)f2 (λ)g2 (λ) − f1 (λ)g2 (λ)f2 (λ)g1 (λ) = 0,
also ist C ⊂ Z(Fk ).
Sei umgekehrt η = [φ] ∈ Z(Fk ). Dann hat die nicht verschwindende Bilinearform
β : H0 (P1 , O(k)) ⊗ H0 (P1 , O(l)) → K,
13
(f, g) 7→ hφ, f gi
nach den vorhergehenden Überlegungen Rang 1. Damit ist
U := {f ∈ H0 (P1 , O(k)) | ∀g ∈ H0 (P1 , O(l)) : hφ, f gi = 0}
eine Hyperebene durch den Ursprung in H0 (P1 , O(k)). Ist W = U ·H0 (P1 , O(l)) der Raum
der Polynome, welcher von allen Produkten von Polynomen aus U mit Polynomen auf
H0 (P1 , O(l)) erzeugt wird, so ist W in der Hyperebene H|η in H0 (P1 , O(d)) enthalten,
es gilt also insbesondere dim W ≤ d. Wir benötigen als nächstes folgenden Hilfssatz:
Hilfssatz 1.42. Sei U ⊂ H0 (P1 , O(k)) ein echter Untervektorraum mit Z(U ) = ∅ ⊂ P1 .
Sei W := U · H0 (P1 , O(1)). Dann ist
dim W > dim U + 1.
Aus dem Hilfssatz können wir folgern: Angenommen Z(U ) = ∅ ⊂ P1 . Dann folgt aus
dem Hilfssatz, daß dim(U ·H0 (P1 , O(1))) > dim U +1 = d+1, also dim(U ·H0 (P1 , O(1))) =
dim H0 (P1 , O(k + 1)). Da H0 (P1 , O(l)) als Ring von H0 (P1 , O(1)) erzeugt wird, folgt
W = H0 (P1 , O(d)), ein Widerspruch zu dim W ≤ d. Damit muß ein ξ ∈ P1 mit ξ ∈ Z(U )
existieren. Da Z(U ) ⊂ Z(H|η ) folgt, Z(H|η ) 6= ∅ ⊂ P1 , also η ∈ C. Es folgt, daß C eine
projektive Untervarietät von Pd ist. Es bleibt damit, den Hilfssatz zu beweisen:
Beweis. Wir machen zunächst folgende Beobachtung: Sei V ⊂ H0 (P1 , O(k)) ein Untervektorraum homogener Polynomen von einem Grad k. Sei ξ ∈ P1 ein Punkt. Dann
können wir jedem Polynom f ∈ V seine Nullstellenordnung ordξ (f ) an ξ zuordnen, welche folgendermaßen definiert ist: Sei x ∈ H0 (P1 , O(1)) mit {ξ} = Z(x). (So ein x ist bis
auf ein Vielfaches eindeutig.) Dann ist ordξ (f ) die größte nicht negative ganze Zahl o,
so daß f durch xo teilbar ist. Wir setzen
Ordξ (V ) = {ordξ (f ) | f ∈ V \ {0}}.
Dann ist |Ordξ (V )| = dim V . Dies folgt per Induktion über dim V , denn ist f ∈ V \ {0},
so daß ordξ (f ) minimal ist, so existiert eine Hyperebene H durch den Ursprung von V
mit ordξ (g) > ordξ (f ) für g ∈ H \ {0}.
