Hall-Effekt

Harald Ibach
Hans Lüth
Festkörperphysik
EinfuÈhrung in die Grundlagen
Siebte Auflage
mit 277 Abbildungen, 18 Tafeln und 104 UÈbungen
12
Professor Dr. Harald Ibach
Institut für Bio- und Nanosysteme
Forschungszentrum Jülich GmbH, 52425 Jülich und
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule
52062 Aachen, Deutschland
E-mail: [email protected]
Professor Dr. Dr. h.c. Hans Lüth
Institut für Bio- und Nanosysteme
Forschungszentrum Jülich GmbH, 52425 Jülich und
Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule
52062 Aachen, Deutschland
E-mail: [email protected]
ISBN 978-3-540-85794-5
DOI 10.1007/978-3-540-85795-2
e-ISBN 978-3-540-85795-2
Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433
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12. Halbleiter
Im Abschn. 9.2 hatten wir gelernt, dass nur ein partiell gefülltes
elektronisches Band zum elektrischen Strom beitragen kann. Vollständig gefüllte Bänder leisten ebensowenig einen Beitrag zur elektrischen Leitfähigkeit wie vollständig leere und ein Material, das
nur vollständig gefüllte und vollständig leere Bänder aufweist, ist
demnach ein Isolator. Ist der Abstand zwischen der Oberkante des
höchsten gefüllten Bandes (Valenzband) und der Unterkante des
niedrigsten leeren Bandes (Leitungsband) nicht zu groß (z. B.
* 1 eV), so macht sich bei nicht zu niedrigen Temperaturen die
Aufweichung der Fermi-Verteilung bemerkbar: Ein kleiner Bruchteil der Zustände in der Nähe der Oberkante des Valenzbandes
bleibt unbesetzt und die entsprechenden Elektronen befinden sich
im Leitungsband. Sowohl diese Elektronen als auch die im Valenzband entstandenen Löcher können elektrischen Strom tragen. In
diesem Fall spricht man von einem Halbleiter. In Abb. 12.1 sind
die Unterschiede zwischen Metall, Halbleiter und Isolator noch
einmal schematisch dargestellt.
Die Besonderheit halbleitender Materialien gegenüber Metallen
liegt darin, dass die elektrische Leitfähigkeit durch geringfügige
Materialzusätze um viele Größenordnungen variiert werden kann.
Auch lässt sich durch solche Zusätze der Elektronen- oder Löchercharakter der Leitfähigkeit bestimmen. Auf dieser Besonderheit basiert die gesamte Festkörperelektronik. Wegen ihrer Wichtigkeit
wollen wir deshalb den Halbleitern ein besonderes Kapitel widmen.
Abb. 12.1. Termschema für Metall,
Halbleiter und Isolator. Metalle haben
auch bei T = 0 K ein teilweise besetztes
Band (schraffiert). Bei Halbleitern bzw.
Isolatoren liegt das Fermi-Niveau zwischen dem besetzten Valenzband und
dem unbesetzten Leitungsband
404
12. Halbleiter
12.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter
Die Ausbildung der Bandstruktur der typischen Elementhalbleiter
Diamant (C), Si und Ge hatten wir uns schon im Abschn. 7.3 veranschaulicht: Durch Mischung der s- und p-Wellenfunktionen ergibt sich ein tetraedrisches Bindungsorbital (sp3), das im Bereich
des Gleichgewichts-Bindungsabstandes zu einer Aufspaltung in ein
bindendes und ein antibindendes Orbital führt. Die bindenden Orbitale bilden das Valenzband, die antibindenden das Leitungsband
(Abb. 7.9). Die Aufteilung der insgesamt vier s- und p-Elektronen
auf bindende und antibindende Orbitale führt zur vollständigen
Auffüllung des Valenzbandes bei vollständig leerem Leitungsband.
Das Ergebnis ist also ein Isolator wie Diamant bzw. bei kleinerer
Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband ein Halbleiter
wie Silizium oder Germanium (Tabelle 12.1).
Aus der Darstellung in Abb. 7.9 lässt sich sofort ein wichtiger
Sachverhalt für die Energielücke zwischen Valenz- und Leitungsband ablesen: Die Größe der Energielücke muss eine Temperaturabhängigkeit zeigen. Mit wachsender Temperatur vergrößert sich
wegen der thermischen Ausdehnung der Gitterabstand. Dann muss
sich auch die Aufspaltung zwischen bindenden und antibindenden
Zuständen verringern, also die Bandlücke verkleinern. Bei genauerer Betrachtung muss allerdings neben diesem Effekt auch der Einfluss der Gitterschwingungen auf Eg berücksichtigt werden. Insgesamt ergibt sich bei Zimmertemperatur eine lineare Abhängigkeit
der Bandlücke von der Temperatur und bei sehr niedrigen Temperaturen eine quadratische Abhängigkeit.
Während in der Darstellung der Abb. 7.9 die wichtigen Halbleiter Si und Ge ein qualitativ ähnliches Bild liefern, sind in der
E (k)-Darstellung, d. h. im reziproken Raum, die elektronischen
Bänder aufgrund der verschiedenen atomaren Eigenschaften (3 s,
3 p- bzw. 4 s, 4 p-Wellenfunktionen) durchaus verschieden. Die Unterschiede lassen sich aus Abb. 12.2 erkennen. Die Kurven entstammen Rechnungen, die an experimentelle Größen wie Bandabstand, Lage der kritischen Punkte und effektive Masse (Bandkrümmung) angepaßt wurden.
Aus diesen E (k)-Darstellungen längs Richtungen hoher Symmetrie im k-Raum folgt, dass beide Halbleiter sog. indirekte Halbleiter sind: Der minimale Abstand (Bandlücke Eg) zwischen Leitungs- und Valenzband ist für Zustände mit verschiedenen k-Vek-
Tabelle 12.1. Energiebreite der Lücke (verbotenes Band) zwischen Valenz- und
Leitungsband bei Germanium und Silizium
Si
Ge
Eg (T = 0 K) [eV]
Eg (T = 300 K) [eV]
1,17
0,75
1,12
0,67
12.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter
405
Abb. 12.2. Die Bandstrukturen von Silizium und Germanium. Für Ge ist auch
die Spin-Bahnaufspaltung berücksichtigt. (Nach Chelikowsky u. Cohen
[12.1]). Beide Halbleiter sind sog. indirekte Halbleiter, d. h., das Maximum des
Valenzbandes und das Minimum des
Leitungsbandes liegen an verschiedenen
Stellen der Brillouin-Zone. Das Minimum des Leitungsbandes liegt bei Silizium auf der C X=[100]-Richtung und
bei Germanium auf der C L = [111]Richtung. Man beachte die Ähnlichkeit
der Bandverläufe für Ge mit denen aus
Abb. 7.13, die aus andersartigen Rechnungen stammen
toren gegeben (C, d. h. k = (0, 0, 0), im Valenzband und k auf [111]
bei Ge bzw. k auf [100] bei Si im Leitungsband). Leitungselektronen im Leitungsband, die sich auf den energetisch niedrigsten Zuständen befinden, haben also bei Si k-Vektoren auf den [100]-Richtungen und bei Ge solche auf den [111]-Richtungen. Diese Bereiche des k-Raumes, in denen sich also Leitungselektronen bei Si
und Ge befinden, sind in Abb. XV.2 dargestellt.
Die Flächen konstanter Energie in diesem Bereich sind Ellipsoide um die [111] bzw. [100]-Richtung, falls man E (k) nur bis
406
12. Halbleiter
zur parabolischen Näherung, d. h. bis zu quadratischen Gliedern in
k betrachtet. In der Hauptachsendarstellung (große Hauptachsen
sind [100] bei Si und [111] bei Ge) sind die Energieflächen der
Leitungselektronen also
!
kx2 ‡ ky2
kz2
2
…12:1†
E…k† ˆ h
‡ ˆ const :
2mt
2ml
Hierbei heißen m t und m l die „transversale“ bzw. „longitudinale“
effektive Masse. Der Nullpunkt der Energieskala ist in das Minimum des Leitungsbandes gelegt worden.
Tabelle 12.2. Verhältnisse der transversalen
…mt † und longitudinalen …ml † effektiven Masse
zur Masse m des freien Elektrons für Silizium
und Germanium
Si
Ge
mt =m
ml =m
0,19
0,082
0,92
1,57
Bezogen auf die Elementarmasse m des Elektrons folgen aus
Messungen der Zyklotronresonanz die Werte in Tabelle 12.2.
Ein detailliertes Studium (s. Tafel XV „Zyklotronresonanz“) der
Eigenschaften von Löchern in Si und Ge zeigt, dass die Struktur
des Valenzbandmaximums in der Nähe von C (k = 0) komplizierter
ist, als aus Abb. 12.2 zu ersehen ist: Neben den auch in Abb. 12.2
zu erkennenden zwei Valenzbändern mit verschieden starker Krümmung bei C existiert ein weiteres Valenzband, das von den beiden
anderen nur um einen kleinen Betrag D = 0,29 eV bei Ge bzw.
D = 0,044 eV bei Si abgespalten ist. Diese Aufspaltung zweier Bänder rührt her von der Spin-Bahn-Wechselwirkung, die in den Rechnungen für Si in Abb. 12.2 a nicht berücksichtigt ist. Es ergibt sich
also für Si und Ge in der Nähe von C der in Abb. 12.3 qualitativ
dargestellte Verlauf der Valenzbänder. In „parabolischer“ Näherung
Abb. 12.3. Bandstruktur von Silizium
bzw. Germanium in der Nähe der Oberkante des Valenzbandes unter Berücksichtigung der Spin-Bahnaufspaltung D
(qualitativ)
12.1 Daten einiger wichtiger Halbleiter
407
lassen sich drei verschiedene effektive Massen von Löchern bei C
angeben, die zum Ladungstransport beitragen. Entsprechend den
verschiedenen Bandkrümmungen spricht man von schweren und
leichten Defektelektronen mit den Massen mSD bzw. mLD. Die Defektelektronen (Löcher) des abgespaltenen Bandes werden oft als
„split-off“-Löcher mit der Masse mSOD bezeichnet.
Da offenbar die Ausbildung des sp3-Hybrids in der chemischen
Bindung von Si und Ge wesentlich für die halbleitenden Eigenschaften ist, liegt es nahe, halbleitende Eigenschaften auch bei anderen
Materialien mit tetraedrischer Kristallstruktur, d. h. mit sp3-Hybridisierung, zu vermuten. Aufgrund dieser Überlegung kommt man dann
folgerichtig zu einer anderen wichtigen Klasse von Halbleitern, den
III–V-Halbleitern, die als Verbindungshalbleiter aus Elementen der
III. und der V. Gruppe des Periodensystems aufgebaut sind. Vertreter sind InSb, InAs, InP, GaP, GaAs, GaSb und AlSb. Bei diesen Verbindungskristallen liegt eine gemischt ionogen-kovalente Bindung
vor (vgl. Kap. 1). Die Mischbindung kann man sich vorstellen als
Überlagerung zweier Grenzstrukturen, der ionischen, bei der durch
Elektronenübertritt vom Ga zum As eine Ionenstruktur Ga+ As– entsteht, und der kovalenten, bei der infolge Elektronenverschiebung
vom As zum Ga sowohl Ga als auch As nun vier Elektronen in der
äußeren Schale haben und somit genau wie Si und Ge einen sp3-Hybrid ausbilden können. Letztere kovalente Struktur ist offenbar stärker in der Mischbindung vertreten, denn sonst läge kein tetraedrisch
gebundener Kristall mit ZnS-Struktur vor.
