Maximumprinzip

Maximumprinzip
Aichinger Ida k0955671
Redl Manuela k0955807
Eichinger Benjamin k0955620
1
Inhaltsverzeichnis
1 Maximumprinzip
3
2 Das Zaremba Prinzip
9
3 Referenzen
12
2
1 Maximumprinzip
Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung lassen eine genauere Charakterisierung von Maxima zu. Es lässt sich zeigen, dass elliptische und parabolische partielle
Differentialgleichungen ihr Maxima immer am Rand annehmen. Stabilitäts- und
Eindeutigkeitsaussagen lassen sich aus dem Maximumprinzip folgern.
Sei Ω im Folgenden ein Gebiet1 im Rn .
Bemerkung. Die Diffusion beschreibt den physikalischen Prozess, der zu einer
gleichmäßigen Verteilung und somit zur vollständigen Vermischung von zwei oder
mehreren Stoffen führt. Parabolische Differentialgleichungen beschreiben oft den
zeitlichen Verlauf dieses Prozesses.
Definition 1. Seien bj , ajk : Rn → Rn glatte bzw. lokal beschränkte Funktionen,
sei A := (ajk ) ∈ M (n, R) eine symmetrische und strikt positiv definite Matrix und
sei u : Rn → Rn eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann bezeichne
n
X
Hu(x) := −
ajk (x)∂j ∂k u(x) +
n
X
bj (x)∂j u(x)
j=1
j,k=1
den Diffusionsoperator (im Rn ).
Definition 2. Zu jedem Diffusionsoperator H existiert ein Gammaoperator:
Γ(u, v) :=
−1/2(H(uv)
− uHv − vHu) = −
n
X
ajk (x)∂j u(x)∂k v(x)
j,k=1
Bemerkung. Offensichtlich gilt für einen Diffusionsoperator die Leibniz-/Produktregel
nicht.
Der Diffusionsoperator angewandt auf die Komposition zweier Funktionen
liefert:
H(u ◦ f ) = −
= −
= −
n
X
j,k=1
n
X
j,k=1
n
X
ajk ∂j ∂k u(f ) +
n
X
ajk ∂j u0 (f )∂k f +
n
X
n
X
ajk u00 (f )∂j f ∂k f −
j,k=1
00
= u (f )Hf − u (f )Γ(f, f )
1
bj u0 (f )∂j f
j=1
j,k=1
0
bj ∂j u(f )
j=1
Gebiet ⇐⇒ offene, zusammenhängende Teilmenge des Rn
3
ajk u0 (f )∂j ∂k f +
n
X
j=1
bj u0 (f )∂j f
Beispiel 1.
Sei C eine symmetrische Matrix, sei K ∈ R eine Konstante und sei h(x) :=
n
exp (− hCx,xi
2 ) + K eine Funktion von R → R. Welches Ergebnis erhält man, wenn
man den Diffusionsoperator H auf h(x) anwendet?
h(x) lässt sich als die Hintereinanderausführung zweier Funktionen u : R → R
und f : Rn → R schreiben:
Also
H(u ◦ f )(x) = −e−f Hf − e−f Γ(f, f )
= [−Hf
− Γ(f, f ))] e−f

=


− hA(x)Cx, Cxi + tr(A(x)C) − hCx, b(x)i exp (− hCx,xi
2 )
wobei tr() die Spur der Matrix bezeichnet.
Definition 3. Eine Zusammenhangskomponente Z beschreibt eine maximale zusammenhängende Menge für die eine bestimmte Eigenschaft gilt. (hier: Z
beschreibt die Menge der Maxima) Z := {x| u(x) = u(x0 )} = [u = u(x0 )] ,
wobei im Punkt x0 das Maximum angenommen wird.
Definition 4. Ein relatives Maximum (bzw. auch lokales Maximum genannt)
ist der Wert der Funktion an einer Stelle x0 , sodass zu einer Zusammenhangskomponente Z = [u = u(x0 )] eine offene Umgebung U existiert, für die gilt:
∀x ∈ U \ Z : u(x) < u(x0 )
Bemerkung. Monoton fallende bzw. steigende Funktionen besitzen kein relatives
Maximum.
Definition 5. Ein Operator ist gleichmäßig elliptisch, wenn es zu jeder kompakten Teilmenge K ∈ Ω eine positive Konstante λ gibt, sodass für alle x ∈ K
und alle ξ ∈ S n−1 gilt:
X
ajk ξj ξk > λ
j,k
Bemerkung. Der Diffusionsoperator ist gleichmäßig elliptisch:
Da die Matrix (ajk (x)) in jedem Punkt x strikt positiv definit und stetig ist, hat
sie nur positive Eigenwerte. Man wählt für λ den kleinsten Eigenwert.
