Lineare Algebra - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
A. Kresch
10.12.2013
Übung zur Vorlesung
Lineare Algebra
HS 2013 - Übungsblatt 12
Abgabe Dienstag, 17.12.2013, vor der Vorlesung im Raum Y24G55
1
Seien K ein Körper mit char(K) = 2 und
S := {x2 + x | x ∈ K}.
Zeigen Sie:
(a) T 2 + aT + b ∈ K[T ] hat eine Zerlegung in lineare Faktoren genau dann, wenn
a = 0 und b ein Quadrat in K ist
oder
a 6= 0 und a−2 b ∈ S.
(b) Eine Matrix
a b
∈ Mat(2 × 2, K)
c a
ist genau dann diagonalisierbar, wenn b = c = 0.
(c) Eine Matrix
a b
∈ Mat(2 × 2, K)
c d
mit a 6= d ist genau dann diagonalisierbar, wenn (a + d)−2 (ad + bc) ∈ S.
2
(6 Punkte)
Es ist aus der Analysis bekannt, dass jedes Polynom über R von ungeradem Grad eine Nullstelle besitzt. Deshalb hat jeder Endomorphismus eines ungerade-dimensionalen R-Vektorraumes mindestens
einen Eigenwert. Benutzen Sie diesen Fakt, um die folgende Aussage zu beweisen:
Lemma. Sind F , G ∈ End(V ) zwei kommutierende Endomorphismen (d.h. F ◦G = G◦F ) eines endlich
dimensionalen R-Vektorraumes V mit dim(V ) ungerade, so haben F und G einen gemeinsamen
Eigenvektor.
Für den Beweis: Sei λ ∈ R ein Eigenwert von F ; argumentieren Sie so durch Induktion nach n :=
dim(V ).
(a) Der Eigenraum L := Eig(F, λ) erfüllt: G(v) ∈ L für alle v ∈ L.
(b) Sei M das Bild von F − λ idV . Dann gilt F (v) ∈ M sowie G(v) ∈ M für alle v ∈ M .
(c) Ist dim(L) ungerade, so hat die Einchränkung von G auf L einen Eigenvektor und dies ist auch
ein Eigenvektor von F .
(d) Ist dim(L) gerade, so ist dim(M ) ungerade und man kann die Aussage aus der zu M angewandten Induktionshypothese folgern.
(5 Punkte)
3
Zeigen Sie: Ein normiertes Polynom über R vom Grad 3, das genau eine reelle Nullstelle λ ∈ R hat
aber nicht gleich (T − λ)3 ist, hat insgesamt 3 verschiedene komplexe Nullstellen.
(3 Punkte)
4
Entscheiden Sie:
1
(a)
3
Welche dieser Matrizen sind diagonalisierbar? trigonalisierbar?


−4 5 4
2
1 2
∈ M2 (Q)
(b)
∈ M2 (Z/11Z)
(c)  1 3 3 ∈ M3 (C)
4
3 4
−5 1 0
(6 Punkte)