Im Gegensatz zu den Elementhalbleitern haben die wichtigsten
Vertreter der III–V-Halbleiter eine sog. direkte Bandlücke, d. h. Va-
Abb. 12.4. Bandstruktur von GaAs als
eines typischen III–V-Halbleiters. (Nach
Chelikowsky u. Cohen [12.1])
408
12. Halbleiter
Tabelle 12.3. Bandlücke Eg, effektive Masse m und Spin-Bahnaufspaltung D für
einige III–V Halbleiter: m Masse des freien Elektrons, m n effektive Masse der
Elektronen, m LD effektive Masse der leichten Löcher, mSD der schweren Löcher,
mSOD der „split-off“-Löcher. Die Werte hängen etwas von der Meßmethode ab
GaAs
GaSb
InSb
InAs
InP
Eg (0 K)
[eV]
Eg (300 K)
[eV]
1,52
0,81
0,24
0,43
1,42
1,43
0,7
0,18
0,35
1,35
m n/m
mLD /m
mSD /m
mSOD /m
D
[eV]
0,07
0,047
0,015
0,026
0,073
0,08
0,05
0,02
0,025
0,12
0,5
0,3
0,4
0,4
0,6
0,15
0,14
0,11
0,14
0,12
0,34
0,8
0,8
0,4
0,11
lenzbandmaximum und Leitungsbandminimum liegen beide bei C
(Abb. 12.4). Ebenso wie bei den tetraedrischen Elementhalbleitern
gibt es auch hier drei verschiedene Valenzbänder mit einer qualitativ
ähnlichen Gestalt bei C (Abb. 12.3). Wichtige Daten einiger III–VHalbleiter mit direkter Bandlücke sind in Tabelle 12.3 zusammengestellt.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass GaP und AlSb eine
indirekte Bandlücke (ähnlich Si und Ge) von 2,32 eV bzw. 1,65 eV
bei T = 0 K haben.
Ähnliche Überlegungen wie im Fall der III–V-Verbindungen führen auch zu einem Verständnis der sog. II–VI-Halbleiter, zu denen
z. B. ZnO (3,2 eV), ZnS (3,6 eV), CdS (2,42 eV), CdSe (1,74 eV)
und CdTe (1,45 eV) gehören. In Klammern sind jeweils die direkten
Bandlücken Eg bei 300 K angegeben. Auch hier liegt eine gemischt
ionogen-kovalente Bindung vor, jedoch mit mehr ionischem Anteil
als bei den III–V-Halbleitern. Die Kristallstruktur ist entweder die
der III–V-Halbleiter (ZnS) oder die des Wurtzits (Abschn. 2.5). In
beiden Fällen liegt eine tetraedrische Nahordnung vor, die auf die
sp3-Hybridisierung der Bindungspartner zurückzuführen ist.
12.2 Ladungsträgerdichte im intrinsischen Halbleiter
Gemäß der Definition der Beweglichkeit im Abschn. 9.5 lässt sich
die elektrische Leitfähigkeit r eines Halbleiters, in dem Elektronen
und Löcher den Stromtransport tragen, schreiben als
r ˆ jej…nln ‡ plp † :
…12:2†
Hierbei sind ln und lp die Beweglichkeiten der Elektronen bzw.
Löcher und n bzw. p die entsprechenden Volumenkonzentrationen
der Ladungsträger. Die Schreibweise in (12.2) trägt bereits der Tatsache Rechnung, dass man in erster Näherung eine k- bzw. Energieabhängigkeit der Größen ln und lp vernachlässigt, weil man im
allgemeinen nur Ladungsträger betrachten muss, die sich im para-
12.2 Ladungsträgerdichte im intrinsischen Halbleiter
409
bolischen Teil der Bänder befinden, wo die effektive Massennäherung (d. h. m n und m p konstant) gilt. Wegen des verschiedenen
Vorzeichens der Driftgeschwindigkeit v und der elektrischen Ladung e von Löchern und Elektronen tragen beide Ladungsträgersorten gleichsinnig zu r bei.
Im Gegensatz zur metallischen Leitfähigkeit bewirkt die bei
Halbleitern vorhandene Bandlücke Eg, die zur Erzeugung „freier“
Ladungsträger thermisch „übersprungen“ werden muss, eine starke
Abhängigkeit der Ladungsträgerkonzentration n und p von der
Temperatur T.
Als intrinsisch bezeichnet man einen Halbleiter, bei dem „freie“
Elektronen und Löcher nur durch elektronische Anregungen aus
dem Valenzband ins Leitungsband zustande kommen. (In
Abschn. 12.3 werden zusätzlich Anregungen aus Störstellen betrachtet.) Wie in jedem Festkörper muss natürlich auch im Halbleiter die Besetzung der Energieniveaus der Fermi-Statistik f (E, T)
(Abschn. 6.3) gehorchen, d. h.
1
…
n ˆ DL …E†f …E; T†dE ;
…12:3 a†
EL
und für Löcher
E…V
pˆ
DV …E†‰1
f …E; T†ŠdE :
…12:3 b†
1
Eigentlich sollten die Integrale bis zur oberen bzw. unteren Kante
der Bänder laufen. Da jedoch die Fermi-Funktion f (E, T) genügend
stark abfällt, können die Integrale bis ins Unendliche durchgeführt
werden. DL (E) und DV (E) sind die Zustandsdichten im Leitungsbzw. Valenzband, für die im Bereich der parabolischen Näherung
(m konstant) gilt [vgl. (6.11)]:
…2mn†3=2 p
E EL ; …E > EL † ;
…12:4 a†
2p2 h3
…2mp†3=2 p
EV E ; …E < EV † :
DV …E† ˆ
…12:4 b†
2p2 h3
Die Dichte im Bereich des verbotenen Bandes EV < E < EL ist natürlich gleich Null. Da im intrinsischen Halbleiter alle „freien“ Elektronen im Leitungsband aus Zuständen im Valenzband stammen, muss
die Konzentration der Löcher p gleich der Zahl der Elektronen n
sein. Es ergeben sich also Verhältnisse wie in Abb. 12.5. Wenn die
effektiven Massen m n und m p und damit die Zustandsdichten DL
und DV gleich sind, muss das Fermi-Niveau EF in der Mitte des verbotenen Bandes liegen. Für voneinander verschiedene DL und DV
verschiebt sich EF geringfügig zu der einen oder anderen Bandkante
hin, damit die Besetzungsintegrale (12.3) gleich werden.
DL …E† ˆ
410
12. Halbleiter
Abb. 12.5. (a) Fermi-Funktion f (E). Zustandsdichte D (E) und Elektronen- (n)
bzw. Löcherkonzentration (p) in Leitungs- und Valenzband für den Fall,
dass die Zustandsdichten in Leitungsund Valenzband gleich sind (schematisch). (b) Die gleiche Figur für den
Fall ungleicher Zustandsdichten in Leitungs- und Valenzband. Wieder muss
die Zahl der Löcher gleich der Zahl der
Elektronen sein. Deswegen liegt jetzt
das Fermi-Niveau nicht mehr in der
Mitte zwischen Leitungs- und Valenzband und seine Lage ist temperaturabhängig
Da die „Aufweichungszone“ der Fermi-Funktion (*2 k T ) bei
üblichen Temperaturen klein ist gegen den Bandabstand (*1 eV),
lässt sich innerhalb der Bänder (E > EL bzw. E < EV ) die FermiFunktion f (E, T) durch die Boltzmann-Besetzungswahrscheinlichkeit annähern; d. h., für das Leitungsband gilt:
!
1
E EF
!
exp
1 fur E EF 2 k T :
kT
E EF
‡1
exp
kT
(12.5)
Damit folgt für die Elektronenkonzentration n im Leitungsband
nach (12.3 a) und (12.4 a)
1
…
…2mn†3=2 EF =k T p E=k T
E EL e
e
dE :
…12:6†
nˆ
2p2 h3
EL
Mittels der Substitution XL = (E–EL)/k T ergibt sich die Darstellung:
!1
…
…2mn†3=2
E L EF
1=2
3=2
k
nˆ
…
T†
exp
XL e XL dXL :
…12:7†
kT
2p2 h3
0
Über eine analoge Rechnung für das Valenzband folgen schließlich
die Darstellungen:
!
!
!3=2
2 p mnk T
EL E F
E
E
L
F
L
ˆ Neff
;
exp
exp
nˆ2
h2
kT
kT
…12:8 a†
12.2 Ladungsträgerdichte im intrinsischen Halbleiter
2 p mpk T
pˆ2
h2
!3=2
EV
exp
kT
EF
!
V
ˆ Neff
exp
EV
kT
EF
411
!
:
…12:8 b†
Man sieht, dass geringe Konzentrationen freier Ladungsträger im
Halbleiter näherungsweise die Beschreibung mit der BoltzmannStatistik [Näherung der Fermi-Statistik für …E EF † 2 k T ] zulassen. Vergleicht man Abb. 12.5 mit den Darstellungen des Potentialtopfmodells in Kap. 6, so lässt sich das Leitungsband formal als
ein Potentialtopf auffassen, bei dem das Fermi-Niveau EF weit
(k T ) unterhalb des Potentialtopfbodens EL liegt.
Die Schreibweise der Gln. (12.8 a u. b) mit Hilfe der sog. effekV
tiven Zustandsdichten N Leff bzw. N eff
lässt weiter die formale Interpretation zu, dass man sich das gesamte Leitungsband bzw. Valenzband durch ein einziges Energieniveau EL bzw. EV (BandkanV
ten) mit der Zustandsdichte N Leff bzw. N eff
(temperaturabhängig!)
charakterisiert denkt, dessen Besetzungsdichte n bzw. p mittels
Boltzmann-Faktoren (Energie jeweils von EF gezählt) geregelt
wird. Diese Näherung, die häufig für Halbleiter Gültigkeit hat,
nennt man die Näherung der Nichtentartung. Durch hohe Konzentration von Störstellen (Abschn. 12.3) kann man auch in Halbleitern sehr hohe Ladungsträgerdichten erzeugen. Dann bricht diese
Näherung zusammen und man spricht von entarteten Halbleitern.
Aus (12.8 a, b) lässt sich folgende allgemeingültige Beziehung
ableiten (Eg = EL–EV):
np ˆ
k
E = T
L
V
Neff
e g
Neff
kT
ˆ4
2 p h2
!3
…mnmp†3=2 e
k
Eg = T
:
…12:9†
Diese Gleichung besagt, dass für einen speziellen Halbleiter, der
vollständig charakterisiert ist durch seine absolute Bandlücke Eg
und die effektiven Massen m n und m p im Leitungs- und Valenzband, Elektronen- und Löcherkonzentration sich in Abhängigkeit
von der Temperatur nach Art eines „Massenwirkungsgesetzes“ einstellen.
Nehmen wir weiter an, dass wir es mit einem intrinsischen
Halbleiter (n = p) zu tun haben, dann hängt die sog. intrinsische Ladungsträgerkonzentration ni wie folgt von der Temperatur ab:
q
L NV e
ni ˆ pi ˆ Neff
eff
k
Eg =2 T
ˆ2
!3=2
kT
2 p h
2
…mnmp†3=4 e
Eg =2
kT :
…12:10†
Für die wichtigen Materialien Ge, Si und GaAs sind die Werte für
ni und Eg in Tabelle 12.4 zusammengestellt.