Satz 1. (Hopf) Genügt eine Funktion u auf Ω der Ungleichung Hu ≤ 0, so
nimmt u in keinem Punkt x0 von Ω ein relatives Maximum an.
4
Beweis. Sei u ∈ C 2 (Ω) und zunächst ∀x ∈ Ω : Hu < 0
Widerspruchsbeweis: Annahme: ∃ relatives Maximum in x0 ∈ Ω. Dann folgt, dass
∂j u(x0 ) = 0 und −Hess u(x0 ) positiv definit ist.
Hu = − j,k ajk (x0 )∂j ∂k u(x0 ) +
= tr(A(x0 )(−Hess u(x0 )))
≥ 0
P
P
j bj (x0 )∂j u(x0 )
da die Spur des Produkts zweier positiv definiter Matrizen nicht negativ ist (siehe:
Lineare Algebra).
Damit haben wir gezeigt, dass Hu ≥ 0 gilt, was ein Widerspruch zu Hu < 0 ist!
Abbildung 1:
Wir wollen diese Aussage nun auch für Hu ≤ 0 zeigen. Angenommen es gibt
einen Punkt x in dem u sein Maximum M annimmt. Sei Z:=[u ≡ M] eine
Zusammenhangskomponente. Dann gibt es eine offene Umgebung U, sodass für
alle x∈ U\Z, u(x)<M gilt. Daher können wir einen Punkt x1 aus U wählen, der
folgende Bedingungen erfüllt. Sei r:=d(x,Z) und x0 ∈ Z, sodass r= kx0 − x1 k.
O.B.d.A. kann man annehmen, dass B 2r (x0 ) und Br (x1 ) in Ω liegen. Weiters soll
noch Z∩ Br (x1 ) nur den Punkt x0 enthalten. Falls eine der beiden Bedingungen
nicht erfüllt ist, wählt man einfach einen anderen Punkt auf der Verbindungsstrecke
von x0 und x1 . Sei C’:= ∂B 2r (x0 ) ∩ Br (x1 ). Da C’ kompakt ist, gibt es ein η>0,
sodass
5
u≤M −η
∀x ∈ C 0
Wir definieren nun mit α>0
2
v(x, t) := e−αkx−x1 k
/2
− e−αr
2
Es gilt:
h(x, t) > 0 ∀x ∈ Br (x1 )
h(x, t) = 0 ∀(x, t) ∈ ∂Br (x1 )
c
h(x, t) < 0 ∀(x, t) ∈ Br (x1 )
Mit Beispiel 1 und der gleichmäßigen Elliptiziät erhält man für jede kompakte
Teilmenge von Ω folgende Abschätzung:
1
(−αhA(x)(x − x1 ), x − x1 i + tr(A(x)) − hb(x), x − x1 i)
2
1
2
≤ αe−αkx−x1 k /2 (−αλkx − x1 k2 + tr(A(x)) + kb(x)kkx − x1 k)
2
2
Hh(x) = αe−αkx−x1 k
/2
Da der letzte Ausdruck eine stetige Funktion in x ist, findet man sicher ein
α>0, sodass für alle x ∈ B 2r (x0 ) Hh<0 gilt. Zu beachten ist noch, dass der Term
−αλkx − x1 k nie verschwindet, was offensichtlich gewährleistet ist. Wir definieren
nun mit ε>0 eine weitere Hilfsfunktion.
v(x, t) := u(x, t) + εh(x, t)
Diese Funktion wollen wir nun auf B 2r (x0 ) betrachten. Sei C” das Kompliment
von C’ bezüglich dem Rand von B 2r (x0 ). Da H ein linearer Operator ist, gilt für
alle ε>0
Hv = Hu + εHh < 0 ∀x ∈ B 2r (x0 )
(1)
Weiters erhält man, da h auf C” strikt negativ ist und u≤ M-η auf C’ gilt, mit
geeigneter Wahl von ε, dass v auf dem gesamten Rand von B 2r (x0 ) kleiner als M
ist. Da aber v(x0 )=u(x0 )=M ist, muss u im Inneren ein Maximum annehmen,
was im Widerspruch zu (1) steht.
6
Bemerkung. Falls Ω ein beschränktes Gebiet in Rn und u auf Ω stetig ist, und
die Vorrausetzungen des obigen Satzes erfüllt sind, dann gilt
max{u(x) : x ∈ Ω} = max{u(x) : x ∈ ∂Ω}. Außerdem gilt: Falls u sein Maximum
im Inneren annimmt, dann ist u konstant.