Kehren wir zum Beweis des Hilfssatzes zurück. Sei ξ ∈ P1 ein Punkt. Wir wählen x, y ∈
0
H (P1 , O(1))\{0} mit ξ ∈ Z(x), aber ξ ∈
/ Z(y). Sei n := dim U . Nach den vorhergehenden
Überlegungen ist |Ordξ (U )| = n. Da ξ ∈
/ Z(U ) muß außerdem 0 ∈ Ordξ (U ) gelten. Wir
nehmen an, daß dim W ≤ n + 1. Es folgt, daß |Ordξ (W )| ≤ n + 1. Wegen
Ordξ (W ) ⊃ Ordξ (yU ) ∪ Ordξ (xU ) = Ordξ (U ) ∪ (Ordξ (U ) + 1)
folgt Ordξ (U ) = {0, 1, . . . , n − 1} und damit Ordξ (W ) = {0, . . . , n}. Insbesondere können wir eine Basis (f1 , . . . , fn ) von U mit ordξ (fi ) = n − i finden. Die drei Polynome
xf1 , yf1 , xf2 ∈ W haben Verschwindungsordnung an ξ von mindestens n − 1. Damit
muß eine nicht triviale lineare Relation zwischen den Polynomen existieren. Da wegen
ordξ (xf1 ) > ordξ (yf1 ) die ersten beiden Polynome linear unabhängig sind, muß folglich
14
xf2 eine Linearkombination von xf1 und yf1 sein. Damit haben f1 und f2 den gemeinsamen Faktor x−1 f1 ∈ H0 (P1 , O(d − 1)). Im nächsten Schritt betrachten wir die fünf Polynome xf1 , yf1 , xf2 , yf2 , xf3 ∈ W , welche Verschwindungsordnung an ξ von mindestens
n − 2 haben. Damit müssen zwei unabhängige lineare Relationen zwischen den Polynomen existieren. Da xf1 , yf1 , xf2 , yf2 wieder aus Gründen der Verschwindungsordnung an
ξ einen (mindestens) dreidimensionalen Unterraum aufspannen, muß folglich xf3 eine Linearkombination von xf1 , yf1 , xf2 und yf2 sein. Es folgt, daß f1 , f2 , f3 den gemeinsamen
Faktor x−2 f1 ∈ H0 (P1 , O(d − 2)) haben. Indem wir auf diese Art und Weise fortfahren,
erhalten wir, daß f1 , . . . , fn einen gemeinsamen Faktor g ∈ H0 (P1 , O(d − n + 1)) haben.
Insbesondere ist Z(g) ⊂ Z(U ). Da K algebraisch abgeschlossen ist, ist Z(g) = ∅ nur,
wenn d − n + 1 = 0, also n = d + 1, da Hyperflächen (Fall d − n + 1 > 0) immer Punkte
enthalten. Dies ist ein Widerspruch dazu, daß U ein echter Unterraum von H0 (P1 , O(d))
ist. Damit muß also dim W > n + 1 sein.
Beispiel 1.43. Betrachten wir die getwistete Kubik, also die rationale Normkurve C in P3 .
Sei (x, y) eine Basis von H0 (P1 , O(1)). Dann bilden z0 := x3 , z1 := x2 y, z2 := xy 2 , z3 := y 3
eine Basis von H0 (Pd , O(1)).
Eine Basis von Λ2 H0 (P1 , O(1)) ist durch (x ∧ y), eine Basis von Λ2 H0 (P1 , O(2)) ist
durch (x2 ∧xy, x2 ∧y 2 , xy ∧y 2 ) gegeben. Eine Erzeugendensystem von F1 ist damit durch
q0 := z0 z2 − z12 ,
q1 := z0 z3 − z1 z2 ,
q2 := z1 z3 − z22
gegeben. Damit ist also C = Z(q0 , q1 , q2 ), ein Schnitt dreier Quadriken.
Aufgabe 1.44. Für λ = (λ0 , λ1 , λ2 )> ∈ K 3 mit λ 6= 0 definiere qλ := q0 λ0 + q1 λ1 + q2 λ2 .
Seien λ, µ ∈ K 3 \ {0} mit λ 6= µ. Zeige, daß Z(qλ ) ∩ Z(qµ ) die Vereinigung von C mit
einer Geraden Lλµ ist.
Insbesondere ist C nicht das Nullstellengebilde von je zwei der drei quadratischen
Polynome q0 , q1 , q2 .
