Aufgabe 1:

Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2009 / 2010
Lösungen zur Übung 2
Aufgabe 1:
Wdh. De Broglie-Wellenlänge:
Bewegt sich ein Objekt mit nicht verschwindender Ruhemasse mit dem Impuls p = mv, dann
kann ihm eine Materiewelle der Wellenlänge l zugeordnet werden:
λ=
h
=
p
h
2mE Kin
de Broglie Beziehung
Wichtig: Wellenpaket mind. So breit wie De Broglie-Wellenlänge!
a) Tennisball mit m = 80 g und v = 170 km/h
Impuls:
p = m ⋅ v = 0,08 kg ⋅
170 m
kg m
= 3, 7
3,6 s
s
Wellenlänge des Tennisballs:
h 6, 63 ⋅10−34 Js 2
=
= 1, 754 ⋅10−34 m
p
kg m
3, 7
Es ist sicherlich nicht sinnvoll, einem Tennisball eine Materiewelle zuzuordnen!
λ=
b) Kinetische Energie des Elektrons
E kin = U B ⋅ e =
p2
2 ⋅ m0
p = 2 ⋅ m0 ⋅ e ⋅ U B = 2 ⋅ 9 ,1 ⋅ 10 −31 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 5 ⋅ 10 4 kg As V
= 1, 208 ⋅10−22
λ=
kg m
s
h 6, 63 ⋅10−34 Js 2
=
= 5, 485 ⋅10−12 m = 5,5 pm
p 1, 21 ⋅10−22 kg m
Der Wellencharakter der Elektronen ist also in bestimmten Fällen (z.B. Auflösungsgrenze
des Elektronenmikroskops) zu berücksichtigen.
Anmerkung:
In diesem Fall wäre der relativistische Ansatz mit
E = m0 c 2 + eU B =
p 2 c 2 + m0 c 2
anzuwenden. Dies ändert jedoch nichts an der Aussage der Aufgabe.
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Lösungen zur Übung 2
Aufgabe 2:
a) Wdh. Quantenmechanik:
Die allgemeine zeitabhängige Schrödingergleichung
− jh
⎞ r
⎛ h2 2
∂ r
ψ (r , t ) = ⎜⎜ −
∇ + V (r , t ) ⎟⎟ψ (r , t )
∂t
⎠
⎝ 2m
kann über die Analogien
∂
→E
∂t
p2
h2
−
Δ→
= E kin.
2m
2m
V (r , t ) → E pot .
− jh
in die klassische Beziehung E ges = E kin + E pot überführt werden. Im klassischen Bild
entsprechen die Energieeigenwerte Resonanzfrequenzen von z.B. Schwingkreisen.
Allgemein handelt es sich um ein sogenanntes Eigenwertproblem:
H ψ (r , t ) = Eψ (r , t ) , H = Operator (hier Hamiltonoperator), E reeller Wert
^
^
daher der Begriff Energieeigenwerte. Anwendung eines Operators auf eine
Wellenfunktion ergibt Erwartungwert (=Mittelwert) einer physikalische Größe (wie
z.B. Energie). Die Wellenfunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsamplitude an sich hat
keine direkte physikalische Aussage.
Messbar ist nur die Wahrscheinlichkeitsdichte ψ *ψ (Intensität) der Materiewelle:
ψ *ψdV = Wahrscheinlichkeit, dass sich Quantenobjekt zur Zeit t im Volumen dV
befindet.
Lösungsschema für QM-Probleme (Potentialtopf):
Falls V zeitunabhängig (keine Wechselspannung) reicht stationäre Schrödinger
Gleichung:
r
r
r
r
h2
ΔΨ (r ) + E ⋅ Ψ (r ) = V (r )Ψ (r )
2m
Es handelt sich um eine Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung, d.h. nur durch
Randbedingungen, den sog. Anschluß- und Stetigkeitsbedingungen, kann diese
Gleichung eindeutig gelöst werden.
1. Separates Lösen der DGL in Teilbereichen (konstantes V) durch Einsetzen einer
allgemeinen Wellenfunktion (meist vorgegeben).
2. Man erhält so eine Dispersionsrelation für die einzelnen Ortsfrequenzen k.
3. Durch Zusammenfügen der einzelnen Lösungen mittels Randbedingungen
(Stetigkeit, Beschränktheit, Differenzierbarkeit) können die Amplitudenkoeffizienten und Energieeigenwerte bestimmt werden.
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Lösungen zur Übung 2
Anmerkungen:
• Im Falle eines endlich hohen Potentials können die Energieeigenwerte nicht
analytisch berechnet werden, sondern müssen grafisch oder numerisch
berechnet werden.