Beispiel 2.
Wenn man die komplexen Zahlen C im herkömmlichen Sinn mit R2 identifiziert,
dann lässt sich das Maximumprinizp auch hier anwenden. Um zu zeigen, dass die
Forderung der Beschränktheit von Ω notwendig ist, betrachten wir die Funktion
u(z)= < ez auf Ω = [|= z| < π2 ]. u erfüllt auf ganz C die Laplacegleichung ∆u=0
und verschwindet auf dem Rand von Ω, da ez auf [|= z| = π2 ] rein imaginär ist.
Trotzdem ist u auf Ω unbeschränkt.
Beispiel 3.
Die in Abbildung 2 veranschaulichte Funktion, stellt die Lösung des folgenden
Problems auf Ω= (0,1) × (0,1) dar.
∆u = 0
u(x,0)=u(x,1)= sin(x)
u(0,y)=u(1,y)= sin(y)
Abbildung 2:
Wie man hier gut erkennen kann, werden die Maxima der Funktion nur am
Rand angenommen.
7
Mithilfe des Maximumprinzip kann man auch Eindeutigkeitsaussagen für Probleme der Form Hu = f, auf einem beschränkten Gebiet treffen. Wir wollen hier
die Eindeutigkeit des sogenannten Dirichletproblems ableiten. D.h. u soll folgende
Bedingungen erfüllen.
Hu(x) = f (x) ∀x ∈ Ω
u(x) = g(x) ∀x ∈ ∂Ω
(2)
(3)
Satz 2. Die Lösung des Problems (2) und (3) ist eindeutig.
Beweis. Angenommen es gibt zwei Lösungen u und v. Dann erfüllt w:= u-v.
Hw(x) = 0 ∀x ∈ Ω
w(x) = 0 ∀x ∈ ∂Ω
Aufgrund des Maximumprinzip muss nun w≤0 auf Ω gelten. Durch Anwendung
derselben Argumentation auf -w=v-u erhält man w≥0. Also muss w auf Ω
verschwinden.
Eine ähnliche Aussage lässt sich auch für parabolische Differentialgleichungen
herleiten. Der bekannteste Vertreter dieses Typs von Differentialgleichungen ist
die Wärmeleitungsgleichung ∂t u = −Hu. Da sie z.B. die Wärmeverteilung im
Raum über einen gewissen Zeitraum beschreibt, ist es sinnvoll, sie auf Gebieten
der Form E:= Ω×(0,T) zu betrachten.
Satz 3. Falls u auf E Lu:=-∂t u- Hu ≥ 0 erfüllt, und nicht konstant ist, dann
nimmt u sein Maximum auf Σ:= Ω × {0} ∪ ∂Ω× [0,T] an.
Auch diese Aussage lässt sich wieder auf ähnliche Weise wie zuvor herleiten.
Einen ausführlichen Beweis findet man z.B in dem Buch "Maximum Principles
in Differential Equations" von Murray H. Protter und Hans F. Weinberger. An
dieser Stelle soll nur, unter der Annahme, dass u sein Maximum nur auf dem
Rand von E annimmt, gezeigt werden, dass das Maximum auch nicht bei t=T
angenommen wird. Diese Annahme lässt sich begründen, indem man die Wärmeleitungsgleichung als degenerierte elliptische Differentialgleichung betrachtet und
das Maximumprinzip für elliptische DGL anwendet.
Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall Lu >0. Angenommen u nimmt sein
Maximum in einen Punkt (x0 ,T) an, so nimmt u(·,T) als Funktion von x, sein
Maximum in x0 an. Es gilt also wie zuvor
∂xj u(x0 , T ) = 0
8
und
X
ajk (x0 , T )∂xj ∂xk u(x0 , T ) = tr(A(x0 , T )Hess(u(x0 , T )) ≤ 0.
k,j
Insgesamt folgt also
−Hu ≤ 0.
Somit muss aber ∂t u(x0 , T ) < 0 gelten. u(x0 , ·) ist also in einem Intervall (T-ε,
T) monoton fallend. Daher gibt es einen Zeitpunkt t’ < T in dem u(x0 , t’) >
u(x0 ,T) gilt, was im Widerspruch zu der Annahme steht, dass u in (x0 ,T) sein
Maximum annimmt. Für den Fall Lu ≥ 0 betrachten wir die Funktion:
uε := u + εe−t
Da Luε > 0 und Σ kompakt ist, folgt mit ε → 0 die Behauptung.