Definition 1.45. Eine rationale Normkurve in Pd ist eine zu C projektiv äquivalente
Untervarietät.
Es folgt, daß bezüglich der Basen (x, y) und (z0 , . . . , zd ) von oben von H0 (P, O(1))
und H0 (P1 , O(d)) = H0 (Pd , O(d)) eine beliebige rationale Normkurve in Pd durch das
Bild einer Abbildung
(x : y) 7→ (h0 (x, y) : · · · : hd (x, y))
gegeben ist, wobei die hi eine Basis der homogenen Polynome vom Grad d in x, y bilden.
Aufgabe 1.46. Sei Z ⊂ C eine endliche Teilmenge von Punkten auf einer getwisteten
Kubik C ⊂ P3 . Zeige, daß Z in allgemeiner Lage ist, das heißt, daß je vier Punkte auf
der getwisteten Kubik den P3 aufspannen.
Aufgabe 1.47. Zeige, daß je d + 1 Punkte auf einer rationalen Normkurve C im Pd
unabhängig sind. Was hat das mit der Vandermondeschen Determinanten zu tun?
15
Aufgabe 1.48. Sei C ⊂ P3 eine getwistete Kubik. Seien ξ1 , . . . , ξ7 ∈ C paarweise verschiedene Punkte. Sei
Q := {q ∈ H0 (P3 , O(2)) | ξ1 , . . . , ξ7 ∈ Z(q)}.
Zeige, daß C = Z(Q).
Aufgabe 1.49. Sei C ⊂ Pd eine rationale Normkurve. Sei k ≥ 2. Seien ξ1 , . . . , ξkd+1 ∈ C
paarweise verschiedene Punkte. Sei F ∈ H0 (Pd , O(k)) mit ξi ∈ Z(F ) für alle i. Zeige,
daß C ⊂ Z(F ).
Wir beschreiben eine weitere Möglichkeit, die Punkte einer rationalen Normkurve zu
parametrisieren. Dazu wählen wir zunächst µ0 , . . . , µd , ν 0 , . . . , ν d ∈ K, so daß bezüglich
der Basis (x, y) die Punkte ξ i := (µi : ν i ) ∈ P1 wohldefiniert und paarweise verschieden
Q
sind. Seien `i := µi y − ν i x und hi :=
`j . Dann ist ξ i ∈ Z(`j ) genau dann, wenn
j6=i
i = j. Also ist ξ i ∈ Z(hj ) genau dann, wenn i 6= j. Wir behaupten, daß (h0 , . . . , hd ) eine
P
Basis von H0 (Pd , O(1)) ist. Sei etwa hi αi = 0 eine nicht triviale Linearkombination.
i
Auswerten an (x : y) = (µi : ν i ) liefert αi = 0. Damit ist
v : P1 → Pd ,
(x : y) 7→ (h0 (x, y) : · · · : hd (x, y))
eine rationale Normkurve. Mit
i := (0 : . . . : 1 : . . . : 0) ∈ Pd
(die 1 steht an der i-ten Stelle, beginnend bei 0 gezählt) bezeichnen wir die Koordinatenpunkte von Pd (bezüglich der Basis zi ). Dann ist v(ξ i ) = i , das heißt diese rationale
Normkurve geht durch die Koordinatenpunkte. Seien außerdem µi , ν i 6= 0. Dann gelten
1
1
: ··· : d
v((1 : 0)) =
0
ν
ν
und
!
v((0 : 1)) =
1
1
: ··· : d .
