Sitzungsberichte - BAdW

Sitzungsberichte
der
mathematisch-physikalischen Klasse
K. B. Akademie der Wissenschaften
zu München
1913. Heft 1
Januar- bis Märzsitzung
München 1913
Verlag der Königlich Bayerischen Akademie der Wissenschaften
in Kommission des G. Franz'schen Verlags (J. Roth)
Über Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische
Strahlung.
Bin Beitrag zur Theorie der oberen Inversion.
Von R. Emden.
Vorgelegt von S. Finsterwalder in der Sitzung am 1. Februar 1913.
Inhaltsübersicht: Einleitung. § 1. Die effektive Erdtemperatur und
die Absorption diffuser Strahlung. § 2. Strahlungsgleichgewicht bei
grauer Strahlung. S 3. Die Untersuchungen von W. J. Humphreys und
E. Gold. § 4. Die Integralgleichung des Strahlungsgleichgewichtes.
§ 5. Das Strahlungsgleichgewicht der Atmosphäre und die Temperatur
der oberen Inversion. § G. Die Strahlung der Atmosphäre.
Einleitung.
In einer ruhenden Gasmasse sind bekanntlich unendlich
viele Anordnungen von Dichte, Druck und Temperatur möglich, die den Bedingungen mechanischen Gleichgewichtes genügen. Handelt es sich jedoch um eine Gasmasse, deren Elemente nach den Gesetzen der Temperaturstrahlung leuchten
und absorbieren, während Wärmeaustausch durch Konvektion
ausgeschlossen, durch Leitung hinreichend klein sein soll, so
wird ein Gleichgewichtszustand ausgesondert, den wir als Strahlungsgleichgewicht bezeichnen werden, und der dadurch
ausgezeichnet ist, daß ein jedes Teilchen denselben Betrag an
Energie ausstrahlt, den es durch Zustrahlung der übrigen
Teilchen und etwa vorhandener äußerer Strahlungsquellen
gewinnt. Oder anders ausgedrückt: Strahlungsgleichgewicht
ist vorhanden, wenn durch Strahlung und Absorption die
Temperaturen der Teilchen, und deshalb auch die Massenanordnung, nicht geändert werden. Grundbedingung ist stets
Gleichheit der Mengen abgegebener und gewonnener Strahlung,
56
R. Emden
unabhängig von ihrer Zusammensetzung nach Wellenlängen,
Polarisationszustand und Strahlungsrichtung.
Auf diesen Gleichgewichtszustand hat zuerst K. Schwarzschild1) aufmerksam gemacht; eine neuere Arbeit von E. Gold2)
geht von ähnlichen Gesichtspunkten aus. Uber diese Arbeiten
wird unter § 2 resp. § 3 zu sprechen sein.
Wir behandeln im folgenden das Strahlungsgleichgewicht
einer Atmosphäre, d. i. einer Gasmasse, die entweder die äußeren
Partien einer Gaskugel bildet, oder auf einer starren Kugel aufliegt. Die Niveauflächen sind dann Kugelflächen; ihre Radien
seien so groß, daß wir mit genügender Genauigkeit von der
Krümmung absehen und ein ebenes Problem behandeln können.
Druck, Dichte und Temperatur ändern sich dann nur in Richtung einer Achse, der Vertikalen. Jede horizontale Schicht
strahlt gemäß ihrer Temperatur ebensoviel Energie aus, als
sie durch Zustrahlung der übrigen Schichten und äußerer
Strahlungsquellen gewinnt.
Es liegt die Versuchung nahe, anzunehmen, daß bei
diesem Gleichgewichtszustand die beiden Energieströme, welche
eine horizontale Schicht abwärts und aufwärts durchsetzen,
sich gleich sein müssen. Tatsächlich benützt auch E. Gold
(loc. cit.) diese Gleichheit neben dem erstgegebenen Kriterium
zur Bestimmung des Strahlungsgleichgewichts. Allein wie in
einer Metallplatte bei linearem Temperaturgefälle ein Wärmetransport durch Leitung stattfinden kann, ohne daß die Temperaturen sich ändern, ist bei geeigneter Temperaturverteilung
auch Energietransport durch Strahlung bei Konstanz der Temperaturen möglich. Kennzeichen des Strahlungsgleichgewichtes
soll deshalb lediglich die Tatsache sein, daß durch Strahlung
und Absorption kein Gasteilchen seine Temperatur ändert.
7
) K. Schwarzschild, Über das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre.
Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mutlnphys. Klasse 190(1, Heft 1.
2
) E. Gold, The Isothermal Layer of the Atmosphere and Atmospheric Radiation. Proceedings of the Royal Society of London, series A,
vol. 82, p. 43, 1909.
Strahlungagleiehgewicht und atmosphärische Strahlung.
57
Die nachfolgenden Untersuchungen werden sich in erster
Linie mit dem Strahlungsgleichgewicht der Erdatmosphäre beschäftigen; sie bezwecken einen Beitrag zur Klärung der Frage:
Sind die Temperaturen der oberen Inversionsschicht in erster
Linie durch Strahlungsvorgänge erklärbar1)? Die Antwort wird
in bejahendem Sinne ausfallen. Dieser Umstand möge eine etwas
breitere Darstellung, die manchem ein Weiterarbeiten auf diesem
Gebiete erleichtern wird, rechtfertigen.
§ 1. Die effektive Erdtemperatur und die Absorption diffuser
Strahlung.
I. Als Quelle aller Arbeits- und Lebensprozesse auf der
Erde wird schlechthin die Sonne angenommen, da sie uns
ungeheuere Arbeitsmengen in Form von Strahlung zukommen
läßt. Allein diese Vorstellungsweise führt leicht irre und verleitet zur Aufstellung unrichtiger Wärmebilanzen. Denn diese
Energiemengen werden, da sich die Verhältnisse auf der Erdoberfläche seit historischen Zeiten nicht wesentlich geändert
haben, bis auf verschwindend kleine Beträge, die durch den
Vermoderungsprozeß der Organismen bedingt sein können,
durch Ausstrahlung wieder abgegeben, also in derselben Energieform, in der sie bezogen wurden. Die Möglichkeit irdischen
Lebens beruht deshalb nicht sowohl in einer Einnahme von
Energie, sondern in der gewaltigen Entropievermehrung, die
mit der Umwandlung der heißen Sonnenstrahlung in die kältere
Erdstrahlung verbunden ist. Bewegung und Leben auf der
Erde wird nicht sowohl dadurch ermöglicht, daß wir in der
Sonne einen genügend großen Energiespeicher zur Verfügung
haben, denn was wir beziehen, geben wir beinahe restlos und
in derselben Form wieder ab, sondern ist gewährleistet durch
den gewaltigen Entropiespeicher, den das Strahlungssystem
Sonne—Erde—Weltenraum darstellt.
Die Solarkonstante o, d. i. die Energiemenge, welche
') Vgl. J. Schmauß, Die obere Inversion. Meteor. Zeitsckr., Bd. XL1V,
S. 241, U)OlJ.
5S
R. Emden
die von der Sonne ausgehende Strahlung in Erdentfernung
befördert, können wir nach den Messungen von Abbot1) mit
genügender Genauigkeit zu rund 2 Grammkalorien pro Minute
und Quadratzentimeter ansetzen. Ein schwarzer Strahler von
der Größe der Photosphäre und in Sonnenentfernung würde
denselben Energiestrom bei Erhitzung auf 5910° abs. liefern.
Diese Temperatur, effektive Sonnentemperatur genannt, ist, wie
die Solarkonstante, lediglich ein Maß für die Intensität der
Sonnenstrahlung; sie sagt nichts aus über die in der Sonnenmasse verteilten Temperaturen, und es wäre verfehlt, eine
Schicht der Sonne, deren Temperatur zu 5910° ermittelt wird,
als Strahlungsquelle zu betrachten. Die effektive Sonnentemperatur ist eine Eigenschaft der Strahlen, nicht des emittierenden Körpers, der Sonne.
Als Gegenstück führen wir ein die „effektive Erdtemperatur“. Der Energiezufluß von der Solarkonstante 2, den die
Erde auf einer Fläche gleich ihrem Querschnitt empfängt,
werde gleichmäßige auf ihre Oberfläche verteilt. Die Strahlungsbilanz erfordert dann, daß bei stationärem Zustand jedes Quadratzentimeter Erdoberfläche 0,5 Grammkalorien pro Minute
abgibt. Von der zugestrahlten Energiemenge werden aber
nach den Überlegungen von Abbot und Fowle2) durch die
Atmosphäre, die AVolken und die Erdoberfläche durchschnittlich 37°/o reflektiert. Dieser Strahlungsbetrag bleibt auf seiner
hohen Temperatur und tritt nicht ein in das thermodynamische
System, das wir betrachten werden. Sind die Unterlagen der
Abbotschen Berechnung auch sehr unsicher, so werden wir
doch, da kein besserer Wert vorliegt, die „Energie-Albedo“
der Erde zu 0,37 annehmen. Der Teil der Solarkonstanten, mit
dem wir uns zu beschäftigen haben, erniedrigt sich also auf
2-0,63 = 1,26, so daß bei gleichmäßiger Verteilung dieses
Betrages der Sonnenstrahlung und stationärem Zustand jedes
1
) C. G. Abbot, The Sun’s Energy Spectrum and Temperature. The
Astrophysical Journal, t. XXXIV, p. 197, 1911.
2
) C. G. Abbot and F. E. Fowle, Annals of the Astrophysical Observatory of the Smithonian Institution, vol. II, p. 162, 1908.
Strahlungsgleichgewiclit und atmosphärische Strahlung.
Quadratzentimeter Erdoberfläche
1,26
4
59
= 0,315 Grammkalorien
pro Minute auszustrahlen hat. Ein schwarzer Strahler liefert
diese Menge bei 7'= 254H =— 19° C. Eine schwarze Kugel
vom Radius der Erde (die in Betracht kommenden Schichten der
Atmosphäre haben vernachlässigbare Dicke) und der absoluten
Temperatur 254°, die wir als effektive Erdtemperatur
bezeichnen, strahlt ebensoviel aus, als sie nach Abzug der
Energie-Albedo in Erdentfernung von der Sonne erhält. Diese
Temperatur ist lediglich ein Maß für die Intensität der von
der Erde ausgehenden Strahlung und sagt nichts aus über die
vorhandenen Temperaturen. Wollte man, wie bereits mehrfach
geschehen (vgl. Abbot and Fowie, loc. cit., p. 173; ebenso die
in § 3 zu besprechende Arbeit von Humphreys), die in einer
Höhe von 4—5 km liegende Luftschicht, die durch eine mittlere
Jahrestemperatur von —19° ausgezeichnet ist, als Ausgangsort
der Erdstrahlung ansehen, so würde man den Fehler begehen,
auf den wir schon bei Besprechung der effektiven Sonnentemperatur aufmerksam machten. Die effektive Erdtemperatur
ist eine Eigenschaft der Strahlung und das Resultat des verwickelten Strahlungs- und Absorptionsprozesses, den die vorliegende Untersuchung behandelt.
II. Die ankommenden und ausgesandten Strahlen werden
auf ihrem Wege durch die Atmosphäre durch wirkliche Absorption, also thermodynamisch geschwächt. Hätten wir es
nur mit einer einzigen Strahlungsrichtung zu tun, so könnten
die bekannten, einfachen Absorptionsgesetze Anwendung finden.
Allein die Strahlung der Atmosphäre und der Erdoberfläche
ist diffus; und auch die Sonnenstrahlung durchsetzt die Atmosphäre nach allen Richtungen, wenn wir sie gleichmäßig von
allen Seiten kommend über die Erde ausbreiten. (Soweit es
sich nur um die Strahlungssumme unabhängig von ihrer Zusammensetzung nach Wellenlängen handelt, kann dies einfach erreicht werden, indem wir die Erde von einer schwarzen
Fläche auf effektiver Erdtemperatur eingeschlossen annehmen.)
Wir haben deshalb in erster Linie die Absorptionsverhältnisse
60
R. Emden
bei diffuser Bestrahlung zu untersuchen; sie bestimmen die
Temperaturen bei Strahlungsgleichgewicht. Wir haben ferner
das Strahlungsgesetz ebener Luftschichten aufzusuchen. Denn
bei durchsichtigen Körpern sind Absorptions- wie Emissionsvermögen keine Materialkonstanten, sondern durch den ganzen
Bau des Körpers mitbedingt. Ein Glasprisma besitzt an den
End- und Seitenflächen verschiedenes Emissionsvermögen.
Ein genügend kleines Element f der Oberfläche eines
schwarzen Strahlers sendet bekanntlich in den Kegelausschnitt,
dessen Erzeugende mit der Flächennormalen die Winkel ft und
•ft -f dft bilden, in den Wellenlängen l bis l
dl Strahlung
aus gleich
,
T 71 • a
Q 7 n Grammkal.
1)
/ • 2 rr J, d /. sin 0 cos ft d ft
min.
und in den ganzen bestrahlten Raum
2)
/' •
E>. d l
„
== / •
r , Grammkal.
n J, d K
:—
min.
Ei bezeichnen wir als Emissionsvermögen für die Wellenlänge 1. Das Gesamtemissionsvermögen E ergibt sich durch
Integration über alle Wellenlängen zu
3)
E = J Ei. d l.
0
Ei. und E sind bekannte Funktionen der Temperatur,
speziell ist
Grammkal.
4
F = sT3
7,59.10—11
-0
cm2, min.
Auf einen beliebigen Strahler falle auf eine Stelle der Oberfläche die Strahlung S>.dl, von welcher der Bruchteil ft Si. dl
absorbiert wird. Dann ist sein Absorptionsvermögen a>. an
dieser Stelle definiert durch die Beziehung
ft Si. dl
und nach dem Kirchhoffschen Satze ist sein Strahlungsvermögen
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
6)
û — U'. 'J; j
J;, gemessen bei derselben Temperatur T.
sionsvermögen wird
7)
(il
Sein Gesamtemis-
CO
e = j'«; J; d l.
u
Einen Strahler, der für alle Wellenlängen das gleiche
Absorptionsvermögen a besitzt, nennen wir grau, und
für die von ihm ausgehende, graue Strahlung gelten
die Beziehungen
8)
9)
h
=
a J;.
e — ciE = asT1).
Das Absorptionsvermögen einer dünnen, ebenen Schicht bei
senkrecht einfallender Strahlung, weiterhin mit
bezeichnet,
setzen wir mangels besserer experimenteller Grundlagen proportional ihrer Dicke dl, der vorhandenen Dichte g und einer
von der Temperatur unabhängigen Materialkonstanten ki, dem
Absorptionskoeffizienten, also
10)
_M*i
M-JCS-
Für die Strahlung, die unter dem <£ I) einfällt, haben wir
11)
,
dl
= hg
COS 17
, dm
= le-,
' cos />
') In die Literatur ist der um l°/o größere Wert s = 7,68.10—n
übergegangen. In seiner grundlegenden Arbeit (Wied. Annal. LXV,
S. 746, 1898) gibt Kurlbaum als Resultat seiner Versuche Si0l) — S0
,,
Grammkni
Watt
,
.
= 0,01763
= 0.0i31
n mit dem Beifügen, daß als elektrocm1 sec
cmz
thermisches Äquivalent 0,240 angesetzt wurde.
Allein
ergibt
0,0731
0,2412, während der jetzt gebräuchliche Wert (vgl. Ebert, Lehrbuch der
Physik, S. 487, 1912) 0,239 ist, also 1 °/o kleiner. Mit diesem UmrechWatt
nungsfaktor führt der experimentell ermittelte Wert 0,0731
7,11
cm*
s — 7,59.10 W Dieser Wert von s ergibt sich auch aus den von Plank
benutzten Werten für dus h und /.' seiner bekannten Formel.
62
II. Emden
Füllt diese Strahlung im Betrage Sx dl auf eine Schicht von
,1/
der endlichen Dicke L und der Masse —T.,
cm-
SO
ergibt sich
_ hv
12)
Durchgelassene Strahlung = Sx di
13)
Absorbierte Strahlung = S>.dl\ 1—
Mit Hilfe der Gleichung (12) wird hx experimentell ermittelt.
Wir sind nunmehr imstande, das der Gleichung (1) entsprechende Strahlungsgesetz einer ebenen Gasschicht
von endlicher Dicke abzuleiten. Die Gasschicht werde zwischen zwei ihr parallele, unendlich große, schwarz strahlende
Flächen von derselben Temperatur T eingeschlossen. Der
Zwischenraum ist dann erfüllt von schwarzer Strahlung; also
muß in jeder Wellenlänge und jeder Richtung die Strahlung
in Richtung und Gegenrichtung gleich und die ausgesandte
Strahlung gleich der absorbierten Strahlung sein. Die Geometrie der Strahlung ergibt (wir brauchen die Gasschicht nur
durch eine schwarze Fläche ersetzt denken), daß ein Flächenstückchen f der Oberfläche der Gasschicht von der gegenüberliegenden schwarzen Fläche in Richtung i) Strahlung zugesandt
erhält (Gleichung 1):
f 2 7t J; d/ sin /> cos d d d,
die nach Gleichung (13) absorbiert wird. Diese absorbierte
Menge muß aber in derselben Richtung wieder ausgestrahlt
werden. Also ergibt sich das
Strahlungsgesetz einer ebenen, dünnen Gasschicht
(oder einer Schicht beliebigenMaterials mit endlichem Absorptionsvermögen) :
14)
In Richtung D ausgesandte Strahlung
= /' •
2
Ti,
Jdl 11
—
e
sin l) cos i) d i),
von dem Strahlungsgesetz einer schwarzen Fläche (oder rauhen
Oberfläche eines undurchsichtigen Körpers (</;. = il)) sehr ver-
Strahlungsgleichgewiclit und atmosphärische Strahlung.
63
schieden1). Für 71/ = co werden beide Strahlungsgesetze gleich,
d. h. : eine genügend mächtige, isotherme Atmosphäre
emittiert schwarze Strahlung.
Für eine Gasschicht von geringer Mächtigkeit Am erhalten
wir aus (14) das Strahlungsgesetz
15) f 2 n J\ d 7.
/I m • sin ß d ß — f -2n •/;. / 7. • cc; sin ß d ß
und nach den ganzen bestrahlten Raum wird ausgesandt
f-ZnJidl-
16)
Dies ist zugleich der Bruchteil der ganzen, f von der schwarzen
Fläche zugestrahlten Energiemenge /' • n •/,. d 7, der absorbiert
wird.
Wir erhalten demnach in diesem Fall für das Absorptionsvermögen
wie wir es in Gleichung (5) definiert haben,
17)
fl;. = 2«;.,
d. h. das Absorptionsvermögen einer ebenen, dünnen
Gasschicht ist bei schwarzer Bestrahlung in jeder
Wellenlänge doppelt so groß wie bei senkrecht einfallender Strahlung.
Ankommende schwarze Strahlung ist, kurz ausgedrückt,
nach bestimmtem Gesetze diffus. Wir untersuchen den Zusammenhang zwischen a>_ und c*; in anderen Spezialfällen, in
welchen die Intensität der ankommenden Strahlung in den
Richtungen 0 anderem Verteilungsgesetze folgt. Von einer
Krümmung der Strahlen beim Durchlaufen verschieden dichter
Gasmassen werde abgesehen. Wir schicken voraus, daß das
Cc~x
auftretende Integral ßn l
dx den Grenzwert 0 erreicht für
ß = 0 und für ß — co ,
l
) Dies Strahlungsgesetz findet sich bereits angegeben bei J. Koenigsberger, Über die Emission von Körpern mit endlichem Absorptionsvermögen. Wied. Ann. XII, S. 342, 1903, sowie in der bereits erwähnten
Arbeit von Gold.
64
R. Emden
Der dünnen Gasschicht stehe im Abstande Z eine schwarze
Fläche gegenüber; der Zwischenraum sei mit demselben Gase
gefüllt. Der Zylinder vom Querschnitt 1 cm2 und der Höhe Z
enthalte die Masse il/. Auf die Fläche f fällt aus der Richtung # eine von der schwarzen Fläche ausgehende, durch die
zwischenliegende Gasmasse geschwächte Strahlung im Betrage
/«; M
cos 11
f- 2 n • Jf_ d X sin û cos û c
d i), von welcher in der dünnen
O
o
O
O
CX-
Schicht der Bruchteil —absorbiert wird. Wir erhalten so
cos ü
über alle Richtungen integriert
Auffallende Strahlung SxdX=f-2n-I, dX J* sin i) cos 0 e
cus/l dß
o
18)
f n Jx d X er-ß(l-ß)+ßje~dx
/f;
Absorbierte Strahlung ASxdX — <*xf 2yiJxdX Jsin i) e
M
d i)
cc
19)
= 2 er.; /'- n .J-, dX
e~P
ß = h 31.
Das Absorptionsvermögen a±
ASxdX
ist in diesem Falle
Sx d X
Funktion von ilI.
Um den physikalischen Bedingungen zu genügen, nehmen
wir an, daß die zwischenliegende Masse ilf, durchwegs auf die
Temperatur der schwarzen Fläche gebracht, ebenfalls strahle.
Im Abstande z von der bestrahlten Schicht nehmen wir eine
dünne, strahlende Schicht an; beide sind getrennt durch eine
Gasmasse von der Mächtigkeit
m. Von dieser Schicht ogemäß
o
Gleichung (15) ausgehend fällt auf /' in Richtung i) Strahlung
von der Intensität
Strahliingsgleicbgewiclit und atmosphärische Strahlung.
65
/c; in
/'•
2 ïT J>. d /. li>_ din
/
von welcher der Bruchteil —
sin de
cos,>
d l),
„ absorbiert wird. Wir erhalten so
COS II
Auffallende Strahlung S;. dl
hj in
f 2 nJ>, dlliL f d m J* sin île
K0B/I
dd
10)
dx
f n J}, d 1
Absorbierte Strahlung AS>. dl
f 2 n J-,_ d 1
7,-;.
21)
— f- 2 71 J;_ dl
J* J*
dm
sin
—
—, e
COS <7
/c; Wi
d II
dx
OC;.
ß = h-M
und wieder einen verwickelten Zusammenhang zwischen aA und c<;.
