Planare Ordnungen und Dimension

Planare Ordnungen und Dimension
Veit Wiechert
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
123
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
123
12
13
23
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
123
12
13
23
3
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
123
12
13
23
2
3
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
123
12
13
23
1
2
3
Beispiel einer Partialordnung
Teilmengen von {1, 2, 3}, geordnet bezüglich ⊆ (Inklusion).
123
12
13
23
1
2
3
∅
Definition
Eine Partialordnung ist ein Paar (X , ≤), bestehend aus einer
Menge X und einer binären Relation ≤ auf X , die
I
reflexiv
I
antisymmetrisch
I
transitiv
ist.
Definition
Eine Partialordnung ist ein Paar (X , ≤), bestehend aus einer
Menge X und einer binären Relation ≤ auf X , die
I
reflexiv
I
antisymmetrisch
I
transitiv
ist.
Beispiele
I
ein Mengensystem M zusammen mit ⊆ (Inklusionsordnung)
Definition
Eine Partialordnung ist ein Paar (X , ≤), bestehend aus einer
Menge X und einer binären Relation ≤ auf X , die
I
reflexiv
I
antisymmetrisch
I
transitiv
ist.
Beispiele
I
I
ein Mengensystem M zusammen mit ⊆ (Inklusionsordnung)
Reelle Zahlen mit Relation ≤ (,,kleiner-gleich”)
Definition
Eine Partialordnung ist ein Paar (X , ≤), bestehend aus einer
Menge X und einer binären Relation ≤ auf X , die
I
reflexiv
I
antisymmetrisch
I
transitiv
ist.
Beispiele
I
I
I
ein Mengensystem M zusammen mit ⊆ (Inklusionsordnung)
Reelle Zahlen mit Relation ≤ (,,kleiner-gleich”)
Natürliche Zahlen mit der Teilbarkeits-Relation
f
d
e
b
c
a
f
d
e
b
c
a
planar
f
f
d
e
d
e
b
c
b
c
a
planar
a
f
f
d
e
d
e
b
c
b
c
a
a
planar
nicht planar
Definition
Eine Partialordnung heißt planar, wenn sie ein planares (d.h.
kreuzungsfreies) Hasse-Diagramm besitzt.
f
f
d
e
d
e
b
c
b
c
a
a
planar
nicht planar
Dominanzordnung im R2
C
A
D
B
Dominanzordnung im R2
C
A
D
B
X ={A, B, C , D} ⊆ R2
≤dom =
Dominanzordnung im R2
C
A
D
B
X ={A, B, C , D} ⊆ R2
≤dom ={(A, A), (B, B), (C , C ), (D, D),
Dominanzordnung im R2
C
A
D
B
X ={A, B, C , D} ⊆ R2
≤dom ={(A, A), (B, B), (C , C ), (D, D),
(A, C ),
Dominanzordnung im R2
C
A
D
B
X ={A, B, C , D} ⊆ R2
≤dom ={(A, A), (B, B), (C , C ), (D, D),
(A, C ), (B, C ),
Dominanzordnung im R2
C
A
D
B
X ={A, B, C , D} ⊆ R2
≤dom ={(A, A), (B, B), (C , C ), (D, D),
(A, C ), (B, C ), (B, D)}
Dominanzordnung im Rk
Ist X ⊆ Rk , so definieren wir auf X die Relation:
x ≤dom y
:⇔
xi ≤ yi
für alle i ∈ {1, . . . , n}
Dominanzordnung im Rk
Ist X ⊆ Rk , so definieren wir auf X die Relation:
x ≤dom y
:⇔
xi ≤ yi
für alle i ∈ {1, . . . , n}
(X , ≤dom ) heißt dann Dominanzordnung
Definition
Sei P = (X , ≤P ) eine partielle Ordnung. Dann ist die Dimension
von P die kleinste natürliche Zahl k, so dass P isomorph zu einer
Dominanzordnung im Rk ist.
Definition
Sei P = (X , ≤P ) eine partielle Ordnung. Dann ist die Dimension
von P die kleinste natürliche Zahl k, so dass P isomorph zu einer
Dominanzordnung im Rk ist. D.h.
dim(P) = min k | ∃ φ : X ,→ Rk mit
x ≤P y
⇔
φ(x) ≤dom φ(y )
Definition
Sei P = (X , ≤P ) eine partielle Ordnung. Dann ist die Dimension
von P die kleinste natürliche Zahl k, so dass P isomorph zu einer
Dominanzordnung im Rk ist. D.h.