• Die Differenzierbarkeit folgt daraus, dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j
∂
durch
gegeben ist. Im stationären Fall muss die Stromdichte in ein
∂x
Volumenelement gleich der Stromdichte aus einem Volumenelement sein.
• Im Falle des unendlich hohen Potentialtopfs muss die Differenzierbarkeit als
Grenzfall gesehen werden.
b) Mit E = hω findet man im Innenbereich die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
für diesen Fall (V=0):
−
h2
2m0
⎛ ∂2
∂2
∂2 ⎞
⋅ ⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ψ ( x, y, z ) = E ⋅ψ ( x, y, z )
∂z ⎠
⎝ ∂x ∂y
Für die verschiedenen Raumrichtungen kann wieder ein Separationsansatz gemacht
werden:
ψ ( x, y, z ) = X ( x ) ⋅ Y ( y ) ⋅ Z ( z ).
Damit folgt die Gleichung
⎛ ∂ 2 X ( x ) ∂ 2Y ( y ) ∂ 2 Z ( z ) ⎞
⎟
⎜
2
h 2 ⎜ ∂x 2
∂y 2
⎟ = E,
z
∂
+
+
−
⋅⎜
2m0
Z (z ) ⎟
X (x )
Y (y)
⎟
⎜
⎠
⎝
die mit der Dispersionsbeziehung E =
h2 2
(k x + k y2 + k z2 ) in die folgenden drei
2m0
Einzelgleichungen zerfällt:
∂ 2 X (x )
∂x 2
∂ 2Y ( y )
−
∂y 2
2
∂ Z (z )
−
∂z 2
−
= k x2 ⋅ X (x ),
=
k y2 ⋅ Y ( y ),
=
k z2 ⋅ Z (z ).
Diese können einzeln wie in Zentralübung 2 gelöst werden.
Für die Gesamt-Wellenfunktionen gilt
8
⎛ nπ ⎞
⎛ mπ ⎞
⎛ lπ ⎞
⋅ x ⎟ ⋅ sin ⎜
⋅ y ⎟ ⋅ sin ⎜ ⋅ z ⎟
ψ ( x, y, z ) = 3 ⋅ sin⎜
a
⎝ a
⎠
⎝ a
⎠
⎝ a ⎠
Die Energie im dreidimensionalen Potentialtopf setzt sich zusammen aus den Energien
der drei Raumrichtungen:
h 2π 2
E = Ex + E y + Ez =
⋅ n2 + m2 + l 2 ,
2 m a2
(
)
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Lösungen zur Übung 2
wobei hier die Quantenzahlen n, m und l die Eigenwerte in x-, y- und z-Richtung sind.
c) Betrachtung der 5 niedrigsten Energieniveaus:
n
m
l
n2+m2+l2
E
E-Niveau
Entartungsgrad
1
1
1
3
1,13 eV
1.
1⋅ 2 = 2
2
1
1
6
1
2
1
6
2,26 eV
2.
3⋅ 2 = 6
1
1
2
6
2
2
1
9
2
1
2
9
3,39 eV
3.
3⋅ 2 = 6
1
2
2
9
3
1
1
11
1
3
1
11
4,15 eV
4.
3⋅ 2 = 6
1
1
3
11
2
2
2
12
4,52 eV
5.
1⋅ 2 = 2
(Der Faktor 2 beim Entartungsgrad berücksichtigt den Spin)
d) Die
Energieniveaus
des
Wasserstoff-Atoms
folgt: E n = −
berechnen
sich
wie
m0 e 4
1
⋅ 2
2
2(4πε 0 h) n
Der wesentliche Unterschied zum Potentialwürfel besteht darin, daß hier die Energie
nur von der Hauptquantenzahl n abhängt. Die Nebenquantenzahl l durchläuft die
Werte l = 0, 1, ..., n-1. Die magnetische Quantenzahl kann die Werte
m = −l ,−l + 1,... , 0 , ... , l − 1, l einnehmen. Also gibt es zu jedem n-Wert
n -1
∑ (2l + 1) = n
2
Zustände mit gleicher Energie. Berücksichtigt man die Spinquanten-
l =0
zahl, so gibt es zu jedem n-Wert 2n 2 Zustände.
n
E
E-Niveau
Entartungsgrad = 2n 2
1
-13,6 eV
1.
1⋅ 2 = 2
2
-3,39 eV
2.
4⋅2 = 8
3
-1,51 eV
3.
9 ⋅ 2 = 18
4
-0,83 eV
4.
16 ⋅ 2 = 32
5
-0,54 eV
5.
25 ⋅ 2 = 50
e) Siehe Zentralübung 3