Übungen zur Klausurvorbereitung

Prof. Dr. Annette Werner
Lineare Algebra
Dr. Amir Dºambi¢
Wintersemester 2010/2011
Übungen zur Klausurvorbereitung
Lösungen bitte nicht abgeben!
Aufgabe 1. Seien folgende Matrizen gegeben:



1 3 0

3×3


2 6 1
∈ Q , B := 
A :=


0 3 2

a) Berechnen Sie die inverse Matrix zu
A.
b) Berechnen Sie die Determinante von
B.
0
1
0
1
0
2
1
0
3
2
1 3
0
1 −3 1
2 0
0
2 1 −1
1 0
1



 ∈ Q5×5 .


Aufgabe 2. Sei


3 −1 2
 1 1 0 
4×3

A := 
 3 7 2 ∈R
0 1 1
Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

Aufgabe 3. Seien
f : V −→ W
a)
a)

0
 0 

b=
 0 ,
0
V
und

b)

5
 1 

b=
 5 ,
1

c)
W K -Vektorräume, U ⊂ W
Ax = b

1
 2 

b=
 4 
0
ein Untervektorraum und
eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
f −1 (U ) := {v ∈ V | f (v) ∈ U }
ist ein Untervektorraum von
V.
dim(f −1 (U )) = dim(Kern(f )) + dim(U ∩ Bild(f ))
  

x
x−y
3
3
Aufgabe 4. Sei f : F3 → F3 die Abbildung f  y  =  y − z 
z
z−x
b)
a) Zeigen Sie, dass
f
eine lineare Abbildung ist.
b) Geben Sie eine Basis von
Bild(f )
an.
mit
c) Zeigen Sie, dass
     
0
2
1
B = 0 , 1 , 2
1
0
0
F33
eine Basis von
f
bezüglich
ist und berechnen Sie die Koordinatenmatrix
Mf (B, B)
von
B.
Aufgabe 5 Seien
W1 , W2 und W3 Untervektorräume
K -Vektorraums V . Zeigen Sie, dass gilt:
eines endlich-dimensionalen
dimW1 +dimW2 +dimW3 = dim(W1 ∩W2 )+dim(W1 +W2 +W3 )+dim ((W1 + W2 ) ∩ W3 )
R3×3

Aufgabe 6 Seien folgende Matrizen aus

gegeben:


−2 1 2
2 0 0
A =  6 2 −3  , B =  0 2 −3 
−2 2 3
0 0 −1
a) Berechnen Sie die Eigenwerte von
b) Ist
A
diagonalisierbar?
c) Ist
B
diagonalisierbar?
A
und
B.
Hinweis: Raten Sie eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Begründen Sie in
b) und c) Ihre Antwort.