Lassen wir aber AL — œ werden, so ergibt sich wieder Gleichung (17)
- - 2 oc; ; selbstverständlich, da, wie wir oben
zeigten, eine genügend mächtige, isotherme Atmosphäre schwarze
Strahlung liefert. Grenzen wir anderseits eine beliebige Masse AI
durch eine schwarze Fläche ab, die ebenfalls bei gleicher Temperatur strahlt, so haben wir (18) zu (20) und (19) zu (21)
zu addieren und bekommen wieder schwarze Strahlung. Was
die Masse AI an Strahlung der schwarzen Fläche absorbiert,
gibt sie in derselben Wellenlänge in gleichem Betrage weiter.
Eine isotherme Atmosphäre auf gleich temperierter schwarzer
Unterlage befindet sich im Strahlungsgleichgewicht. Daraus
folgt: Strahlt die Erdoberfläche schwarz, so kann keine
aufliegende isotherme Atmosphäre von gleicher TemSitzungsb. (1. math.-phys. Kl. Jahrg. lülB.
5
66
R. Emden
peratur die in den Weltenraum austretende Strahlung
ändern. Wir werden auf diese Verhältnisse hei Besprechung
der Versuche Very’s zurückzukommen haben.
Um den Bedingungen, die wir weiterhin bei Behandlung
des Strahlungsgleichgewichtes finden werden, näherzukommen,
nehmen wir an, daß die Strahlungsintensität proportional der
durchstrahlten Masse w; zunimmt. In Gleichung (15) setzen wir
dementsprechend
J, = Jo;. +
22)
Wir schreiben Um, um J0>_ gleich J\x gleich dimensioniert
zu erhalten; für das erste Glied rechts gelten die Beziehungen
(20) und (21), und für das zweite Glied ergibt sich
Auffallende Strahlung S-,. dX
J"
= f- 2nJudX m d m
23)
J*
ssin ß e
kj m
cos iJ cl ß
1 Absorbierte Strahlung . I 6). dX
—
24)
/’•
a
;.
r
f sin /
J d I I k, m dm —
J
J cos
; /.
= f. v-;Ju.d).<T
k- vi
VOS .1
(l
ß
— e-^il + ß) + ß2pjdx
ß = k -,. m
ß
und aus diesen beiden Beziehungen sowohl für sehr kleine,
wie sehr große m
a>. = a;.
Für das ganze •/) der Gleichung (22) ergibt sich
Strahlungsgleiehgewicht und atmosphärische Strahlung.
67
für kleine m
25)
für große m
2 Jo;. -f~
JIA
Jo >. + f J\ /.
Stets ergibt sich ein a>. etwas kleiner wie für schwarze Strahlung; für Ji klein gegen Jo;, kann der Unterschied vernachlässigt werden.
[ Dasselbe Resultat ergibt sich für den Ansatz
J>. — Jo;, “h 2JJ»»A ' (!fom)n !
1
da wir für große m
>S;. J 7. = f Jijçi.d )*. -\-
Yb
7t 2 Jnj. — - ^
J S;, dl = 2 a; fn Jo;. dl -f- cx;.f 2 TT 21 Jn/. -
'-
erhalten.]
Würden wir anderseits annehinen, daß die Strahlungsintensität proportional der durchstrahlten Masse abnimmt,
JA
= Jo;. —
JIA
• fe.wi,
so würden wir für kleine m wieder a>. - 2 o.; erhalten; für
große m können wir den Ausdruck für «A nicht bilden, da wir
selbstverständlich nur bis zu einem m gehen können, das durch
die Bedingung 0 = JOA —
begrenzt ist. Doch läßt
sich allgemein folgendes aussagen:
Nimmt die Strahlungsintensität in Richtung der durchstrahlten Masse zu, so sind alle aA zwischen 2 <x; (schwarze
Strahlung) und a; (parallele Strahlung) eingeschlossen ; nimmt
die Strahlungsintensität in Richtung der durchstrahlten Masse
ab, so ist stets a>. > 2 et; (größer wie für schwarze Strahlung).
Dies einzusehen schlagen wir um f in die isotherm gedachte
Gasmasse eine Halbkugel mit beliebigem Radius und ziehen
von f nach allen Richtungen f) Strahlungskegel mit kleinen
Offnungswinkeln ü derart, daß von den auf der Kugelfläche
ausgeschnittenen Basisflächen gleichviel Strahlung bei /’ zur
Absorption gelangt. Wir haben so schwarze Strahlung und
68
R. Emden
a =2«.;.. Lassen wir nun die Strahlung aus der Richtung
i) = 0 zunehmen, so nimmt der Betrag der aus dieser Richtung fallenden Strahlung zu, und das Minus der Strahlung mit
größerem d kann der Absorptionen wegen nicht ausgeglichen
werden, wenn wir diese Kegel bis auf das Niveau der Taugentialfläche an der Kugel bei # = 0 verlängern. Je stärker
die Strahlung in Richtung /) = 0 zunimmt, desto mehr nähern
wir uns den Verhältnissen paralleler Strahlung mit (h = <x;.
Nimmt umgekehrt die Strahlung in Richtung 0 = 0 ab, so
überwiegen die stärker geneigten Strahlen, die mit
"n ein°
O
O
’cos d
gehen, und a>_ wird größer wie 2 <x;.
In Gleichung (10) war a,_ definiert als lc-L d m. Für diffuse
Strahlung können wir die entsprechende Beziehung ansetzen,
indem wir Tc> im Verhältnis — vergrößern.
OC;
Diese Veränderlichkeit von a>_ macht eine strenge, mathematische Behandlung des Strahlungsgleichgewichtes unmöglich.
Denn a;. ist Funktion der Temperaturverteilung, die eben ermittelt werden soll. Man könnte in schrittweiser Annäherung
rechnen. Allein in den Fällen, die von Wichtigkeit sein werden,
ergibt sich eine solche Temperaturzunahme, daß in Gleichung
(25) Ju ungefähr von gleicher Größe wie Jo;. wird und wir
mit genügender Genauigkeit mit a-L = 2 »p , also denselben Verhältnissen wie bei schwarzer Bestrahlung, rechnen können.
Eine größere Genauigkeit wird schon dadurch illusorisch, daß
die in Betracht kommenden Absorptions-Koeffizienten für Luft
nicht mit genügender Genauigkeit bekannt sind. Wir werden
deshalb mit einem nur von der Wellenlänge abhängigen a-,.
rechnen, das die beobachteten Absorptionsverhältnisse möglichst
richtig darstellt und, da dies a-,. als für schwarze Strahlung
gültig angenommen wird, zur Bildung des Kirchhoffschen Gesetzes (Gleichung 6 und 7) verwenden.
III. Die beiden die Erdatmosphäre durchsetzenden Strahlungen, die Sonnenstrahlung mit Amax = 0,470/t und die Erdstrahlung mit /max ungefähr =10/i, sind in Bezug auf die
Strahlimgsgleichgewieht und atmosphärische Strahlung.
69
Intensität ihrer Komponenten so verschieden zusammengesetzt,
daß wir ihre Absorptionsverhältnisse getrennt behandeln müssen.
Das Absorptionsvermögen der Atmosphäre für Sonnenstrahlung
können wir nur auf wenig genaue Weise abschätzen. Durch
Extinktionsbeobachtungen des Sternenlichtes und Messung der
Sonnenstrahlung bei verschiedenen Zenithdistanzen können wir
wohl die Schwächung der Strahlung für den jeweiligen Zustand der Atmosphäre sehr genau ermitteln; allein wir haben
diese streng zu unterscheiden von wirklicher Absorption. Diese
Schwächung der direkten Strahlung beruht in erster Linie
auf diffuser Reflexion an den Gasmolekeln, dem suspendierten
Staube und den Schlieren, die bei Durchmischung auftreten;
nur ein kleiner Betrag resultiert aus der Umwandlung der
strahlenden Energie in Wärme, die zur Temperaturerhöhung
der durchstrahlten Massen verwandt wird. Nur dieser letztere
Teil ist wirkliche Absorption, die in das zu behandelnde thermodynamische System eintritt und in dem Kirchhoffschen Gesetze
zum Ansätze kommt, während der andere Teil in den 37 °/o,
die zur Berechnung der Albedo dienten, eingeschlossen ist.
Eine strenge Trennung der Schwächung in diese beiden Summanden ist zur Zeit nicht möglich. Das Absorptionsvermögen
der Hauptbestandteile der Atmosphäre, Sauerstoff und Stickstoff,
zeigt sich durch das Auftreten tellurischer Linien; allein die
in Betracht kommenden Wellenlängenbereiche sind zu klein, um
in Betracht kommende Energiemengen umzusetzen. Über das
Absorptionsvermögen von Wasserdampf und Kohlensäure liegen
zuverlässige Laboratoriumsversuche vor, eine Anwendung dieser
Messungen auf athmosphärische Verhältnisse ist aber nicht
mit Sicherheit möglich. Denn das Absorptionsvermögen ist
Funktion des Druckes; ein und dieselbe Wasserdampf- oder
Kohlensäuremenge absorbiert um so schwächer, je mehr sie
durch Abnahme des Druckes in Richtung der sie durchsetzenden
Strahlen gestreckt wird. Aus dem Absorptionsvermögen, das
im Laboratorium bei Drucken von etwa 1 Atmosphäre ermittelt wurde, kann nicht geschlossen werden auf das Absorptionsvermögen derselben Menge, falls sie in der Atmo-
70
R. Emden
Sphäre unter einem Partialdrucke von wenig mm Hg, oder gar
Bruchteilen eines Millimeters stehend durchstrahlt wird. Abbot
und Fowle (loc. cit., Teil II, Kap. IV, S. 161) kommen durch
sorgfältige Überlegungen zum Schlüsse, daß aus einem Bündel
Sonnenstrahlung vom Querschnitt der Erde beim Durchsetzen
der Atmosphäre (es kommen also alle Richtungen mit den
Vertikalen in Betracht) bei mittleren Feuchtigkeitsverhältnissen
etwa 12 °/o absorbiert werden. Dieser Wert dürfte eher zu groß
sein. Mangels besserer Unterlagen werden wir annehmen, daß
von der einfallenden Sonnenstrahlung durchschnittlich 10°/o
zur Absorption gelangen. Mit weit größerer Sicherheit läßt
sich die Absorption der Erdstrahlung abschätzen, da sie hauptsächlich Wellenlängen enthält, die von Wasserdampf besonders kräftig absorbiert werden. Wir schließen uns den Ausführungen Abbot-Fowle’s an (loc. cit., Teil II, Kap. IV, S. 172):
„ Gemäß den Arbeiten von Rubens und Aschkinass, Langley,
Keeler und Very und Nichols können wir sicher schließen, daß
der zehnte Teil des Wasserdampfes, der durchschnittlich in
einer vertikalen Säule der Atmosphäre enthalten ist, hinreicht,
um die Hälfte der von der Erdoberfläche nach dem Weltenraum ausgesandten Strahlung zu absorbieren ; und es ist höchst
wahrscheinlich, daß mit Rücksicht auf die größeren Luftmassen,
welche von vielen Strahlen, die von der Erde nach dem Weltenraum ausgesandt werden, schief durchsetzt werden, selbst an
einem klaren Tage neun Zehntel der von der festen und flüssigen Erdoberfläche ausgesandten Strahlen durch den Wasserdampf der Atmosphäre absorbiert werden.“
[Die Absorptionswirkung der in der Atmosphäre enthaltenen Kohlensäure tritt nach Abbot und Fowle (loc. cit., Teil II,
Kap. IV, S. 172) gegenüber der Wirkung des Wasserdampfes
vollständig zurück.]
Wir werden also weiterhin die Absorption eines Gemisches
von Sauerstoff und Stickstoff als verschwindend klein annehmen,
den mit Wasserdampf beladenen Teil der Atmosphäre höchstens
10°/o der Sonnenstrahlung und mindestens 90°/o der Erdstrahlung absorbieren lassen. Dadurch soll aber lediglich ein Meeba-
Strahlungsgleickgewicht und atmosphärische Strahlung.
71
nismus geschildert, nicht eine Wännebilanz aufgestellt werden.
In Bezug auf letztere absorbiert die Atmosphäre bei stationärem Zustande überhaupt nichts, denn was absorbiert wird,
wird durch Strahlung restlos wieder abgegeben, sowohl von der
Atmosphäre als Ganzem, wie von jeder einzelnen Schicht. Wir
sind uns auch klar darüber, daß, wenn wir das Gesetz der Absorption in die Form kleiden S—Sne~k>-”\ wir mangels eines
besseren Gesetzes von dem Ansätze dS— —Sic-,.dm ausgegangen
sind, also sicherlich nicht richtig die Absorption proportional
der Masse, unabhängig von dem Drucke, unter dem sie steht,
angesetzt haben.
Das Absorptionsvermögen der Atmosphäre könnte indirekt
aus ihrem Strahlungsvermögen bestimmt werden. Mehrfach
wurden Versuche unternommen, letztere Größen durch die
nächtliche Ausstrahlung einer schwarzen Fläche zu bestimmen;
ihre Bedeutung wurde von F. M. Exner1) angezweifelt. Allein,
wie in § 6 gezeigt werden wird, bestätigen sie vollständig die
weiterhin entwickelte Theorie. Durch Laboratoriumsversuche
hat Very2) das Strahlungsvermögen abgeschlossener Gasmassen
zu bestimmen versucht; seine Messungsresultate sind leider
in die Literatur übergegangen, obwohl sie. worauf auch
E. Gold (loc. cit., S. 53) hin weist, unmöglich richtig sein
können. Die Gasmasse ist in einem Rohr durch eine Steinsalzplatte und einen beweglichen, geschwärzten Stempel abgeschlossen, und das Ganze isotherm auf konstanter Temperatur
gehalten. Die Strahlung des Stempels und der Gasmasse wird
gemessen, der Stempel eine gemessene Strecke zurückgezogen,
und nun eine größere Strahlung gemessen, die fälschlich der
hinzugekommenen Gasmasse zugeschrieben wird. Denn die hin) Felix M. Exner, Uber den Wärmeaustausch zwischen Erdoberfläche und der darüber fließenden Luft. Sitzungsberichte der K. Akademie
der Wissenschaften in Wien, matk.-phys. Klasse, Bd. CXX, Abh. IIa.
Februar 1911.
2
) Frank Very, Experimentaluntersuchung über atmosphärische Strahlung. Ausführliches Referat: Meteorologische Zeitschrift, Bd. XXXVI
S. 223, 1901.
t
72
R. Emden
zugekommene Gasmasse strahlt nicht nur, sondern sie absorbiert
auch einen Teil der Strahlung des Stempels und zwar derart,
daß nach dem Kirchhoffschen Gesetze gerade Kompensation eintreten muß. (Wie oben S. 65 gezeigt, kann eine isotherme
Atmosphäre die Strahlung einer schwarzen Unterlage nicht
ändern.) Bei einer fehlerfreien Versuchsanordnung muß die
Stellung des Stempels ohne Einfluß auf die ausgesandte Strahlung sein. Daß seine Stellung dennoch von Einfluß ist, rührt
daher, daß das Rohr nebst Stempel einen unvollkommenen
schwarzen Hohlraumstrahler darstellt, der schwärzer, also besser
strahlend wird, je mehr er sich durch Zurückziehen des Stempels
einem vollkommenen Strahler, wie er von Lummer und Kurlbaum benutzt wird, nähert.
§ 2. Strahlungsgleichgewicht bei grauer Strahlung.
Eine Atmosphäre strahle grau, d. h. ihr Absorptionsvermögen a und der Absorptionskoeffizient lc sind unabhängig von
der Wellenlänge /.; die Wärmeabgabe bei grauer Strahlung ist
durch Gleichung (9) bestimmt.
Die z-Achse legen wir von oben nach unten, d. i. der
Schwerkraft entgegen. Eine Schicht von der Dicke dz sei ausgezeichnet durch die Dichte p, die Temperatur T, den Absorptionskoeffizienten lc und das Absorptionsvermögen a — lcodz
= Icdm, dm die Masse per Querschnittseinheit. Diese Schicht
gibt nach jeder Seite e — aE—lcdmE^ „m.a^~ ab. E ist
cm* mm
die entsprechende Größe für einen schwarzen Strahler von
gleicher Temperatur. In Richtung -j- z und — z wird die
Schicht von Energieströmen E und A durchsetzt, geliefert
durch die Strahlung der höher resp. tiefer liegenden Schichten
und etwa vorhandener, äußerer Strahlungsquellen. Diese Ströme
werden beim Durchsetzen der Schicht um den Bruchteil a— Icdm
durch Absorption geschwächt, und durch die Strahlung der
Schicht um den Betrag aE — IcdmE verstärkt. Berücksichtigen wir, daß ß in Richtung z, A in Richtung — z verläuft,
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
so erhalten wir die beiden Hauptgleichungen, die allen
weiteren Betrachtungen zu Grunde liegen:
26)
dB
dm
kB + lcE
27)
dA
äm
TcA — lcE.
Ist die Temperaturverteilung, also auch Verteilung von E
bekannt, so könnte B und A für jede Stelle z der Atmosphäre berechnet werden; denn durch Auflösung der beiden
Differentialgleichungen enthalten wir B und A als Funktion
der Masse m, die pro cm2 zwischen einem Ausgangsniveau und
der betrachteten Stelle liegt; und mit Hilfe des Temperaturverteilungsgesetzes kann, auf ähnliche Weise, wie unten gezeigt
werden wird, die Abhängigkeit von z ermittelt werden. Ist E
resp. T unbekannte Funktion von z resp. ni, so ist die Lösung
unbestimmt, da die beiden Gleichungen 3 Unbekannte B, A
und E verbinden. Jede weitere Bedingungsgleichune' macht
die Lösung eindeutig. Wir verlangen Strahlungsgleichgewicht. Die gewonnene Wärmemenge k dm B -|- IcdmA muff
für jede Schicht gleich der nach beiden Seiten abgegebenen
Wärmemenge 2IcdmE sein. Wir-erhalten also die Bedingungsgleichung des Strahlungsgleichgewichtes
28)
2 IcE = kB + kA.
Ohne diese Bedingung folgt aus (26) und (27)
29)
Die Bedingungsgleichung liefert
30)
dB
dm
dA
dm
so daß sich ergibt
30 a)
B — A — const ~ 2 y.
74
R. Emden
Wir hüben also den Satz: Herrscht bei grauer Strahlung
Strahlungsgleichgewicht, so ist die Differenz der
Energieströme B und A konstant. Diese Konstante wird
im folgenden stets mit 2 y bezeichnet.
Aus (28), (29), (30) folgt
dB _
clA __
dm~
Cy
und die Lösung des Problems
(31)
P= —
I
hy m
+
I>n
A = — kym -j- An
E = — h 7 m -|- E0.
B0 und A0 sind dem jeweiligen Sp>ezialfalle anzupassende Integrationskonstanten. Stets ist
(32)
-A)
2
An '
’
„
0
l>n -f~ An
2
—
Ansatz und Lösung dieses Strahlungsproblems sind vonK.Schwarzschild (loc. cit.) gegeben.
Da E = s Ti folgt: Bei Strahlungsgleichgewicht
grauer Strahlung nimmt die Temperatur mit der Tiefe
ab, zu oder ist konstant, je nachdem y > 0, <0, = 0.
Wir sehen von einer Veränderlichkeit des Wertes y
der Schwerkraft ab und können 31 schreiben, da der Druck
p = (j m ist,
(33)
E = sT* = -
9
+ sr0,
worin T0 durch die Temperatur an der Grenze der Atmosphäre
(m = 0, p — 0) bestimmt ist.
Wir untersuchen mit Schwarzschild die mechanische Stabilität bei Strahlungsgleichgewicht. Für jedes mechanische
Gleichgewicht muß die Bedingung dp = ggdz erfüllt sein,
.
.
.
.
.
V
die wir mit Hilfe der Zustandsgleichung der Gase
=gRT
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
75
schreiben können -- =
'~ . Verbinden wir damit die Bep
li 1rn
ziehung, die sich ergibt, wenn wir (33) logarithmisch differenzieren, so erhalten wir den Zusammenhang zwischen T und z
in der Form
4 T* dT
dg
34)
II
Tr— TÏ
Damit stabiles Gleichgewicht vorhanden ist, darf der TemdT .
peraturgradient -=— nicht größer sein als der TemperaturgraCI z
der für indifferentes Gleichgewicht gilt1). Be-
dient -- ~
dingungsgleichung für Stabilität ist deshalb
1
35)
<4:
1
Der Ausdruck rechts hat für 1 atomige (?. — §), 2 atomige
{y = -Ï), 3 atomige (y. — f), noch mehr atomige Gase (y < .1)
die Werte -g-, g, 1, < 1. Wir schließen: Nimmt die Tempeperatur mit der Tiefe zu, so ist für I, 2 und 3 atomige Gase
stets Stabilität vorhanden. (Bei Temperaturabnahme nach unten
ist selbstverständlich stets Stabilität vorhanden.)
Gleichung (34) läßt sich integrieren und wir erhalten,
wenn wir noch die Höhe h, äh = —dz einführen:
const 4- A- = const —
=
R
R
T
T— T
Tl
= T 4 - - + log ... — 2 arctg
T>T0, y<0
36)
i
= T, 4^
T
1
-1
o
A
lo<
i
-^o
-*o
T
T
T
— 2 arctg
Tn — T
T
-* A
T<T0, y > 0.
Schwarzschild hat die Gleichungen (31) angewandt auf die Sonne.
An ihrer Oberfläche ist die Einstrahlung, also auch J30, = 0;
*) R. Emden, Gaskugeln (Kap. XVIT, §§ 10. 11. 12 und Kap. XIX,
§ 5), 1907.
76
]î.
Rinden
Mn ist bestimmt durch die Solarkonstante, also durch die effektive Sonnentemperatur, und E0 resp. T0, die Temperatur der
äußersten Schichten, wird nach (32) T0 — —-.
(Vgl. die
1/2
Ausführungen des folgenden Paragraphen.) Mit Hilfe dieses Tn
wurde Gleichung (36) numerisch ausgewertet.