412
12. Halbleiter
Tabelle 12.4. Bandlücke Eg und Eigenleitungskonzentration ni
für Germanium, Silizium und Galliumarsenid bei 300 K
Ge
Si
GaAs
Eg [eV]
ni [cm–3]
0,67
1,1
1,43
2,4´1013
1,5´1010
5´107
Nach (12.8 a u. b) stellt sich bei gegebener Temperatur das Fermi-Niveau in einem intrinsischen Halbleiter so ein, dass Ladungsneutralität gegeben ist, d. h.
L
n ˆ p ˆ Neff
e
e
k
2EF = T
EF ˆ
ˆ
k
k
EL = T EF = T
e
V
ˆ Neff
e
k
EV = T
V
Neff
…E ‡E †=k T
e V L
;
L
Neff
e
k
EF = T
;
…12:11†
…12:12†
EL ‡ EV k T
E L ‡ EV 3
V
L
ln…Neff
‡
‡ k T ln…mp=mn† :
=Neff
†ˆ
2
2
2
4
…12:13†
Falls effektive Zustandsdichten bzw. effektive Massen, d. h. also
auch Bandkrümmungen von Leitungs- und Valenzband, gleich wären, läge im intrinsischen Halbleiter das Fermi-Niveau genau mitten im verbotenen Band, und dies für alle Temperaturen. Sind die
effektiven Zustandsdichten in Leitungsband und Valenzband verschieden, so liegt die Fermi-Funktion asymmetrisch zu den Bandkanten EL und EV (Abb. 12.5) und das Fermi-Niveau zeigt eine
schwache Temperaturabhängigkeit gemäß (12.13).
12.3 Dotierung von Halbleitern
Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration ni von 1,5´1010 cm–3
(bei 300 K) für Si reicht bei weitem nicht aus, um die in der Praxis erforderlichen Stromdichten in Halbleiterbauelementen zu erzeugen. Über Größenordnungen höhere Konzentrationen als ni lassen sich durch Dotieren, d. h. Einbau von elektrisch aktiven Störstellen, in einem Halbleiter erzeugen. Die meisten Halbleiter lassen
sich als Einkristalle überhaupt nicht so rein züchten, dass man intrinsische Leitfähigkeit bei Raumtemperatur beobachten könnte.
Unbeabsichtigte Dotierung erzeugt bei den reinsten, heute käuflichen GaAs-Einkristallen z. B. Ladungsträgerdichten im Bereich
von 1016 cm–3 (bei 300 K) im Vergleich zur entsprechenden intrinsischen Konzentration von ni = 5´107 cm–3.
Elektrisch aktive Störstellen in einem Halbleiter erhöhen entweder die Konzentration „freier“ Elektronen oder „freier“ Löcher, in-
12.3 Dotierung von Halbleitern
413
dem sie Elektronen an das Leitungsband abgeben oder aus dem
Valenzband aufnehmen. Man nennt diese Störstellen dann Donatoren bzw. Akzeptoren. Ein Donator in einem Si-Gitter entsteht z. B.,
wenn man in ein Si-Gitter statt eines IV-wertigen Si-Atoms ein
fünfwertiges Atom wie P bzw. As oder Sb einbaut. Bei diesen
Fremdatomen liegt statt der 3 s 2 3 p 2-Si-Konfiguration eine s 2 p 3Konfiguration in der äußeren Schale vor. Um die tetraedrische Bindungsstruktur eines sp 3-Hybrids im Gitter anzunehmen, sind beim
fünfwertigen Atom nur die Elektronen s 2 p 2 erforderlich; ein überschüssiges Elektron der p-Schale findet „keinen Platz“ in der kovalenten sp 3-Hybridbindung. Man kann sich dieses Elektron als
schwach gebunden an den positiv geladenen Donator-Rumpf, der –
tetraedrisch gebunden – ein Si-Atom im Gitter vertritt, vorstellen
(Abb. 12.6 a).
Näherungsweise lässt sich eine solche fünfwertige Donatorstörstelle im Si-Gitter als ein einwertiger, positiver Rumpf vorstellen,
an den ein Elektron gebunden ist, das abgetrennt werden kann und
sich dann „frei“ im Gitter bewegen kann; d. h., bei Ionisation wird
dieses Elektron aus einem Störstellenniveau ins Leitungsband angeregt. Die Donatorstörstelle lässt sich also als wasserstoffartiges
Zentrum beschreiben, bei dem die Coulomb-Anziehung zwischen
Kern und Valenzelektron durch das Vorhandensein der Si-Elektronen in der Umgebung abgeschirmt wird.
Um die Anregungs- und Ionisationsenergie des überschüssigen
Phosphor-Elektrons abzuschätzen, kann man die Abschirmung
durch das umgebende Si in grober Näherung durch Einsetzen der
Dielektrizitätskonstante des Si (eSi = 11,7) in die Energieterme des
Abb. 12.6 a, b. Schematische Darstellung der Wirkung eines Donators (a) bzw. eines
Akzeptors (b) in einem Silizium-Gitter. Das fünfwertige Phosphor-Atom wird anstelle eines Silizium-Atoms im Gitter eingebaut. Das fünfte Elektron des Phosphor-Atoms
wird zur Bindung nicht benötigt und ist nur schwach an das Phosphor-Atom gebunden. Die Bindungsenergie lässt sich abschätzen, wenn man das System als ein in
ein Dielektrikum eingebettetes Wasserstoff-Modell behandelt. Der Fall des Akzeptors
(b) lässt sich analog beschreiben: Das dreiwertige Bor nimmt ein zusätzliches Elektron aus dem Silizium-Gitter auf. Dadurch entsteht ein Loch im Valenzband, das
um das negativ geladene Fremdatom kreist. Gitterabstand und Ausdehnung des Störzentrums sind nicht maßstabgetreu. In Wirklichkeit ist der Durchmesser des 1. Bohrschen Radius der „Störstellenbahn“ etwa zehnmal so groß wie der Gitterabstand
414
12. Halbleiter
Wasserstoffatoms berücksichtigen. Die Energieterme des Wasserstoff-Leuchtelektrons
EnH ˆ
me e4
1
2…4 p e0 h† n2
2
…12:14†
ergeben mit n = 1 eine Ionisierungsenergie von 13,6 eV. Für das PDonatorzentrum muss die Masse me des freien Elektrons durch die
effektive Masse m n = 0,3 me eines Si-Leitungselektrons und die Dielektrizitätskonstante e0 des Vakuums durch e0·eSi ersetzt werden.
Damit folgt für die Ionisierungsenergie des Donators Ed ein Wert
von *30 meV. Das Energieniveau ED des Donatorelektrons im gebundenen Zustand sollte also etwa 30 meV unter der Leitungsbandkante EL liegen. Einen noch kleineren Wert erhält man für Germanium. Dort ist eGe = 15,8 und m n *0,12 me. Es ergibt sich hier die
Abschätzung (EL–ED)&6 meV. Die Situation ist im Bänderschema
der Abb. 12.7 dargestellt. Eingezeichnet ist nur der Grundzustand
des Donators. Zwischen diesem Grundzustand und der Leitungsbandkante existieren noch angeregte Zustände [n > 1 in (12.14)],
die, immer dichter liegend, in das Kontinuum des Leitungsbandes
übergehen. Die Situation ist sehr ähnlich der des H-Atoms, wo
dem Leitungsbandkontinuum die ungebundenen Zustände oberhalb
des Vakuumniveaus entsprechen. Die energetische Lage dieser angeregten Zustände lässt sich z. B. aus optischen Spektren erschließen. Abbildung 12.8 zeigt ein Absorptionsspektrum des Sb-Donators in Ge. Die Banden unterhalb von 9,6 meV entsprechen Anregungen aus dem Grundzustand in höhere, angeregte Zustände. Das Spektrum ist komplizierter, als aus dem beschriebenen Wasserstoffmodell
folgen würde, da durch die Kristallumgebung teilweise Entartungen
von Wasserstofftermen aufgehoben werden. Oberhalb von 9,6 meV
geht die Anregung in das Kontinuum des Leitungsbandes.
Wie aus dem experimentellen Beispiel der Abb. 12.8 zu entnehmen ist, gestattet die einfache Beschreibung eines Donatorzentrums durch das H-Atommodell die Abschätzung der Größenordnung der Ionisierungsenergie Ed. Im Rahmen dieses Modells müss-
Abb. 12.7. Qualitative Lage der Grundzustandsniveaus von Donatoren und Akzeptoren in bezug auf die Unterkante
des Leitungsbandes EL bzw. die Oberkante des Valenzbandes EV. Ed und Ea
sind die Ionisierungsenergien der Donatoren bzw. Akzeptoren
12.3 Dotierung von Halbleitern
415
Abb. 12.8. Optisches Absorptionsspektrum eines Sb-Donators in Germanium,
gemessen bei T = 9 K. (Nach Reuszer u.
Fischer [12.2])
ten alle Donatorstörstellen P, As, Sb usw. in ein und demselben
Halbleitermaterial die gleiche Ionisierungsenergie Ed ergeben. Die
experimentell ermittelten Werte Ed in Tabelle 12.5 zeigen jedoch,
dass Abweichungen von Donator zu Donator gefunden werden.
Es verwundert nicht, dass die summarische Beschreibung der
abschirmenden Wirkung der Halbleiterelektronen durch eine Dielektrizitätskonstante zu einfach ist, um die Feinheiten der Atomistik zu verstehen.
Dass die Beschreibung durch eine makroskopische Dielektrizitätskonstante dennoch so gut an die wirklichen Werte für Ed heranführt, liegt daran, dass durch die Abschirmung die Wellenfunktion
des gebundenen Valenzelektrons des Donators über sehr viele Gitterkonstanten „verschmiert“ wird. Einsetzen der Halbleiterdielektrizitätskonstanten eHL in die Formel für den Bohrschen Radius
r ˆ e0 eHL
h2
p mne2
…12:15†
bläht diesen um eHL (*12 für Si) im Vergleich zum (Wasserstoff)
Bohr-Radius auf.
Das gebundene Valenzelektron der Donatorstörstelle ist also
über größenordnungsmäßig 103 Gitteratome „verschmiert“.