0
µ
µ
Seien umgekehrt η 0 , . . . , η d+2 insgesamt d + 3 Punkte in allgemeiner Lage in Pd . Bis
i
i
d+1
auf projektive
=
Äquivalenzkönnen wir davon ausgehen, daß η = für i ≤ d, η
1
1
1
1
d+2
i
i
= µ0 : · · · : µd mit µ , ν ∈ K wie eben. Es folgt aus der obigen
: · · · : ν d und η
ν0
Konstruktion, daß eine rationale Normkurve durch die Punkte η 0 , . . . , η d+2 geht. Diese
ist außerdem eindeutig: Sei
v : P1 → Pd ,
(x : y) 7→ (h0 (x, y) : . . . : hd (x, y))
eine Parametrisierung einer solchen rationalen Normkurve. Bis auf Umparametrisierung
in P1 können wir davon ausgehen, daß v((1 : 0)) = η d+1 und v((0 : 1)) = η d+2 . Sind
die ξ i ∈ P1 dann diejenigen Punkte mit v(ξ i ) = i , so folgt, daß wir für die hi genau
dieselben Ausdrücke in den ξ j wie oben wählen können. Wir haben damit bewiesen:
16
Satz 1.50. Durch je d + 3 Punkte in allgemeiner Lage in Pd geht genau eine rationale
Normkurve.
Beispiel 1.51. Wir wollen den Satz im Falle d = 2 genauer studieren. In diesem Falle
ist eine rationale Normkurve C ⊂ P2 durch die Verschwindungsmenge eines quadratischen Polynoms q ∈ H0 (P2 , O(2)) gegeben. Da auf einer rationalen Normkurve in P2
je 3 Punkte unabhängig sind, darf ein solches q nicht in ein Produkt linearer Faktoren
zerfallen.
Zwei verschiedene quadratische Polynome q, q 0 ∈ H0 (P2 , O(2)) mit q = q 0 α für ein
α ∈ K × definieren offensichtlich dieselbe Verschwindungsmenge, das heißt wir kön∨
nen jedem Punkt [q] im projektiven Raum P := P(H0 (P2 , O(2)) ) eine wohldefinierte
Verschwindungsmenge Z(q) ⊂ P2 zuordnen. Ein Element in P nennen wir einen Kegelschnitt oder eine ebene Quadrik. Sei η ∈ P2 ein Punkt. Dann bilden die Kegelschnitte
[q] mit η ∈ Z(q) eine Hyperebene Hη in P. Da sich je fünf Hyperebenen in P wegen
dim P = 5 in mindestens einem Punkt schneiden müssen, existiert für gegebene fünf
Punkte η1 , . . . , η5 ∈ P2 ein Kegelschnitt [q] ∈ P mit ηi ∈ Z(q) für i = 1, . . . , 5. Sind
die fünf Punkte in allgemeiner Lage, so ist Z(q) eine durch die ηi eindeutig bestimmte
rationale Normkurve. Da keine 3 Punkte auf einer Geraden liegen, darf in diesem Falle
q nicht in ein Produkt aus linearen Faktoren zerfallen. Wir nennen einen solchen Kegelschnitt glatt. Die folgende Aufgabe sagt aus, daß insbesondere der Kegelschnitt [q]
eindeutig bestimmt ist. Es zeigt sich so, daß die glatten Kegelschnitte genau den rationalen Normkurven in P2 entsprechen, denn zerfällt q nicht in ein Produkt aus linearen
Faktoren, so können keine drei Punkte in Z(q) auf einer Geraden liegen.
Aufgabe 1.52. Seien η1 , . . . , η5 ∈ P2 fünf Punkte, von denen keine vier auf einer Geraden liegen. Zeige, daß sich dann die Hηi , i = 1, . . . , 5, in genau einem Punkt in
∨
P = P(H0 (P2 , O(2)) ) schneiden.
1.7 Affine Räume
Am Ende dieses Kapitels führen wir schließlich noch den Begriff des affinen Raumes ein.
Dazu definieren wir zunächst den Begriff eines Vektorraumes mit Eins: Ein Vektorraum
mit Eins ist ein Paar W = (W, 1W ) bestehend aus einem Vektorraum W und einem
Vektor 1W ∈ W mit 1W 6= 0. Besteht keine Gefahr einer Verwechslung mit dem Körperelement 1 ∈ K, so schreiben wir auch 1 = 1W . Eine lineare Abbildung f : W → W 0
zwischen Vektorräumen mit Eins ist eine lineare Abbildung f zwischen den zugrundeliegenden Vektorräumen mit f (1W ) = 1W 0 .
