Klausur vom 29.03.2014

Vorlesung
Mathematik für Informatiker I
Prof. Dr. B. Steffen
WS 2013/14
Klausur
Name:
29. März 2014
Vorname:
Matrikelnummer:
Studiengang:
Unterschrift:
Pseudonym (zur Veröffentlichung der Klausurergebnisse):
Ihre Klausurnote wird unter dem gewählten Pseudonym online veröffentlicht. Wählen Sie aus Datenschutzgründen ein Pseudonym, welches nicht mit Ihnen in Verbindung gebracht werden kann! Bitte schreiben Sie
leserlich und prägen Sie sich Ihr gewähltes Pseudonym gut ein.
In der Klausur sind insgesamt 100 Punkte erzielbar. Für das Bestehen der Klausur sind mindestens
40 Punkte erforderlich.
Aufgabe
Punkte
Erreicht
1. Prüfer:
1
10
2
8
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
12
Σ
100
2. Prüfer:
Achtung: Für die Bearbeitung aller Aufgaben gilt ohne Ausnahmen (!):
Achten Sie auf eine vollständige Darlegung und Kommentierung des Lösungsweges.
Wenn Sie Sätze der Vorlesung benutzen, so müssen Sie diese zum Lösungsweg deutlich in Bezug setzen.
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Aufgabe 1 (Aussagen und Mengen)
[6+3+1 = 10 Punkte]
A und B seien Mengen über einer gemeinsamen Grundmenge M .
1. Beweisen Sie schrittweise die Gleichheit
((A ∩ B { ) ∩ (B ∩ A{ ){ ) ∪ B = A ∪ B
unter ausschließlicher Verwendung der in der Vorlesung eingeführten Mengengesetze (Kommutativität, Assoziativität, Absorption, Distributivität, Komplement, Idempotenz, Doppelnegation, De Morgan, Neutralität).
Geben Sie in jedem Beweisschritt die jeweils verwendeten Regeln an.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 1 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Beweisen Sie ausführlich, dass für alle Mengen A und B gilt:
A ∩ B 6= ∅ ⇒ (A \ B) ∪ (B \ A) 6= A ∪ B.
3. Beweisen oder widerlegen Sie: P(A \ B) = P(A) \ P(B).
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 2 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Aufgabe 2 (Äquivalenzrelation, Quasiordnung)
[4+4=8 Punkte]
1. Betrachten Sie die wie folgt definierte Relation R ⊆ Z × Z:
a R b ⇔df (a mod 4) | (b mod 4)
für alle a, b ∈ Z.
Erinnerung: Hierbei bezeichnet |“ die Teilbarkeitsrelation auf ganzen Zahlen, die wie folgt
”
definiert ist:
a | b ⇔df ∃k ∈ Z. b = a · k für alle a, b ∈ Z.
(a) Beweisen Sie: R ist eine Quasiordnung.
(b) Ist R auch eine totale Quasiordnung? Begründen Sie!
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 3 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Sei M eine beliebige Menge, und sei R ⊆ M × M eine totale Quasiordnung auf M . Beweisen
Sie:
(a) R ∩ R−1 ist eine Äquivalenzrelation.
(b) R ∪ R−1 = M × M .
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 4 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Aufgabe 3 (Induktives Beweisen)
[4+6=10 Punkte]
1. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt:
5 teilt 6n + 4.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 5 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Die Menge Pal =df {w ∈ {a, b}∗ | w ist Palindrom gerader Länge} kann induktiv definiert
werden als die kleinste Menge, für die gilt:1
• ε ∈ Pal .
• Wenn w ∈ Pal , dann auch awa, bwb ∈ Pal .
Zeigen Sie mit struktureller Induktion die folgende Aussage:
∀w ∈ Pal . #a (w) ist gerade.
Dabei bezeichnet #a (w) die Anzahl der Vorkommen des Zeichens a“ im Wort w.
”
1
Generell sind Palindrome Worte, die vorwärts und rückwärts gelesen übereinstimmen.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 6 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Aufgabe 4 (Verbände)
[2+3+5=10 Punkte]
1. Zeigen Sie, dass die durch das folgende Hasse-Diagramm dargestellte Halbordnung kein Verband ist:
i
f
g
h
c
d
e
b
a
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 7 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Zeigen Sie, dass der folgende Verband nicht distributiv ist:
h
e
g
f
d
c
b
a
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 8 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
3. (V, f, g) sei ein distributiver Verband und a und b zwei Elemente von V mit a b. Zeigen
Sie, dass die Abbildung f : V → V , definiert durch
f (x) =df (x g a) f b
für alle x ∈ V,
(a) ein f-Homomorphismus und
(b) ein g-Homomorphismus ist.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 9 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 10 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Aufgabe 5 (Gruppen)
[4+2+4=10 Punkte]
1. Die folgende Verknüpfungstafel einer kommutativen Gruppe mit den vier Elementen {a, b, c, d}
lässt sich auf genau eine Weise vervollständigen. Ergänzen Sie die fehlenden Einträge und begründen Sie, dass diese in eindeutiger Weise festliegen.
◦ a b c d
a
b
a
c
d
d
c b
Tipp: Bestimmen Sie zuerst das neutrale Element.
2. Wir betrachten die aus der Vorlesung bekannte symmetrische Gruppe S4 und die Hintereinanderausführung jeweils zweier in Zykelschreibweise gegebener Permutationen. Geben Sie das
Resultat ebenfalls in Zykelschreibweise an:
(a) (1 2 3 4) ◦ (1 3 4) =
(b) (1 4 2) ◦ (1 3 4) =
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 11 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
3. Sei n ≥ 2 und Sn die aus der Vorlesung bekannte symmetrische Gruppe. Zeigen Sie, dass
Un =df {π ∈ Sn | π(1) = 1}
eine Untergruppe von Sn ist.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 12 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Aufgabe 6 (Ringe und Körper)
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
[6+4=10 Punkte]
1. Geben Sie jeweils ein Beispiel an für:
(a) einen Ring, der kein kommutativer Ring ist.
(b) einen kommutativen Ring, der kein Integritätsbereich ist.
(c) einen Integritätsbereich, der kein Körper ist.
Begründen Sie für jedes Ihrer Beispiele, warum die weitergehende Eigenschaft verletzt ist.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 13 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Sei U die Menge der 2 × 2-Matrizen über dem Körper R, deren Eintrag für die zweite Zeile
und erste Spalte Null ist. Also
a b
U =df
| a, b, c ∈ R .
0 c
Offensichtlich bildet U mit der Matrizenaddition und -multiplikation einen Unterring von
hR2×2 , +, ·i, was hier ohne Nachweis vorausgesetzt werden kann.
a b
Zeigen Sie, dass die Abbildung h : U → R mit h
=df a ein Ringhomomorphismus von
0 c
hU, +, ·i nach hR, +, ·i ist.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 14 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Aufgabe 7 (Vektorräume, Untervektorräume)
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
[3+3+4=10 Punkte]
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume R2 bzw. (Z5 )2 ?
Begründen Sie Ihre Antwort durch einen Beweis.
1. {(a + b, a − b) | a, b ∈ R} ⊆ R2 .
2.
a + b, b2 | a, b ∈ R ⊆ R2 .
3.
a + b, b2 | a, b ∈ Z5 ⊆ (Z5 )2 .
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 15 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 16 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Aufgabe 8 (Lineare Unabhängigkeit)
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
[3+7=10 Punkte]
1. Zeigen Sie: die Menge M =df {(0, 4, 1, 0)t , (1, 2, 4, −1)t , (2, 2, 1, −2)t , (3, 0, 4, −3)t } ist eine
linear abhängige Menge von Vektoren des Vektorraums R4 .
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 17 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Sei RR =df {f | f : R → R} der R-Vektorraum aller Funktionen von R nach R. Zeigen Sie,
dass die Funktionen f1 , f2 , f3 ∈ RR mit f1 (x) =df 2x , f2 (x) =df x2 und f3 (x) =df 2x linear
unabhängig sind.
Hinweis: Beachten Sie, dass die Funktionen f1 , f2 und f3 linear unabhängig sind, wenn die
Gleichung
a · f1 + b · f2 + c · f3 = 0
über Variablen a, b, c ∈ R nur die triviale Lösung a = b = c = 0 hat, wobei 0 die konstante
Nullfunktion ist.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 18 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Aufgabe 9 (Gleichungssystem, Rang einer Matrix)
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
[8+2=10 Punkte]
1. Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix A ∈ (Z3 )4×4 :