Tabelle 12.5. Energetischer Abstand Ed einiger Donatorenniveaus vom Leitungsband für Silizium und Germanium
Si
Ge
P [meV]
As [meV]
Sb [meV]
45
13
54
14
43
10
416
12. Halbleiter
Tabelle 12.6. Energetischer Abstand Ea einiger Akzeptorenniveaus vom Valenzband
für Silizium und Germanium
Si
Ge
B [meV]
Al [meV]
Ga [meV]
In [meV]
45
11
67
11
74
11
153
12
Baut man in das Gitter eines IV-wertigen Elementhalbleiters (Si,
Ge) ein dreiwertiges Fremdatom (B, Al, Ga, In) ein, so kann der
für die tetraedrische Bindung verantwortliche sp 3-Hybrid leicht ein
Elektron aus dem Valenzband unter Zurücklassung eines Defektelektrons aufnehmen (Abb. 12.6). Solche Störstellen heißen Akzeptoren. Ein Akzeptor ist bei sehr tiefen Temperaturen neutral. Er
wird ionisiert, indem bei genügender Energiezufuhr ein Elektron
energetisch aus dem Valenzband in das sog. Akzeptorenniveau angehoben wird. Akzeptoren haben also den Ladungscharakter „von
neutral nach negativ“, während Donatoren von neutral nach positiv
ionisiert werden. Das in der Nähe eines ionisierten Akzeptors entstandene Defektelektron befindet sich im abgeschirmten CoulombFeld der ortsfesten, negativen Störstelle und die Abtrennenergie,
die zur Erzeugung eines „freien“ Loches im Valenzband aufgewendet werden muss, kann wie beim Donator mit Hilfe des Wasserstoffmodells abgeschätzt werden. Die Verhältnisse bei Donatoren
und Akzeptoren entsprechen sich bis auf das Vorzeichen der Ladung grundsätzlich. Tabelle 12.6 zeigt, dass die Ionisierungsenergien Ea für Akzeptoren in der Realität ähnlich denen für Donatoren sind. Mit Donatoren dotierte Halbleiter heißen n- und mit Akzeptoren dotierte Materialien p-Halbleiter.
Die niedrigsten Verunreinigungskonzentrationen, die man heute
bei Halbleitereinkristallen erreichen kann, liegen in der Größenordnung von 1012 cm–3. Ge mit einer intrinsischen Ladungsträgerkonzentration ni von 2,4´1013 cm–3 (bei 300 K) ist also als bei Zimmertemperatur intrinsisches Material erhältlich, während Si
(ni = 1,5´1010 cm–3 bei 300 K) bei Zimmertemperatur nicht intrinsische Leitfähigkeit zeigt. Neben den hier besprochenen, elektrisch aktiven Störstellen kann ein Halbleiter natürlich noch eine Vielzahl von
Fremdatomen und Defekten besitzen, die nicht so leicht ionisiert werden können und sich deshalb in der elektrischen Leitfähigkeit nicht
zeigen.
12.4 Ladungsträgerdichte in dotierten Halbleitern
Im dotierten Halbleiter kann ein Elektron im Leitungsband entweder aus dem Valenzband oder aus einer ionisierten Donatorstörstelle stammen. Entsprechend kann ein Loch im Valenzband zu einem
Elektron in einer negativ geladenen (ionisierten) Akzeptorstörstelle
12.4 Ladungsträgerdichte in dotierten Halbleitern
417
Abb. 12.9. Erklärung der in n- und p-Halbleitern üblichen Bezeichnungen für Ladungsträger- und Störstellenkonzentrationen: n und p sind die Konzentrationen von
„freien“ Elektronen und Löchern. Die Gesamtkonzentration ND und NA von Donatoren und Akzeptoren setzt sich zusammen aus den Dichten von neutralen N 0D bzw.
N 0A und ionisierten Donatoren N +D bzw. Akzeptoren N –A . Elektronen im Leitungsband (n) und Löcher im Valenzband (p) rühren entweder von Band-Band-Anregungen oder aus Störstellen her
oder zu einem Elektron im Leitungsband gehören. Für einen nichtentarteten Halbleiter muss trotzdem die Besetzung im Leitungsbzw. Valenzband nach der Boltzmann-Näherung (12.8 a u. b) geregelt sein. Es gilt deshalb auch für den dotierten Halbleiter das sog.
„Massenwirkungsgesetz“
L
V
n p ˆ Neff
Neff
e
k
Eg = T
;
…12:9†
in dem die Lage des Fermi-Niveaus EF nicht mehr auftritt. Im Vergleich zum intrinsischen Halbleiter regelt sich die Lage von EF
nach einer nun etwas komplizierteren „Neutralitätsbedingung“, die
auch der Ladung in den Störstellen Rechnung trägt: Die im folgenden verwendeten Bezeichnungen sind in Abb. 12.9 schematisch
dargestellt. Die Dichte aller vorhandenen Donatoren ND bzw. aller
Akzeptoren NA setzt sich zusammen aus der Dichte N 0D bzw. N 0A
der Donatoren bzw. Akzeptoren, die neutral sind, und der Dichte
–
N +D der ionisierten Donatoren (dann positiv geladen) bzw. N A
der
ionisierten Akzeptoren (negativ geladen). Im homogenen Halbleiter
–
muss die negative Ladungsdichte n+N A
durch eine gleichgroße po+
sitive Ladungsdichte p+N D (s. Abb. 12.9) kompensiert sein. Folgende Neutralitätsbedingung regelt also die Lage des Fermi-Niveaus EF im homogen dotierten Halbleiter:
n ‡ NA ˆ p ‡ ND‡ ;
…12:16†
wobei gilt
ND ˆ ND0 ‡ ND‡ ;
…12:17 a†
NA ˆ NA0 ‡ NA :
…12:17 b†
418
12. Halbleiter
Für übliche Störstellenkonzentrationen (1013–1017 cm–3), bei denen
sich die einzelnen Donatoren oder Akzeptoren noch nicht beeinflussen, gilt in guter Näherung für die Besetzung der Donatoren
mit Elektronen (nD) bzw. der Akzeptoren mit Löchern (pA):
nD ˆ ND0 ˆ ND ‰1 ‡ exp…ED
EF †=k TŠ
1
;
…12:18 a†
pA ˆ NA0 ˆ NA ‰1 ‡ exp…EF
EA †=k TŠ
1
:
…12:18 b†
Eine geringfügige Modifikation der Fermi-Funktion (Multiplikation
des Exponentialterms mit 1/2), die der Möglichkeit des Einfangs
nur eines Elektrons, jedoch unabhängig von seiner Spinstellung,
Rechnung trägt, wird hier nicht betrachtet.
Der allgemeine Fall, der sowohl Donatoren als auch Akzeptoren
gleichzeitig berücksichtigt, kann nur numerisch behandelt werden.
Im folgenden beschränken wir uns deshalb auf die Behandlung eines reinen n-Halbleiters, in dem nur Donatoren vorhanden sind; es
müssen dann die Gln. (12.8 a, 12.17 a, 12.18 a) zur Berechnung der
Ladungsträgerkonzentration herangezogen werden. Zur besseren
Übersichtlichkeit sind sie hier noch einmal zusammengestellt:
L
n ˆ Neff
e
k
…EL EF †= T
;
…12:8 a†
ND ˆ ND0 ‡ ND‡ ;
ND0
…12:17 a†
EF †=k TŠ
ˆ ND ‰1 ‡ exp‰…ED
1
:
…12:18 a†
„Freie“ Elektronen im Leitungsband können nur aus Donatoren
oder aus dem Valenzband stammen, d. h.
n ˆ ND‡ ‡ p :
…12:19†
Als weitere Vereinfachung nehmen wir an, dass der Hauptbeitrag
zur Leitfähigkeit von den Donatoren herrührt, d. h., dass N +D ni
(n p = n 2i ) angenommen werden kann. Dies ist z. B. für Si
(ni = 1,5´1010 cm–3 bei 300 K) schon bei relativ geringen Dotierungen gegeben. Für diesen einfachen Fall gilt statt (12.19)
n ND‡ ˆ ND
ND0 ;
…12:20†
d. h. mit (12.18 a):
!
1
n ND 1
1 ‡ exp‰…ED
EF †=k TŠ
:
…12:21†
EF lässt sich hier mit Hilfe von (12.8 a) ausdrücken durch
L
†e
…n=Neff
k
EL = T
ˆe
k
EF = T
;
…12:22†
d. h.
n
ND
1‡e
k
Ed = T
;
L
n=Neff
…12:23†
12.4 Ladungsträgerdichte in dotierten Halbleitern
419
wobei Ed = EL–ED der energetische Abstand des Donatorenniveaus
von der Leitungsbandkante ist. Auflösen von (12.23) nach n ergibt:
n‡
n2 Ed =k T
e
ND :
L
Neff
Die physikalisch sinnvolle Lösung ist
s! 1
ND E =k T
:
n 2ND 1 ‡ 1 ‡ 4 L e d
Neff
…12:24†
…12:25†
Diese Beziehung für die Leitungselektronenkonzentration im nHalbleiter ergibt folgende Grenzfälle:
I) Wenn die Temperatur T so klein wird, dass
L
4…ND =Neff
†e
k
Ed = T
1
ist, dann ergibt sich
q
L e Ed =2 k T :
n ND Neff
…12:26†
…12:27†
In diesem Bereich, wo noch genügend viele Donatoren ihr Valenzelektron enthalten, d. h. nicht ionisiert sind, spricht man
von Störstellenreserve. Man beachte die Ähnlichkeit von
V
und EV
(12.27) mit (12.10): Statt der Valenzbandgrößen N eff
sind nur die entsprechenden Donatorgrößen ND und ED (d. h.
statt Eg hier Ed) einzusetzen. In diesem Temperaturbereich
hängt die Elektronenkonzentration wie bei einem intrinsischen
Halbleiter exponentiell von der Temperatur T ab, wobei nur
statt Eg die wesentlich kleinere Donator-Ionisationsenergie Ed
eingeht. Der hier abgehandelte Grenzfall reiner n-Dotierung
wird in der Praxis kaum realisiert. Meistens sind auch geringere Mengen von Akzeptoren vorhanden, was zur Folge hat, dass
das Fermi-Niveau unterhalb ED liegt. Die Aktivierungsenergie
wird deshalb meistens als Ed gemessen.
II) Für Temperaturen T, bei denen gilt
L
†e
4…ND =Neff
k
Ed = T
1;
…12:28†
ergibt (12.25)
n ND ˆ const ;
…12:29†
d. h., die Konzentration von Elektronen im Leitungsband hat
die maximal erreichbare Konzentration erreicht; alle Donatoren
sind ionisiert, man spricht vom Erschöpfungszustand. In erster
Näherung spielen Elektronen, die aus dem Valenzband angeregt sind, noch keine Rolle.
III) Erst bei weiterer Steigerung der Temperatur nimmt die Konzentration der über die Lücke Eg angeregten Elektronen zu und
wird irgendwann die aus Störstellen freigesetzte Elektronen-
420
12. Halbleiter
dichte überwiegen. Der n-Halbleiter verhält sich jetzt wie ein
intrinsischer Halbleiter und man spricht in diesem Temperaturbereich vom intrinsischen Bereich der Trägerkonzentration. Die
verschiedenen Bereiche der Ladungsträgerkonzentration sind
mit der entsprechenden Lage des Fermi-Niveaus EF in
Abb. 12.10 dargestellt.
Für die Lage des Fermi-Niveaus EF in Abhängigkeit von der Temperatur, die hier nicht explizit ausgerechnet wurde, gilt eine analoge Diskussion wie im Fall des intrinsischen Halbleiters. Im Bereich der Störstellenreserve stelle man sich nur die Valenzbandkante durch das Donatorenniveau repräsentiert vor. Im Bereich
sehr hoher Temperaturen, d. h. im intrinsischen Bereich, gelten die
Gesetzmäßigkeiten des intrinsischen Halbleiters.