Bevor wir die Gleichung (31) auf die Erde und ihre Atmosphäre anwenden, bringen wir noch einige formale Änderungen
an, die sich später nützlich erweisen werden. Wir können
Bn und An und dadurch En bestimmen durch die Werte von
ß, A, E an der oberen Grenze der Atmosphäre, die wir JE», A, E
schreiben, und haben
ß = — 7c y m -f- ß
A — — le y m -f- A
(37
E = — hym + Ë
)
_ ß—A
r —
2
’
v
_ ß+
2
Haben wir, wie bei der Erde, eine Atmosphäre von endlicher
Masse M pro cm2, so kann es zweckmäßig sein, An zu bestimmen durch A, den Wert von A an der unteren Grenze,
m = M. (Im folgenden werden stets Werte, die sich auf die
obere resp. untere Grenze beziehen, durch einen oben resp.
unten angebrachten Querstrich ausgezeichnet.) Dann ergibt
eine leichte Umrechnung'
O
-Z)* — — le y Ml —j- Jj
A
38)
=
—
ley (m
—
M)
-(-
A — — Icy m
E — — le y m + E = — le y
B— A
I; M • 2
E
~
/c.l/ *-2
/• J/ -t 2
M
/m
I
2
hAM+B -f A
IcBM+B + A
:
JcBM + 2 A
-f-
!
-
I7M+2
‘
Ist der Wert von ß und A für eine Stelle gegeben, etwa
Strahlungsgleiehgewicht und atmosphärische Strahlung.
77
B und A (Gleichung 37) oder B und A (Gleichung 38), so
ist E resp. T für jede Stelle m eindeutig bestimmt. Soll
aber 1 als Funktion von z resp. h ermittelt werden, so bleibt
eine neu auftretende Integrationskonstante zu unserer Verfügung (vgl. Gleichung 36). Denn ist m — f(T) und berücksichtigen wir die mechanische Gleichgewichtsbedingung
,
,,
t/pdli
dp = — godli, = — -p-wr,
so haben wir, da p co m
§Td(\ogf{T)) = - | jdhDie Lösung ist wieder eindeutig, wenn T für ein bestimmtes h
oder auch die ganze Masse ilf (endlich) gegeben ist.
Den Inhalt der Gleichung (37) resp. (38) können wir auf
einfache Weise graphisch zur Darstellung bringen (Fig. 1).
Abszisse ist die durchstrahlte Masse m, Ordinate die Stärke
, „
. .
. Grammkal
77 . ,
.
„ , ,
des Lnergiestromes in
„—:—. B ist eine „Solarkonstante“.
cm- nun
Für m — 0 treffen wir die Werte B, A, É; die Ordinate bei
m = il/ bestimmt B, A, E.
Stets ist E =
und
die Neigung der unter sich parallelen Geraden ist proportional ihrem gegenseitigen Abstande, nach aufwärts oder abwärts gerichtet, je nachdem die Ausstrahlung oder Einstrah-
78
R. Emden
lung überwiegt. Sind beide gleich, so ist E = E = B — A,
und wir haben Isothermie. Würde die Erdatmosphäre nicht
durch Konvektionsströme und die allgemeine Zirkulation gemischt, so würden in den nördlichen Gebieten die Temperaturverhältnisse im Winter der Fig. la, im Sommer der Fig. lb
sich anpassen.
Wir betrachten die Atmosphäre als Ganzes und
durch genügend lange Zeiten. Da Ausstrahlung und Einstrahlung sich Gleichgewicht halten, haben wir B — A — 2 y
= 0 (Fig. 1 c) und nach (37)
(39)
E = const = B — E = A.
D. h. durch die ganze Atmosphäre hindurch ist die Temperatur konstant und gleich der Temperatur eines
schwarzen Strahlers, der die über die Erde gleichmäßig ausgebreitete Sonnenstrahlung wieder zurückstrahlt. Diese Temperatur haben wir (vgl. § 1) effektive Erdtemperatur genannt. Die ganze Atmosphäre befände sich somit
auf der effektiven Erdtemperatur, 1 eff. = 254 = — 19° C.
Bestimmen wir weiter die Oberflächentemperatur der Erde. Von
unten muß in die Atmosphäre ein Energiestrom A = B — B
— s Ti... eintreten, geliefert dadurch, daß die Erdoberfläche
einen Teil des unten aus der Atmosphäre austretenden Energiestromes B — B reflektiert und einen zweiten Teil gemäß ihrer
Temperatur T grau ausstrahlt. Ist das Absorptionsvermögen
der Erde a, so ist ihr ßeflexionsvermögen 1 — a, der erste
Teil wird (1—a) B — (1—a) s
, der zweite Teil as'T0
wir haben die Bedingungsgleichung
40)
(1 — et) s Tcir. -j- us T4 = s Tet\\
und erhalten die Temperatur der Erdober fläch e T— T eff.
= 254 = — 19°, unabhängig von ihrem Absorptionsresp. Strahlungsvermögen.
Wir erhalten als Resultat dieser Untersuchung:
Wird die von der Sonne zu gestrahlte Energiemenge. vermindert um die Energie albe do, gleich-
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
79
mäßig verteilt und graue Strahlung vorausgesetzt, so
ist bei Strahlungsgleichgewicht die Atmosphäre isotherm, und ihre Temperatur, sowie die Temperatur
der strahlenden Erdoberfläche sind gleich der effektiven Erdtemperatur T= 254° = — 19° C.
Dies Resultat ist, da die Temperatur der oberen Inversionsschicht durch Beobachtung zu — 550 C rund bestimmt ist
und die Mitteltemperatur der Erdoberfläche 14,4° C beträgt,
ungenügend. Wir haben deshalb die vereinfachenden Voraussetzungen fallen zu lassen, k und a wurden unabhängig 1. von
der Wellenlänge (graue Strahlung); 2. von der Höhe angenommen. Die zweite Annahme ist sicher unstatthaft, denn der
in erster Linie absorbierende Wasserdampf nimmt mit der Höhe
ab. Es läßt sich aber leicht zeigen, daß der ausgesprochene Satz bestehen bleibt, wenn h resp. a beliebige Funktionen der Höhe sind. Denn führen wir ein
die „optische“ Masse /t
u
M
= Jfc dm,
u
so können wir die beiden Hauptgleichungen schreiben
41)
dB
d /u
-B+E
dA
dji
A + E
und erhalten mit der Bedingungsgleichung 2k E = 1:B
wie oben die Lösungen
42)
B
y f.i
A
y ,<i
E= —y f i
—
—
-}-
=
—
-f-
+
/,•A
B
A
E0
0
0
B — A — const = 2 y
und für B = A, y = 0 ergibt sich wieder E = const = B,
also Iso thermie von derselben Temperatur.
Wir haben also die erste Annahme, graue Strahlung,
fallen zu lassen. Ehe wir dazu übergehen, haben wir uns mit
so
B. Emden
den Untersuchungen Humphreys und Gold’s, die graue Strahlung voraussetzen, zu beschäftigen.
Anmerkung. Durch Gleichung 40 hat sich das scheinbar überraschende Resultat ergeben, daß die Temperatur der Erdoberfläche unabhängig von ihrem Absorptionsvermögen, also auch unabhängig von
ihrem Emissionsvermögen ist. Dies beruht auf einem allgemeinen Satze :
Graue Strahlung vorausgesetzt, bestimmt das Absorptionsvermögen wohl
die umgesetzten Wärmemengen und damit die Geschwindigkeit der Einstellung, nicht aber die Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes. Denn
sind a, r und d die Bruchteile der auf einen Körper fallenden StrahlungS,
die von diesem absorbiert, reflektiert und durchgelassen werden, so ist
die Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes bestimmt durch die Beziehung: abgegebene = zugestrahlte Wärmemengen
a s Ti + r-S+d-S = S,
welche Gleichung durch die Beziehung
1 — ad
die Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes T
s T* = S
unabhängig von a bestimmt. Stets ergibt sich die Temperatur eines
bestrahlten schwarzen Körpers. Eine versilberte Kugel, eine Gasmasse in
einer vollkommen durchsichtigen Hülle eingeschlossen, und ein Schwarzkugelthermometer nehmen, unter denselben Bedingungen bestrahlt, dieselbe Temperatur an. Die Temperatur, auf welche sich ein fester oder
gasförmiger Himmelskörper einstellt, ist unabhängig von seiner Albedo
(immer graue Strahlung vorausgesetzt) gleich der Temperatur eines unter
denselben Bedingungen bestrahlten schwarzen Körpers. Wir haben so den
einfachsten Beweis, daß sich diel Erdatmosphäre bei Strahlungsgleichgewicht isotherm auf effektive Erdtemperatur einstellt. Das Absorptionsvermögen macht sich nur geltend, wenn noch Wärmemengen durch sogenannte äußere Wärmeleitung abgegeben werden. Setzen wir diese
gleich h(T — T0), h das äußere Wärmeleitungsvermögen. Tn die Temperatur der Umgebung, so bestimmt sich T aus der Bedingungsgleichung
a s 2'4 -}- v • S —}- d • S -|- h ( 1' — TQ) — >S
und wird
+ ~ (T—T0) = s,
also bei gleichem h mit a zu- und abnehmend. Bei kleinem a (versilberte Kugel a = 0,03) nimmt T beträchtlich kleinere Werte an wie
für a — 1.
Straklungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
81
§ 3. Die Untersuchungen von W. J. Humphreys und E. Gold1).
Die Temperatur der oberen Inversion, der Stratosphäre,
auf Grund von Strahlungsvorgängen zu bestimmen ist von
W. J. Humphreys versucht worden. Seine Ausführungen werden
sich als nicht stichhaltig erweisen. Da sie aber mehrfach in
die Literatur übergegangen sind, und Humphreys das Verdienst
zukommt, zuerst, wenn auch nicht einwurfsfrei, einen richtigen
Ausdruck für diese Temperatur gefunden zu haben, müssen sie
hier behandelt werden.
Eine strahlende Platte vom Absorptionsvermögen a sei
zwischen zwei ihr parallele, schwarze Flächen von der Temperatur T eingeschlossen. Pro Flächeneinheit entnimmt sie dem
i
von beiden Flächen zugestrahlten Betrage 2Ef=2sT den
Bruchteil a, und bei stationärem Zustande wird, da sie nach
beiden Seiten ausstrahlt, ihre Temperatur T„ bestimmt durch
die Beziehung
2 a ET = 2 as Ti;
a)
T2 — T.
Die eine schwarze Fläche werde entfernt. Da die Platte nun
nur noch von einer Seite her Strahlung empfängt, aber immer
nach beiden Seiten ausstrahlt, bestimmt sich ihre neue Temperatur I\ aus der Beziehung
aE[=2asT{
b)
und aus (a) und (b) folgt
43)
1\ =
T
1,19
Die Anwendung dieses Strahlungsschemas auf das zu behandelnde Problem ergibt sich nach Humphreys wie folgt: Die
Sonnenstrahlen durchsetzen die Stratosphäre ohne nennenswert
’) W. J. Humphreys, Vertical Temperaturgradient of the Atmosphere,
especially in the region of the upper inversion. Astrophys. Journal,
vol. XXIX, p. 14, 1909.
E. Gold, The Isothermal Layer of the Atmosphere and Atmospheric
Radiation. Proceedings of the Royal Society of London, series A, vol. 82,
p. 43, 1909.
Sitzungsb. d. matli.-phya. Kl. Jabrg. 1913.
6
82
R. Emden
absorbiert zu werden und veranlassen die tiefer liegenden,
wasserdampfhaltigen Schichten, schwarze Strahlung von der
effektiven Erdtemperatur T~ 254° auszusenden, die nun von
der Stratosphäre zum Bruchteil a absorbiert wird. (Humphreys
nimmt die atmosphärische Schicht mit T — 254° Mitteltemperatur als Strahlungsquelle an. Dies ist, wie bereits oben
S. 59 erwähnt, nicht zulässig und durch die vorstehende Betrachtungsweise eliminiert.) Also berechnet sich nach Gleichung
(43) die Temperatur der Stratosphäre zu
OtUO
1\ = =p~ = 214° = — 59° C,
1/2
während man sie auf Grund zahlreicher Messungen zu rund
— 55° C ansetzen kann. Diese glänzende Übereinstimmung
und die Einfachheit der Überlegung haben Zweifel an deren
Richtigkeit nicht aufkommen lassen. Daß sie nicht richtig ist,
beweist schon die einfache Tatsache, daß sie zu einer unmöglichen Wärmebilanz führt. Denn die Sonne strahlt der Erde
(nach Abzug der Albedo) pro Zeit und Flächeneinheit a-Energieeinheiten zu, welche die Stratosphäre durchsetzen und die tiefer
liegenden Schichten so erwärmen, daß diese wieder o-Einheiten,
nur in anderen Wellenlängen, zurückstrahlen. Ohne Zwischentreten der Stratosphäre würde sich also eine richtige Wärmebilanz ergeben. Allein die Stratosphäre absorbiert a o-Einheiten
T
und wird dadurch zur Temperatur 1\ = —— erhitzt, so daß sie
1/2
nach jeder Seite hin
Einheiten abgibt.
die Atmosphäre nach außen o — ao -h yy ~
Es verlassen also
0
~ ',, Einheiten,
so daß die Erde als Ganzes pro Zeit und Flächeneinheit
CJ
Einheiten gewinnen würde, was offenbar nicht möglich ist und
dem Begriff des Strahlungsgleichgewichtes widerspricht.
Die Arbeit von E. Gold, die wir unten besprechen werden,
wird häufig als wertvolle Ergänzung und Erweiterung der
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
Ausführungen Humphreys’ betrachtet. Mit Unrecht, denn sie
steht mit ihnen in direktem Gegensätze. Sie bestimmt die Temperatur der Atmosphäre bei Voraussetzung grauer Strahlungrichtig durchwegs konstant zu T — 254°, also gleich der effektiven Erdtemperatur.
Das der Formel (b) zu Grunde liegende Strahlungsschema
gibt uns bereits einigen Einblick in die nächtlichen Strahlungsverhältnisse bei Strahlungswetter. Die Erdoberfläche gebe pro
Minute und Quadratzentimeter S-Wärmeeinheiten ab. Fehlt
nachts die Einstrahlung der Sonne und ist die Atmosphäre
sehr trocken, ihr Absorptionsvermögen infolgedessen außerordentlich klein, so wird diese Wärmemenge in den Weltenraum ausgestrahlt. Die nächtliche Temperatur der Erdoberfläche kann dann selbst nach heißen Sommertagen sehr tiefe
Werte erreichen. (Oparakane: 9. Sept. 1904 12 Uhr mittags
40° C, 12 Uhr nachts —9° C). Wird durch Beimischung von
Wasserdampf das Absorptionsvermögen der Atmosphäre auf den
Wert« gebracht, so absorbiert sie «S-Einheiten und sendet bei
einer Temperatur T‘ nach oben und unten je ^'-Einheiten aus.
Die Erdoberfläche verliert nur noch S — S'-Einheiten und in
den Weltenraum werden S—aS-\-S‘ Einheiten ausgestrahlt.
Hierbei haben wir, da wir nicht die einzelnen Wellenlängen
berücksichtigten, graue Strahlung der Atmosphäre angenommen. Wir lassen in erster Annäherung die Erdoberfläche
schwarz strahlen; namentlich für tiefe Wassermassen dürfte
dies mit Rücksicht auf ihr geringes Reflexionsvermögen zutreffen. Ist Strahlungsgleichgewicht vorhanden, so ist S‘ =
und der Wärmeverlust der Erdoberfläche wird von S auf S
aS
herabgesetzt. Schon geringe Wasserdampfmengen genügen,
die Erdstrahlung kräftig absorbieren zu lassen. Wirschließen:
Die strahlende Erdoberfläche vermag eine wasserdampfhaltige Atmosphäre derart anzuheizen, daß ihr
eigener Wärmeverlust durch Gegenstrahlung im Maximum auf den halben Wert herabsinkt.
0*
84
R. Emden
Dieser Strahlungsschutz der feuchten Atmosphäre tritt
noch stärker in Erscheinung, wenn wir statt Strahlungsgleichgewicht die in Wirklichkeit vorhandenen Temperaturen berücksichtigen. Wir geben der Erdoberfläche eine Temperatur von
“n4<al'
cm" mm.
ab, und bei Strahlungsgleichgewicht wird die Temperatur der
Atmosphäre, unabhängig von ihrem Gehalt an Wasserdampf,
12° 0, T — 285°. Schwarz strahlend gibt sie 0,50
T=
Gra
= 239° = — 34° C. Diese abnorm kalte Atmosphäre
1/2
könnte bereits bei genügendem Gehalt an Wasserdampf den
Wärmeverlust der Erdoberfläche auf 50% herabsetzen. Bei
höheren Temperaturen, die selbstverständlich nicht durch Stralilungsgleichgew'icht bedingt sind, steigt die Gegenstrahlung
stark an, proportional T4. Diese Verhältnisse werden in § 6
eingehend behandelt werden.
Die gediegenen Untersuchungen von E. Gold, deren Studium und Verständnis durch eine sehr gedrängte Darstellungsund mathematische Bezeichnungsweise erschwert werden, verdienen eine eingehendere, kritische Durchsicht. Wir haben
bereits S. 56 aufmerksam gemacht, daß Gold für Strahlungsgleichgewicht zwei Bedingungen als gleichwertig ansetzt:
1. Gleichheit absorbierter und emittierter Strahlung jeder
Schicht (enthalten in unserer Gleichung (28)); 2. Gleichheit
der Energiestrüme B und A, welche die Schicht in entgegengesetzten Richtungen durchsetzen. Wie die Untersuchungen
des § 2 zeigten, ist das erste Kriterium weit allgemeiner und
gilt die zweite Bedingung nur für den Spezialfall der Wärmebilanz Kuli, B — A = 0. Da aber Gold nur diesen Spezialfall näher untersucht, entsteht kein weiterer Nachteil. Das
erste Hauptresultat der Göldschen Untersuchungen (loc. cit.,
S. 5) „or the temperature for the isothermal state must be
such, that a full radiator at that temperature rvould radiate
with an intensity equal to the average vertical component of
the intensity of solar radiation“ deckt sich mit den Ergebnissen
Sfcrahlungsgleichg-ewicht und atmosphärische Strahlung.
85
unseres § 2. Dies Resultat ergab sich uns bei Voraussetzung
grauer Strahlung der Atmosphäre. Gold hingegen (sein 6 entspricht unserem 7c) bemerkt S. 55 ausdrücklich, obwohl b nicht
den Index X trägt, where b may vary with X; und sein Satz ist
ohne weitere Einschränkung der b abgeleitet. Allein es ist
a priori klar, daß in dieser Allgemeinheit der Satz nicht richtig
sein kann. Denn würde die Atmosphäre nur in zwei Wellenlängen 7., und X2 strahlen und absorbieren, so ist die Ausstrahlung 7q Eit -)- b.2 E).2 bestimmt durch die Temperatur, die Absorption b1S).i-\-b2S}.2 aber abhängig, wie die Strahlungsbestandteile Si; und Si2 in der einfallenden Strahlung gemischt sind.
Die Goldsche Schreibweise erschwert den Fehler aufzufinden.
Gold schließt (S. 58): Again if we substitute in equation II,
we find
J V>. d X = J2 n J, d l jV3 e - ” (®. ^ dx
a)
0
0
0
(die linke Seite gibt die Strahlung der Sonne, die rechte Seite
die Strahlung aller Schichten plus der Erde, welche eine Ebene
beim Drucke p, durchsetzen)
and if pi is small, this becomes
§V-,dX = jbi J,dX = nj.
b)
I)
o
b) liefert den ausgesprochenen Satz. Allein schreiben wir (a)
ausführlicher, unter Weglassung von Unwesentlichem und bezeichnen die Sonnenstrahlung mit S, so haben wir
i. p 1
ec
b
h
i‘) —J*S>. dX J*cos i) c
°°°#
>. Pi
J cos & e
d0=
o
o
Die Glieder, die b-,, enthalten, sind Funktion cp von X; wir
haben also
n
o
S-,, d X — J" 2 n cp (/) J-, d X
o
86
R. Emden
und so lange cp (7.) nicht spezialisiert ist, können keinerlei
CO
00
Schlüsse über den Zusammenhang zwischen j* Si d X und j*
u
dA
o
gezogen werden. Gold kommt zu seinem Satze lediglich dadurch, daß er, indem
— 0 gesetzt wird, baus den Gleichungen entfernt. Dasselbe Resultat ergibt sich, wenn in (a‘)
b>. konstant gesetzt, also graue Strahlung angenommen wird.
Die Goldsche Behandlung atmosphärischer Strahlungsprobleme unterscheidet sich in zwei Punkten von unserem in § 2
und auch weiterhin benützten Verfahren. Wir haben in § 1
gezeigt, daß die Absorption diffuser Strahlung, soweit sie hier
in Betracht kommt, sich mit genügender Genauigkeit behandeln läßt, wenn sie als parallele Strahlung mit doppeltem
Absorptionskoeffizienten augesetzt wird. Die Ungenauigkeit
tritt vollständig zurück gegenüber der Tatsache, daß wir die
Zahlenwerte derselben kaum der Größenordnung nach kennen.
Gold rechnet formal streng. Dies hat aber den Nachteil, daß
das ganze Zahlenmaterial seines Abschnittes VI nur durch mühsame, mechanische Quadratur gewonnen werden kann, während
wir, wie sich unten zeigen wird, übersichtliche, geschlossene
Ausdrücke erhalten, die sich leicht numerisch ausrechnen lassen.
Gold behandelt zweitens Sonnenstrahlung, Erdstrahlung und
atmosphärische Strahlung getrennt. Wir haben nach dem
Schwarzschildschen Ansätze lediglich die Energieströme li und A
zu berechnen; der Einfluß der Sonnen- resp. Erdstrahlung
kommt (Gleichung 38) in den Integrationskonstanten 13 (oben
auffallende Sonnenstrahlung) und A (unten einfallende Erdstrahlung) zur Geltung.
Die Behandlung des Strahlungsgleichgewichtes ist bei Gold
mit Aufdeckung der Isothermie von der effektiven Erdtempieratur erledigt. Das Resultat ist, wie wir oben (S. 79) sahen,
unbefriedigend und steht in keinem Verhältnis zu dem großen
angewandten mathematischen Apparat. Von neuen Gesichtspunkten geht der Abschnitt VI aus: Application to the Earth
Atmosphere taking into account the Diminution of Watervapour with Height. Limits to which Convective Equilibrium
Strahlungsgleicligewicht und atmosphärische Strahlung.
87
can subsist. Wir nehmen mit Gold lc und a als unabhängig
von der Wellenlänge an, setzen also Graustrahlung der Atmosphäre voraus. Ist die Atmosphäre in konvektivem Gleichy. — 1
gewichte, so ist bekanntlich T~p * , ^ für atmosphärische
1
Luft — -g, also T = p3’5.
