Theorie der quadratischen Formen - Fakultät für Mathematik, TU

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Detlev Hoffmann
Sven Wagner
Sommersemester 2016
Übungsblatt 1
15.04.2016
Theorie der quadratischen Formen
Alle hier betrachteten Körper haben Charakteristik ungleich 2.
Aufgabe 1.1:
Sei F ein Körper.
(a) Sei V ein F –Vektorraum. Zeigen Sie, dass die Abbildung
{q : V → F | q quadratische Form} −→ {b : V × V → F | b symmetrische Bilinearform},
q 7−→ bq ,
eine Bijektion mit inverser Abbildung
{b : V × V → F | b symmetrische Bilinearform} −→ {q : V → F | q quadratische Form},
b 7−→ (qb : V → F, x 7→ b(x, x)),
ist.
(b) Seien (V1 , b1 ) und (V2 , b2 ) symmetrische Bilinearräume mit n := dim V1 = dim V2 < ∞. Sei
A1 : e1 , . . . , en eine Basis von V1 und A2 : f1 , . . . , fn eine Basis von V2 .
Zeigen Sie: Existiert eine Matrix S ∈ GLn (F ) mit Bb1 ,A1 = S T Bb2 ,A2 S, so gilt (V1 , b1 ) ∼
=
(V2 , b2 ).
Definition:
Ein symmetrischer Bilinearraum (V, b) heißt anisotrop, falls b(x, x) 6= 0 für alle x ∈ V \ {0}. Wir
fassen damit auch 0–dimensionale symmetrische Bilinearräume als anisotrop auf.
Aufgabe 1.2: (Gram–Schmidt–Orthogonalisierungsverfahren)
Sei (V, b) ein anisotroper symmetrischer Bilinearraum über einem Körper F mit n := dim V < ∞.
Man betrachte das folgende Verfahren:
Sei e1 , . . . , en eine Basis von V .
(1) Setze f1 := e1 .
b(ei ,f1 )
(2) Setze fi := ei − b(f
f1 für i ∈ {2, . . . , n}. Dann gilt b(f1 , fi ) = 0 für alle i ∈
1 ,f1 )
{2, . . . , n}, also f1 ⊥ U1 , wobei U1 der von f2 , . . . , fn erzeugte Untervektorraum
von V ist, und f1 , . . . , fn ist eine Basis von V .
(3) Der symmetrische Bilinearraum (U1 , b1 ), wobei b1 := b|U1 , ist anisotrop.
(a) Zeigen Sie: Jeder anisotrope symmetrische Bilinearraum ist nicht ausgeartet.
(b) Beweisen Sie die in (2) und (3) getätigten Aussagen.
(c) Zeigen Sie per vollständiger Induktion nach n = dim V , dass man unter Verwendung des
obigen Verfahrens eine Orthogonalbasis von (V, b) konstruieren kann.
(d) Sei nun F = R und V = R[X] oder V = R[X]n = {p ∈ R[X] | deg p ≤ n}, wobei n ∈ N0 . Zu
p ∈ R[X] sei gp die stetige Abbildung [0, 1] → R, a 7→ p(a). Sei
Z 1
b : V × V −→ R,
(p, q) 7−→
gp gq dx.
0
(i) Erläutern Sie kurz, warum b eine symmetrische Bilinearform und (V, b) anisotrop ist.
(ii) Zeigen Sie, dass 1 − X, X − 2X 2 , 4X + 4X 2 , 3 + 2X 3 eine Basis von R[X]3 ist.
(iii) Bestimmen Sie unter Verwendung des obigen Verfahrens ausgehend von der Basis e1 :=
1 − X, e2 := X − 2X 2 , e3 := 4X + 4X 2 , e4 := 3 + 2X 3 eine Orthogonalbasis von
(R[X]3 , b).
Aufgabe 1.3:
Sei (V, b) ein symmetrischer Bilinearraum über F .
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) (V, b) ist nicht ausgeartet.
(ii) ϕb ist injektiv.
(b) Falls dim V < ∞, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent zu den in (a) angegebenen
Aussagen.
(i) ϕb ist bijektiv.
(ii) Es existiert eine Basis A von V , sodass det Bb,A 6= 0.
(iii) Für jede Basis A von V gilt det Bb,A 6= 0.
Aufgabe 1.4:
Suchen Sie sich ein Buch über (lineare) Algebra, in dem das Tensorprodukt von Vektorräumen
definiert wird, und lesen Sie sich diese Definition durch.
Sei nun F ein Körper, und seien V und W zwei F –Vektorräume.
(a) Welche universelle Eigenschaft erfüllt die bilineare Abbildung
V × W −→ V ⊗F W,
(b)
(c)
(d)
(e)
(v, w) 7−→ v ⊗ w ?
Sind alle Elemente von V ⊗F W von der Form v ⊗ w mit v ∈ V und w ∈ W ?
Zeigen Sie, dass das Tensorprodukt bis auf Isomorphie eindeutig ist.
Zeigen Sie: V ⊗F W ∼
= W ⊗F V .
Seien V 0 und W 0 zwei weitere F –Vektorräume, und seien ϕ : V → V 0 und ψ : W → W 0 zwei
lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass dann durch
ϕ ⊗ ψ : V ⊗F W −→ V 0 ⊗F W 0 ,
v ⊗ w 7−→ ϕ(v) ⊗ ψ(w),
eine lineare Abbildung definiert wird.
Aufgabe 1.5:
Sei F ein Körper, und seien (V1 , b1 ) und (V2 , b2 ) zwei symmetrische Bilinearräume über F .
(a) Sei
b1 ⊗ b2 : (V1 ⊗F V2 ) × (V1 ⊗F V2 ) −→ F,


n
m
n X
m
X
X
X


x i ⊗ yi ,
vj ⊗ wj 7−→
b1 (xi , vj ) · b2 (yi , wj ),
i=1
j=1
i=1 j=1
wobei x1 , . . . , xn , v1 , . . . , vm ∈ V1 und y1 , . . . , yn , w1 , . . . , wm ∈ V2 .
Zeigen Sie, dass b1 ⊗ b2 eine (wohldefinierte) symmetrische Bilinearform ist.
(b) Seien (ei | i ∈ I) eine Basis von V1 und (fj | j ∈ J) eine Basis von V2 . Zeigen Sie, dass
(ei ⊗ fj | i ∈ I, j ∈ J) eine Basis von V1 ⊗F V2 ist. Zeigen Sie außerdem: Ist (ei | i ∈ I) eine
Orthogonalbasis von (V1 , b1 ) und ist (fj | j ∈ J) eine Orthogonalbasis von (V2 , b2 ), so ist
(ei ⊗ fj | i ∈ I, j ∈ J) eine Orthogonalbasis von (V1 ⊗F V2 , b1 ⊗ b2 ).
Abgabe bis Freitag, den 22. April, 10 Uhr (in der Vorlesung).