Universität Bielefeld Bielefeld, den 7.12.2015 Prof. Dr. Thomas

Universität Bielefeld
Prof. Dr. Thomas Dahm
Bielefeld, den 7.12.2015
Übungen zur Theoretischen Physik III (Statistische Mechanik)
WS 2015/2016
Blatt 8
Aufgabe 23: Jacobi-Determinante (5 Punkte)
Die Jacobi-Determinante zweier Funktionen u(x, y) und v(x, y) ist gegeben durch
∂u ∂u ∂(u, v) ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v
≡
−
=
∂(x, y) ∂v ∂v ∂x ∂y ∂y ∂x
∂x ∂y
Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften gelten:
a)
(1 P.)
∂(u, v)
∂(v, u)
=−
∂(x, y)
∂(x, y)
b)
(1 P.)
∂(u, y)
=
∂(x, y)
∂u
∂x
y
c)
(1 P.)
∂(u, v)
∂(u, v) ∂(s, t)
=
∂(x, y)
∂(s, t) ∂(x, y)
d)
(1 P.)
du
dv
,
v)
∂(u,
)
d ∂(u, v)
dt
dt
=
+
dt ∂(x, y)
∂(x, y)
∂(x, y)
∂(
e)
(1 P.)
∂z
∂x
y
∂x
∂y
z
∂y
∂z
= −1
x
Aufgabe 24: Gibbsche freie Enthalpie (4 Punkte)
Die Gibbsche freie Enthalpie ist definiert durch
G = E − TS + PV
wobei E die Energie, S die Entropie, V das Volumen, T die Temperatur und P der Druck
eines thermodynamischen Systems sind.
a) Zeigen Sie, dass für Änderungen der Gibbschen freien Enthalpie die Relation
dG = −SdT + V dP + µdN
gilt.
(1 P.)
b) Betrachten Sie die gemischten zweiten Ableitungen von G nach T und P und zeigen
Sie, dass bei fester Teilchenzahl die Maxwell-Relation
∂S
∂V
=−
∂P T
∂T P
gilt.
(1 P.)
c) Leiten Sie folgende Beziehung für die Temperaturänderung bei konstanter Entropie S
her:
∂T
T ∂V
=
∂P S Cp ∂T P
(2 P.)
Hinweis: Verwenden Sie die Relationen aus Aufgabe 23.
Aufgabe 25: Differenz der Wärmekapazitäten (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass für die Differenz der Wärmekapazitäten CP und CV folgender Zusammenhang gilt:
CP − CV = P 2 V T · κT β 2 ,
wobei
1
κT = −
V
∂V
∂P
T
die isotherme Kompressibilität ist und
1
β=
P
∂P
∂T
.
V
Was ergibt sich für ein ideales Gas mit der Zustandsgleichung P V = N kB T ?
Aufgabe 26: Hypothetische Substanz (4 Punkte)
Eine hypothetische Substanz erfülle die Zustandsgleichungen
1
= αV + 2βE 2
T
und
P
= αE + γV 3
T
wobei α, β und γ Materialkonstanten sind. Bestimmen Sie die Entropie S(E, V ) dieser
Substanz. Wie müssen die drei Materialkonstanten von der Teilchenzahl abhängen, damit
die Substanz homogen ist ?
Besprechung am 16.12.2015.