Beispiel 1.53. Der Vektorraum K ist in kanonischer Weise ein Vektorraum mit Eins
indem wir 1K := 1 setzen.
Ist W ein Vektorraum mit Eins, so existiert genau eine lineare Abbildung f : K → W
von Vektorräumen mit Eins, nämlich f : α 7→ 1W α. Umgekehrt definiert eine lineare
Abbildung f : K → W zwischen Vektorräumen auf W die Struktur eines Vektorraumes
mit Eins, indem wir 1W := f (1) setzen. In dem, was folgt, wird W ein Vektorraum von
Funktionen sein. Die Funktion 1W ist dann die konstante Funktion 1. Ein Vektorraum
mit Eins ist ein Vektorraum, in dem eine Koordinatenachse ausgezeichnet ist.
17
Beispiel 1.54. Ist U ein Vektorraum, so ist W := K ⊕ U durch die Setzung 1W = (1, 0)
in kanonischer Weise ein Vektorraum mit Eins.
Definition 1.55. Sei W = (W, 1) ein Vektorraum mit Eins. Dann heißt die Teilmenge
A(W ) := A(W, 1) := {ξ ∈ W ∨ | hξ, 1W i = 1} ⊂ W ∨
der affine Raum zu W . Elemente in A(W ) heißen Punkte.
Ist A ein affiner Raum zu W , so schreiben wir auch
K = F0 H0 (A, O)
und
W = F1 H0 (A, O).
Die Menge A(W ) ist ein affiner Teilraum von W ∨ , das heißt sind ξ 1 , . . . , ξ n ∈ A(W )
und a1 , . . . , an ∈ K mit a1 + · · · + an = 1, so ist auch
n
P
i=1
ai ξ i ∈ A(W ), das heißt A(W )
ist abgeschlossen unter affinen Linearkombinationen.
Im Falle von W = K ⊕ K n schreiben wir auch
An := A(K ⊕ K n ).
Ist ξ = (ξ0 , . . . , ξn ) ∈ An ⊂ Kn+1 , so muß ξ0 = 1 gelten. Wir schreiben daher
ξ = (ξ1 , . . . , ξn )
und nennen die ξi die affinen Koordinaten von ξ. Im Gegensatz zu projektiven Koordinaten sind diese eindeutig bestimmt.
Sei H0 (A, O) der von allen formalen Produkten der Form w1 · · · wd mit d ∈ N0 , wi ∈ W
erzeugte (im allgemeinen nicht endlich-dimensionale) Vektorraum, wobei die Relationen
w · w0 = w0 · w,
(w + w0 ) · w00 = w · w00 + w0 · w00 ,
(wα) · w0 = (ww0 ) · α
und
1W · w = w
für alle w, w0 , w00 ∈ W , α ∈ K gelten sollen. Mit Fi H0 (A, O) bezeichnen wir den Unterraum, welcher von allen Produkten w1 · · · wd mit d ≤ i erzeugt wird. Elemente in
H0 (A, O) können wir miteinander multiplizieren, der Vektorraum wird damit zu einer
(kommutativen) K-Algebra.
18
Bemerkung 1.56. Die Algebra H0 (A, O) können wir auch durch
0
H (A, O) =
∞
M
!
d
S W /(1W − 1)
d=0
definieren, wobei (1W − 1) das von 1W − 1 in der symmetrischen Algebra erzeugte Ideal
ist.
Beispiel 1.57. Ist 1W , w1 , . . . , wn eine Basis von W , so ist
∼
K[w1 , . . . , wn ] → H0 (A, O),
wi 7→ wi
ein Isomorphismus von K-Algebren. Die Algebra H0 (A, O) ist also immer isomorph zu
einer Polynomalgebra.