4
Die Ausstrahlung ist bei grauer
4
35
Strahlung ^ T , also -~p ’ . Dies würde zu unangenehmen Ausdrücken führen, da Integrale von der Form §x*exclx auftreten
würden. Wir setzen deshalb in Annäherung T ~ p* und erzielen so E ~ p. Wir haben damit x= -Jj- angenommen; unsere
Betrachtungen wären deshalb für eine 3 atomige Gasmasse
strenge richtig.
Die Temperaturabnahme bei dieser Annahme berechnet
1
sich ) zu 0,85° pro 100 m, ist also 15°/o kleiner als der bekannte, adiabatische Temperaturgradient 1° pro 100 m. Da
p ^ tn, der Masse, die unterhalb der oberen Grenze der Atmosphäre liegt, haben wir auch Ti ~ E ~ m. Ist die ganze
Masse pro cm? 31 und beziehen sich T0 resp. Ea auf die untere
Begrenzung der Atmosphäre, so haben wir für konvektives
Gleichgewicht in dieser Annäherung
m
44)
E = En
M
und unsere beiden Hauptgleichungen (S. 73) werden:
45)
m
dB
= — Te B + h EQ
dm
M
45 a)
dA
=
dm
„ m
IcA — liEoW.
’ 31
7
Wir nehmen erst lc konstant an. Dann erhalten
Lösungen :
Em
Ea
46)
B — Bnc~km -j- n
1:31'
31
47)
A = An &’
-i
E am
.1/
En
131'
*) Vgl. R. Emden, Gaskugeln, S. 355. Leipzig 1907.
wir die
R. Emden
Nehmen wir weiter an, daß Sonnenstrahlung im Betrage o
einfällt (J5 = o für m = 0) und die Atmosphäre ohne Temperatursprung auf der Erdoberfläche aufliegt (A = Ea für
m = M), so erhalten wir:
= (° + ä)e“fcm
4s)
£
49)
A — ~
k AL
ek lm -WA-
I
r
-^o
En m
nr
_0
"
M
_
kM
Eo_
kM '
Diese Atmosphäre ist nun nicht im Strahlungsgleichgewichte.
Bilden wir für die Schicht von in bis in -f- din den Überschuß
der absorbierten über die ausgestrahlte Energie, also den Ausdruck led in (J5
Ä) — 21c dm E, so erhalten wir
Absorption — Emission
50)
--- -- lc dm
K \ 11
e~
kMJ
E0 pk [m
kM
-
M)
und selbst wenn wir von Sonnenstrahlung absehen (o = 0)
51)
Absorption ^ Emission, wenn m ^ ^.
Strahlt die Sonne, so erstreckt sich der Überschuß noch auf
tiefere Schichten. Der angenommene Temperaturgradient wird
somit durch Strahlung gebrochen (selbstverständlich, denn bei
grauer Strahlung ist Strahlungsgleichgewicht isotherm), aber
im besonderen so, daß mindestens (bei o = 0 genau) die obere
Hälfte (der Masse nach) der Atmosphäre gewärmt, die untere
Hälfte abgekühlt werden. Der Temperaturgradient 1° auf 100“
wird, da die Temperatur nach oben stärker abnimmt, noch
rascher gebrochen. Daraus zieht Gold folgende Schlüsse.
Treten Konvektionsströme auf, so werden der Erdoberfläche
Wärmemengen entnommen und in die Atmosphäre übergeführt.
Reichen diese Konvektionsströme bis in die obere Hälfte der
Atmosphäre empor, so bewirken die emporgeführten Wärmemengen, daß die Temperaturen steigen und somit der adiabatische
Temperaturgradient noch rascher gebrochen wird. In den tiefen
Strahlungsgleichg-ewickt und atmosphärische Strahlung.
89
Schichten aber können die emporgeführten Wärmemengen die
zu große Ausstrahlung decken und das konvektive Gleichgewicht aufrecht halten. Konvektives Gleichgewicht und damit
Konvektion sind also nur möglich, wo die Ausstrahlung die
Absorption überwiegt, also in der unteren Hälfte der Atmosphäre. So erklärt sich die seltsam scheinende 5. Annahme
Golds (loc. cit., S. 46). Y. A necessary condition for convection,
which forms the keystone of the present discussion, is that,
in the upper part of the convective system, the radiation from
any horizontal layer (or any elementary sphere) should exceed
the absorption by it. Wiederholen wir, um Mißverständnissen
vorzubeugen, nochmals mit den Worten Golds (loc. cit., S. 44):
I propose to show, that in an atmosphere which is not transparent, but absorbs and emits radiation, the process of radiation
would prevent the establishment of the temperature gradient
necessary for convective equilibrium, in the upper layers of the
atmosphere; and that in the lower layers of our atmosphere
it can be maintained only by transference of energy from the
earth to the atmosphere by direct convection or by the process
of evaporation of water at the earth’s surface and subsequent
condensation in the atmosphere.
Diese Betrachtungen werden vertieft, indem die Wirkung
des Wasserdampfes in Rechnung gezogen wird. Die Menge
desselben nimmt mit der Höhe ab; seine Wirkung angenähert
darzustellen, setzt Gold h —
, wo a und q geeignete
q — m'
uoo
Konstanten sind. Für q werden die Werte -£ M und -J M angesetzt, welche die Abnahme der Absorption rascher resp.
langsamer darstellen sollen, als sie der wirklichen Abnahme
des Wasserdampfes entspricht. Senkrecht einfallende Strahlung wird beim Durchlaufen der Atmosphäre um den Bruchteil
geschwächt, wie eine leichte Rechnung ergibt. Für a
werden zwei Annahmen zu Grunde gelegt. Angenommen, daß
25°/o der Erdstrahlung ungeschwächt durchgelassen, und zwei
Drittel des Restes absorbiert werden, ergeben sich für die
90
R. Emden
beiden g-Werte a — 0,5 und 0,68. Wird aber die Erdstrahlung
bis auf verschwindend kleine Beträge absorbiert, so ist a — 2
resj:). 4 zu setzen.1) Wir setzen also in den beiden Hauptgleichungen (S. 73) lc —
—. Ist die Atmosphäre isotherm
auf der Temperatur T = Tg, E — Ea, so erhalten wir als
Lösungen
Bestimmen wir die Integrationskonstanten so, daß die Strahlung a einfällt, (E = o), und die Atmosphäre auf der Erdoberfläche von der Temperatur T0 aufliegt (A = E0), so ergibt sich
54)
E — (a — E0)
54 a)
A = E0 .
~h En
Nehmen wir anderseits an, daß sich die Atmosphäre in nahezu
konvektivem Gleichgewichte befindet, so daß wir in den Haupt'ill
gleichungen E = En
setzen können, so erhalten wir die
Lösungen
55)
K
E = E0
ag g — m
Ma — 1
q
E0
M1
Eg ag g — m
En
r
M a+ 1
q
" M i’
55 a)
und spezialisieren wir wieder für Ê — a; A = En, so ergibt sich
56)
_E0 aq q — m
E0
lia — 1 q
~M
E=
56 a) A =
En q - .1/ lg - M\
M a
4 1
-
\q — m)
3
Ma + l
q
1
I K
^ M
0 Den Einfluß des Wasserdampfes werden wir in unseren Untersuchungen § 5 durch andere, besser begründete Ausdrücke darstellen.
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
91
Abstrahieren wir von der Sonnenstrahlung, so ist in (54) und
(56) o = 0 zu setzen; sehen wir von der Erdstrahlung ab
(A = 0), so erhalten wir an Stelle von (53) und (55 a)
57)
A =
57)
A = -
+ K
m
a
Eç
n q — 71/\
~t~ 1 (I
J
aq
M' a Al'
q
^ AI
1
Die geschlossenen Ausdrücke (52) bis (57) gestatten die Berechnung des von Gold in Abschnitt VI durch mechanische
Quadratur gewonnenen Zahlenmaterials mit mehr als hinreichender Genauigkeit. Die eingehendere Anwendung derselben zeigt:
Mit Berücksichtigung des Wasserdampfes tritt für die
Atmosphäre im konvektiven Gleichgewicht an Stelle der Gleichung (51) in genügender Annäherung die Gleichung
Absorption
58)
> Emission, wenn m < E
<
> 4 '
Und wie oben schließt Gold, daß jetzt Konvektionsströme nicht
über das Niveau
das ist eine Höhe von zirka 9200 m,
emporreichen können. Unterhalb des Niveaus m =
halten sie
das konvektive Temperaturgefälle gegen die Wirkung der Strahlung aufrecht, oberhalb unterstützen sie die Strahlung in
ihrem Erwärmungsprozeß. Innerhalb des Niveaus von m —
•i
und m = — ist die Differenz Ausstrahlung — Absorption so
u
klein, daß nur Konvektionsströme von geringer Intensität bis
in diesen Teil der Atmosphäre emporsteigen müssen. Oberhalb m =
stellt der Strahlungsprozeß Isothermie her. (Gold
setzt ihre Temperatur gleich der Temperatur, die durch die
92
R. Emden
Konvektionsströme bei m ~ — bewirkt wird (Jc = | J), nach
meiner Meinung nicht richtig, denn die Isothermie ist bestimmt
als Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes, also gleich der
effektiven Erdtemperatur.)
Zusammenfassend ergibt sich das Resultat c (Gold, loc. cit.,
S. 47); It is found that if the atmosphere consists of to skells,
the inner in the adiabatic, the outer in the isothermal state:
1) the inner cannot extend to a height greater than that for
which m = \M (10500 m); 2) the inner must extend to a
height greater than that for which m = ] M (5500 m)1).
Diesen Ausführungen habe ich folgendes beizufügen. Sie
können sich selbstverständlich nur auf Konvektionsströme beziehen, die durch geringe Überschreitung des angenommenen,
adiabatischen Temperaturgradienten ausgelöst werden. Ich habe
an andererStelle3) gezeigt, daß die atmosphärischen Strömungen
sich in zwei Arten sondern lassen, die ich als „kurze“ und „lange“
Zykeln bezeichnete. Nur die ersteren, die sich auf verhältnismäßig kleinen Gebieten abspielen, wie etwa die Wärmegewitter,
die Tornados usw., haben labiles Gleichgewicht der Atmosphäre
zur Vorbedingung. Der größte Teil aller ihrer BewegungsVorgänge, wie sie etwa in den Hoch- und Tiefdruckgebieten
sich einstellen, wird durch andere Energie, als der Senkung
des Schwerpunktes der über diesen Gebieten sich mischenden
Luftmassen, gespeist. Sie haben keinen besonderen Temperaturgradienten zur Vorbedingung, sondern dieser wird umgekehrt
durch sie erzwungen. Soweit sie emporreichen, werfen sie die
durch Strahlung bedingten Temperaturen über den Haufen.
Davon abgesehen verleitet das Goldsche Resultat c leicht zu
der Meinung, daß durch graue Strahlung allein die Teilung der
b Die Höhenangaben sind nicht genau; sie entsprechen der Teilung
der Atmosphäre bei Isothermie von 0°. Wir haben aber die entsprechenden Höhen bei konvektivem Gleichgewicht anzusetzen; sie sind bei einer
Bodentemperatur von 0° 9200 m und 5000 m; für eine Bodentemperatur
von 1° aber t • i°/oo größer.
2
) R. Emden, Gaskugeln, S. 363 f. Leipzig 1907.
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
98
M
Atmosphäre bei m = — in diese sich so verschieden verhaltenden Gebiete verursacht würde; etwa folgendermaßen überlegend.
Die ganze Atmosphäre sei in konvektivem Gleichgewichte. Der
M
Teil über m = — wird durch den Strahlungsprozeß angewärmt,
bei festgehaltener Bodentemperatur können die Konvektionsströme nicht mehr störend eingreifen, es muß sich also die
Isothermie des Strahlungsgleichgewichtes einstellen. Unterhalb
m — ~ tritt durch Strahlung Abkühlung ein, bei festgehaltener Bodentemperatur bilden sich also instabile Temperaturgradienten aus und Konvektionsströme treten auf, bis m —
emporsteigend, die Instabilität vermindernd. Der Strahlungsprozeß allein würde also bei festgehaltener Bodentemperatur
M
unterhalb m = — stets Konvektionsströme neu erzeugen und
die Trennung der Atmosphäre in Troposphäre und Stratosphäre
in richtiger Höhe wäre durch den Strahlungsprozeß allein erklärt. Es ist nicht ersichtlich, ob Gold so oder ähnlich geurteilt hat, noch welche praktische Bedeutung er seinem Resultat c beimißt. Eine Schlußfolgerung wie die angegebene aber
ist unrichtig. In den ersten Zeitmomenten tritt die angegebene
Temperaturänderung ein, was sich aber in den folgenden Zeiten
abspielt, läßt sich nicht mehr überblicken. Wohl aber läßt sich
das Endprodukt des Strahlungsvorganges angeben; denn von
beliebigem Anfangszustande ausgehend muß sich Strahlungsgleichgewicht einstellen. Für die Wärmebilanz Null ergibt sich somit graue Strahlung (wie bei Gold) vorausgesetzt
stets Isothermie von der effektiven Erdtemperatur, mag die
Absorption auch beliebige Funktion der Höhe sein. Für diese
Wärmebilanz stellt sich der Erdboden ebenfalls auf effektive
Erdtemperatur ein. Würden wir seine Temperatur künstlich
höher halten, etwa durch Wärmezufluß aus dem Erdinnern,
oder wäre vorherige intensive Bestrahlung genügend lange
94
R. Emden
nachwirkend, so wären die Wärmebilanz Null und die Isothermie
gestört, und es könnten sich Temperaturgradienten ausbilden.
Stets aber wird durch die ganze Atmosphäre hindurch stabiles
Gleichgewicht hervorgerufen (vgl. oben S. 75); denn unter allen
Umständen hat graue Strahlung Stabilität durch die ganze
Atmosphäre hindurch zur Folge und kann keine Trennung in
Troposphäre und Stratosphäre bewirken. Lassen wir aber, im
Gegensätze zu Gold, die Voraussetzung grauer Strahlung fallen,
so ändern sich diese Verhältnisse, wie in § 5 gezeigt werden
wird, vollkommen.
Eine geistreiche Überlegung ermöglicht Gold die tiefsten
Temperaturen zu bestimmen, die in der Atmosphäre auf die
Dauer möglich sind. Ist die Atmosphäre in konvektivem
Gleichgewichte, so ist jedes Teilchen auf der tiefsten Temperatur, die bei gegebener Bodentemperatur mit Stabilität verträglich ist und emittiert deshalb ein Minimum von Strahlung.
Die geringste Strahlungsmenge empfängt olfenbar die oberste
atmospärische Schicht; die Temperatur, auf welche sich diese
bei Strahlungsgleichgewicht einstellt, ist deshalb die tiefste
Temperatur, die der Strahlungsaustausch zuläßt. Sie bestimmt
__
_ _
,j
sich aus der Beziehung 2E— B -f- A, wenn B — 0, zu E = U .
Gold berechnet entsprechend seiner Annahme über die Verteilung und Wirkung des Wasserdampfes T = 198°, 173°; 193°
und 154°; bei einer Bodentemperatur von T = 300 °.
Die Ergebnisse der Göldschen Untersuchungen lassen sich
wie folgt zusammenfassen. Graue Strahlung vorausgesetzt
ergibt sich:
1. a) Das Strahlungsgleichgewicht der Atmosphäre von
gleichmäßiger Zusammensetzung ist Isothermie von der effektiven Erdtemperatur, T— — 19u C.
b) Die Differenz Absorption —Emission ist durch Gleichung (51) bestimmt.
2. Wird der Wirkung des Wasserdampfes Rechnung getragen, so folgt weiter:
a) Satz la bleibt bestehen. (Dieser Satz ist bei Gold nicht
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
95
besonders angeführt, er ergibt sich aber leicht aus dessen Ansätzen. Allgemein, d. h. für h beliebige Funktion von m haben
wir den Satz oben S. 79 bewiesen.)
b) An Stelle der Gleichung (51) tritt die Gleichung (58).
Konvektives Gleichgewicht wird durch den Strahlungsprozeß
gebrochen, derart, daß in den ersten Zeiten oberhalb m — ^
Konvektion verhindert, unterhalb Konvektion begünstigt wird.
3. Der Wirkung des Wasserdampfes Rechnung tragend
werden für eine Bodentemperatur T=300 die niedersten Temperaturen von Schichten, die sich im Strahlungsgleichgewicht
befinden, zwischen T=150 und 200 bestimmt. Da aber Sonnenstrahlung ausgeschlossen ist, würden diese Temperaturen mit
der Bodentemperatur rasch sinken.
§ 4. Die Integralgleichung des Strahlungsgleichgewichtes.
Wir schließen an die Untersuchungen des § 2 an. Wir
setzen nicht mehr graue Strahlung voraus, sondern schreiben
der Atmosphäre für jede Wellenlänge X ein besonderes Absorptionsvermögen a>_, h zu. Dann werden die beiden Hauptgleichungen in leichtverständlicher Bezeichnung:
59)
dB,
dm
d A,
dm
-lc,B, + lc,E,
Jc,A, — foE,.
Dies Aufgeben der grauen Strahlung hat die weitgehende
Konsequenz, daß wir das Absorptionsvermögen nicht mehr als
beliebige Funktion der Höhe ansetzen können. Denn wollten
wir entsprechend den Gleichungen (41) und (42) eine optische
Masse einführen, so würde dieselbe reelle Masse in jeder Wellenlänge einer anderen optischen Masse entsprechen. Das Absorptionsvermögen sei also nur Funktion der Wellenlänge. Bei Strahlungsgleichgewicht muß jetzt für jedes m an
Stelle von Gleichung (28) die integrale Beziehung
96
R. Emden
00
00
2 j“ h E, d X = j* h (B, + A,) d l
60)
0
0
erfüllt sein.
Setzen wir weiter B>.— A>. — 2yi, so folgt durch Addition der Hauptgleiclmngen
~ + AAd = - h (B, - A,) = - 2 h y>.
dm
dm
61)
mit der Folge
J B-,, d X -j- jhl; dX — — 2 j‘ d m J h-,y>. d X -f- const ;
62)
u
o
u
und durch Subtraktion, mit Rücksicht auf Strahlungsgleichgewicht, Gleichung (60),
CO
<
3SJ(»-A) «-O
0
00
00
00
j‘ B,_ dX — JA -, dX = -j- 2 J j d X
63)
OU
const,
U
d. h. die Differenz der ab- und aufsteigenden Energieströme ist konstant. Dieser Satz (vgl. oben S. 74) ist also
nicht auf graue Strahlung beschränkt.
Zur Vereinfachung der Bezeichnungsweise führen wir ein
E = JE-, dX;
u
B = ph d X ;
A = JA;, d X ;
o
o
y = J y, d X ;
u
Aus (62) und (63) folgt
cc
B = — J dm Jlc-,y ,.dX + B
,
0
64)'
’»
0
rr
A — — Jdmjfa y, dX -f A,
U
l)
während (61) noch die merkwürdige Beziehung liefert
CO
I y {B-, -\-A)X)dX— — 2my -f const = —(B—Ä)m-f- const.
IC)'
65)
0
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
97
Wir untersuchen, unter welchen Bedingungen Isothermie vorhanden sein kann. In den Gleichungen (59)
setzen wir dementsprechend E>. konstant, d. h. unabhängig
von m, und erhalten durch Integration
B, = B0,e-k>m + E,
66)
Ä, = AQ,e+k>-"‘ + E,
und daraus mit Rücksicht auf Strahlungsgleichgewicht (Gleichung 63)
j%. d X—ph dX = opB
o
0 A e~
K
— A0 e ** "') d X
I]
ao
—
= 2 J/j.dX — B — A — const.
0
Es muß also sein Bo;. = Ao>. = 0 mit der Folge
B=A = B= A
B>. ---- A,. — E;. unabhängig von m.
Wir haben den Satz: „Soll Isothermie vorhanden
sein, so muß nicht nur (wie bei grauer Strahlung) sich
integral die Wärmebilanz Null ergeben, B — A, sondern in jeder einzelnen Wellenlänge; und die auf- und
absteigenden Energieströme müssen an jeder Stelle
in jeder Wellenlänge übereinstimmen in einer Intensität gleich E;dl.
Damit die Erdatmosphäre sich auf Isothermie
einstellen könnte, müßte sie mit der Strahlung, die
ein schwarzer Körper auf ihrer Temperatur aussendet,
beleuchtet werden, und statt auf der nach anderer
spektraler Verteilung emittierenden Erdoberfläche
auf einer vollkommen schwarzen, gleich temperierten
oder vollkommen spiegelnden Unterlage aufliegen.
Nach den in Wirklichkeit vorhandenen Bedingungen
kann die Erdatmosphäre bei Strahlungsgleichgewicht
nicht isotherm sein.
Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1913.
7
98
R. Emden
Um weiteren Einblick zu erhalten, integrieren wir die
Hauptgleichungen (59), indem wir E;. als unbekannte Funktion
von m betrachten und erhalten
in
r* It) III 7
B),e— k;1 in +« e — /c; in je
h B). d7 m
ü
~T~)
in
e
'
)
I
777
{ß}' — Ei) + JE)' — e
A;. = U'm
6S
\
— /i; in /
— k)
A m (*
J
0
/c; in d JE},
-,
c '• —— dm
am
in
-
ek)-mje~k?-mhE}'drn
_
~
dE
= ek>-"\A, — E>) + E; - e '-e~h’“ P dm.