Bei n-dotiertem Si mit einer Phosphor-Donatorenkonzentration
von 3´1014 cm–3 erstreckt sich der Erschöpfungsbereich zwischen
etwa 45 K und 500 K, d. h., bei Zimmertemperatur sind unter diesen
Umständen schon alle Donatoren ionisiert. Abbildung 12.11 zeigt als
Abb. 12.10. (a) Qualitative Abhängigkeit der Elektronenkonzentration n im
Leitungsband eines n-Halbleiters von
der Temperatur für zwei verschiedene
Donatorkonzentrationen ND
' > ND . Eg ist
die Breite des verbotenen Bandes und
Ed die Ionisierungsenergie der Donatorstörstelle. (b) Qualitative Lage der Fermi-Energie EF (T) bei demselben Halbleiter in Abhängigkeit von der Temperatur. EL und EV sind die Unterkante bzw.
Oberkante von Leitungs- bzw. Valenzband, ED die Lage des Donatorniveaus
und Ei die intrinsische Energie, wo das
Fermi-Niveau im intrinsischen Halbleiter liegt
12.5 Leitfähigkeit von Halbleitern
421
Abb. 12.11. Durch Hall-Effekt (s. Tafel
XIV) gemessene Konzentration n freier
Elektronen in n-Germanium. Für die
Proben (1) bis (6) variiert die Donatorkonzentration ND zwischen 1018 und
1013 cm–3. Die im intrinsischen Bereich
vorliegende Elektronenkonzentration als
Funktion der Temperatur ist gestrichelt
eingezeichnet. (Nach Conwell [12.3])
experimentelles Beispiel die aus Hall-Effekt-Messungen bestimmten
Elektronenkonzentrationen n (T) in n-dotiertem Ge für Störstellenkonzentration zwischen 1013 cm–3 und 1018 cm–3. Die in Abb.
12.10 qualitativ gezeigten Zusammenhänge sind klar zu erkennen.
12.5 Leitfähigkeit von Halbleitern
Wie schon im Abschn. 9.5 genauer diskutiert, ist für die Berechnung der elektrischen Leitfähigkeit r als Funktion der Temperatur
T eine zusätzliche Betrachtung der Beweglichkeit erforderlich. Für
einen Halbleiter müssen dabei sowohl die Elektronen im unteren
422
12. Halbleiter
Leitungsbandbereich (Konzentration: n, Beweglichkeit: ln) als
auch die Löcher nahe der oberen Valenzbandkante (p, lp) berücksichtigt werden. Die Stromdichte j im isotropen Halbleiter (nichttensorielle Leitfähigkeit r ) ist also
j ˆ e…n ln ‡ p lp †E :
…12:30†
Im Gegensatz zum Metall, wo nur Elektronen an der Fermi-Kante
berücksichtigt werden müssen, d. h. l = l (EF) (s. Abschn. 9.5), sind
die Beweglichkeiten ln und lp beim Halbleiter als Mittelwerte
über die von Elektronen bzw. Löchern besetzten Zustände im unteren Leitungsband bzw. oberen Valenzband aufzufassen. In nichtentarteten Halbleitern kann in diesen Bereichen die Fermi-Statistik
durch die Boltzmann-Statistik angenähert werden. Im Rahmen dieser Näherung liefert diese Mittelung, die im vorliegenden Zusammenhang nicht näher ausgeführt wird,
ln ˆ
1 hs…k†v 2 …k†i
e:
mn hv 2 …k†i
…12:31†
Hierbei ist v…k† die im elektrischen Feld E vorliegende Geschwindigkeit eines Elektrons im Punkt k des reziproken Raumes und
s (k) seine zugehörige Relaxationszeit (genauere Definition im
Abschn. 9.4). Für Defektelektronen sind in (12.31) diese Größen
an entsprechenden Stellen des Valenzbandes zu nehmen und die effektive Masse m n der Elektronen durch die der Löcher zu ersetzen.
Statt einer rigorosen Lösung der Boltzmann-Gleichung und einer exakten weiteren Betrachtung von (12.31) beschränken wir uns
im vorliegenden Zusammenhang ähnlich wie für Metalle (Abschn.
9.5) auf eine mehr qualitative Diskussion der Streuprozesse, die
Elektronen bzw. Löcher im Halbleiter erleiden. Elektronen und Löcher verhalten sich hierbei qualitativ gleichwertig. Stark vereinfacht folgt aus (12.31) eine Proportionalität der Beweglichkeit zur
Relaxationszeit (l ! s), die für Metalle nach (9.58 b) exakt gegeben ist. Da s auch proportional zur mittleren freien Flugzeit zwischen zwei Stößen ist, folgt
1
/ hviR ;
s
…12:32†
wobei R den Streuquerschnitt für Elektronen bzw. Löcher an einem Streuzentrum darstellt. hvi ist im Gegensatz zu Metallen
(Abschn. 9.5) als thermischer Mittelwert (nach Boltzmann-Statistik) über alle Elektronen- bzw. Löchergeschwindigkeiten im unteren Leitungsband- bzw. oberen Valenzbandbereich zu betrachten.
Gleichung (12.32) gibt im wesentlichen die Stoßwahrscheinlichkeit
für Elektronen bzw. Löcher an. Wegen der Gültigkeit der Boltzmann-Statistik gilt im Halbleiter
p
hvi / T :
…12:33†
12.5 Leitfähigkeit von Halbleitern
423
Betrachten wir nun Streuung an akustischen Phononen, so kann
man wie bei Metallen (Abschn. 9.5) den Streuquerschnitt RPh
durch das Quadrat der mittleren Schwingungsamplitude hs2 …q†i eines Phonons (q, xq) abschätzen, d. h., für Temperaturen T H, der
Debye-Temperatur, folgt (Abschn. 9.5)
M x2q hs2 …q†i ˆ k T ;
…12:34 a†
RPh T :
…12:34 b†
Wegen (12.32, 12.33) folgt somit die Abschätzung
lPh T
3=2
:
…12:35†
Zusätzlich zur hier betrachteten üblichen Streuung an Phononen
können in piezoelektrischen Halbleitern (z. B. III–V- und II–VIVerbindungen) markante Beiträge von Streuung an Phononen herrühren, die mit einer Polarisation behaftet sind (piezoelektrische
Streuung). Ferner können Ladungsträger an optischen Phononen
höherer Energie gestreut werden. In diesem Fall wird die Beschreibung außerordentlich kompliziert, da die Relaxationszeitnäherung
(Abschn. 9.4) weitgehend zusammenbricht.
In Halbleitern spielt insbesondere die Streuung an geladenen Störstellen (ionisierte Donatoren oder Akzeptoren) eine wichtige Rolle.
Ein an einer punktförmigen, geladenen Störstelle „vorbeifliegender“ Ladungsträger unterliegt dabei der Coulomb-Wechselwirkung
und der Streuquerschnitt RSt für diese „Rutherford-Streuung“ ist
RSt / hvi
4
;
…12:36†
wobei pfür
 seine Geschwindigkeit der thermische Mittelwert
hvi / T angenommen wird. Gleichung (12.36) folgt aus einer
klassischen oder quantenmechanischen Berechnung des Streuprozesses (siehe einschlägige Lehrbücher der Mechanik oder Quantenmechanik). Da die Gesamtstreuwahrscheinlichkeit ferner proportional zur Konzentration NSt der Störstellen sein muss, folgt mit
(12.32, 12.33 und 12.36)
1
/ NSt =T 3=2
sSt
…12:37†
Abb. 12.12. Schematische Abhängigkeit
der Beweglichkeit l in einem Halbleiter
von der Temperatur bei Streuung an
Phononen und an geladenen Störstellen
424
12. Halbleiter
Abb. 12.13. Experimentell ermittelte
Abhängigkeit der Beweglichkeit l freier
Elektronen von der Temperatur. Für die
Proben (1) bis (6) variiert die Donatorkonzentration ND zwischen 1018 und
1013 cm–3. Es handelt sich um die Proben, die auch für die Messungen in
Abb. 12.11 verwendet wurden. (Nach
Conwell [12.3])
bzw. für die Beweglichkeit, sofern nur Streuung an geladenen Störstellen vorliegt,
lSt / T 3=2 :
…12:38†
Die reziproke Gesamtbeweglichkeit bei Vorliegen von Störstellenund Phononenstreuung ergibt sich durch Summation der reziproken
Beweglichkeit aus (12.35) und (12.38), d. h., qualitativ ergibt sich
ein Verlauf wie in Abb. 12.12 dargestellt. Abbildung 12.13 zeigt
die aus Hall-Effekt- und Leitfähigkeitsmessungen ermittelte experimentelle Abhängigkeit l (T) der Elektronenbeweglichkeit für n-Ge;
für die reinsten Kristalle (ND^1013 cm–3) liegt l (T) nahe bei der
theoretisch erwarteten Abhängigkeit (12.35) für reine Phononenstreuung. Mit wachsender Donatorenkonzentration ND ist der durch
(12.38) hinzukommende Störstellenbeitrag (s. a. Abb. 12.12) zu erkennen.
Abbildung 12.14 zeigt, dass der charakteristische Beweglichkeitsverlauf aus Abb. 12.12 in der Abhängigkeit der Leitfähigkeit
von der Temperatur T im Bereich der Störstellenerschöpfung, wo
n (T) nahezu konstant ist (Abb. 12.10, 12.11), durchschlägt. Dort
zeigt r (T) ein Maximum, während im Bereich der intrinsischen
Leitfähigkeit und der Störstellenreserve (kleine T) die exponentiellen Abhängigkeiten der Ladungsträgerkonzentration n (T)
(Abb. 12.11) die schwache Abhängigkeit der Beweglichkeit l von
der Temperatur T überdecken. Die experimentellen Ergebnisse der
Abb. 12.11, 12.13 und 12.14 wurden jeweils an den gleichen GeProben [durchnummeriert mit (1) bis (6)] gewonnen, so dass die
12.5 Leitfähigkeit von Halbleitern
425
Abb. 12.14. Experimentell ermittelte
Leitfähigkeit r von n-Germanium in
Abhängigkeit von der Temperatur. Für
die Proben (1) bis (6), die auch für die
Messungen in den Abb. 12.11 u. 12.13
verwendet wurden, variiert die Donatorkonzentration ND zwischen 1018 und
1013 cm–3. (Nach Conwell [12.3])
Leitfähigkeit r sich unmittelbar aus n (T) und l (T) ausrechnen
lässt.
Die bisherigen Betrachtungen zur Leitfähigkeit von Halbleitern
betreffen das ohmsche Verhalten für relativ niedrige elektrische
Felder E , wo die Stromdichte j proportional zu E ist und somit die
Leitfähigkeit r durch eine Beweglichkeit l beschrieben wird. In
modernen Halbleiterbauelementen mit Dimensionen im Submikrometerbereich erreicht die Feldstärke Werte oberhalb von 105 V/cm;
in diesem Hochfeldbereich gilt das Ohmsche Gesetz nicht mehr.
Die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger v D ist nicht
mehr proportional zur Feldstärke. Wie Messungen und theoretische
Rechnungen ergeben, gilt die Proportionalität v D!E bei den wichtigen Halbleitern Si, Ge, GaAs u.a. bis zu Feldstärken von etwa
426
12. Halbleiter
2´103 V/cm (Abb. 12.15). Für höhere Feldstärken sättigt sich v D
für den indirekten Halbleiter Si (ähnlich für Ge) bei einem Wert
von v D&107 cm/s. Die Energie, die den Ladungsträgern durch das
äußere Feld zugeführt wird, geht durch Phononstreuprozesse weitgehend wieder verloren, sie wird an Schwingungen des Kristallgitters abgegeben. Besonders wirksam sind in diesem Energiebereich
Stöße an optischen Phononen. Die Ladungsträger werden also im
äußeren Feld entlang der Energiebänder E (k) beschleunigt, bis sie
die Energie (bezogen auf EF) optischer Phononen mit hoher Zustandsdichte (etwa 60 meV bei Si, 36 meV bei GaAs) erreichen.