0
1 1 1
1
2 1 1

A=
−1 0 1 1 .
2 −1 0 0
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 19 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
2. Betrachten Sie erneut die Matrix

0
1
1
2
A=
−1 0
2 −1
1
1
1
0

1
1
.
1
0
Welchen Wert hat det(A)?
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 20 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Aufgabe 10 (Wissensfragen)
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
[8+2+2=12 Punkte]
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch (jew. 1 Punkt pro richtiger Antwort)?
Begründen Sie insgesamt zwei Antworten ausführlich (jew. 2 Punkte pro richtiger Begründung).
Falls mehr als zwei Antworten begründet wurden, machen Sie die zu wertenden Antworten kenntlich. Andernfalls werden die ersten beiden Antworten gewertet.
Hinweis: Anders als in der Probeklausur ist für die Begründungen eine Differenzierung zwischen
wahr“- und falsch“-Antworten nicht vorgesehen.
”
”
1. Es gibt eine bijektive Abbildung f : Q → N3 .
2. Die Verknüpfung einer injektiven Abbildung f : A → B mit einer surjektiven Abbildung
g : B → C ergibt eine bijektive Abbildung g ◦ f : A → C.
3. In einem Verband (V, ) ist jeder f-Homomorphismus auch ein Ordnungshomomorphismus.
4. Die Rechtskürzungsregel (a ⊕ b = c ⊕ b ⇒ a = c) gilt allgemein in Monoiden.
5. Die symmetrische Gruppe S5 hat eine Untergruppe mit 11 Elementen.
6. In einer Abelschen Gruppe ist jede Untergruppe auch ein Normalteiler.
7. Es gibt keinen Vektorraumisomorphismus von R5 nach R3 .
8. {~0} ist eine Basis des Nullvektorraums V0 =df {~0}.
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Seite 21 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 22 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 23 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 24 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 25 von 26 Seiten
Name, Vorname, Matrikelnummer
Klausur Mathematik für Informatiker I, 29.03.2014
Bitte unbedingt leserlich ausfüllen
Seite 26 von 26 Seiten

Zugehörige Unterlagen

Blatt 1

Klausur vom 29.03.2014

Zugehörige Unterlagen

Produkte

Unterstützung

Klausur vom 29.03.2014

Zugehörige Unterlagen

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können