J
dm
0
Da A-,, den aufsteigenden Energiestrom mißt,
zweckmäßiger sein, an Stelle von A-,. den Wert an
Grenze der Atmosphäre, A}_, einzuführen. Hat die
eine Mächtigkeit 31, so ergibt sich durch leichte
von (68)
kann es oft
der unteren
Atmosphäre
Umformung
JZ
69)
k> 0n m
m
A; = e - ~ (Ai — Ei) + Ei + e’—
J
d
J'1 dm.
dm
m
Kann die Masse der Atmosphäre, wie etwa bei sehr großen
Gaskugeln, praktisch unendlich große Werte annehmen, während die Energiemengen endlich bleiben sollen, so wird Gl. 68
Ai. = Ai.ek/-"‘ -f- e'-m j e k'-,n lc>.E>.dni. A>. muß gleich Null sein.
in
Das Integral bleibt endlich und wir erhalten
III
Für Strahlungsgleichgewicht ergibt sich, infolge (63), die
Bedingung in Form einer Integralgleichung
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
CO
7 V
“
J'c-*i » (5; _ Ë,) dl-j e~k>- "'dlJ,ev" ^ dm o
0
71a)
m
»
0
-j-Jjek>mdlJe~k'm
J
99
"
>" (A,-E,) dl
0
dm = -f- 2y = const
oder
je~ki-m(B,-E,)dl-je-,t>m dljel,>m ^ dm
o
o
o
71 b)
M
k/ m
l(
E))dl— Je - dlJe
— fe "‘
dm — -j- 2/const
oder schließlich, falls ilf — co werden kann
71 c)
je~k’ "‘ {B, - E>) dl-§e-k> mdlJ>-”‘ ^ dm
o
o
o
CO
CO
e~k/-m
0
' ci»H =
dm
2/ = const.
ui
In diesen Gleichungen ist
durch das Gas, welches die Atmosphäre aufbaut, als Funktion der Wellenlänge gegeben. Für E>. gilt die Planksche Beziehung
72)
Ei dl = 5,304.10
11
l~ü
1,462
cm- nun
Nach ausgeführter Integration nach l erhalten
wir eine Integralgleichung, die mit Rücksicht auf die
Grenzbedingungen bei m = 0 und m = M die Temperatur T als Funktion von m, oder mit Hilfe der
-l = f " (oben S. 75) als Funktion von z
m
RT
bestimmt. Die Gleichungen (71) enthalten somit die
vollständige Lösung des gestellten Problems. Ihrer
Beziehung
100
R. Emden
Auflösung scheinen selbst in den einfachsten Fällen allzu große
mathematische Schwierigkeiten zu begegnen. Leicht zugänglich sind sie lediglich in 2 Spezialfällen.
1. Spezialfall. Wir setzen in (71b) B,. = Ei, A>. = E;..
Dann folgt ohne weiteres
=0, ;
0. Wir erhalten
°
a ni
somit E). — const, also Isothermie, mit der Folge B>. ~ E>.
= Ei. = A;_. Dasselbe ergibt sich, wenn wir von Ex = const
ausgehen. Wir erhalten das bereits auf andere Weise ermittelte
Resultat: Isothermie ist bei Strahlungsgleichgewicht
dann und nur dann möglich, wenn die Atmosphäre
von beiden Seiten her mit gleicher, schwarzer Strahlung beleuchtet wird; ihre Temperatur wird der Art,
daß ein gleich temperierter schwarzer Strahler Strahlung gleich der ihr zugesandten Strahlung aussendet.
Während die vereinfachende Annahme grauer Strahlung nur
die integrale Wännebilanz Null für Isothermie erfordert, muß
bei Eingehen auf die einzelnen Wellenlängen nicht nur diese
Wärmebilanz für jede einzelne Wellenlänge vorhanden sein,
sondern auch, um dies zu ermöglichen, schwarze Strahlung
einfallen. Dies so gänzlich verschiedene Verhalten ist in letzter
Linie darin begründet, daß graue Strahlung von bestimmter
Intensität auf unendlich viele verschiedene Arten, schwarze
Strahlung von bestimmter Intensität nur auf eine einzige Art
und Weise erhalten werden kann.
2. Spezialfall. Die Strahlung sei grau. Wir setzen in (71 b)
konstant gleich k. Um die Konstante 2 y wegzuschaffen,
wird nach m differentiert, und wenn wir mit C eine neue,
beliebige Konstante bezeichnen, spaltet sich, wie leicht ersichtlich.' die Gleichung
in die 2 Gleichungen
O
O
e
(A’ — E)
2
-km
C
f
J/
/;(m—.1/)
(A — E)
‘ I
hm Ç
e
hm $&
e
/V
-- - am = U
7
d 7)i
umdE
dm = (J.
dm
Strahlungsgleiehgewicht und atmosphärische Strahlung.
101
Wird nochmals differentiert und das bleibende Integral
d2 JE
partiell integriert, ergibt sich leicht die Beziehung - - = 0
und die allgemeine Lösung für graue Strahlung
E = Cm + C\.
Die Integrationskonstanten lassen sich auch leicht bestimmen,
so daß sich die Gleichungen (38) ergeben.
§ 5.
Das Strahlungsgleichgewicht der Atmosphäre und die
Temperatur der oberen Inversion.
Die Untersuchungen des § 2, die graue Strahlung zur
Voraussetzung hatten, führten zu dem unbefriedigenden Resultate, daß bei Strahlungsgleichgewicht die Atmosphäre sich
durchwegs auf konstante Temperatur gleich der effektiven Erdtemperatur, T — 254° = —19° C einstellt. Anderseits sind die
Formeln des § 4, welche dem verschiedenen Absorptionsvermögen der einzelnen Wellenlängen Rechnung tragen und die
exakte Lösung des Problems enthalten, weiterer Behandlung
nicht zugänglich. Wir nähern uns in diesem Paragraphen dieser
Lösung auf einem Wege, der dadurch ermöglicht wird, daß die
die Atmosphäre durchsetzenden Strahlen sich in zwei Gruppen
von gänzlich verschiedener Temperatur anordnen lassen. Die
von der Sonne ausgehende Strahlung hat ihr Energiemaximum
bei l = 0,47 u (die Planksche Formel (72) liefert hiefür 25000
Einheiten für j^GOOO0); der Beitrag, den Wellenlängen größer
als etwa 2 /( liefern, ist zu vernachlässigen. Die Strahlung der
Erde und der angewärmten Atmosphäre hat für T = 285° ihr
Energiemaximum bei 7 = 10 ,u (die Planksche Formel gibt
hiefür etwa 300 Einheiten), der Anteil in Wellenlängen <2 /t
ist zu vernachlässigen. Wir zerlegen dementsprechend die
Strahlung in 2 Teile: der Teil 1 umfaßt 0 < X < 2 /<., der Teil 2
umfaßt 2 (« < ). < oo . Wir setzen also
]J — /), -f- J>.,
A = Ax -f- A2
Jll* = lhy -f- Jhy
102
R. Emden
und werden später A1 gegen A2, Ex gegen E2 vernachlässigen,
hüten uns aber, auch ß2 klein gegen B1 anzunehmen, denn
die absteigende Strahlung B besteht nicht nur aus der kurzwelligen Sonnenstrahlung Bv sondern es tritt noch die langwellige Ausstrahlung der ange wärmten Atmosphäre dazu. Wir
nehmen weiter vereinfachend an, data jedes dieser Strahlenbündel mit einem mittleren Absorptionskoeffizienten Jc1 resp. 7c2
behandelt werden kann.
Entgegen vielfach verbreiteter Meinung ist der Fehler, den
man begeht, für die einfallende Sonnenstrahlung einen mittleren Absorptionskoeffizienten anzusetzen, nicht bedeutend, falls
nur ein etwas kleinerer Wert für die Solarkonstante angenommen wird. So kann nach Abbot und Fowle (loc. cit., S. 94 ff.)
die Intensität der Sonnenstrahlung auf dem Mount Wilson und
Washington bis zu einer Zenithdistanz 0=75° mit großer Genauigkeit dargestellt werden in der Form J = 1,84 (0,894)sec 6
resp. J = 1,78 (0,787)secö. Wird die Solarkonstante aber um
n°jo geändert, so ändern sich die Temperaturen nur um ^°/u;
ein Betrag, der gegenüber dem Umstande, daß wir die thermodynamischen Absorptionskoeffizienten nur unvollkommen kennen
(§ 1), nicht in Betracht kommt. Mit weit geringerer Ungenauigkeit kann die aufsteigende Strahlung A2, da bei den tiefen
Temperaturen
dEi
dT
klein ist, mit einem mittleren 7c2 behandelt
werden.
AVir schreiben dementsprechend die beiden Hauptgleichungen (§ 2) in der Form
dB
— — lc1 Bx — k2 B2 + \ E1 + lc2 E2
dm
clA
dm =
KA +K
x
Et — lc2 E2
und die Bedingungsgleichung für Strahlungsgleichgewicht:
2(l;1Ei -f- k2E2) = h1B1 -j- lc2B2 + lc1 H, + lc2 A2
folgern wieder
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
und
dB
dm
dA.
dm
dB
dm
dA
dm
103
B — A — const = 2 y
—
h1 -®i —
K B2 4~ K -A-i
+
h2 A2
und erhalten aus beiden Gleichungen :
dA
dm
73)
—K
— ^2 Bz + /«! Ay -f Jc2 A2.
Gemäß unseren vereinfachenden Voraussetzungen vernachlässigen wir A, gegen A2, ebenso hyAx gegen h2 A2, was um
so mehr gestattet ist, als nicht nur Ay klein gegen A2 ist,
sondern sich auch kt klein gegen Jc2 ergeben wird, und erhalten
74)
2
dB
dm
0
clA
!Cy By
— k2 B2 -j-
\ A2
nebst
B2
-
A2 = 2 7
d B _ h2
—
hy
By
+
und daraus
75)
dm ~
2
dA
7
dm
/-»
2
h2
_
1
hy j,
-Ul1
2
7
,
'^2? *
*
Wären ky und h2 unabhängig von m, so könnten wir unmittelbar integrieren. Allein die Absorptionsverhältnisse der Atmosphäre sind in erster Linie durch ihren Gehalt an Wasserdampf bedingt. Wir setzen mangels besserer experimenteller
Unterlagen die Absorptionskoeffizienten jeder Schicht proportional ihrem Gehalt an Wasserdampf, solange dieser nicht
unter einen zu geringen Prozentsatz heruntergeht, und haben
in erster Linie diesen als Funktion von ni zu ermitteln.
Es hat sich gezeigt1), daß die Abnahme der Dichte des
Wasserdampfes mit der Höhe mit einer für unsere Zwecke genügenden Genauigkeit bis in Höhen von etwa 8 km (soweit liegen
Messungen vor) dargestellt werden kann durch die Beziehung
b J. Hann, Lehrbuch der Meteorologie, S. 170. Leipzig 1900.
104
R. Emden
h
f=fn 10
Wir haben f auszudrücken als Funktion der über 7i liegenden
Luftmasse m. Da die Dichte mit genügender Genauigkeit zu
h
Q — Q0C
8 Jt0
'
angesetzt werden kann, ergibt sich
h
m — Mc
h
8000
= M 10
18400
und daraus die Menge w des Wasserdampfes über h und dessen
Dichte /’
76)
Die Masse M der Erdatmosphäre werden wir weiterhin = 1
setzen. Den Absorptionskoeffizienten jeder Schicht setzen wir
proportional /, also
7c — bm3
und bestimmen b gemäß dem Absorptionsvermögen der Atmosphäre unter mittleren Bedingungen. Dit Strahlung Jn wird
beim Durchlaufen der ganzen Atmosphäre, 714=1, geschwächt
auf den Betrag
1
,7=
Jne
— I b m3 dm
o
=
Jae
^
4
und entsprechend dem Transmissionsvermögen der Atmosphäre
0,9 für die kurzwellige Sonnenstrahlung und 0,1 für die langwellige Erdstrahlung (vgl. § 1) erhalten wir
\ = 0.1
4
und somit
77)
und
\ = 2,3
4
7c,11
— b. m3 = 0,4 m3
7C2
=
b2m3 = 9,2 m3.
So unsicher diese Werte ihrer absoluten Größe nach auch sein
mögen, reichen sie für unseren Zweck aus, da es in erster
Linie nur auf das Verhältnis
h
7C2
ankommen wird.
Strahlungsgleichgewichfc und atmosphärische Strahlung.
105
Wir sind nun in der Lage, das in Gleichungen (75) auftretende ]3l zu bestimmen. Dies ist der Wert der von der
Sonne zugestrahlten, gleichmäßig über die Erde verteilten
Sonnenstrahlung im Niveau m. Bezeichnen wir mit o den
vierten Teil der Solar konstanten, nach Abzug der Albedo,
2.0,63
0,315 Grammkal
.
o = —-— =
(vgl.
oben öl),
so erhalten wir
2 —:
v
ö
4
cm mm
°
’
m
— \ bi m d m
bi
3
J
I7, = 0e°
=oe
4
m%
und die Gleichungen (75) werden
dB
dm
78)
dA
dm
b 4
' i
4M
3
m e
o
b*2 —
m e
3
-
—
b., m y
3
— b, m3 y.
Wir integrieren und erhalten
B =
79)
\1 — 6,1 - » - ~
m'
ne 4
2 b,
A = — “g~ oe
4
h*_2 Ou*44
Wi y -f- Cji
— 1m4 y + CA.
Die Integrationskonstante Cß bestimmen wir aus der Bedingung
B ~ -B, — a für m — 0, und CA aus der Bedingung B — A
— const = 2 y = B — A = o — 0A und erhalten schließlich
J:
°d —e ' '
A
h
80)
=- -2i-°
"
^ U1
r
-
'74 <
6l
O - -4 WC + « — j
i,l
7
4
7 — 2 y.
Wir spezialisieren gleich auf den mittleren Zustand der Atmosphäre; er ist bedingt durch die Wärmebilanz Null, d. h. zugestrahlte und ausgestrahlte Mengen sind sich gleich; B — Ä
= 2^ = 0, und wir erhalten
106
K. Emden
B = A = \-±-o\l
+ o
81)
ô2+Jî_ô2-ôI
2 b,
2 b,
Um die Temperatur der Atmosphäre in der Stelle m zu bestimmen, gehen wir aus von der Bedingungsgleichung für
Strahlungsgleichgewicht :
2 {/,-!?, + \E2} -- A’;B\ + KB2 + \Ä2.
Da E1 sehr klein gegen i?2 ist, können wir die linke Seite
gleich 2 {k.2E1 -f k2E2} = 2 h2E setzen. Die rechte Seite wird
mit Rücksicht auf (74) gleich
_ dB
dm
2 M:2
und benützen wir die entwickelten Ausdrücke für A,
dB
dm
und Ä'2, so erhalten wir
82)
^1
E= o
2
+ ^2
Ms
—&,)e
Da aber E = s T4, o = ST ,
ratur, ergibt sich schließlich
4
88)
4
T* = T
2M
^2
(^2
a
T
= 254° = effektive Erdtempe-
^l) e
Da bei dem ermittelten Werte von
4"n>i =
*’U4
4
J1
T
der Maximalwert von
können wir mit längst genügender Genauigkeit
schreiben
84)
85)
= 254° abs.
B = A
1 + (^2 — ^j)
JH
2 b,
1 + (i2 - i.)
«r
Strablungsgleicbgewicht und atmosphärische Strahlung.
107
Für \ und \ konstant, also unabhängig von m, hätte sich
ergeben
84 a)
ß — A = r,
85 a)
T1 = T'
]{',2 -4- 7c,1
7k + 7k
2 7k 7k
1
2 7k
7c„2 — 7c.1 p — /i, j m
2 7k
\—(k, —lci)e-k>m
und für 7c2 = 7c 15 graue Strahlung, T = r, also Isothermie von
der effektiven Erdtemperatur. Dieselbe Isothermie würde sich
auch für bx = b2 ergeben. Vgl. oben S. 79.
Anwendung der gewonnenen Beziehungen. Gleichung (81) zeigt, daß durch die ganze Atmosphäre hindurch
die Strahlungen ß und A sich gleich sind. Eine Platte, die
in der Atmosphäre in beliebiger Höhe horizontal aufgestellt
wird, erhält durchschnittlich (d. h. im Laufe eines Jahres) auf
beiden Seiten gleiche Wärmemengen zugestrahlt.
An der oberen Grenze der Atmosphäre ist m — 0.
erhalten hier B — A = a und
Wir
86)
In diesen obersten Schichten wird der Wasserdampf in so
außerordentlich geringer Dichtigkeit vorhanden sein, daß von
einer besonderen Absorption desselben nicht mehr gesprochen
werden kann und die Gleichungen (77) ihre Bedeutung verlieren.
(Die Absorption gleicher, durchstrahlter Massen nimmt mit zunehmender Dichte ab.) Da wir das verschiedene Verhalten der
Atmosphäre in Übereinstimmung mit den Beobachtungen dem
Gehalt an Wasserdampf zuschrieben, ist es angezeigt, diesen
Unterschied mit verschwindendem Wasserdampfgehalt verschwinden zu lassen. Wir machen deshalb die Annahme, daß in den
höchsten Schichten h1 und lc2 einem gemeinschaftlichen, kleinen
Werte 7c zustreben, so daß wir erhalten
108
R. Emden
T ----- 254° = — 19u C = T,
d. 11. die Temperatur der höchsten Schichten der Atmosphäre ist gleich der effektiven Erdtemperatur.
Gehen wir in die Tiefe, so bleiben 11 und A = o, so lange
e~ ‘ gleich 1 gesetzt werden kann. In 11 km Höhe, etwa der
unteren Grenze der Stratosphäre entsprechend, ist m rund -j ;
lc1 ist aber bedeutend kleiner als 0,1 zu setzen, da dieser Wert
mit Berücksichtigung der tiefen, besonders wasserdampfhaltigen
Schichten gewonnen wurde. Dazu kommt, daß in dem Maße,
wie in die Tiefe gegangen wird, allmählich die Gleichungen (77)
zur Wirkung gelangen und die Exponentialfunktion in einer
höheren Potenz abnimmt. Bis in diese Tiefe etwa können
wir deshalb von einer thermodynamischen Absorption der
kurzwelligen Strahlung abseh en und in Gleichung (81—84)
JB = A — o annehmen. Nun sind aber die Gleichungen (83)
und (85) gewonnen, indem die Absorptionskoeffizienten nach
Gleichung (77) variabel angenommen wurden. In höheren
Niveaus gelten diese Beziehungen nicht mehr und die 1c ändern
sich nach anderen unbekannten Gesetzen. Teilen wir aber die
Atmosphäre in Schichten von so geringer Mächtigkeit, daß wir
in jeder 7', und
als konstant annehmen können, so gilt für
jede Schichte die Gleichung (85a) und zwar mit demselben
Werte von T, da II hier oben, wie auseinandergesetzt, genügend konstant ist. Die Temperatur jeder Schicht oberhalb
etwa 11 km bestimmt sich deshalb zu
km
86)
höchsten Schichten den Wert 1 hat, um mit zunehmender
Tiefe allmählich den Wert ^ anzunehmen (Gleichung 77).
Wir erhalten für verschiedene Werte dieses Verhältnisses folgende Temperaturen
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
fr,
109
T
h
1
1
Vi
1.
_1
1 0
254°
= — 19° C
238°
224°
= — 35° C
= — 49° C
219°
= — 54° C
215,87° = — 57,23° C
1
213,7° = — 59,3° C.
Gelien wir von den oberen Grenzen der Atmosphäre//
in die Tiefe, so nimmt, solange e~~kl'n gleich 1 gesetzt
werden kann, in dem Make, wie mit zunehmender
Menge des Wasserdampfes seine Eigenschaft, langwellige Strahlung stärker zu absorbieren wie kurzwellige Strahlung, zur Geltung kommt, die Temperatur ab, um einem Minimalwerte T= 213,7° = — 59,3°
zuzustreben.
Die Temperaturen der unteren Schichten der Stratosphäre
bestimmen sich demnach durch ihren Gehalt an Wasserdampf.
Die Menge desselben ist in dieser Höbe von 9 —11 km gering;
allein, daß sie hinreicht optisch bereits stark zur Wirkung zu
gelangen, zeigen die Zirruswolken, die gerade in dieser Höhe
aufzutreten pflegen. Auch andere Wolkenformen können hier
noch beobachtet werden ’). Maßgebende, für seine Temperatur
bestimmende Wirkung ist aber nicht sein Absorptionsvermögen,
sondern lediglich das Verhältnis : h2. Würden die Gleichungen
(77) hier oben bereits voll gelten, so ergäbe sich T = —57,2° C,
bei dem Verhältnis y1- = J, (statt Va) T = — 54°C.
Diese
'"2
Temperaturen fallen mit den wirklich beobachteten
Temperaturen der Stratosphäre zusammen. Die entwickelte Strahlungstheorie zeigt ferner in Übereinstimmung mit der Beobachtung, daß mit wachsender
Höhe die Temperaturen der Stratosphäre in dem Maße,
1
) .T. Hann, Lehrbuch d. Meteorol., 2. Aufl.. S. 207 u. f. Leipzig 1906.
1 10
K. Emden
wie der Wasserdampf an Masse und Dichte abnimmt,
langsam zunehmen. Als tiefste mögliche Temperatur
ergibt sich—59,3°; tiefere Temperaturen sind unmöglich Folge desStrahlungsprozesses, sondern resultieren
durch adiabatische Abkühlung der vor nicht zu langer
Zeit als Ganzes gehobenen Stratosphäre.
Die Temperatur
die „Inversionstempe-
ratur“ bezeichnen wir im folgenden mit 1\.
Gehen wir, von Konvektion absehend, von der unteren
Grenze der Stratosphäre, der Höhe von 9—11 km etwa, weiter
in die Tiefe, so gelangt in den Gleichungen (81—85) das Glied
mit in zur Wirkung und die Temperatur steigt. Um die Temperatur der untersten atmosphärischen Schicht, T0, zu erhalten,
haben wir in Gleichung (83) in — 1 zu setzen und erhalten
4
T0 = TiVl -r 2,2 = 288,8° = + 15,8° C,
87)
also außerordentlich nahe der durch Beobachtungen
erhaltenen, mittleren Temperatur1) von 14,4° C.
Wir bestimmen weiter die Temperatur der Erdoberfläche.
Die untere Begrenzung der Atmosphäre wird von zwei Energieströmen B und A durchsetzt, die sich nach Gleichung (84) zu
B = A = s 2541 (1 + 1,1)
88)
bemessen. Die Erdoberfläche wird von der Strahlung B getroffen und durch Erwärmung befähigt, die Strahlung A
emporzusenden. Das Reflexionsvermögen der Erde für diffuse,
kurzwellige Strahlung ist sehr gering, nach Abbot und Fowle
(loc. cit., S. 161) im Maximum 8°/0, welche Größe bei Bildung
der Albedo bereits berücksichtigt ist. Eine Änderung der ausgesandten Strahlung um 8°/o würde nur eine Änderung von
2°/o der Temperatur erfordern. In Bezug auf die Erwärmung
nehmen wir B als graue Strahlung an, der gegenüber die Erdoberfläche sich auf Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes
1
) J. Hann, Lehrbuch der Meteorologie, 2. hull., S. 115. Leipzig 190G.
