Blatt 1 - Fachrichtung Mathematik
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UNIVERSITÄT DES SAARLANDES
Fachrichtung 6.1 (Mathematik)
Prof. Dr. Mark Groves
Benedikt Hewer
Lineare Algebra 2, SS 2017
Übungsblatt 1
1. Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K mit Charakteristik 6= 2.
(a) Eine Bilinearform b auf V heißt schiefsymmetrisch, falls b(v1 , v2 ) = −b(v2 , v1 ) für alle
v1 , v2 ∈ V . Zeigen Sie:
(i) b ist genau dann schiefsymmetrisch, wenn b alternierend ist, d.h. b(v, v) = 0 für alle
v ∈V.
(ii) Jede Bilinearform auf V hat eine eindeutige Darstellung b = b1 + b2 , wobei b1 eine
symmetrische und b2 eine schiefsymmetrische Bilinearform auf V ist.
Nun sei dim V < ∞. Wie sind die Gram-Matrizen einer schiefsymmetrischen Bilinearform
auf V charakterisiert?
(b) Eine Bilinearform b auf V heißt nicht ausgeartet, falls
b(v, w) = 0 für alle w ∈ V
⇒
v = 0.
Es sei dim V < ∞. Wie sind die Gram-Matrizen einer nicht ausgearteten Bilinearform auf
V charakterisiert?
2. Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K und b eine symmetrische Bilinearform
auf V . Zwei Vektoren v1 , v2 ∈ V heißen orthogonal bezüglich b, falls b(v1 , v2 ) = 0 (wobei
Vektoren durchaus orthogonal zu sich selbt sein können), und das orthogonale Komplement
eines Unterraums W ist der Unterraum
W ⊥ = {v ∈ V : b(v, w) = 0 für alle w ∈ W }.
(a) Es sei W einen Unterraum von V mit dim V < ∞. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen
äquivalent sind:
(i) b|W ist nicht ausgeartet,
(ii) W ∩ W ⊥ = {0},
(iii) V = W ⊕ W ⊥ .
(b) Nun sei b nicht ausgeartet und W einen Unterraum von V mit dim V < ∞.
(i) Zeigen Sie: dim W + dim W ⊥ = dim V und (W ⊥ )⊥ = W .
(ii) Finden Sie ein Beispiel für V , b und W , so dass W ⊕ W ⊥ 6= V ist.
3. Es seien V ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper K mit Charakteristik
6= 2 und b eine symmetrische Bilinearform auf V .
(a) Zeigen Sie, dass V eine (bezüglich b) orthogonale Basis hat, d.h. eine Basis {e1 , . . . , en }
mit b(ei , ej ) = 0 für i 6= j.
Finden Sie eine orthogonale Basis für die Bilinearform auf Q3 mit Gram-Matrix
1 2 1
2 1 2
1 2 0
bezüglich der üblichen Basis.
(b) Nun sei b schiefsymmetrisch und nicht ausgeartet. (Eine solche Bilinearform heißt symplektisch.) Zeigen Sie, dass dim V gerade ist. Zeigen Sie ferner, dass V eine Darboux-Basis
hat, d.h. eine Basis {e1 , . . . , en , f1 , . . . , fn } mit b(ei , ej ) = 0, b(fi , fj ) = 0 und b(ei , fj ) = δij .
4. Es sei A eine positiv semidefinite, symmetrische Matrix in Rn×n \ {0}. Beweisen Sie, dass
Rang A die kleinste natürliche Zahl r mit A = QQT für irgendeine n × r Matrix Q ist.
Finden Sie eine solche Matrix Q für
9 6 3
A = 6 5 0 .
3 0 5