Durch Anregung dieser Phononen und weitere Thermalisierung
durch niederenergetische akustische Phononen wird die Energieaufnahme begrenzt und die Driftgeschwindigkeit strebt einem Sättigungswert zu.
Eine Besonderheit ist bei direkten Halbleitern wie GaAs, InP, GaN
zu beobachten, die neben dem C-Minimum des Leitungsbandes energetisch höher liegende Seitenminima bei L und X in der Bandstruktur
besitzen (Abb. 12.4). In diesem Fall durchläuft die Driftgeschwindigkeit v D mit wachsender Feldstärke ein Maximum, bevor sie sich bei
einem niedrigeren Wert ähnlich wie bei Si sättigt. Die Erklärung
für dieses Phänomen, das bei GaAs für Feldstärken zwischen
3´103 V/cm und 105 V/cm zu einem negativen differentiellen Widerstand Anlass gibt, beruht auf der Streuung von Elektronen aus dem
niedrigsten C-Leitungsbandminimum in die flachen Seitenminima
bei X und L (Abb. 12.4). Solche Streuprozesse setzen ein, wenn
die im äußeren Feld aufgenommene Energie ausreicht, die Schwelle
bis zum Erreichen der Seitenminima zu überwinden. Während bei
GaAs die kleine effektive Masse von 0,068 m0 im C-Minimum zu
recht hohen Beweglichkeiten im Niederfeldbereich (< 103 V/cm)
Anlass gibt, werden bei Einsetzen der Streuprozesse in die Seitenminima immer mehr Elektronen die wesentlich größere effektive Masse
(> m0) der flachen Seitentäler bei X bzw. L annehmen; die Driftgeschwindigkeit v D der Elektronen nimmt ab (Abb. 12.15). Bei weiterer Zunahme der äußeren Feldstärke über 3´105 V/cm hinaus werden
dann Elektronen in den Seitentälern der Bandstruktur mit ihrer weitaus höheren effektiven Masse als im C-Tal weiter beschleunigt.
Dementsprechend würde v D wieder proportional zur Feldstärke mit
einer weitaus geringeren Beweglichkeit als im Niederfeldbereich
(< 103 V/cm) zunehmen. In diesem Bereich extrem hoher Felder
wird dieses Verhalten jedoch überdeckt durch den Effekt des Lawinendurchbruchs: die beschleunigten Elektronen gewinnen soviel
Energie, dass sie weitere Elektronen aus dem Valenzband ins Leitungsband anregen. Die Leitfähigkeit des Halbleiters nimmt lawinenartig durch die Multiplikation freier Ladungsträger zu. Auch dieser
Effekt findet Anwendung in Bauelementen.
Bemerkenswert an Abb. 12.15 ist, dass der indirekte Halbleiter
Si eine ähnliche Sättigungsgeschwindigkeit bei Feldstärken oberhalb von 3´104 V/cm hat wie der direkte Halbleiter GaAs. Bei
kleinen Bauelementdimensionen, wo solche Feldstärken auftreten,
12.6 Der p-n-Übergang und der Metall/Halbleiter-Schottky-Kontakt
427
Abb. 12.15.
Ladungsträger-Driftgeschwindigkeit vD
als Funktion der elektrischen Feldstärke
E bei Zimmertemperatur 300 K. Die
Kurven für Si und GaAs sind Messdaten an hochreinen kristallinen Proben,
die einer Literaturzusammenstellung
entnommen wurden. (Nach Sze [12.4]).
Die Kurve für GaN entstammt einer
Monte Carlo-Simulation. (Nach Gelmont et al. [12.5])
geht also der Geschwindigkeitsvorteil, den das GaAs gegenüber
dem Si bei kleineren Feldstärken hat, verloren. Des weiteren sind
die hohen Driftgeschwindigkeiten von Halbleitern mit großen
Bandlücken wie GaN auffallend. Wegen seiner zusätzlichen hohen
thermischen Stabilität eignet sich GaN also grundsätzlich sehr gut
für die Verwendung in schnellen Hochtemperaturbauelementen.
12.6 Der p-n-Übergang
und der Metall/Halbleiter-Schottky-Kontakt
Die moderne Festkörperphysik ist eng verknüpft mit der Entwicklung der Halbleiterbauelemente, d. h. der Festkörperelektronik. Die
Wirkungsweise fast aller Halbleiterbauelemente beruht dabei auf
Phänomenen, die auf Inhomogenitäten im Halbleiter zurückzuführen sind. Vor allem inhomogene Konzentrationen von Donator- und
Akzeptorstörstellen bewirken interessante Leitfähigkeitsphänomene, die die Konstruktion von Halbleiterbauelementen ermöglichen.
Die wichtigsten Grundstrukturen zur Realisierung von Bauelementen sind der sog. p-n-Übergang und der in seiner Funktionsweise ähnliche Metall/Halbleiter-Schottky-Kontakt. Bei einem p-nÜbergang handelt es sich um einen Halbleiterkristall, der auf der
einen Seite p-, auf der anderen Seite n-leitend dotiert ist
(s. Abb. 12.16). Im einfachsten (in der Realität natürlich nicht zu
verwirklichenden) Fall wird der Übergang von der einen in die andere Zone als abrupt angenommen.
Tafel XIV
Tafel XIV
Hall-Effekt
Um in der Leitfähigkeit r = n e l Trägerkonzentration n und Beweglichkeit l getrennt bestimmen zu
können, wird neben der Messung der Leitfähigkeit
r als zweite Messung die des Hall-Effektes durchgeführt. Hierbei wird durch eine Kristallprobe ein
Strom I geschickt und senkrecht zum Strom ein
Magnetfeld (magnetische Induktion B ) angelegt.
An zwei gegenüberliegenden Kontakten (senkrecht zu I und B ) kann dann stromlos (IH = 0),
d. h. über eine Kompensationsschaltung, eine sog.
Hallspannung UH gemessen werden.
Dies ist schematisch in Abb. XIV.1 dargestellt.
Weil UH stromlos gemessen wird, kompensiert
die sich an der Probe in y-Richtung aufbauende
Hallspannung UH gerade die auch in y-Richtung
wirkende Lorentz-Kraft auf ein Elektron, das
sich in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v x
bewegt:
Fy ˆ
e…v B†y
eE y ˆ ev x B
eE y ˆ 0 :
…XIV:1†
Hierbei ist E y = UH/b das sog. Hall-Feld. Unter
der Annahme, dass nur Elektronen den Strom
tragen (n-Halbleiter oder Metall), gilt
jx ˆ I=…b d† ˆ
n ev x
…XIV:2†
IH = 0
I
Abb. XIV.1. Schema einer Hall-Effekt-Messung. Messgrößen:
B: magnetische Induktion; I: Strom durch die Probe; UH:
Hallspannung. Gestrichelt sind Bahnen von Elektronen
(Konzentration n) und Löchern (Konzentration p) angegeben,
die durchlaufen würden, falls ohne Kompensationsschaltung
für UH ein Strom IH ˆj 0 fließen würde. Bei IH = 0 werden die
Ladungsträger durch die sich aufbauende Hallspannung UH
auf ihrer geradlinigen Bahn (parallel zu x ) gehalten
(10–3 K–1)
Abb. XIV.2 a, b. Temperaturabhängigkeit der Hall-Konstanten
RH für p-Silizium (a) und n-Silizium (b). Für Temperaturen
im Bereich von 1300 K setzt bei p-Silizium mit einer BorStörstellenkonzentration von 2´1017 cm–3 (a) intrinsische
Leitfähigkeit ein, die Kurve in Teil (a) würde dort einen
Nulldurchgang haben und schließlich in den intrinsischen Ast
der Abb. XIV.2 b einmünden [XIV.1]
Tafel XIV
474
Tafel XIV Hall-Effekt
und damit folgt
UH
1
1 IB
ˆ
jx B ˆ
:
…XIV:3†
b
ne
n e bd
Die Größe RH = – (ne)–1 heißt Hallkonstante. Sie
kann also durch Messung von UH, I und B gemäß
E yˆ
UH ˆ R I B=d
…XIV:4†
bestimmt werden. Ihr Vorzeichen gibt die Art der
Ladungsträger (negativ für Elektronen) und ihre
Absolutgröße die Ladungsträgerkonzentration n
an.
Wird in einem Halbleiter der Strom sowohl
durch Elektronen (Konzentration n, Beweglichkeit ln) als auch durch Löcher (Konzentration p,
Beweglichkeit lp) getragen, so ergibt eine analoge Rechnung folgenden Wert für die Hallkonstante:
RH ˆ
pl2p
nl2n
e…plp ‡ nln †2
:
…XIV:5†
Abbildung XIV.2 zeigt experimentell ermittelte
Hallkonstanten RH für Bor-dotiertes p-Silizium
(a) bzw. Arsen-dotiertes n-Silizium (b). Da die
Hallkonstante bis auf die Elementarladung e die
reziproke Ladungsträgerkonzentration wiedergibt,
ähnelt der Kurvenverlauf in logarithmischer Auftragung zumindest im Temperaturbereich 33 bis
500 K dem typischen Verlauf der Ladungsträgerdichtekurven für Halbleiter (s. z. B. Abb. 12.10).
Die Steigungen im Bereich 33 bis 50 K sind
durch die Ionisierungsenergien der Akzeptoren
bzw. Donatoren festgelegt (12.27). Der steil verlaufende Kurvenabschnitt in Abb. XIV.2 b bei etwa 103 K zeigt intrinsische Leitfähigkeit durch
Elektron-Loch-Paarerzeugung an. Die verschiedenen Vorzeichen von RH in Abb. XIV.2 a, b entsprechen den verschieden geladenen Trägersorten
in p- und n-dotiertem Material.
Literatur
XIV.1 F. J. Morin, J. P. Maita: Phys. Rev. 96, 29 (1954)
Tafel XVI
Tafel XVI
Shubnikov-de Haas-Oszillationen
und Quanten-Hall-Effekt
Durch die kontrollierte Epitaxie von atomar
scharfen Halbleiterheterostrukturen und Übergittern (Abschn. 12.7) ist es möglich geworden,
freie Leitungsbandelektronen in quasi-zweidimensionalen (2 D)-Quantentopfstrukturen von
50–100 Å (typische Ausdehnung in einer Richtung) „einzusperren“. Die hierbei erzeugten quasi-2 D-Elektronengase zeigen hochinteressante
physikalische Effekte, vor allem in einem von
außen anliegenden starken Magnetfeld. Ein Elektronengas, das sich in einem quasi-2 D-Quantentopf befindet, ist längs einer Koordinate (z, senkrecht zur Heterozwischenschicht oder zur Schichtenfolge in einem Übergitter) in seiner Bewegung stark eingeschränkt, während in der x, yEbene senkrecht dazu freie Bewegung möglich
ist. Dementsprechend stellen sich die Energieeigenwerte eines Elektrons dar als (Abschn. 12.7):
Ej …kk † ˆ
h2 2
h2 2
‡
k
k ‡ ej ;
2mx x 2my y
j ˆ 1; 2; . . .