Strahlungsg'leichgewiclit und atmosphärische Strahlung.
111
einstellt. Absorptionsvermögen und Emissionsvermögen spielen
dann keine Temperatur bestimmende Rolle (vgl. oben S. 78)
und wir erhalten
89)
TErde = 254° l/2)2 = 309u = + 36°.
An der Berührungsfläche Atmosphäre und Erde ergibt sich
somit ein Temperatursprung von 20° C, der in Wirklichkeit
durch äußere Wärmeleitung stark herabgesetzt wird, namentlich auf Wasser, wo der Wasserdampf mit der Temperatur
der Oberfläche in die Atmosphäre Übertritt. Auch diese Strahlungstemperatur der Erdoberfläche hat einen durchaus annehmbaren Wert.
Wir untersuchen die Stabilität der Atmosphäre bei Strahlungsgleichgewicht.
Dazu haben wir aus Gleichung (83) die
Temperaturgradienten zu bilden. Für jeden Gleichgewichtszustand gilt dp = g o dz, was wir mit Hilfe der Zustandsgleichung p = (JQRT auch schreiben können —
- wym-
In
Gleichung (85) ersetzen wir die über einem bestimmten Niveau
liegende Masse m durch den hier herrschenden Wert des
Druckes p — gm und erhalten durch Differentiation leicht die
Beziehungen
T3dT
Ti
90)
dp
dz
~ ~p ~ BT
d_T
1 T* - T\
dz ~ R - f*
'
Damit Stabilität herrscht, muß sein (vgl. oben S. 75).
dT
dz
<
f
R
x—1
*
_
~
<
1 2
R 7’
wenn wir für atmosphärische Luft = -I = 1,40 ansetzen. In
Verbindung mit Gleichung (90) sehen wir: Befindet sich die
Atmosphäre im Strahlungsgleichgewicht, so sind nur
jene Schichten in einem mechanisch stabilen Gleichgewicht, für welche
112
B. Emden
91)
d. i. < 234,8° = — 38,2° C.
Das Gleichgewicht der höher temperierten, tiefer
liegenden Schichten ist instabil; die Instabilität
nimmt mit wachsender Tiefe zu.
Um den Zusammenhang zwischen Temperatur und Höhe
zu erhalten, integrieren wir Gleichung (90), nachdem wir an
Stelle der abwärts gerichteten £-Achse die Höhe A, dz = — dh,
eingeführt haben, und erhalten
h
const — -- =
h
T
T] + 1
T-T,
T+T\
2 arct
und bestimmen wir die Integrationskonstante, daß für A = 0
sich T = Tn ergibt, so folgt schließlich
92)
A:
ETt ,Tn- T
T0—1\ T+ Ti
Ti ^ °T0+Ti T—Ti
,
T{ +
Daraus berechnet sich folgende kleine Tabelle :
T
215,87
216.0
216.1
216.2
216.3
220
230
234,82
240
250
260
270
280
288,8
= — 57,43° C
= - 57° C
= — 56,9° C
= — 56,8 C°
=— 56,7° C
= — 53° C
= — 43° C
= — 38,28° C
= — 33° C
= — 23° C
= — 13° C
= — 3° C
= + 7° C
= + 15,8 C
dh
0
0,000081
0,00014
0,00021
0,00029
0,00249
0,00765
0,0098
0,0118
0,0152
0,0178
0,0202
0,0221
0,0235
/(met
oo
11500
10530
9960
9540
5830
3770
3130
2730
1990
1380
860
386
0
Gleichung (92) liefert selbstverständlich die Temperatur J\
für m = 0, also h = œ. Wir haben aber bereits ausgeführt,
Strahlungsgleichgewiclit und atmosphärische Strahlung.
113
daß die Gleichung (77) und somit die Gleichung (85) nur bis
in Höhen gelten, in welchen der Wasserdampf noch genügend
zur Wirkung gelangt. Die Zahlen dieser Tabelle gelten deshalb nur bis in Höhen von 9 —11 km, wo wir die untere Grenze
und die Temperatur der Stratosphäre erreichen. Nach oben
zu nehmen mit abnehmendem Wasserdampfgehalt die Temperaturen langsam zu, gemäß der Tabelle S. 109, um für h = co
gleich der effektiven Erdtemperatur zu werden. In der Troposphäre in die Tiefe gehend treffen wir, bei stabilen
Gradienten, steigende Temperaturen an (die m enthaltenden Faktoren kommen zur Geltung), bis in einer Höhe
von 3130 m die kritische Temperatur 234,82° und ein
indifferenter Gradient auftritt. Das Gleichgewicht
der tiefer liegenden Schichten ist instabil; die Temperaturen und die Instabilität nehmen nach unten
immer rascher zu.
Dieser Untersuchung des mechanischen Gleichgewichtes
war trockene Luft zu Grunde gelegt. In einer feuchten Atmosphäre können bereits kleinere Gradienten wie 1° : 100“1 Instabilität ergeben, letztere in größere Höhen hinaufreichen.
Allein bei diesen tiefen Temperaturen kann mit genügender
Genauigkeit hievon abgesehen werden.
In Höhen unterhalb rund 3000 m wird deshalb Strahlungsgleichgewicht nicht von Bestand sein. Durch Abkühlung
von oben werden, selbst bei mäßiger Bodentemperatur, sich
namentlich in den unteren Partien Temperaturgradienten größer
wie 1° auf 100 m ausbilden, und Konvektionsströme werden
das Auftreten der tiefen Temperaturen der Tabelle verhindern.
Wir nehmen an, diese Konvektionsströme erstrecken sich
bis in die Höhe h. Dadurch wird die Strahlung B, welche
das Niveau h von oben durchsetzt, nicht geändert. Es muß
deshalb infolge der Wärmebilanz Null derselbe Energiestrom
A = B in Form langwelliger Strahlung von unten in die
über ii liegenden Schichten zurückgestrahlt werden. Die Instabilität mit ihren Folgen vermag deshalb die StrahlungsSitzungsb.il. matb.-phys. Kl. Jahrg. 1913.
114
R. Emden
temperaturen der yon den Konvektionsströmen nicht mehr
erreichten Schichten nicht zu ändern. Auch die Konvektionsströme der langen Zykeln1), die an Hoch- und Tiefdruckgebiete gebunden sind, können aus demselben Grunde Strahlungstemperaturen nur ändern, soweit sie emporreichen. Die
Temperaturgradienten nahezu Null der Stratosphäre zeigen ein
höher liegendes Niveau an. Die gegenüber der Tabelle
S. 112 geänderte Massen- und Temperaturanordnung
der Troposphäre ist deshalb ohne Einfluß auf die berechneten Temperaturen der Stratosphäre. Dies gilt
selbstverständlich nicht mehr für die Bodentemperatur der
Atmosphäre und die Temperatur des Erdbodens. Mit geänderter Temperatur und Massenordnung ändern sich Absorption
und Emission jeder Schicht, kurz gesagt, der innere Strahlungsprozeß und damit die Strahlungen ß und A am Grunde
der Atmosphäre. Dabei bleibt der kurzwellige Anteil ßx ungeändert, denn seine Absorption ist nach unseren Voraussetzungen lediglich abhängig von der durchstrahlten, optischen
Masse, unabhängig von ihrer Anordnung; allein mit anderer
Massenverteilung ändert sich der Anteil B.v den die erwärmten
Luftmassen nach unten liefern. Beachtet man aber, daß diese
Änderung von I>2 zurücktritt gegen den Wert von ß.2 und ßv
4 _
sowie daß die Temperaturen sich ändern wie ]/ß, so werden
die berechneten Werte von T0 und T\:rde sich nur wenig ändern.
In einer unbewegten Atmosphäre („Strahlungswetter“)
würde in den untersten 3000 m durch den Strahlungsprozeß
allein sich eine ganz außerordentlich instabile Temperatur- und
Massenanordnung einstellen, die sich in den bekannten Erscheinungen der kurzen Zykeln auflösen muß. Die Ausbildung
instabiler Atmosphäre bei diesen Wetterlagen wird in erster
Linie der Ausbildung von Konvektionsströmen über dem stark
erhitzten Erdboden, der Heizung von unten zugeschrieben.
Die Theorie der Strahlung zeigt, daß auch Abkühlung von
') R. Emden. Gaskugeln, S. 363 f. Leipzig 1907.
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
115
oben wirksam sein kann, denn die Temperaturen in Höhen von
2000—4000 m, denen die Luftmassen durch den Strahlungsprozeß zustreben, sind, wie die Tabelle zeigt, ganz außerordentlich tief. Die Instabilität durch Konvektion ist notwendig mit einer Temperatursteigerung bis in Höhen verbunden,
in welche die Konvektionsströme noch emporreichen, denn
infolge ihrer geringen, kinetischen Energie können diese nur in
kältere Luftschichten eintreten. Instabilität durch Abkühlung
von oben infolge Ausstrahlung kann die tiefen Temperaturen
der Höhe liefern, welche der Cirrusschirm vor Ausbruch eines
Wärmegewitters anzeigt und die bei Hagelfällen vorhanden
sein müssen. Sie erklärt ferner die Bildung instabiler Atmosphären über den Meeren der Roßbreiten, diesen Gürteln maximaler Gewitterhäufigkeit und über den Meeren der Tropen,
den Geburtsstätten der tropischen Zyklonen, also in Regionen,
wo die Konstanz der Temperatur der Meeresoberfläche und die
geringe Temperaturdifferenz gegen die auflagernde Atmosphäre
Überhitzung von unten nicht zuläßt. Und die bekannte Tatsache, daß die Gewitter über den Meeren in größter Häufigkeit
sich in der zweiten Hälfte der Nacht einstellen, findet ihre
Erklärung durch die tiefen Temperaturen, die sich in der Höhe
namentlich durch nächtliche Ausstrahlung einstellen können.
Die Strahlungstheorie liefert so tiefe Temperaturen und Instabilitäten von solcher Intensität, daß die Wolkenkunde und
die dynamische Meteorologie Strahlungsvorgängen mehr Beachtung schenken muß, wie bisher.
Überblicken wir in Kürze die Unterlagen und
Ergebnisse der entwickelten Theorie. Würde die von
der Sonne zugestrahlte Energie im Betrage von 2
°
so
cm2 mm
gleichmäßig über die Oberfläche der festen, ihrer Atmosphäre
beraubten Erdoberfläche verteilt, so würde, graue Strahlung
vorausgesetzt, diese sich unabhängig von ihrem Emissions(Absorptions-) Vermögen auf die Temperatur eines Strahlungsgleichgewichtes im Betrage T = 285° = 12° 0 einstellen. Wird
mit Rücksicht auf die Albedo der Erde der Zufluß an Strahlung
116
ß. Emden
um 37 °/0 vermindert, so erniedrigt sich diese Temperatur auf
7T= 254° =— 19° C. Diese Temperatur bezeichneten wir als
effektive Erdtemperatur. Überdecken wir nun die Erde mit einer
beliebigen Atmosphäre, so stellt sich diese, mag sie schichtweise beliebig arm oder reich an Wasserdampf sein, beliebig
schwach oder stark absorbieren, bei Strahlungsgleichgewicht
mit ihrer Unterlage isotherm auf die effektive Erdtemperatur
T = 254° = — 19° C ein (Übereinstimmung mit Gold), falls
nur graue Strahlung beibehalten, d. h. ihr Absorptionsvermögen
für alle Wellenlängen von gleicher, aber beliebiger Größe angenommen wird. Gehen wir auf das Verhalten in einzelnen
Wellenlängen ein, so werden wir auf eine Integralgleichung
geführt, die sich, namentlich mangels der nötigen physikalischen Daten, nicht auswerten läßt. Wir haben deshalb einen
Mittelweg eingeschlagen, der Art, daß wir die kurzwellige Zustrahlung der Sonne und die langwellige Rückstrahlung der
Atmosphäre jede für sich zusammensetzten zu einer Strahlung,
die als grau, aber mit anderem Absorptionskoeffizienten, behandelt wurden. Dabei wurde die Absorption (Emission) jeder
atmosphärischen Schicht proportional ihrem Gehalt an Wasserdampf gesetzt, klein für die auffallende, kurzwellige, groß für
die rückkehrende, langwellige Strahlung, nur bei sehr geringem Gehalt an Wasserdampf sich einem gemeinschaftlichen,
sehr kleinen Werte nähernd. Auf dieser Grundlage ergab sich
folgendes: Oberhalb eines Niveaus, bis zu dem hinabsteigend
die einfallende Strahlung nur wenig geschwächt wird, ist die
Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes jeder Schicht lediglich bestimmt durch das Verhältnis, in welchem ihr Gehalt an Wasserdampf kurzwellige und langwellige Strahlung
absorbiert, unabhängig von den absoluten Werten. Für den
Wert 0 dieses Verhältnisses ergibt sich die Minimaltemperatur,
4
die bei Strahlungsgleichgewicht eintreten kann, ]/2 mal kleiner
als die effektive Erdtemperatur, also 213,7 = —59,3° C. Für
mittlere Feuchtigkeitsverhältnisse haben wir dies Verhältnis zu
A, abschätzen können, was zu einer Temperatur von — 57°
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
117
führt; der Wert T\j- würde —54° ergeben. Dies sind die bekannten Temperaturen der Stratosphäre. In die Höbe steigend
nimmt mit abnehmendem Wasserdampfgehalt das Verhältnis
ic2
zu, die Temperaturen steigen, um für dessen Wert 1 gleich der
effektiven Erdtemperatur zu werden. Sind die höchsten
Schichten der Atmosphäre, wie zu vermuten, hinreichend arm an Wasserdampf, so sind sie entgegen vielfach verbreiteten Anschauungen nicht durch tiefe
Temperaturen ausgezeichnet, sondern befinden sich
durchwegs auf der Temperatur —19° C. Die Atmosphäre
geht auf dieser Temperatur isotherm mit wachsender Verdünnung durch Zustände, die wir mangels physikalischer Kenntnisse nicht näher behandeln können, in den sogenannten leeren
Weltenraum über. Gehen wir anderseits in die Tiefe, so nehmen mit wachsender Absorption die Temperaturen ebenfalls
zu. Da aber nun die absoluten Werte des Absorptionsvermögens des Wasserdampfes für kurzwellig und langwellig zur
Wirkung kommen, sind die berechneten Temperaturen wesentlich unsicherer. Doch gelang es in guter Übereinstimmung
mit der Beobachtung, die Temperaturen der Bodenschichten
der Atmosphäre zu -j- 15,8° C zu berechnen. Dabei ergab
sich das wichtige Resultat, daß von etwa 3000 m an abwärts
die Atmosphäre bei Strahlungsgleichgewicht mechanisch instabil gebaut ist. Konvektion wird die berechneten Temperaturen weit hinauf verdecken, doch vermag sie die Temperatur
oberhalb ihres Bereiches nicht, die Temperaturen der Bodenschichten nur wenig zu ändern.
Nun ist aber bekanntlich die Atmosphäre unterhalb einer
durchschnittlichen Höhe von etwa 10 km in vertikaler Richtung beinahe stets durchsetzt von den Konvektionsströmen
der langen Zykeln, den charakteristischen Erscheinungen der
Hoch- und Tiefdruckgebiete, sowie jenen Konvektionsströmen,
in welchen die allgemeine atmosphärische Zirkulation klar in
Erscheinung tritt. Für diese gilt aus denselben Gründen, was
oben S. 114 dargelegt wurde. Die Strahlungstemperaturen
ns
R. Emden
oberhalb des angegebenen Niveaus werden nicht, die der Bodenschichten wenig beeinflußt. Oberhalb dieses Niveaus ist aber
die Absorption der einfallenden Strahlung so gering, daß die
Temperaturen nach der kleinen Tabelle S. 109 berechnet werden
können. Wir erhalten also mit jeder wünschenswerten Genauigkeit die durch Beobachtung ermittelten Temperaturen der
Stratosphäre als Temperaturen des Strahlungsgleichgewichtes
dieser Schichten, bestimmt durch das Verhältnis, in welchem
ihr Wasserdampfgehalt kurzwellige und langwellige Strahlung
absorbiert. Die Strahlungstheorie liefert mit jeder wünschenswerten Genauigkeit die Temperaturen der Stratosphäre. Sie
gibt vollständigen Aufschluß über die thermische Unstetigkeit,
die mit der mechanischen Unstetigkeit bei der Scheidung der
Atmosphäre in Troposphäre und Stratosphäre verbunden ist.
Diese mechanische Unstetigkeit selbst vermag die entwickelte
Strahlungstheorie vorerst nicht zu begründen; doch scheint die
Möglichkeit einer Begründung nicht ausgeschlossen. Dies einzusehen machen wir uns erst den Unterschied klar zwischen
unseren Ergebnissen und dem zweiten Resultate von Gold (vgl.
oben S. 94). Graue Strahlung vorausgesetzt, wie bei Gold,
wird die Atmospihäre stets, mag die Absorption beliebige
Funktion der Höhe sein, durch Strahlung stabil angeordnet.
Von einem konvektiven Zustande ausgehend kann wohl vor-ZI-Z"
übergehend bei m = — eine Scheidung der Atmosphäre bewirkt werden, so daß in der unteren Partie Konvektionsströme
ausgelöst werden. Aber das Endprodukt ist stets Stabilität,
bei der Wärmebilanz Null Isothermie. Im Gegensätze zeigt
unsere Theorie, daß durch Strahlung allein in den untersten
3 km der Atmosphäre dauernd Instabilität erzeugt wird,
in den tiefsten Partien von sehr großer Intensität, so daß eine
dauernde Ursache von Konvektionsströmen vorhanden ist. In
einer nicht durch die allgemeine Zirkulation beeinflußten Atmosphäre muß deshalb durch Strahlung
allein eine Trennung entsprechend der Troposphäre
und Stratosphäre eintreten in einer Höhe, bis zu
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
119
welcher die auftretenden Konvektionsströme emporreichen. Diese Höhe wäre durch die Bedingung gegeben,
daß die unterhalb liegenden, durch Konvektion durchmischten
Schichten ebensoviel Strahlung emporsenden, wie bei Strahlungsgleichgewicht; und es müßte gezeigt werden, daß die
Instabilität Konvektionsströme bis in diese Höhe hinauftreiben
kann. Es ist nicht ausgeschlossen, daß sich eine annehmbare
Höhe ergeben wird. Allein selbst dann wäre es unsicher und
bedenklich, die Teilung der Atmosphäre diesen Strahlungsvorgängen zuzuschreiben. Denn die allgemeine Zirkulation
kann die Strahlung an Temperatur bestimmender Wirkung
übertreffen; und im folgenden Paragraphen werden wir darlegen, daß bereits die Luftmassen mittlerer Breiten ihr Strahlungsvermögen nicht an Ort und Stelle, sondern namentlich
im Winter in äquatorialen Gebieten empfangen und uns von
dort zugeführt haben. Auf alle Fälle aber verdient die aufgedeckte Instabilität eingehende Beachtung, namentlich in ihrer
Wirkung in Gebieten und zu Zeiten, die durch „Strahlungswetter* ausgezeichnet sind.
Die berechneten Temperaturen sind proportional der effektiven Erdtemperatur, deren 4. Potenz durch die Solarkonstante
und die Albedo der Erde bestimmt werden. Erstere Größe ist
mit genügender Genauigkeit gemessen; eine Änderung der
Albedo um 10 °/o ihres Wertes würde die effektive Erdtemperatur um rund I1/^0, die Inversionstemperatur und damit die
Temperaturen der Stratosphäre um rund B1 /a° ändern. Die
Übereinstimmung mit der Beobachtung wäre noch immer vorzüglich, namentlich wenn wir bedenken, daß wir zu tiefe
Temperaturen durch Abnahme des Wasserdampfgehaltes der
Stratosphäre kompensieren können. Bedenklicher erscheint die
Vereinfachung, die darin besteht, daß wir den Energiezufluß
gleichmäßig über die ganze Erdoberfläche ausbreiteten, wo2.0,63
durch diese (Albedo = 0,37) pro Quadratzentimeter
4
Grammkal
= 0,315
erhält, was zu der effektiven Erdtemperatur
min
120
R. Emden
von 254°= —19° C führte. Denn die Jahressmnme der Sonnenstrahlung beträgt für den 50. Breitekreis nur 70 °/o, für den
Pol nur 42°/ü des Wertes am Äquator. Selbst wenn wir von
den Polarkalotten absehen, würden die höheren Breiten bei der
angenommenen Verteilung, falls nur die geometrischen Verhältnisse der Bestrahlung für die Temperaturbestimmung maßgebend wären, zu viel erhalten. Allein daß es nicht angängig
ist, effektive Erdtemperaturen für die verschiedenen Breitenkreise gemäß ihrer Bestrahlung einzuführen, zeigt sofort der
Versuch, auch den Einfluß der Jahreszeiten zu berücksichtigen.
So erhält der 50. Breitekreis im Sommerhalbjahr Sonnentrahlung im Betrage von 183, im Winterhalbjahr von 67 Äquatorialtagen1); für den 60. Breitekreis ergeben sich 169,5 und
3S Einheiten. Die effektiven Erdtemperaturen (und die diesen
proportionalen, berechneten Strahlungstemperaturen) müßten
sich verhalten wie die 4. Wurzeln; für den 50. Breitekreis
wie 1:1,25, für den 60. Breitekreis wie 1:1,45. Die Sommerund Wintertemperaturen dieser Breitenkreise sind 291,1°
(+ 18,1° C) und 266° (—7° C) resp. 287° (+ 14° C) und
257,2° (— 15,8° C), verhalten sich also nur wie 1 : 1,09 resp.
1 : 1,12. Die Temperaturen der höheren Breiten werden sonach nicht durch Sonnenstrahlung an Ort und Stelle erzeugt.