2 Das Zaremba Prinzip
Satz 4. (Zaremba Prinzip) Sei Ω ein beschränktes Gebiet, u : Ω → R stetig
und nicht konstant, Hu ≤ 0, x0 ∈ ∂Ω, M := u(x0 ) = max u(x) und ∃x1 ∈ Ω, ∃r >
x∈Ω
0 : Br (x1 ) ⊆ Ω sodass x0 ∈ ∂Br (x1 ). Falls die Ableitung von u in Richtung der
äußeren Normalen N in x0 existiert, dann gilt:
∂N u(x0 ) > 0
2
Beweis. Sei v wie vorher (Satz von Hopf): v = u+h, wobei h(x) := e−ckx−x1 k /2 −
2
e−cr /2 .
Auf Br (x1 )\Br/2 (x1 ) gilt Hv < 0, da Hv = Hu + Hh < 0. Aus dem Satz von
Hopf folgt nun das v sein Maximum auf diesem Gebiet entweder auf ∂Br (x1 ) oder
auf ∂Br/2 (x1 ) annimmt.
Auf ∂Br/2 (x1 ) gilt für ein δ > 0 : u ≤ M − δ.
δ
Wenn wir in der Definition von v die Zahl <
wählen, gilt auf
1 − e−cr2 /2
∂Br/2 (x1 ) :
δ
2
−cr2 /2
v = u + h ≤ M − δ + (1 − e−cr /2 ) < M − δ +
(1
−
e
)<M
2
1 − e−cr /2
2
Der Punkt x0 liegt auf ∂Br (x1 ) und es gilt: v(x0 ) = M, da h|∂Br (x1 ) = e−ckx−x1 k /2 −
2
e−cr /2 = 0.
Auf ∂Br (x1 ) ist v = u. Daher nimmt v das Maximum auf Br (x1 )\Br/2 im Punkt
9
Abbildung 3:
∂
∂
∂
x0 an. Daraus folgt, dass
v(x0 ) =
u(x0 ) + h(x0 ) ≥ 0. Es bleibt zu
∂N
∂N
∂N
∂
∂
zeigen, dass
h(x0 ) < 0, denn dann gilt
u(x0 ) > 0.
∂N
∂N
x0 − x1
gilt:
Für N =
kx0 − x1 k
∂
2
h(x0 ) = h∇h(x0 ), N i = h−ce−ckx0 −x1 k /2 (x0 − x1 ), N i =
∂N
x0 − x1
2
2
2
= −ce−ckx0 −x1 k /2 kx0 − x1 kh
, N i = −ce−cr /2 rhN, N i = −cre−cr /2 < 0.
kx0 − x1 k
Als Anwendung des Zaremba Prinzips zeigen wir, dass die Lösung des Neumannproblems für die Laplacegleichung bis auf eine Konstante eindeutig ist. Dazu
betrachten wir das folgende Problem:
4u = h
in U
∂
u(x) = g(x) auf ∂U
∂N
Satz 5. Sei U beschränkt mit C 2 -Rand. Sei u eine C 2 (U )∩C 1 (U ) -Lösung von dem
zuvor genannten Problem. Dann ist u bis auf eine additive Konstante eindeutig.
Beweis. Seien u1 , u2 zwei Lösungen des Neumannproblems der Laplacegleichung.
Für die Differenz w := u1 − u2 gilt:
4w = 0
in U
∂
w(x) = 0 auf ∂U,
∂N
10
∂
∂u1 ∂u2
(u1 − u2 ) =
= 0. Wir nehmen
−
∂N
∂N ∂N
nun an, dass w nicht konstant sei. Aus dem Maximumprinzip (Satz von Hopf)
folgt, dass das Maximum von w nur am Rand liegen kann. Sei x0 ∈ ∂U der Punkt
in dem das Maximum angenommen wird. Für dieses x0 gilt, dass w(x0 ) > w(x)
für alle x ∈ U.
∂
Aus dem Zaremba Prinzip folgt nun, dass
w(x0 ) > 0. Dies steht aber im
∂N
∂
Widerspruch zu
w(x) = 0, deshalb muss w konstant sein. Das heißt, u1 = u2 +c.
∂N
Somit haben wir gezeigt, dass sich die zwei Lösungen des Neumannproblems der
Laplacegleichung nur durch eine Konstante unterscheiden.
da 4(u1 − u2 ) = 4u1 − 4u2 = 0 und
11
3 Referenzen
1 Michael Schmuckenschläger. Mathematische Modelle WS 2011/12.
2 Stefan Kindermann. Vorlesungsskript Partielle Differentialgleichungen.
12