…XVI:1†
wobei mx und my die effektiven Massenkomponenten in der Ebene der freien Beweglichkeit
sind. ej ist ein Spektrum diskreter Energieeigenwerte, das aus der Quantisierung in z-Richtung
resultiert (12.90). Für einen tiefen, rechteckigen
Quantentopf der Dicke dz nimmt ej z. B. näherungsweise die Werte an, die eindimensionalen,
stehenden Elektronenwellen in einem Potentialkasten (Abschn. 6.1) entsprechen (12.93)
ej '
h2 p2 j2
;
2mz dz2
j ˆ 1; 2; 3; . . . :
…XVI:2†
(XVI.1) beschreibt also ein Spektrum diskreter
Energieparabeln längs kx und ky, sog. Subbänder
(Abschn. 12.7). Legt man nun ein starkes Magnetfeld B senkrecht zur x, y-Ebene der freien Beweglichkeit an, so wird die Dimensionalität des Elek-
tronengases weiter eingeschränkt. Die Elektronen
werden senkrecht zum B-Feld auf sog. Zyklotron-Kreisbahnen gezwungen (Tafel XV), auf denen die Umlauffrequenz (Zyklotronfrequenz)
eB
xc ˆ
…XVI:3†
mk
durch das Gleichgewicht zwischen Lorentz-Kraft
und Zentrifugalkraft bestimmt ist. mk ist die effektive Masse der Elektronen parallel zur Kreisbewegung (speziell für Isotropie in der Ebene:
mx =my = mk ). Da eine Kreisbahn in zwei senkrecht zueinander liegende harmonische Schwingungen zerlegt werden kann, sind die quantenmechanischen Energieeigenwerte der ZyklotronBewegung die eines harmonischen Oszillators
der Eigenfrequenz xc. Somit bewirkt das Magnetfeld B eine weitere Quantisierung der Subbänder (XVI.1), die auf Einteilchenenergien
Ej;n;s ˆ ej ‡ …n ‡ 12†hxc ‡ sglB B
…XVI:4†
führt. Der letzte Term trägt den beiden möglichen
Spineinstellungen im Magnetfeld Rechnung;
s = ±1 ist die Spinquantenzahl, lB das Bohrsche
Magneton und g der Landé-Faktor der Elektronen. Die in (XVI.1) dargestellte Quantisierung
durch das Magnetfeld wurde in Tafel VIII für
das Elektronengas eines Metalles schon auf etwas
andere Weise hergeleitet. Hier wie dort führt die
durch das B-Feld erzeugte Quantisierung in sog.
Landau-Niveaus (Energieabstand h xc) zu einer
Aufspaltung der kontinuierlichen Energieparabeln
(Subbänder) in diskrete Energieeigenwerte
(Abb. XVI.1 b). Für ein spezielles Subband ist
ohne Magnetfeld (B = 0) die Zustandsdichte wegen der Zweidimensionalität eine Stufenfunktion
(Abb. 12.28 c). Diese kontinuierliche Funktion
spaltet bei endlichem B-Feld in eine Reihe von
d-funktionsartigen Spitzen auf, die auf der Energieskala um h xc voneinander entfernt sind. Die
Tafel XVI Shubnikov-de Haas-Oszillationen und Quanten-Hall-Effekt
Tafel XVI
478
Damit ergibt sich für den Entartungsgrad eines
Landau-Niveaus
NL ˆ eB=h ˆ 2;42 1010 cm 2 T
1
B:
…XVI:7†
Abb. XVI.1 a–c. Qualitative Darstellung der Quantelung eines 2 D-Elektronengases in einem äußeren Magnetfeld B
(senkrecht zur x, y-Ebene freier Beweglichkeit). (a) Energieparabel des 1. Subbandes (12.92) eines freien 2 D-Elektronengases längs kx (gestrichelt). Bei Anlegen eines äußeren Magnetfeldes tritt eine weitere Quantisierung in Form von Landau-Zuständen auf (Punkte). (b) Zustandsdichte D im 1. Subband des 2 D-Elektronengases, ohne Magnetfeld (gestrichelt)
und mit äußerem Magnetfeld (durchgezogen). xc = –e B / mk
ist die Zyklotronfrequenz der elektronischen Kreisbahnen
senkrecht zum Magnetfeld
B. (c) Darstellung der Landau
Aufspaltung n ‡ 12 h xc in der kx, ky-Ebene des reziproken
Raumes
Zustände „kondensieren“ in scharfe Landau-Niveaus. Weil keine Zustände verloren gehen, müssen soviele Zustände in einem solchen d-funktionsartigen Landau-Niveau enthalten sein, wie ursprünglich bei B = 0 in der Fläche zwischen je
zwei Landau-Niveaus vorhanden waren, d. h., der
Entartungsgrad NL eines Landau-Niveaus beträgt
NL ˆ hxc D0 ;
…XVI:5†
wo D0 die Dichte des Subbands bei B = 0 ist. Im
Vergleich zu (12.96) muss die Aufhebung der
Spinentartung im Magnetfeld berücksichtigt werden, d. h. es folgt aus (12.96)
D0 ˆ mk =2ph2 :
…XVI:6†
Wenn der Landau-Zustand energetisch unterhalb
des Fermi-Niveaus liegt, ist er bei genügend tiefer Temperatur gerade mit NL Elektronen besetzt.
Eine Variation des äußeren Magnetfeldes ändert
nun die energetische Aufspaltung h xc der Landau-Niveaus wie auch den Entartungsgrad
(XVI.5) jedes Niveaus. Mit wachsender Magnetfeldstärke verschieben sich die Landau-Zustände
zu höheren Energien und durchlaufen schließlich
das Fermi-Niveau EF. Dabei werden sie entleert,
wobei die überzähligen Elektronen jeweils auf
dem darunterliegenden Landau-Niveau Platz finden (wegen der angestiegenen Zustandsdichte).
Wenn bei genügend tiefer Temperatur die FermiKante scharf ist, hat das Gesamtsystem seine
tiefste freie Energie, wenn gerade ein Landau-Niveau das Fermi-Niveau gekreuzt hat. Mit wachsendem B-Feld steigt die freie Energie an, bis
der nächste Landau-Zustand entleert wird. Dies
führt zu Oszillationen der freien Energie als
Funktion des äußeren Magnetfeldes. Daraus resultieren verschiedene oszillatorische Effekte,
z. B. der de Haas-van Alphen-Effekt, der besondere Bedeutung bei der Ausmessung der Topologie von Fermi-Flächen erlangte (Tafel VIII).
Vor allem aber der Quanten-Hall-Effekt
[XVI.1] liefert heute nicht nur eine wichtige Methode zur Charakterisierung von 2D-Elektronengasen (2DEG) in Halbleiterheterostrukturen, sondern er hat nach seiner Entdeckung durch von
Klitzing (Nobelpreis 1985) neue wissenschaftliche Impulse bei der Entwicklung einer Halbleiter-Nanostrukturphysik gegeben.
Zur Beobachtung des Quanten-Hall-Effekts
wird wie beim klassischen Hall-Effekt (Tafel
XIV) eine Spannung UH stromlos an zwei gegenüberliegenden Kontakten senkrecht zum Stromfluss gemessen. Der Strom wird jedoch anders
als beim klassischen Hall-Effekt (Tafel XIV)
durch ein 2DEG in einer Halbleiterheterostruktur,
z. B. aus AlGaAs/GaAs, getragen. Das variable
Magnetfeld B liegt senkrecht zur Stromrichtung
und damit normal zur Ebene des 2DEG an (Abb.
rH
XVI.2, Einschub, und Abb. XVI.5 c). Die Messung geschieht bei tiefen Temperaturen, um eine
scharfe Fermi-Kante im hoch entarteten 2DEG
zu gewährleisten. Wird nun das Magnetfeld sukzessive erhöht, so ändert sich der Hall-Widerstand rH = UH/I sprunghaft, jeweils mit Stufen bei
den Magnetfeldern, bei denen ein scharfes Landau-Niveau das Fermi-Niveau durchkreuzt (Abb.
XVI.2a). Wird gleichzeitig der Magnetowiderstand Rxx (!UL/I) (Abb. XVI.2b) parallel zur
Strombahn über entsprechende hintereinander liegende Kontakte (Abb. XVI.5b) gemessen, so erscheint eine Folge von Banden jeweils dort, wo
im Quanten-Hall-Effekt Stufen zwischen zwei
aufeinanderfolgenden Plateaus auftreten, d. h.
479
dort, wo ein Landau-Niveau das Fermi-Niveau
durchkreuzt. Diese Widerstandsoszillationen heißen nach ihrem Entdecker Shubnikov-de HaasOszillationen.
Die experimentell gefundenen Hall-Widerstandswerte bei den Magnetfeldern, wo jeweils
ein Landau-Niveau das Fermi-Niveau EF kreuzt,
ergeben sich unmittelbar aus der Formel für den
klassischen Hall-Effekt (Tafel XIV). Aus (XIV.3)
folgt für den Hall-Widerstand
rH ˆ
UH
B
B
ˆ
ˆ
;
I
nde eN2D
…XVI:8 a†
wobei N2D die zweidimensionale Dichte des
2DEG ist, die im Magnetfeld B natürlich nur
Vielfache des Entartungsgrades NL (XVI.7) annehmen kann.
Damit folgen die Widerstandswerte, bei denen
Landau-Niveaus EF kreuzen, zu
rH ˆ
B
ˆ
mNL e
h 1
;
e2 m
m ˆ 1; 2; 3; . . .
…XVI:8 b†
Abb. XVI.2. (a) Quanten-Hall-Effekt, gemessen bei 4 K am
quasi-2 D-Elektronengas einer modulationsdotierten AlGaAs/
GaAs-Heterostruktur; 2 D-Elektronendichte N = 4´1011 cm–2,
elektronische Beweglichkeit l = 8,6´104 cm2/Vs. Der HallWiderstand rH = UH/I wird in Abhängigkeit vom Magnetfeld
B mit einer Messanordnung wie im Einschub gezeigt gemessen. (b) Shubnikov-de Haas-Oszillationen im Magnetowiderstand Rxx, gemessen wie angedeutet im Einschub durch UL/I
als Funktion des äußeren Magnetfeldes B. Die angegebenen
Zahlen nummerieren die Subbänder, wobei die Pfeile entsprechende Spin-Einstellungen zum B-Feld andeuten. (Nach Paalonen et al. [XVI.2])
Mit (XVI.8 b) sind zwar einzelne diskrete Werte
des Kurvenverlaufs in Abb. XVI.2 a richtig beschrieben, jedoch wird in keiner Weise das Auftreten der charakteristischen Plateaus erklärt.