Die Sonnenstrahlung bedingt wohl die mittlere Jahrestemperatur der Erdoberfläche als Ganzes; ihre Veränderung mit der
Breite nud die jahreszeitlichen Abweichungen vom Mittelwert
werden noch durch andere Faktoren erzwungen. Die allgemeine Zirkulation der Atmosphäre schafft durch Transport
höher temperierter Luftmassen Entropiemengen nach höheren
Breiten, und in demselben Maße, wie sie Ausgleich der Temperaturen im Wechsel der Jahreszeiten reguliert, besorgt sie
auch die gleichmäßige Verteilung der Sonnenstrahlung, die
unserer Theorie zu Grunde liegt. Die Temperaturen der tieferen
Schichten der Stratosphäre werden aber durch die Strahlung
der tieferen Schichten der Troposphäre mitbedingt (wir würden
ß J. Hann, Handbuch der Klimatologie, Bd. I, S. 1U0. Stuttgart 1908.
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
121
sonst Temperaturen gleich der effektiven Erdtemperatur antreffen); die allgemeine Zirkulation hindert deshalb auch die
sonst starke örtliche und jahreszeitliche Schwankung der Inversionstemperaturen. Daß sich aber auch bei diesen der
Einfluß der Jahreszeiten noch geltend macht, zeigen die Ausführungen Wagners1), wonach die maximale Temperatur der
Stratophäre im Juni mit — 52°, die minimale Temperatur im
Januar mit —61,4° ermittelt wurde. Die Schwankung 9,4°
ist geringer als die jahreszeitliche Schwankung an der Erdoberfläche. Unsere Theorie gibt befriedigenden Aufschluß. Die
Atmosphäre, also auch die tiefen Schichten der Stratosphäre,
sind im Sommer reicher an Wasserdampf; je geringer der
Gehalt an Wasserdampf, desto höher die Temperatur dieser
Schichten (vgl. die kleine Tabelle S. 109). Die tiefere Temperatur der strahlenden Schichten der Troposphäre wird durch
geringeren Wasserdampfgehalt der oberen Inversion zum Teil
kompensiert. In diese Verhältnisse werden die Untersuchungen
des folgenden Paragraphen weiteren Einblick geben.
§ 6. Die Strahlung der Atmosphäre.
Die Untersuchungen des letzten Paragraphen bestimmten
die Temperaturen des Strahlungsgleichgewichtes der Atmosphäre,
falls die Wärmebilanz gegeben ist. In diesem Paragraphen
behandeln wir das umgekehrte Problem. Gegeben seien die
Temperaturen der Atmosphäre und die äußere Zustrahlung;
wir fragen nach den Strahlungen, die jeden Querschnitt der
Atmosphäredurch setzen und an ihren Grenzflächen austreten.
Wir gehen von denselben Voraussetzungen aus: jede Schicht
absorbiert und emittiert proportional ihrem Gehalte an Wasserdampf; die kurzwellige Sonnenstrahlung und die langwellige
Strahlung von der tiefen Temperatur der Erdoberfläche und
Atmosphäre sollen jede für sich als grau betrachtet, d. h. durch
‘) A. Wagner, Die Temperaturverhältnisse in der freien Atmosphäre.
Beiträge zur Physik der freien Atmosphäre, Bd. Ill, S. 57, 1910.
122
R. Emden
einen mittleren Absorptionskoeffizienten 7c, resp. 7c2 behandelt
werden können.
Die absteigende Strahlung B besteht aus den Bestandteilen I>, und B2, B1 die kurzwellige Sonnenstrahlung, B2 die
langwellige Strahlung der erwärmten Atmosphäre. Die aufsteigende Strahlung A, herrührend von der Strahlung der Erdoberfläche und der Atmosphäre ist so tief temperiert, daß
wir den kurzwelligen Anteil yf, gegenüber A2 vernachlässigen
können. Ebenso berücksichtigen wir von der Strahlung eines
schwarzen Körpers von der Temperatur der Atmosphäre lediglich den langwelligen Teil, setzen also E, — E — s Ti. Dann
lauten die beiden Hauptgleichungen wie im vorangehenden
Paragraphen :
d IS
d rn
dm
dm
= - Mb
11 - K2 Jh + 7c 2E<)
"
7c2
= — 7', -7J, —
dA
dm
"
7*2 + 7C2 E
dA,
,— = 7c2 A2 — 7c, 7',., = 7c, A — 7c, E
dm
und entsprechend der Gleichung (77) setzen wir
7c, = b1ma;
b2m3,
7C2 =
worin für mittlere Feuchtigkeitsverhältnisse b1 = 0,4, b2 = 9,2
angenommen werden kann. Statt Strahlungsgleichgewicht anzunehmen, betrachten wir die Temperaturverteilung der Atmosphäre, also E als Funktion von m gegeben, und integrieren.
Wie oben S. 105 erhalten wir Bi = oe
--
B2 = B,e
- ^
4 m<
- hL
4
-j-/>2e
n
-
4
'1 w.
I m3 e4
und
Edm.
o
Beachten wir, daß B2 (der Wert B an der oberen Grenze der
Atmosphäre) gleich Null ist, so erhalten wir schließlich nach
leichter Umformung
123
Strahlung-sgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
h
4
1
(IE
7—dm,
dm
7
o
worin E den Wert von E an der oberen Grenze der Atmosphäre bedeutet. Ebenso ergibt sich
93)
— Ei
ß = oe
62e4
A = Me4
34
+ E—e
in'
f
m3 e
4
Edm
und nach leichter Umformung
94)
•
A = (A — E)et
m*
h
- -]
4
m
m' r -j-E — e
I
»*
dE
-=— d m,
dm
4
oder wenn wir statt der Werte A und E an der oberen Grenze
die Werte A und E an der unteren Grenze m = 71/ der Atmosphäre einführen
94 a) A = (A - E) i
(m» — JU‘)
+ Ei-
74
b2
e
I
’T
,
-4— d >n.
dm
m
Hätten wir die Absorption unabhängig von der Höhenlage der Schicht anzunehmen, so wären in den Gleichungen (93),
(94) und (94 a) lediglich ~ m3 durch 7c, = 0,1 und
m3 durch
/c2 = 2,3 zu ersetzen. Die Gleichungen (93), (94) und (94 a)
enthalten die vollständige Lösung des Problems. Bilden wir
ihnen entsprechend
95)
(2 7C2 E —
/Cj B1 — \ B — k2 Ä) dm,
so erhalten wir die Energieabgabe jeder Schicht, und dadurch
ihre Abkühlungsgeschwindigkeit. Integration nach m gibt die
Wärmeabgabe atmosphärischer Schichten von endlicher Dicke.
Anwendung der gewonnenen Gleichungen.
Wir stellen erst in der folgenden kleinen Tabelle die
Temperaturen zusammen, bei denen ein schwarzer Strahler die
, Grammkal
Menge E
ausstrahlt.
cm2 min
124
R. Emden
, Grammkal
cm- mm
E
0,148
0.212
0,252
0,296
0,347
0,403
, Grammkal
5— .
cm' mm
T
b
0,467
0,500
0,537
0,615
0,701
1.014
210
230
240
260
260
270
280
285
290
300
310
340
1. Die nächtliche Strahlung einer isothermen
Atmosphäre.
Die Temperatur sei T.
Konstanz der Temperatur hat
Konstanz von E zur Folge.
0
Also ist % — = 0, E = E = E.
dm
Den nächtlichen Verhältnissen Rechnung tragend setzen wir
in (93) o = 0 und erhalten
Hm4
96)
B= E 1
97)
A = (A — E)e*
,
4
*
bo2
(m4
_ .1/4)
+ E.
Da wir nur die Strahlung der Atmosphäre selbst beurteilen
wollen, nehmen wir weiter an, daß die Erdoberfläche ebenfalls
auf gleicher Temperatur sei und wie ein schwarzer Körper
strahle, oder bei geringerem Strahlungsvermögen sich auf etwas
höherer Temperatur befinde, so daß wir haben A — E, und
wir erhalten
97 a)
A = E.
Die für unsere Untersuchung ungleich wichtigere Strahlung B
wird durch diese Vereinfachung nicht beeinflußt! Gleichung (97 a)
liefert wieder den S. 65 ausgesprochenen Satz, daß eine isotherme Atmosphäre die Strahlung einer gleich temperierten
schwarzen Fläche nicht ändert. Eine auf ihrer Oberseite spiegelnde, auf ihrer Unterseite schwarze, horizontale Fläche würde
an jeder Stelle der Atmosphäre eine von der Höhe unab-
125
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
hängige Strahlung an Intensität gleich der Erdstrahlung messen.
Umgedreht mitât die Fläche die durch (96) bestimmte, erdwärts
bo
Vl
gerichtete Strahlung der Atmosphäre. Der Faktor 1 —e 4
ist, wie leicht ersichtlich, das Absorptionsvermögen der oberhalb des Niveaus m gelegenen Schichten, so daß Gleichung (96)
der Ausdruck des Kirchhoffschen Satzes ist, der hier, da wir
einen isothermen Strahler annehmen, unverändert gilt. Für die
Bodenschicht, m = 1, ist bei mittleren Feuchtigkeitsverhält~
*
nissen e 4 — 0,1, so daß die Erdoberfläche von der Atmosphäre Wärmemengen zugestrahlt erhält gleich 90°/o der Strahlung eines gleich temperierten schwarzen Strahlers! Mit zunehmender Erhebung nimmt die Zustrahlung der Atmosphäre
rasch ab. Wir stellen in folgender, kleinen Tabelle die Zustrahlung der Atmosphäre für verschiedene Temperaturen in verschiedenen Höhen zusammen, ausgedrückt in ^ra n)lra^,
cm" min
Höhen genügend genau berechnet für T = 0° C.
T
—
0
m
100D
2000
3000
4000
55-10
„
„
„
„
„
20°
0,28
0,23
0,18
0,12
0,08
0,04
-
10°
0,32
0,27
0,21
0,14
0.10
0,05
0°
10°
20°
0,38
0,315
0,23
0,16
0,11
0,055
0,44
0,37
0,28
0,19
0,13
0,06
0,50
0,42
0,32
0,22
0,15
0,07
An direkten Messungen liegen vor1):
Neapel Wien Zürich Rauris
60 m 220 m 440 m 950 m
Beobachtete Temperatur 22°
Gegenstrahlung der Atmosphäre .... 0,40
Sonnblick
3100 in
19°
15°
—6° —1° —12°
0,41
0,37
0,21 0,23
0,12
Die Differenzen berechnet — beobachtet sind (mit einer
') W. Trabert, Lehrbuch der kosmischen Physik, S. 456.
und Berlin 1911.
Leipzig
12(5
R. Emden
Ausnahme) positiv, mit wachsender Höhe abnehmend, beides
selbstverständlich, da der Rechnung mit der Höhe konstante
Temperatur zu Grunde liegt.
Die Zahlen zeigen im Vergleich mit den Zahlen der vorangehenden, den Zusammenhang zwischen E und T darstellenden
Tabelle den gewaltigen Strahlungsschutz einer isothermen Atmosphäre bei mittleren Feuchtigkeitsverhältnissen. Im Meeresniveau beträgt die Gegenstrahlung dieser Atmosphäre 90°/o der
Ausstrahlung der maximal (schwarz) strahlenden Erdoberfläche,
sie kann also deren Wärmeverlust auf den 10. Teil herabsetzen.
Sie zeigt ferner den außerordentlichen Einfluß des Wasserdampfes, denn die Abnahme der Zahlen mit der Höhe ist in
erster Linie der Abnahme des Wasserdampfes in höher liegenden
Niveaus zuzuschreiben.
Um die von einer atmosphärischen Schicht abgegebene
Wärmemenge d Q zu berechnen, bilden wir Gleichung (95),
erhalten
98)
(IQ -
Ee
4
b2 m3 d m
und integriert
98 a)
Die oberhalb m gelegenen Schichten geben deshalb Wärme
ab im Betrage
das ist die durch die Strahlung B beförderte Menge. Die von
jeder Schicht abgegebene Wärme wandert also nur in Richtung
Erde. Selbstverständlich, denn der konstante Energiestrom A,
der die Atmosphäre in Richtung Weltenraum verläßt, tritt an
ihrer Unterfläche ein.
Die Temperatur jeder Schicht sinkt in der Minute um
den Betrag
99)
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
127
und die Mitteltemperatur der Schicht von m1 bis mi um
99 a)
AT =
Cp (»i2 — mj
Die Temperatur sinkt nicht in allen Schichten gleich rasch.
Die Isothermie wird infolge des Strahlungsprozesses aufhören,
allerdings sehr langsam. Die rascheste Temperaturänderung
3
erleidet die Schicht m4 = . (wie aus (99) leicht zu ermitteln
a
ist); also in einer Höhe von rund 2250 m; ihre Temperatur
sinkt bei T = 270° per Minute um 0,00323°; zu einem Grad
Abkühlung sind 5 Stunden 10 Min. erforderlich. Für Abkühlung im Mittel um 1° benötigt die unterste Schicht von 1 km
Höhenerstreckung 7 Stunden 20 Min., die ganze Atmosphäre
10 Stunden 45 Min. Der Strahlungsprozeß einer Nacht vermag deshalb eine isotherme Atmosphäre nicht wesentlich zu
ändern, die tiefsten, staubbeladenen Schichten ausgenommen;
die tiefen Temperaturen der Stratosphäre reagieren nicht mehr
bemerkbar auf den Wechsel von Tag und Nacht.
II. Die nächtliche Strahlung einer polytropen
Atmosphäre1).
Wir rechnen unter denselben Grenzbedingungen wie in
dem eben erledigten Falle, setzen also a = 0 und A = E und
erhalten aus den Gleichungen (93) und (94), da in jeder polytropen Atmosphäre die Temperatur bei konstantem Werte von
(J linear mit der Höhe abnimmt, also E — 0 wird,
m
') R. Emden, Gaskugeln, Kap. XY1T, § 2. Leipzig 1907.
128
R. Km den
Um die Rechnung möglichst zu vereinfachen, setzen wir
E
=
E
m
»M'
m=1
-
Da in ~ p und E ~ Ti, haben wir die Polytrope
T
Tn
-*
(p
PVI
iv
Po
also * = 4; dies gibt das Temperaturgefälle
dl
äh
1
x —1
- = — 0,0085°/m.
•E
Die Temperatur nimmt 0,85° per 100 m ab, also ausnahmsweise stark, während wir oben ausnahmsweise kleines Temperaturgefälle berücksichtigten. Wir können deshalb die Strahlung unter mittleren Verhältnissen beurteilen. In der § 3 besprochenen Arbeit hat Gold dieselben Temperaturgradienten
angenommen; wir sind deshalb in der Lage, seine Ergebnisse
mit unserer vervollkommneten Theorie vergleichen zu können.
Wir erhalten so
100)
B = En m — e
100 a)
Ä = En m
h—
4
— HI4
e4
,
7/i4
n>
f>
2-
le4
.
m4
p — — m4
Io
4
dm
d in
Die Integrale lassen sich durch Entwicklung in Reihen
auswerten, die, da ~ = 2,3, namentlich für den Maximalwert
•i
m = 31 — 1 schlecht konvergieren.
das 10. Glied —j-— (bfl
m33
(Für m = 1 wurde noch
berücksichtigt.)
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
129
Für die Gegenstrahlung B legen wir die Ergebnisse der
Rechnung in einer kleinen Tabelle fest. Tn ist die Bodentemperatur der Atmosphäre.
Ta
h=
0
1000
2000
3000
4000
5540
—
m
„
„
,
„
„
20°
0,20
0,18
0,12
0,07
0,04
0,015
—
10°
0,29
0,21
0,14
0,08
0,05
0,02
0"
10°
20°
30°
0,335
0,27
0,155
0,09
0,05
0,02
0,39
0,28
0,18
0,11
0,065
0,03
0,45
0,32
0,21
0,13
0,07
0,03
0,51
0,36
0,24
0,14
0,08
0,03
Die zugestrahlten Energiemengen sind selbstverständlich
kleiner wie bei isothermer Atmosphäre; für B ergibt sich
0,798 E0 statt 0,9 E.
Zum Vergleiche führen wir nochmals die wenigen vorliegenden Beobachtungen an und fügen die Temperatur T0 bei,
die sich auf Grund des angenommenen Gradienten ergeben
würde.
Neapel Wien Zürich Rauris
60 m 220 m 440 m 950 m
Beobachtete Temperatur .
To berechnet ....
Gegenstrahlung beobachtet
Gegenstrahlung isotherm
berechnet ....
Gegenstrahlung polytrop
berechnet ....
Sonnblick
3100 m
_ io
— i2°
22°
22°
0,40
19°
21°
0,41
15°
19°
0,37
+ 2°
0,21
0,50
0,48
0,44
0,29
0,16
0,14
0,46
0,42
0,38
0,24
0,14
0,12
—
6°
+ 25° + 14°
0,23
0,12
Die Übereinstimmung mit den beobachteten Werten ist
so vollständig, als mit Rücksicht auf die Schwierigkeit der
Messung und die der Rechnung zu Grunde gelegten mittleren
Verhältnisse erwartet werden kann. Auffällig ist die Nichtübereinstimmung mit der Messung 0,23 auf dem Sonnblick (die
zweite Messung gibt vollständige Übereinstimmung); im Vergleiche mit den übrigen Messungsresultaten erscheint dieser
Wert ausnahmsweise groß. Diese Übereinstimmung beweist, daß wir mit unserer vereinfachenden Annahme,
Sitzungsb. d. math.-phys. Kl. Jalirg. 1913.
i)
130
R. Emden
die Strahlung nur in kurzwellige und langwellige
Strahlung zu zerlegen, den tatsächlich vorliegenden
Verhältnissen sehr gut Rechnung tragen.
Würden wir, um uns mittleren Verhältnissen mehr zu
nähern, den Exponenten der Polytropen ^
wählen, so
würden wir die Temperaturgradienten 0,49°/ioo m. erhalten,
und wir hätten Integrale von der Form
o
auszuwerten. Für diesen Aufbau der Atmosphäre erhalten wir
B = 0,838 Ea statt der eben berechneten 0,798
resp. 0,9 Ea
isotherm. Die beiden kleinen Tabellen reichen deshalb zur
Beurteilung mittlerer Verhältnisse vollständig aus.
Die Strahlung A kann nach (100 a) für jedes Niveau berechnet werden. Ein Freiballon würde bei Nacht pro cm2
horizontalen Querschnittes die Strahlung B -p A erhalten; er
kann, wie an anderer Stelle ausgeführt werden soll, als Strahlungsmesser dienen. Für die Strahlung A, welche die Atmosphäre
an ihrer oberen Begrenzung verläßt, ergibt sich A = 0,7274E0,
also 73°/o des Betrages, der unten in die Atmosphäre eintritt.
[Für den Temperaturgradienten 0,49 ergibt sich A = 0,826 Eü.\
Der Strahlungsgewinn der Atmosphäre beträgt deshalb
-, Grammkal
E0(1 — 0,7274 — 0,798) = — 0,525 E0n
cnr mm
J
9
*
Sie wird sich infolgedessen um 0,00090 °/m oder 1° in 18b30m
abkühlen, falls die Bodentemperatur 0° C beträgt. Die Abkühlung des untersten Kilometers ist selbstverständlich kleiner
als 7h 20m, wie sich für isotherm ergab. Die Abkühlungen
während der Nacht sind somit außerordentlich gering. Um
die Wärmeabgabe dQ allgemein zu finden, bilden wir mit
Hilfe der Gleichung (100) die Gleichung (95) und erhalten
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
àa
dQ =
101)
—- wi4 r m*. Jr„—m
-^2 m4 4.
e4 « m — e4
e
,
4
181
I
d m IZ/2 w<3 cü w
und für die endliche Schichte von m, his ni2
101 a)
4 7h 4
'>-m,
2 4 P^ "2. m‘i
4
dm
'J'e4 dm — e 4
o
o
.u
j/
4
^2
4 ,,
^2 1
I* ^24 m1«
4 m2 [ — 4 wr
dm — e
le
dm,
;
« -J
w»2
'«1
’ — W*o
Q = e
+
I
.
W*4
woraus sich für )», = 0, m2 = HZ wieder der bereits berechnete
Betrag ergibt. Uns interessiert das durch den Klammerausdruck bedingte Vorzeichen von d Q in Gleichung (101). Für
größere «i erhalten wir Wärmeabgabe, dQ> 0; wir untersuchen
für kleine m. Entwickeln wir die Integrale und Exponentialfunktionen und vernachlässigen m4 und höhere Potenzen von m,
so wird der Klammerausdruck
2,^11-17),
also
d Q^So, je nachdem m ^ 0,27.
In allen Schichten, für welche m ^ 0,27, ist die Ausstrah
< Absorption.
lung
a6 ^
Durch den Strahlungsprozeß werden die
höher wie m = 0,27 gelegenen Schichten gewärmt, die tieferen
abgekühlt. Berechnen wir die Höhe dieser Schicht. Da der
Temperaturgradient
dh
= —
beträgt, aus der Poly—1
11
tropen —
j * sich dT — T0dp * ergibt und p — m,
*- o
\PoJ
Vo = M = 1 gesetzt werden kann, erhalten wir Beziehung
zwischen m und h
9
132
102)
R. Ëmilen
1 _m
K—
x
I
—
für unseren Wert x = j- und
= 0,28 und für T0 = 273
m
= 0,27 ergibt sich 1 — m *
h = 8950 m.
Für die Temperaturgradienten 0,49°/m hätte sich 8200 ni
[für 0,l°/m 8650 m ergeben, um mit isothermer Atmosphäre
bis oo zuzunehmen]. An Stelle unseres Wertes m — 0,27 fand
Gold (vgl. oben § 2) unter anderer Annahme über die Verteilung des Wasserdampfgehaltes 0,25. Oberhalb dieser Höhe
würde eine polytrope Atmosphäre durch den Strahlungsprozeß
erwärmt, unterhalb abgekühlt werden. Die Folgen dieses Umstandes haben wir bereits oben § 3 besprochen.
III. Atmosphärische Strahlung und Sonnenstrahlung.
Um unsere Anschauungen über die Erwärmung der Erde
von mancherlei konventioneller Unklarheit zu reinigen, stellen
wir die Frage:
Kann der Betrag von Strahlung, den die Erdoberfläche auffängt, durch eine zwischen Erde und
Sonne gestellte, absorbierende Atmosphäre erhöht
werden?
