¨Ubungsklausur Lineare Algebra

Übungsklausur Lineare Algebra
Sommersemester 2010
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
• Diese Übungsklausur ist sehr lang (gut zum Üben). In der richtigen Klausur finden Sie
eine Multiple Choice aufgabe (16P) und 5 weitere Aufgaben. Zwei davon zum Rechnen
und 3 kleine Beweisaufgaben.
• In die Gesamtnote geht dieser Klausurteil zu 40% ein.
• Hilfsmittel: ein handbeschriebenes A4 Blatt, Schreibgerät, Kopf zum Nachdenken.
• Wenn Sie ein Resultat aus der Vorlesung verwenden wollen, geben sie dessen Namen (falls
es einen hat) oder dessen genaue Aussage an!
Aufgabe 1
(0–20 Punkte)
Beantworten Sie die folgenden Fragen. Für jede richtige Antwort erhalten Sie zwei Punkte,
für jede falsche, zwei Minuspunkt, insgesamt werden allerdings keine Minuspunkte vergeben. In
jeder Frage ist genau eine Antwort richtig.
(1) Ist die Summe zweier Vektorraum-Isomorphismen stets wieder ein Vektorraum-Isomorphismus?
Ja
Nein
(2) Es seien L, M, N Mengen und f : L → M und g : M → N Abbildungen. Welche der
folgenden Aussagen ist falsch?
Wenn g ◦ f surjektiv ist, so ist auch g surjektiv.
Wenn g surjektiv ist, so ist auch g ◦ f surjektiv.
Wenn g ◦ f bijektiv ist, ist g surjektiv.
(3) Wie viele Untervektorräume hat der
2
3
0
R-Vektorraum R2?
unendliche viele
(4) Es seien V , W endlich-dimensionale Vektorräume über einem Körper K und ϕ : V → W
eine lineare Abbildung. Ferner sei U ⊂ V ein Untervektorraum, so dass ϕ(U) = 0 gilt.
Was lässt sich in dieser Situation über den Rang von ϕ allgemein sagen?
rang(ϕ) ≥ dim U
rang(ϕ) ≤ dim U
rang(ϕ) = dim U
rang(ϕ) ≥ dim V − dim U
rang(ϕ) ≤ dim V − dim U
rang(ϕ) = dim V − dim U
Es lässt sich keine allgemeine Aussage treffen.
(5) Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Untervektorraum von V . Ferner
seien v1 , v2 ∈ V so gewählt, dass v1 + v2 ∈ U gilt. Was lässt sich in dieser Situation über
v1 und v2 sagen?
Es gilt stets v1 , v2 ∈ U.
1
Es ist sowohl möglich, dass v1 , v2 ∈ U gilt, als auch, dass dies nicht der Fall ist.
Es gilt niemals v1 , v2 ∈ U.
 
0
(6) Berechnen Sie das Matrixprodukt 1 2 3 1 =
2
Ergebnis bitte eintragen
(7) Welcher der folgenden Matrizen sind zueinander äquivalent? (Zur Erinnerung: Zwei Matrizen A und B gleicher Zeilen und Spaltenzahl heissen äquivalent, wenn es invertierbare
Matrizen S und T gibt, so dass B = SAT gilt.)
1 0
0 0
1 1
0 0
1 0
0 0
1 0
0 1
1 1
1 1
0 0
0 0
und
und
und
(8) Welche der folgenden Mengen ist ein Untervektorraum?
Die Lösungsmenge L ⊂ R4 des Gleichungssystem
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x2 + x3 − x4 = 0
x3 + x4 = 0
{(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x2 ≤ x3 } ⊂ R3 .
{f (x) ∈ R[x]≤3 |f (0) = 0, f 0 (1) = 0} ⊂ R[x]≤3 .
(9) Welche der folgenden Aussagen über die Determinante ist richtig?
Die Determinante det : M(n × n, K ) → K ist eine lineare Abbildung.
Es sei A ∈ M(n × n, K ). Ist det(A) = 0 so gilt rang(A) < n.
Es seien A, B ∈ M(n × n, K ). Dann ist det(A + B) = det(A) + det(B).
(10) Welche der folgenden Abbildungen ist keine lineare Abbildung?
f : R2 → R3 mit f (x1 , x2 ) = (2x1 , 17x2 + 4x1 , 0).
f : R → R mit f (x) = −x + 1.
√
P
P
ev√2 : R[x]≤4 → R[x]≤4 mit ev√2 ( 4i=0 ai x i ) = 4i=0 ai ( 2)i .
2
Aufgabe 2
(1+2+2 Punkte)
Es sei die Matrix


1 a 2

A = 0 −1 1
1 2 b
mit einträgen in K gegeben.
(1) Bestimmen Sie die Determinante von A.
(2) Berechnen Sie den Rang von A in Abhängigkeit von a und b.
(3) Bestimmen
 Sie
 im Fall a = b die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = d
0

mit d = 1.
c
Aufgabe 3
Es sei ϕ :
Matrix
(2+2 Punkte)
R4 → R4 die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis des R4 durch die

1
2
A=
1
4

2 5
2
3 6
2

0 −3 −2
5 8
2
gegeben ist.
(1) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von ϕ.
(2) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes von ϕ.
Aufgabe 4
(3 Punkte)
Beweisen Sie die folgende Aussage:
Es sei V ein endlich-dimensionaler K -Vektorraum und U ein Untervektorraum. Falls
dim U = dim V ist, dann gilt U = V .
Beachten Sie, das zitieren des entsprechenden Resultats aus der Vorlesung gilt nicht als Beweis.
3
Aufgabe 5
(2+2 Punkte)
Sei V der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad ≤ 4 mit der Basis {1, x, x 2 , x 3 , x 4 }
∂
: V → V , welche ein Polynom auf seine
(1) Erstellen Sie für die Ableitungsabbildung ∂x
Ableitung sendet, die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
(2) Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
Aufgabe 6
(2+2+2 Punkte)
Wir betrachten die lineare Abbildung
ϕ : R3 → R3 ; (x1 , x2 , x3 ) 7→ (2x1 + x2 + x3 , x1 + x2 − x3 , x1 − 2x2 − x3 )
und bezeichnen mit A die Standardbasis von

R3 und setzen
 
 

1
0
1





,
,
B := { 1
2 }
1
−2
−2
−1
(1) Zeigen Sie, dass B eine Basis von R3 ist, und berechnen Sie die Basiswechselmatrizen S
A (ϕ) = SM B (ϕ)T
und T , so dass MA
B
(2) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der Basis A, d.h. bestimmen Sie
A (ϕ)
MA
(3) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bezüglich der Basis B, d.h. bestimmen Sie
MBB (ϕ)
Aufgabe 7
(2+2+3 Punkte)
Es sei K ein Körper und es sei V ein endlichdimensionaler K -Vektorraum. Es sei
ϕ : V −→ V
eine nilpotente lineare Abbildung, d.h. ϕn = 0 für ein n ∈ N.
(1) Bestimmen sie die Determinante von ϕ.
(2) Zeigen Sie die Inklusion ker ϕi ⊆ ker ϕi+1 für alle i ≥ 0.
(3) Beweisen Sie, ϕi = 0 für alle i ≥ dim V .
4
Aufgabe 8
(2+2 Punkte Punkte)
Es sei M eine n × n Matrix bei der in jeder Zeile und in jeder Spalte eine genau eine 1 und
sonst nur Nullen stehen.
(1) Geben Sie eine Liste der möglichen Matritzen M an im Fall n = 3. Berechnen Sie jeweils
die Determinante.
(2) Für allgemeines n zeigen Sie, dass (det M) = 1.
5