Hierzu ist eine genauere Betrachtung der Bewegung von Ladungsträgern in Gegenwart starker Magnetfelder erforderlich. In einem starken
magnetischen Feld können nur Elektronen im Innern der Probe, d. h. des 2DEG, ungestörte Zyklotronorbits ausführen (Abb. XVI.3). Ihre Energiezustände entsprechen den ungestörten LandauNiveaus (XVI.4). Am Rand der Probe jedoch stoßen die Elektronen auf die Probenbegrenzung,
sie können keine geschlossenen Kreisbahnen
mehr ausführen. Im einfachsten Fall elastischer
Reflexion ergeben sich als Bahnkurven Teilkreise
mit stark gekrümmten Verläufen bei der Reflexion. Die starke Krümmung, die sich auch in den
Wellenfunktionen widerspiegelt, führt zu einer
Zunahme der kinetischen Energie und damit zu
einer „Aufbiegung“ der Landau-Niveaus am
Rand der Probe. In der Nähe der Probenberandung y1 und y2 schneiden die Landau-Zustände
das Fermi-Niveau EF. Auch wenn im Innern der
Probe die Landau-Zustände weit unter EF liegen,
Tafel XVI
Tafel XVI Shubnikov-de Haas-Oszillationen und Quanten-Hall-Effekt
Tafel XVI
480
Tafel XVI Shubnikov-de Haas-Oszillationen und Quanten-Hall-Effekt
findet dennoch elektrische Leitung am Rande
statt, da dort die Landau-Zustände EF schneiden,
also besetzte und unbesetzte Zustände infinitesimal nahe beieinander liegen. Diese sog. Randkanäle (edge channels) besitzen eine weitere interessante Eigenart: sie leiten widerstandsfrei, selbst
im Fall makroskopischer Probendimensionen, wo
Störstellenstreuung auch bei tiefer Temperatur
nicht vernachlässigbar ist. Bei Störstellenstreu-
ung an einem Defekt S auf einer Randbahn
(Abb. XVI. 4) wird das Elektron durch das starke
Magnetfeld wieder in Vorwärtsrichtung gezwungen; der Gesamtstrom in Vorwärtsrichtung wird
nicht reduziert, so dass der Stromtransport in einer solchen Randbahn widerstandsfrei, d. h. quasi-ballistisch, ist. Falls die Landau-Zustände bei
geeignetem Magnetfeld energetisch genügend
weit vom Fermi-Niveau EF entfernt sind, gibt es
keine Zustände im Innern der Probe nahe EF ,
über die Elektronen im rechten Randkanal mit
Zuständen im linken Kanal über Streuung kommunizieren können. Bei Elektronenfluss von links
nach rechts befinden sich Elektronen im linken
Randkanal auf dem elektrochemischen Potential
lL des linken Kontaktes, während Elektronen im
rechten „Rückkanal“ sich auf dem Potential des
rechten Kontaktes lR befinden (Abb. XVI.5).
lL
lR ˆ eV :
…XVI:9†
Der Strom zwischen linkem und rechtem Kontakt wird also im Fall vernachlässigbarer Streuung zwischen Hin- und Rückkanälen als ballistischer Strom in den eindimensionalen (1D) Randkanälen getragen. Die Differenz zwischen beiden
Kontakten ergibt den Nettostrom:
Iˆ
l
nc …L
X
nˆ1
Abb. XVI.3. Erklärung der sog. Randkanäle (edge channels)
für Elektronen bei Anliegen eines Magnetfeldes B senkrecht
zur Ebene des 2-dimensionalen Elektronengases (2DEG). (a)
Ein starkes Magnetfeld B senkrecht zum 2DEG bewirkt
Quantisierung der elektronischen Zustände in Landau-Niveaus (n = 1, 2, 3, . . .), die im Innern der Probe geschlossenen
Zyklotronbahnen entsprechen. An den beiden Probenrändern
y1 und y2 sind geschlossene Bahnen nicht mehr möglich, die
stark gekrümmten Randbahnen (durch elastische Reflexion)
führen zu einem Anwachsen der Energie der Landau-Zustände, die schließlich die Fermi-Energie EF kreuzen. (b) Bei
Stromfluss sind die chemischen Potentiale lR und lL der
rechten und linken Randkanäle verschieden, wobei lL–lR der
Potentialunterschied zwischen den entsprechenden Kontakten
ist. (c) Mit wachsendem Magnetfeld B nimmt die Aufspaltung der Landau-Niveaus zu, wobei das oberste Niveau sich
an die Fermi-Energie EF heranschiebt. Im Innern der Probe
stehen dann elektronische Zustände nahe EF für Streuung zur
Verfügung; linke und rechte Randkanäle kommunizieren
eD…1†
n …E†v n …E†dE :
…XVI:10†
lR
Hierbei läuft die Summe über alle besetzten
Landau-Niveaus n (bis zu einem maximal
besetzten nc), die als Randkanäle EF schneiden.
–1
–1
D(1)
ist die 1D-Zustandsn = (2p) (dEn/dkx)
dichte, die dem n-ten Randkanal zukommt, wäh-
Abb. XVI.4. Schematische Trajektorie eines Ladungsträgers
auf einer Randbahn (edge channel), der an einem Streuzentrum S einen elastischen Streuprozess erleidet. Das Magnetfeld ist senkrecht zum 2DEG orientiert, das am Probenrand
endet. Dort ist die Streuung als elastisch angenommen
rend v n = h 1 (dEn/dkx) die Elektronengeschwindigkeit in diesem Zustand ist. Damit folgt für
den n-ten Randkanal ein Strombeitrag
e
e2
…XVI:11†
In ˆ …lL lR † ˆ V :
h
h
Bei der Messung des Quanten-Hall-Effekts wird
über zwei Kontakte senkrecht zum Stromfluss
(Abb. XVI.5 c) der Widerstand zwischen linken
und rechten (hin und zurück) Randkanälen gemessen. Mit (XVI.11) trägt jeder Randkanal den Betrag e2/h zur Leitfähigkeit, d. h. h/e2 zum Hall-Wi-
derstand, bei, genau das Quantum (XVI.8 b), um
das der Widerstand sprunghaft zunimmt, wenn
bei Vergrößerung des Magnetfeldes ein weiteres
Landau-Niveau die Fermi-Energie kreuzt und
von Elektronen entleert wird. Die Erklärung des
Shubnikov-de Haas-Effektes ist ähnlich zwanglos. Hier wird der Magnetowiderstand mittels
zweier Kontakte entlang der Strombahn, also entlang von Randkanälen auf ein und demselben Potential, gemessen (Abb. XVI.5 b). Solange die
Landau-Niveaus im Innern der Probe sich energetisch genügend weit von EF befinden, fällt keine
Spannung ab. Bei Änderung des Magnetfeldes erreicht einer der Randkanäle im Innern der Probe
EF . Es stehen dann Zustände für Streuung zwischen den Hin- und Rückkanälen (links und
rechts) zur Verfügung. Streuung zwischen den
sonst entkoppelten Hin- und Rückkanälen tritt
auf, was einen Widerstand längs der Kanäle bewirkt. Für diese Magnetfelder, wo ein Landau-Niveau im Innern der Probe EF durchdringt, wird eine
bandenartige Widerstandszunahme wie im Experiment (Abb. XVI.2 b) gemessen. Quanten-Hall-Effekt und Shubnikov-de Haas-Oszillationen werden in dieser Interpretation also auf quasi-eindimensionalen Transport in Randkanälen zurückgeführt [XVI.4].
Die sprunghaften Änderungen des Hall-Widerstandes rH konnten experimentell mit einer Genauigkeit von 10–7 an realen Proben verschiedenster Herkunft und Struktur gefunden werden
[XVI.1]. Man benutzt deshalb mittlerweile die
Messung des Quanten-Hall-Effektes zur Präzisionsbestimmung der Feinstrukturkonstanten
e2 l0 c
1

:
…XVI:12†
h 2
137
Nimmt man auf der anderen Seite als bekannt an
(bestimmt durch eine Vielzahl von Präzisionsmessungen), so lässt sich der Quanten-Hall-Effekt mittels (XVI.8 b) zur Einführung eines Eichnormals
für die Widerstandseinheit „Ohm“ verwenden.
Weiterhin sei bemerkt, dass der Quanten-HallEffekt mit einer Reihe anderer Phänomene in der
Physik mesoskopischer Systeme oder Nanostrukturen verwandt ist. Die Tatsache, dass Randkanäle
(durch das hohe B-Feld verursachte 1D-Leitungskanäle) jeweils einen Betrag e2/h zur Leitfähigkeit beitragen, lässt sich sofort auf 1D-Leitungska-
ˆ
Abb. XVI.5. (a) Ballistischer Elektronentransport in Randkanälen (edge channels), die durch Quantisierung in einem starken Magnetfeld B senkrecht zum räumlich begrenzten 2DEG
erzeugt werden. Unter Vernachlässigung inelastischer Streuung zwischen linken (L) und rechten (R) Kanälen entsprechen die chemischen Potentiale lL und lR denen des linken
und rechten elektrischen Kontaktes. (b) Leitung durch Randkanäle in einem 2DEG bei Vorhandensein zweier Kontakte 1)
und 2) zur Messung von Shubnikov-de-Haas-Oszillationen in
einem starken Magnetfeld B. Inelastische Streuung (i.s.) zwischen linken und rechten Kanälen verursacht einen Spannungsabfall zwischen den Kontakten. (c) Leitung durch
Randkanäle in einem 2DEG mit Kontakten 1) und 2) zur
Messung des Quanten-Hall-Effektes
481
Tafel XVI
Tafel XVI Shubnikov-de Haas-Oszillationen und Quanten-Hall-Effekt
Tafel XVI
482
Tafel XVI Shubnikov-de Haas-Oszillationen und Quanten-Hall-Effekt
näle allgemeinerer Art übertragen, sofern die Breite der Kanäle mit der Fermi-Wellenlänge der Elektronen kF vergleichbar ist und die elektrische Leitung quasi-ballistisch, d. h. bei Leiterdimensionen
kleiner als der freien Weglänge der Ladungsträger
erfolgt. So konnte gezeigt werden, dass die Leitfähigkeit kurzer 1D-Kanäle, die mittels aufgedampfter Metallelektroden in einem 2D-Elektronengas
an einer modulationsdotierten AlGaAs/GaAs-Heterostruktur (Abschn. 12.7) erzeugt werden, in
Quanten von 2 e2/h zunimmt, wenn die Kanalweite durch Variation einer an den Metallelektroden anliegenden Spannung sukzessive vergrößert
wird [XVI.5]. Das Leitfähigkeitsquantum pro
„ballistischem“ Kanal beträgt hier 2 e2/h, der doppelte Wert wie beim Quanten-Hall-Effekt. Der
Grund ist die Spin-Entartung, die beim QuantenHall-Effekt durch das Magnetfeld aufgehoben ist.
Selbst beim elektrischen Schalten makroskopischer metallischer Relais aus Au, Ag und Cu wurden Leitfähigkeitssprünge des Betrages 2 e2/h bei
Zimmertemperatur gefunden, die auf mesoskopi-
sche Verengungen der Leitfähigkeitskanäle in
den aufgedampften polykristallinen Metallfilmen
zurückgeführt werden [XVI.6].
Literatur
XVI.1 K. von Klitzing, G. Dorda, M. Pepper: Phys. Rev. B
28, 4886 (1983)
XVI.2 M. A. Paalonen, D. C. Tsui, A. C. Gossard: Phys. Rev.
B 25, 5566 (1982)
XVI.3 H. Lüth: Solid Surfaces, Interfaces and Thin Films
(Springer, Berlin Heidelberg 2001) 4th edition,
S. 419
XVI.4 M. Janßen, O. Viehweger, U. Fastenrath, J. Hajdu:
Introduction to the Theory of the Integer Quantum
Hall Effect (VCH, Weinheim 1994)
XVI.5 B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker,
J. W. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, C. T. Foxon: Phys. Rev. Let. 60, 848 (1988)
XVI.6 K. Hansen, E. Laegsgaard, I. Stensgaard, F. Besenbacher: Phys. Rev. B56, 2208 (1997)