dim(P) = min k | ∃ φ : X ,→ Rk mit
x ≤P y
⇔
φ(x) ≤dom φ(y )
dim = 1
Definition
Sei P = (X , ≤P ) eine partielle Ordnung. Dann ist die Dimension
von P die kleinste natürliche Zahl k, so dass P isomorph zu einer
Dominanzordnung im Rk ist. D.h.
dim(P) = min k | ∃ φ : X ,→ Rk mit
x ≤P y
⇔
φ(x) ≤dom φ(y )
dim = 2
Definition
Sei P = (X , ≤P ) eine partielle Ordnung. Dann ist die Dimension
von P die kleinste natürliche Zahl k, so dass P isomorph zu einer
Dominanzordnung im Rk ist. D.h.
dim(P) = min k | ∃ φ : X ,→ Rk mit
x ≤P y
⇔
dim = 2
φ(x) ≤dom φ(y )
Definition
Sei P = (X , ≤P ) eine partielle Ordnung. Dann ist die Dimension
von P die kleinste natürliche Zahl k, so dass P isomorph zu einer
Dominanzordnung im Rk ist. D.h.
dim(P) = min k | ∃ φ : X ,→ Rk mit
x ≤P y
⇔
φ(x) ≤dom φ(y )
dim = 3
Das Standardbeispiel Sn
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
S5
Das Standardbeispiel Sn
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
S5
Das Standardbeispiel Sn
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
S5
dim(Sn ) = n
Theorem (Trotter, Moore)
Ist P eine planare Ordnung mit einem Nullelement, so gilt
dim(P) ≤ 3
0
Theorem (Baker, Fishburn, Roberts)
Ist P eine planare Ordnung mit einem Null- und Einselement, so
gilt
dim(P) ≤ 2
1
0
Gibt es planare Ordnungen mit beliebig großer Dimension?
Gibt es planare Ordnungen mit beliebig großer Dimension?
Ja!
Kellys Beispiel
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Kellys Beispiel
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
Kellys Beispiel
5
4
3
2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
Doch was passiert, wenn wir die Höhe h(P) der
planaren Ordnung P beschränken?
Doch was passiert, wenn wir die Höhe h(P) der
planaren Ordnung P beschränken?
Betrachten wir den Fall h(P) = 1
Doch was passiert, wenn wir die Höhe h(P) der
planaren Ordnung P beschränken?
Betrachten wir den Fall h(P) = 1
Theorem (Felsner, Li, Trotter)
Ist P eine planare Ordnung der Höhe 1, so gilt
dim(P) ≤ 4
Theorem (Felsner, Li, Trotter)
Ist P eine planare Ordnung der Höhe 1, so gilt
dim(P) ≤ 4
Die Ungleichung ist bestmöglich:
2
4
3
1
1
2
4
3
outerplanar: Jeder Knoten hat Kontakt zur äußeren Fläche.
outerplanar: Jeder Knoten hat Kontakt zur äußeren Fläche.
outerplanar: Jeder Knoten hat Kontakt zur äußeren Fläche.
Definition
Eine Partialordnung heißt outerplanar, wenn sie ein outerplanares
Hasse-Diagramm besitzt.
Mein Hauptsatz
Ist P eine outerplanare Ordnung der Höhe 1, so gilt
dim(P) ≤ 3
Mein Hauptsatz
Ist P eine outerplanare Ordnung der Höhe 1, so gilt
dim(P) ≤ 3
Die Ungleichung ist bestmöglich:
2
3
1
1
2
3
Beweisidee
Beweisidee
Ausblick
Was hat sich getan?
Ausblick
Was hat sich getan?
I
Streib, Trotter 2011: Wenn P planar und h(P) = t, dann
dim(P) ≤ f (t)
Ausblick
Was hat sich getan?
I
Streib, Trotter 2011: Wenn P planar und h(P) = t, dann
dim(P) ≤ f (t)
I
Trotter 2011: dim(P) ≤ 4 wenn P outerplanar
Ausblick
Was hat sich getan?
I
Streib, Trotter 2011: Wenn P planar und h(P) = t, dann
dim(P) ≤ f (t)
I
Trotter 2011: dim(P) ≤ 4 wenn P outerplanar
Was ist offen?
Ausblick
Was hat sich getan?
I
Streib, Trotter 2011: Wenn P planar und h(P) = t, dann
dim(P) ≤ f (t)
I
Trotter 2011: dim(P) ≤ 4 wenn P outerplanar
Was ist offen?
I
bessere obere Schranke f (t)
Ausblick
Was hat sich getan?
I
Streib, Trotter 2011: Wenn P planar und h(P) = t, dann
dim(P) ≤ f (t)
I
Trotter 2011: dim(P) ≤ 4 wenn P outerplanar
Was ist offen?
I
bessere obere Schranke f (t)
I
direkter Beweis für den Fall h(P) = 1