Die Antwort wird bejahend ausfallen. Dies leuchtet ein,
wenn wir die Frage in anderer Form stellen: Würde nach
Wegnahme der Atmosphäre die mittlere Temperatur der Erdoberfläche steigen oder fallen? Bei höherer Temperatur, also
stärkerer Ausstrahlung, muß ihr offenbar auch mehr Wärme
zugeführt werden. Rechtfertigt die Atmosphäre ihre Auffassung
als „Wärmeschutz“, also die Temperatur erhöhend, so muß sie
die Bestrahlung vermehren.
Die Tatsache, daß eine absorbierende Substanz die sie
passierende Strahlung verstärken kann, erscheint uns widersinnig, da wir unwillkürlich an die Versuchsanordnung denken,
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
133
mittelst der wir Absorptionskoeffizienten im Laboratorium bestimmen. Zwischen auffangende, messende Fläche und Strahlungsquelle ist die absorbierende Substanz eingeschaltet. Dabei müssen, was wesentlich ist, um die schlechthin als Absorption bezeiehnete Größe zu messen, absorbierende Substanz
und Meßfläche auf wesentlich tieferer Temperatur wie die Strahlungsquelle sein, so daß nur die Schwächung der Strahlung
bestimmt wird. Mit steigender Temperatur der absorbierenden
Substanz ändern sich die Verhältnisse vollständig. Nehmen
wir etwa als Strahlungsquelle eine schwarze, glühende Fläche
und schalten ein kaltes Gas vor, so erscheinen die dunklen
Absorptionslinien ; bei einem heißeren Gase überwiegt trotz der
Absorption die Emission, so daß die Linien hell erscheinen.
Sorgen wir andererseits dafür, daß die strahlenden, absorbierenden resp. auffangenden Körper Wärme nur unter sich
durch Strahlung austauschen können, so stellt sich dies System
auf Strahlungsleichgewicht ein und jeder absorbierende Körper
emittiert schwarze Strahlung.
Die Erdoberfläche ohne Atmosphäre wird sich bei gleichmäßiger Austeilung der Sonnenstrahlung auf die effektive Erdtemperatur einstellen. Fügen wir die Atmosphäre wieder bei,
setzen graue Strahlung voraus und warten Strahlungsgleichgewicht ab, so stellt sich auch die Atmosphäre isotherm auf
dieselbe Temperatur ein (§ 2) und jede Schicht wird, aufwärts
und abwärts, unabhängig von ihrer Höhe, von demselben
Energiestrom durchsetzt. Die Strahlung, welche die Erdoberfläche erhält, bliebe ungeändert, und der „Wärme
schütz“ dieser Atmosphäre wäre Null. Strenge genommen
wäre er negativ. Die diffuse Reflexion und Wolken vermindern
die nutzbare Strahlung um 37°/o, den Wert der Albedo; aber
zweckmäßig schalten wir diesen Energiebetrag, da er nicht in
das thermodynamische System eintritt, stets aus unseren Betrachtungen aus.
Lassen wir die zu unbefriedigenden Resultaten führende
Annahme grauer Strahlung fallen und teilen wieder die Strahlung ein in kurzwellig und langwellig, so wird die Erdobero
134
R. Emden
fläche bei Strahlungsgleichgewicht von einer Strahlung B getroffen, die durch Gleichung (81) bestimmt ist. Bezeichnen
wir mit o die auf die obere Begrenzung der Atmosphäre einfallende Strahlung, so erhalten wir
4
B = ul/272 = 1,218 • a.
Wärmeschutz ist vorhanden; die zwischengeschaltete Atmosphäre verstärkt die einfallende Strahlung
um 22°Io. Der Mechanismus des Strahlungsprozesses ist klar.
Die Atmosphäre wird nicht nur durch die oben einfallende
Strahlung a, sondern hauptsächlich durch die Rückstrahlung
der Erdoberfläche, die ihrerseits durch Sonnenstrahlung und
Gegenstrahlung der Atmosphäre bedingt wird, gewärmt. Die
Strahlungen B = A = 1,218 a werden durch Absorption und
Emission der Atmosphäre auf die Werte B = A = a an der
oberen Begrenzung herabgesetzt, so daß für das Ganze sich
die Wärmebilanz Null ergibt.
Die Konvektionsströme der langen Zykeln hindern die
Ausbildung des Strahlungsgleichgewichtes innerhalb der Troposphäre. Die Temperaturen der Stratosphäre werden dadurch
nicht geändert; ihre tiefe Temperatur und der geringe Gehalt
an Wasserdampf lassen sie nur geringe Strahlungsmengen aussenden. Die Gegenstrahlung der Atmosphäre ist beinahe ausschließlich bedingt durch die Anordnung der Troposphäre,
namentlich in ihren der Erde näheren Schichten. Wir kommen
deshalb mittleren Verhältnissen sehr nahe, wenn wir die Temperaturäbnahme 0,5°/ioo m. ansetzen; die Temperaturverhältnisse der tieferen, in erster Linie maßgebenden Schichten sind
dadurch genügend dargestellt. Nach S. 130 berechnet sich
dann die Gegenstrahlung der Atmosphäre genügend genau zu103)
B = 0,84 Ea = 0,84 -s-Ti,
wenn Tn die Bodentemperatur der Atmosphäre mißt. Um den
in Wirklichkeit vorliegenden Verhältnissen möglichst Rechnung
zu tragen, verlassen wir die Annahme, daß die Sonnenstrah-
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
135
lung gleichmäßig über die Erdoberfläche verteilt, diese durcligehends auf einer mittleren Temperatur sei. Wir untersuchen
mit Berücksichtigung der geographischen Breite. Dazu setzen
wir in (103) für Tn die mittlere Temperatur des Breitenkreises,
nach Spitaler, und zwar für das Jahr, den Juli als wärmsten
und den Januar als kältesten Monat. Damit berechnen wir
die Gegenstrahlung B der Atmosphäre und vergleichen mit
ihr die Strahlung, welche die Sonne diesem Parallelkreis an
der oberen Grenze der Atmosphäre zukommen läßt und
zwar mit dem vollen Betrag an Strahlung o = 2
*
cnr min
ohne Abzug der Albedo. (Denn es wäre zu umständlich
und unsicher, die Albedo jedes Breitenkreises zu berechnen.)
Die Resultate der Rechnung sind in folgender Tabelle zusammengestellt.
Die ersten 3 Reihen gehen die mittleren Temperaturen der
angegebenen Breitekreise nördlicher Breite, die 4. und 5. Reihe
die mittlere jährliche Sonnenstrahlung in Äquatorealtagen1)
Grammkal
und
In letzterem Maße enthält die 6. Reihe die
cnr 2 ! St. '
Gegenstrahlung der Atmosphäre, falls ihre Bodentemperatur
gleich der mittleren Jahrestemperatur des Parallelkreises angenommen wird, und die 9. Reihe die Gegenstrahlung für den
Juli, als wärmsten Monat. Reihe 7 und 8 geben die Sonnenstrahlung zur Zeit ihres Maximums, für den 20°—60° am
21. Juni; für den 0. und 15. Breitekreis am 20. März und
b Die Beträge der Sonnenstrahlung in Äquatorealtagen sind entnommen : J. Hann, Handbuch der Klimatologie, Bd. I, S. 94 f'., 1908. Zur
Zeit der Tag- und Nachtgleiche empfängt der Äquator (1 Tag = 1440 min,
Verhältnis des Erdumfanges zum Erddurchmesser = .T, a Solarkonstante)
<t = 458,4 • o •—„2 -.T
cm 24 St.; die Wanderungö der Sonne innerhalb der
Wendekreise macht im jährlichen Mittel diesen Betrag 0,9592 mal kleiner.
Ein Äquatorealtag entspricht also einer Wärmezufuhr von
0,9592 458,4 •
a
= 439,7
o
= 879,4
Grammkal
cm2 24 St. '
136
R. Emden
Tabelle I.
N. Breite
0°
1.
2.
3.
4.
Jahrestemperatur
Julitemperatur
Januartemperatur
Mittlere jährliche
Sonnenstrahlung in
Äquatoreal tagen
5. Mittlere jährliche
Sonnenstrahlung in
Grammkal
cm2 24 St.
6. Mittlere jährl. Gegenstrahlung der Atmo. .
. Grammkal
Sphäre in —r
cm* 24 St.
25,9°
25,5"
20,2°
20° !
20,3 I 25,6
27.9
28,1
23.9
21,7
365
j
30° !
40° I
50°
20,3
27,4
13,9
14,0
23,8
3,9
5,6
18,1
1
-
7,2
0,1
14,1
- 16,0
—
354 !
345
321
j
j
288,5
250
208
852
j
830
773 I
I
694
601
500
713 )
736
1
732
681
624
554
510
381
387 I
398
411
421,5
421
416
917
933,5
958
998
1015
1015
1002
730 I
753
755
750
713
660
624
I
285
258
198
135
75
21
326
181
51
540
460
103
i
g
358
”
863
087 ;
621
477
730
713
1
094
622
G
j
60°
j
880
7. Sonnenstrahlung in
Aquatorealtagen
'S
8. Sonnenstrahlung in G
Grammkal
01
cm2 24 St.
9. Gegenstrahlung der '
Atmosphäre in
~
Grammkal
l-s
cm2 24 St.
10. Sonnenstrahlung in
Aquatorealtagen
11. Sonnenstrahlung in
Grammkal
cm2 24 St.
12. Gegenstrahlung der
Atmosphäre in
Grammkal
cm2 24 St.
15° j
1
Strahlungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
137
1. Mai. Reihe 10 und 11 geben die Sonnenstrahlung für den
tiefsten Sonnenstand, den 21. Dezember; Reihe 12 die Gegenstrahlung der Atmosphäre für den kältesten Monat, den Januar.
(Die kleinen Polarkalotten, deren Schneebedeckung durch
Schmelz und Gefrierprozesse die Wärmebilanz außerordentlich
beeinflußt, bleiben unberücksichtigt; die Rechnung bis zum
60. Breitekreis gibt genügenden Überblick.)
Betrachten wir erst die mittleren jährlichen Verhältnisse.
Selbst in äquatorealen Gebieten ist die Gegenstrahlung der
Atmosphäre nur um 20—10°/o kleiner wie der Zufluß an Strahlung auf ihre obere Grenze. Da der Gehalt der Atmosphäre
an Wasserdampf in diesen Regionen sicher größer ist wie der
angenommene mittlere Gehalt, wird ihre Gegenstrahlung noch
größer sein. (Sie kann, da wir Ti = 0,84 • sT'„ ansetzten, noch
immer um 16°/o größer werden.) Bereits zwischen 50° und
60° werden beide Strahlungen einander gleich. Von der berechneten Sonnenstrahlung geht aber ein beträchtlicher Teil
durch Reflexion an Wolken und diffuse Reflexion für die Bestrahlung der Erdoberfläche verloren. Setzen wir den diffus
reflektierten Teil, wie üblich zu 19 °/0 an, so wird bereits hierdurch die Sonnenstrahlung unter die atmosphärische Strahlung
herabgedrückt. Wir haben also den Satz:
Die jährliche Gegenstrahlung der Atmosphäre ist
nur wenig kleiner als die jährliche Sonnenstrahlung,
welche die Atmosphäre an ihrer äußeren Begrenzung
trifft, und größer als die jährliche Sonnenstrahlung,
welche den festen Erdboden erreicht.
Reduzieren wir die angegebenen Werte der Sonnenstrahlung um 37 °/o, den Mittelwert der Albedo, so erhalten wir
zwischen 0° und 30°, also für die halbe Erdoberfläche, etwa
840-0,63 = 530 Kal.; für die angenommene polytrope Atmosphäre wäre die Ausstrahlung der Erde plus Atmosphäre ziemlich genau gleich den angegebenen Werten der Gegenstrahlung; denn wir fanden S. 130 für den Gradienten 0,49°/ioo m
li = 0,84D’0,
A = 0,83 EQ.
138
R. Emden
Die Wärmebilanz würde also nicht mehr stimmen, da im
Laufe des Jahres mehr aus- als eingestrahlt würde. Allein der
angenommene Gradient gilt nur für die tieferen Schichten
der Atmosphäre, welche in erster Linie die Gegenstrahlung
bestimmen. Durch diesen Gradienten haben wir die höheren
Schichten, welche die Ansstrahlung nach oben mitbedingen, viel
zu hoch temperiert; in Höhen von 10 km würden wir etwa
— 25° bis —30° C, statt der Temperaturen der Stratosphäre,
— 50° bis —57°, angesetzt haben. Die Ausstrahlung wird deshalb bedeutend kleiner ausfallen. (Vgl. das oben S. 113 über
Wirkung der Konvektion auf höhere Niveaus Auseinandergesetzte) ; rechnen wir mit der Strahlung der Stratosphäre im
720 Kal
Strahlungsgleichgewichte, so erhalten wir statt rund
cm2 24 St.
455 Kal
im Mittel der Gegenstrahlung, 1440-0,315 = 2
gegencm 24 St.
über den 530 einfallenden Kalorien. Da aber mit zunehmender Breite die atmosphärische Strahlung überwiegt, wird sich
mit genügender Genauigkeit die Wärmebilanz Null ergeben.
Die folgenden Reihen der Tabelle I gestatten die größte
und kleinste tägliche Gegenstrahlung der Atmosphäre mit der
größten und kleinsten täglichen Sonnenstrahlung zu vergleichen.
Daß mit zunehmender Breite die Sonnenstrahlung zur Zeit
höchsten Sonnenstandes die Gegenstrahlung immer mehr übertrifft, war zu erwarten. Überraschend ist, in welchem Maße
zur Zeit tiefsten Sonnenstandes die Gegenstrahlung der Atmosphäre überwiegt. Reduzieren wir die 181 Kal. Sonnenstrahlung, die unter 50° Breite einfallen, noch um den Wert der
Albedo, so erhalten wir 110 Kal., während die Gegenstrahlung
460 Kal. liefert. In Mitteleuropa erhält der Erdboden
im Januar durch die Gegenstrahlung der Atmosphäre
zwei bis dreimal so viel Wärme zugeführt als durch
Sonnenstrahlung.
Um den Wärmeschutz der Atmosphäre noch auf andere
Weise beurteilen zu können, haben wir die Tabelle II angelegt.
Wir bezeichnen als „Strahlungstemperatur“ die Temperatur,
139
Strahlungsgleichgewieht und atmosphärische Strahlung.
Tabelle II.
1. Sonnenstrahlung in
Äquatoreal tagen
2. Strahlungstemperatur
3. Gemessene Temperatur
4. A
30° !
40°
50°
60°
360
345
321 I 288,5
250
208
26,5 ; 25,6
23.1
17,1 ;
5. Sonnenstrahlung in
A quato realtagen
6. Strahungstemperatur
7. Julitemperatur
8. Sonnenstrahlung in
Äquatorealtagen
I
9. Strahlungstemperatur
10. Januartemperatur
365 !
%
:
20° !
10°
N. Breite
9,3
— 0,7
—
12,8
5.6 — 0,1
25,9 ; 26,3
25.6
20.3 i 14,0
- 0,6 +0,7 + 2,5 + 3,2 +4,7 + 6,3 + 12,7
182,0
26.5 i
25.5
.g. 182,6
26,5 I
26,2
j
193
182,9
169,5
32,9
28.1
32.9 ;
27.4 !
30,7
23,8
26.6
18,1
21,1
14,1
146,7
122,6 I
95,6
66,8 '
38,2
193,3
198,5
37,8
27,9
166,9
19,1
23,9
198,4
10.6 — 2,9 — 18,2 - 40 — 73,2
21,7
13.9 I
3,9 - 7,2 — 16.0
auf welche die Erdoberfläche, graue Strahlung vorausgesetzt,
durch die einfallende Sonnenstrahlung gebracht wird (Temperatur des Strahlungsgleichgewichtes). Dauert die Bestrahlung nicht zu kurze Zeit, etwa einige Tage, so würde die
Erdoberfläche, da Wärmeleitung in vertikaler und meridionaler
Richtung nur eine untergeordnete Rolle spielt, sich auf diese
Temperaturen einstellen. Reihe 2 enthält diese Strahlungstemperaturen für die verschiedenen Breiten bei mittlerer jährlicher Bestrahlung. Die beobachteten mittleren Jahrestemperaturen der Atmosphäre sind nur unbedeutend höher, in 50°
Breite rund 6°. Für die klimatischen Verhältnisse ist dies
ein außerordentlicher Betrag; allein vom thermodynamischen
Standpunkte aus, der hier allein maßgebend ist, haben wir
mit der absoluten Temperatur zu vergleichen und erhalten
140
R. Emden
so nur eine Differenz von 2°/0. Der mittlere jährliche
Wärmeschutz der Atmosphäre ist demnach sehr klein.
Reihe 6 gibt die Strahlungstemperatur für die mittlere Strahlung des Sommerhalbjahres. Selbst die Julitemperaturen liegen
tiefer. Im Sommerhalbjahr ist der Wärmeschutz der Atmosphäre negativ.
Überraschend grob ist ihr Wärmeschutz im Winter. Die
mittlere Winterstrahlung der Sonne gibt außerordentliche tiefe
Strahlungstemperaturen (sie würden für Dezemberstrahlung
noch bedeutend tiefer ausfallen), sie liegen bereits in 20"
Breite 11° unter der Januartemperatur. Der 50. Breitekreis
würde ohne Atmosphäre sich im Laufe des Winters im Durchschnitt auf —40°, der 60. auf —73° C einstellen; die Atmosphäre erhöht diese Temperaturen um 33° resp. 57°. Wir erhalten somit im Winter außerordentlich großen positiven, im Sommer kleinen negativen, im Laufe des
Jah r es k lei nenpositivenWärmeschutzder Atmosphäre.
Was sich im großen zwischen Sommer und Winter abspielt,
wiederholt sich im kleineren Maßstabe im Laufe von Tag und
Nacht.
Den bekannten Untersuchungen Augots über die Verteilung
der Sonnenstrahlung mit Berücksichtigung der atmosphärischen
Absorption kommt deshalb nur eine eng umgrenzte Bedeutung zu.
Sie geben lediglich den Einfluß der Atmosphäre auf die direkte
Sonnenstrahlung; je kleiner das Transmissionsvermögen der
Atmosphäre, desto mehr werden die höheren Breiten, und der
Winter im Verhältnis zum Sommer benachteiligt. Handelt es
sich jedoch um die Nutzbarmachung der Sonnenstrahlung für
den Erwärmungsprozeß des Erdbodens und dessen Bedeckung,
so verhält sich die Sache gerade umgekehrt. Je kräftiger die
Atmosphäre emittiert (absorbiert), desto mehr kommt auf diesem
Umwege die Sonnenstrahlung den höheren Breiten wenig im
Jahr, gewaltig im Winter zugute. Im Sommer ist ihr Wärmeschutz negativ, aber im Winter zehren wir in mittleren und
namentlich höheren Breiten von Sonnenstrahlung, die auf dem
Umweg über atmosphärische Strahlung zugeführt wird. Der
Strablungsgleichgewicht und atmosphärische Strahlung.
141
Umstand, daß durch Gegenstrahlung der Atmosphäre die Strahlungstemperatur der mitteleuropäischen Breiten um 30°—60°
heraufgesetzt werden, beweist, daß die Atmosphäre nicht durch
Bestrahlung in diesen Breiten ihr großes Strahlungsvermögen
empfangen hat. Die allgemeine Zirkulation der Atmosphäre,
die infolge der großen Temperaturdifferenzen namentlich im
Winter kräftig funktioniert, bringt die in äquatorealen Gebieten
mit großen Entropiemengen beladenen, strahlungsfähigen Luftmassen in höheren Breiten. Die allgemeine Zirkulation gleicht,
um ein Bild zu gebrauchen, einem gewaltigen Föhn, der in
dem tropischen Kalmengürtel aufsteigt, die Passatregion und die
Roßbreite überfließt und im Niedersteigen infolge der hohen
potentiellen Temperaturen bei mittlerem Gehalte an Wasserdampf zu kräftiger Strahlung befähigt ist.
Um zu entscheiden, ob den höheren Breiten und Landmassen Wärme in erster Linie nur durch Sonnenstrahlung und
atmosphärische Strahlung zugeführt wird, haben wir noch den
Einfluß der Kondensationsvorgänge zu berücksichtigen. Wenn
Wasserdampf kondensiert, werden Entropiemengen verfügbar,
so daß Arbeit und Wärmeabgabe bestritten werden könne. Ist
die Arbeitsleistung hinreichend klein, so ist, falls die Kondensation bei 0° geschieht, die Wärmeabgabe rund 600
Gramm
(bei — 10°, 0°, -J- 10° = 613, 607 resp. 589 Kal.). Nehmen
wir eine jährliche Regenhöhe von 120 cm, so liefert die KonGrammkal
densation täglich rund 200
während die Gegencnr
strahlung der Atmosphäre rund von 3 fachem Betrage ist. Nun
hat aber Brückner1) gezeigt, daß jeder Regentropfen durchschnittlich über dem Festlande dreimal niederfällt, ehe er wieder
in den Ozean zurückkehrt. Deshalb sind s/3 der durch Kondensation verfügbaren Wärme dem Festlande selbst während
der Verdamjifung entnommen. Bei einer jährlichen Regen') E. Brückner, Über die Herkunft des Regens. Geographische Zeitschrift II, S. 89, 1900.
142
R. Emden, Strahlungsgleichgewicht etc.
menge von 120 cm beträgt die durch den dem Ozean entnommenen Wasserdampf zugeführte und durch Kondensation verGrammkal
also rund 10°/o
fügbare Wärmemenge nur etwa 67
cm2 24 St.
der Gegenstrahlung der Atmosphäre, während über dem Ozean
selbst das Verhältnis ungleich kleiner ist. Die Wärmezufuhr
durch kondensierenden Wasserdampf ist klein gegenüber der
Wärmezufuhr der durch Strahlung in tropischen Gebieten
erwärmten, strahlenden Luftmassen.
Den Ausführungen dieses Paragraphen wurde ein konstanter, mittlerer Gehalt der Atmosphäre an Wasserdampf zu
Grunde gelegt. Das Absorptiosvermögen der Atmosphäre
als Punktion des Gehaltes an Wasserdampf ist viel zu wenig
bekannt, um die nach Ort und Zeit so variable Menge desselben mit genügender Sicherheit in Rechnung ziehen zu können.
Diese für den Wärmehaushalt der Erde so überaus wichtige
Größe kann auf Grund der entwickelten Theorie durch systematische Messungen der Gegenstrahlung der Atmosphäre gewonnen werden.