Sei ξ ∈ A ein Punkt im affinen Raum. Dann existiert genau eine lineare Abbildung
H0 (A, O) → K,
f 7→ f (ξ)
mit (w1 · · · wn )(ξ) = hξ, w1 i · · · hξ, wn i für alle d ∈ N0 , wi ∈ W . Jedes Element f ∈
H0 (A, O) definiert also eine Funktion
A → K,
ξ 7→ f (ξ).
Eine solche Funktion nennen wir eine reguläre Funktion auf A.
Definition 1.58. Ist f ∈ H0 (A, O), so heißt die Teilmenge
Z(f ) := {ξ ∈ A | f (ξ) = 0}
die Verschwindungsmenge von f . Ist allgemeiner F ⊂ H0 (A, O) eine Teilmenge, so heißt
Z(F ) =
\
Z(f )
f ∈F
die Verschwindungsmenge von F . Im Falle einer endlichen Menge F = {f1 , . . . , fr }
schreiben wir wieder
Z(f1 , . . . , fr ) = Z(f1 ) ∩ · · · ∩ Z(fr ).
Teilmengen von A der Form Z(F ) heißen affine Untervarietäten in A. Ein Element
f ∈ F heißt Gleichung von Z(F ).
Bemerkung 1.59. Genau wie im Falle projektiver Untervarietäten zeigt man, daß genau
eine Topologie auf A existiert, bezüglich der die abgeschlossenen Teilmengen gerade die
affinen Untervarietäten sind. Diese Topologie heißt die Zariski-Topologie auf A.
Im Falle von K = C ist diese wieder von der analytischen Topologie zu unterscheiden.
19
Wichtige Beispiele für affine Räume kommen aus der projektiven Geometrie: Sei dazu
P ein projektiver Vektorraum. Sei H ⊂ P eine Hyperebene gegeben durch H = Z(L),
wobei L eine Ursprungsgerade in H0 (P, O(1)) ist. Mit W := L−1 H0 (P, O(1)) bezeichnen
wir dann den Vektorraum der linearen Abbildungen von L nach H0 (P, O(1)). Indem wir
1W : L → H0 (P, O(1)), v 7→ v setzen, versehen wir L−1 H0 (P, O(1)) mit der kanonischen
Struktur eines Vektorraumes mit Eins. Damit ist A := A(L−1 H0 (P, O(1))) ein affiner
Raum. Sei s ∈ L ein beliebiger von Null verschiedener Vektor, also L = sK und H =
Z(s). Wir behaupten, daß
P \ H → A,
−1
[λ] 7→ L
hλ, `(s)i
H (P, O(1)) → K, ` 7→
hλ, si
!
0
eine Bijektion ist. Dazu bemerken wir zunächst, daß die Abbildng wohldefiniert ist, denn
hλ,si
es ist hλ, si =
6 0, da [λ] ∈
/ H. Weiter ist hλ,si
= 1. Da sich zwei bestimmte Wahlen von
×
λ nur um einen Skalar aus K unterscheiden, folgt weiter, daß die Abbildung von der
Wahl von λ unabhängig ist. Ebenso ist die Abbildung von der Wahl von s unabhängig.
Wir bekommen also eine kanonische Abbildung P \ H → A. Es bleibt zu zeigen, daß sie
bijektiv ist. Dazu geben wir eine Umkehrung an:
A → P \ H,
ξ 7→ [λξ ]
an. Hierbei ist λξ : H0 (P, O(1)) → K wie folgt definiert: Wähle zunächst ein φ ∈ L∨ \{0}.
Sei v ∈ H0 (P, O(1)) beliebig. Dann sei
λξ (v) := ξ(v · φ).
Vermöge dieser Bijektion werden wir Punkte in A damit mit den Punkten in P \ H
identifizieren und schreiben daher A = P \ H.
