Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2 Aufgabe 1: Wdh. De Broglie-Wellenlänge: Bewegt sich ein Objekt mit nicht verschwindender Ruhemasse mit dem Impuls p = mv, dann kann ihm eine Materiewelle der Wellenlänge zugeordnet werden: h p h 2mE Kin de Broglie Beziehung Wichtig: Wellenpaket mind. so breit wie De Broglie-Wellenlänge! a) Tennisball mit m = 80 g und v = 170 km/h Impuls: p = m v = 0,08 kg 170 m kg m = 3, 7 3,6 s s Wellenlänge des Tennisballs: h 6, 63 1034 Js 2 1, 754 1034 m p kg m 3, 7 Es ist sicherlich nicht sinnvoll, einem Tennisball eine Materiewelle zuzuordnen! D.h. falls die de Broglie Wellenlänge eines Teilchen (hier Tennisball) um mehrere Größenordnungen kleiner ist als das betrachtete System (z.B. hier Tennisplatz) kann das System klassisch berechnet werden, also ohne QuantenmechanischeBetrachtung. b) Kinetische Energie des Elektrons E kin U B e p2 2 m0 p 2 m0 e U B 2 9 ,1 10 31 1,6 10 19 5 10 4 kg As V 1, 208 1022 kg m s h 6, 63 1034 Js 2 5, 485 1012 m 5,5 pm 22 p 1, 21 10 kg m Der Wellencharakter der Elektronen ist also in bestimmten Fällen (z.B. Auflösungsgrenze des Elektronenmikroskops) zu berücksichtigen. (Anmerkung: Für Elektronen in einem Kristall (wie z.B. Halbleiter) wird durch die Wechselwirkung mit dem Kristallpotential die Materiewelle des Elektrons ausgedehnt.) Anmerkung: In diesem Fall wäre der relativistische Ansatz mit E m0 c 2 eU B p 2 c 2 m0 c 2 anzuwenden. Dies ändert jedoch nichts an der Aussage der Aufgabe. Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2 Aufgabe 2: a) Wdh. Quantenmechanik: Die allgemeine zeitabhängige Schrödingergleichung j 2 2 r , t V (r , t ) r , t t 2m kann über die Analogien E t p2 2 E kin. 2m 2m V r , t E pot . j in die klassische Beziehung E ges E kin E pot überführt werden. Im klassischen Bild entsprechen die Energieeigenwerte Resonanzfrequenzen von z.B. Schwingkreisen. Allgemein handelt es sich um ein sogenanntes Eigenwertproblem: H r , t E r , t , H = Operator (hier Hamiltonoperator), E reeller Wert ^ ^ daher der Begriff Energieeigenwerte. Anwendung eines Operators auf eine Wellenfunktion ergibt Erwartungwert (=Mittelwert) einer physikalische Größe (wie z.B. Energie). Die Wellenfunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsamplitude an sich hat keine direkte physikalische Aussage. Messbar ist nur die Wahrscheinlichkeitsdichte * (Intensität) der Materiewelle: *dV Wahrscheinlichkeit, dass sich Quantenobjekt zur Zeit t im Volumen dV befindet. Lösungsschema für QM-Probleme (Potentialtopf): Falls V zeitunabhängig reicht stationäre Schrödinger Gleichung: 2 r E r V r r 2m Es handelt sich um eine Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung, d.h. nur durch Randbedingungen, den sog. Anschluß- und Stetigkeitsbedingungen, kann diese Gleichung eindeutig gelöst werden. 1. Separates Lösen der DGL in Teilbereichen (konstantes V) durch Einsetzen einer allgemeinen Wellenfunktion (meist vorgegeben). 2. Man erhält so eine Dispersionsrelation für die einzelnen Ortsfrequenzen k. 3. Durch Zusammenfügen der einzelnen Lösungen mittels Randbedingungen (Stetigkeit, Beschränktheit, Differenzierbarkeit) können die Amplitudenkoeffizienten und Energieeigenwerte bestimmt werden. Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2 Anmerkungen: Im Falle eines endlich hohen Potentials können die Energieeigenwerte nicht analytisch berechnet werden, sondern müssen grafisch oder numerisch berechnet werden. Die Differenzierbarkeit folgt daraus, dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j durch gegeben ist. Im stationären Fall muss die Stromdichte in ein x Volumenelement gleich der Stromdichte aus einem Volumenelement sein. Im Falle des unendlich hohen Potentialtopfs muss die Differenzierbarkeit als Grenzfall gesehen werden. b) Mit E findet man im Innenbereich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für diesen Fall (V=0): 2 2m0 2 2 2 2 2 2 ( x, y, z ) E ( x, y, z ) z x y Für die verschiedenen Raumrichtungen kann wieder ein Separationsansatz gemacht werden: ( x, y, z ) X x Y y Z z . Damit folgt die Gleichung 2 X x 2Y y 2 Z z 2 2 x 2 y 2 E, z 2m0 Z z X x Y y die mit der Dispersionsbeziehung E 2 2 (k x k y2 k z2 ) in die folgenden drei 2m0 Einzelgleichungen zerfällt: 2 X x x 2 2Y y y 2 2 Z z z 2 k x2 X x , k y2 Y y , k z2 Z z . Diese können einzeln wie in Zentralübung 1 gelöst werden. Für die Gesamt-Wellenfunktionen gilt 8 n m l x sin y sin z ( x, y, z ) 3 sin a a a a Die Energie im dreidimensionalen Potentialtopf setzt sich zusammen aus den Energien der drei Raumrichtungen: 2 2 E Ex E y Ez n2 m2 l 2 , 2 m a2 Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2 wobei hier die Quantenzahlen n, m und l die Eigenwerte in x-, y- und z-Richtung sind. c) Betrachtung der 5 niedrigsten Energieniveaus: n m l n2+m2+l2 E E-Niveau Entartungsgrad 1 1 1 3 1,13 eV 1. 1 2 2 2 1 1 6 1 2 1 6 2,26 eV 2. 3 2 6 1 1 2 6 2 2 1 9 2 1 2 9 3,39 eV 3. 3 2 6 1 2 2 9 3 1 1 11 1 3 1 11 4,15 eV 4. 3 2 6 1 1 3 11 2 2 2 12 4,52 eV 5. 1 2 2 (Der Faktor 2 beim Entartungsgrad berücksichtigt den Spin) d) Die Energieniveaus des Wasserstoff-Atoms folgt: E n berechnen sich wie m0 e 4 1 2 2 2(4 0 ) n Der wesentliche Unterschied zum Potentialwürfel besteht darin, daß hier die Energie nur von der Hauptquantenzahl n abhängt. Die Nebenquantenzahl l durchläuft die Werte l = 0, 1, ..., n-1. Die magnetische Quantenzahl kann die Werte m l ,l 1,... , 0 , ... , l 1, l einnehmen. Also gibt es zu jedem n-Wert n -1 (2l 1) n 2 Zustände mit gleicher Energie. Berücksichtigt man die Spinquanten- l 0 zahl, so gibt es zu jedem n-Wert 2n 2 Zustände. e) Schema: n E E-Niveau Entartungsgrad = 2n 2 1 -13,6 eV 1. 1 2 2 2 -3,39 eV 2. 42 8 3 -1,51 eV 3. 9 2 18 4 -0,83 eV 4. 16 2 32 5 -0,54 eV 5. 25 2 50 Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2