Sei weiterhin s ∈ L \ {0}. Für v ∈ H0 (P, O(1)) ist
v
: L → H0 (P, O(1))
s
diejenige lineare Abbildung mit vs (s) = v. Diese Abbildung induziert eine lineare Abbildung
v1
vd
H0 (P, O(d)) → H0 (A, O), v1 · · · vd 7→
··· ,
s
s
f
welche wir f 7→ sd schreiben. Diese Abbildung ist ein Isomorphismus auf Fd H0 (A, O).
Die Umkehrung ist durch
Fd H0 (A, O) → H0 (P, O(d)),
w1 · · · wd 7→ w1 (s) · · · wd (s)
gegeben, wobei die wi Elemente in L−1 H0 (P, O(1)), also lineare Abbildungen L →
H0 (P, O(1)) sind. Ist ξ = [λ] ∈ P \ H und fassen wir ξ als Punkt in A auf, so ist
f
f (λ)
(ξ)
=
.
sd
sd (λ)
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Beispiel 1.60. Sei (z0 , . . . , zn ) eine Basis von H0 (P, O(1)), so daß L = z0 K. Damit können
wir s = z0 wählen. Es bilden wi := zz0i mit i = 0, . . . , n eine Basis von F1 H0 (A, O).
Außerdem ist
z1
zn
H0 (A, O) = K
,...,
.
z0
z0
Die behauptete Isomorphismus ist durch
H0 (P, O(d)) = K[z0 , . . . , zd ] → Fd H0 (A, O),
f 7→ f 1,
zn
z1
,...,
z0
z0
gegeben.
Sei F ⊂ H0 (P, O(d)) ein Untervektorraum von Polynomen vom Grad d. Dann ist
(
F |A =
f
|f ∈F
sd
)
⊂ Fd H0 (A, O)
ein Untervektorraum, welcher unabhängig vom gewählten s ∈ L\{0} ist. Wir nennen F |A
die Einschränkung von F auf A. Nach den vorangegangenen Überlegungen existiert zu
jedem Untervektorraum G ⊂ Fd H0 (A, O) genau ein Untervektorraum F ⊂ H0 (P, O(d))
mit F |A = G. Wir nennen F die Homogenisierung von G. Es gilt dann
A ∩ Z(F ) = Z(F |A ),
denn ist ξ = [λ] ∈ A, so ist
f (λ) = 0 ⇐⇒
f
(ξ) = 0.
sd
Daraus können wir folgern, daß die Menge der affinen Untervarietäten von A gerade die
Menge der Schnitte der projektiven Untervarietäten von P mit A ist.
Bemerkung 1.61. Sei n = dim P. Wählen wir n+1 unabhängige Hyperebenen H0 , . . . , Hn
in P (das heißt die assoziierten Punkte im dualen projektiven Raum P∨ sind unabhängig),
so ist H0 ∩ · · · ∩ Hn = ∅, das heißt der projektive Raum P wird von n + 1 affinen Räumen
überdeckt, nämlich von den P \ Hi . Wir können eine Basis (z0 , . . . , zn ) von H0 (P, O(d))
wählen, so daß Hi = Z(zi ). Wir schreiben Ai := P \ Hi . Sei Z ⊂ P eine Teilmenge, so daß
Ai ∩Z für alle i eine affine Untervarietät von Ai ist. Wir behaupten, daß daraus folgt, daß
Z eine projektive Untervarietät von P ist: Zunächst ist Ai ∩ Z als affine Untervarietät
der Schnitt von Ai mit einer projektiven Untervarietät Zi von P. Indem wir von Zi
eventuell auf Zi ∪ Hi übergehen, können wir davon ausgehen, daß Hi ⊂ Zi . Dann ist
Z = Z0 ∩ · · · ∩ Zn , denn der Schnitt der rechten Seite mit Ai ist Ai ∩ Z und die Ai
überdecken P. Wir sagen daher auch, daß eine Teilmenge von P, welche lokal eine affine
Varietät ist, eine projektive Untervarietät ist.
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