Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik
Christina Kohl
Georg Moser
Oleksandra Panasiuk
Christian Sternagel
Vincent van Oostrom
Institut für Informatik @ UIBK
Sommersemester 2017
Zusammenfassung
Zusammenfassung der letzten LVA
Definition
• Eine Menge M heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl m und
eine bijektive Abbildung α : {0, 1, . . . , m − 1} → M gibt
• In diesem Fall ist m eindeutig bestimmt und man nennt #(M) := m
die Anzahl der Elemente von M
Definition
Eine Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn eine bijektive Abbildung
α : N → M , i 7→ xi existiert. Man schreibt dann M = {x0 , x1 , x2 , . . .}
nennt α eine Aufzählung von M und α−1 eine Nummerierung von M.
Beispiel
Sei Σ ein endliches Alphabet. Dann ist das Wortmonoid Σ∗ :=
abzählbar. Andererseits sind die reellen Zahlen nicht abzählbar.
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
S
n>0 Σ
n
143/1
Übersicht
Inhalte der Lehrveranstaltung
Beweismethoden
deduktive Beweise, Beweise von Mengeninklusionen, Kontraposition,
Widerspruchsbeweise, vollständige Induktion, wohlfundierte Induktion,
strukturelle Induktion, Gegenbeispiele
Relationen, Ordnungen und Funktionen
Äquivalenzrelationen, partielle Ordnungen, Wörter, asymptotisches Wachstum von Funktionen
Graphentheorie
gerichtete Graphen, ungerichtete Graphen
Zähl- und Zahlentheorie
Aufzählen und Nummerien von Objekten, Abzählbarkeit, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lösen von Rekursionsformeln, Rechnen mit ganzen Zahlen,
euklidischer Algorithmus, Primzahlen, Restklassen
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
144/1
Übersicht
Inhalte der Lehrveranstaltung
Beweismethoden
deduktive Beweise, Beweise von Mengeninklusionen, Kontraposition,
Widerspruchsbeweise, vollständige Induktion, wohlfundierte Induktion,
strukturelle Induktion, Gegenbeispiele
Relationen, Ordnungen und Funktionen
Äquivalenzrelationen, partielle Ordnungen, Wörter, asymptotisches Wachstum von Funktionen
Graphentheorie
gerichtete Graphen, ungerichtete Graphen
Zähl- und Zahlentheorie
Aufzählen und Nummerien von Objekten, Abzählbarkeit, Wahrscheinlichkeitstheorie, Lösen von Rekursionsformeln, Rechnen mit ganzen Zahlen,
euklidischer Algorithmus, Primzahlen, Restklassen
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
144/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel
Gegeben seien die ersten 15 Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge und
wir suchen die durchschnittliche Anzahl der notwendigen Vergleiche, um
eine gegebene Zahl zu finden, wenn wir binäre Suche verwenden.
19
7
3
2
S
S
13
S
5
37
S
11
U S U S
S
29
17
23
S
S
S
43
S
31
41
S
S
S
47
S
# der erfolgreichen Blätter = 15
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
145/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel
Gegeben seien die ersten 15 Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge und
wir suchen die durchschnittliche Anzahl der notwendigen Vergleiche, um
eine gegebene Zahl zu finden, wenn wir binäre Suche verwenden.
19
7
3
2
S
S
13
S
5
37
S
11
U S U S
S
29
17
23
S
S
S
43
S
31
41
S
S
S
47
S
# der erfolgreichen Blätter = 15
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
145/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel
Gegeben seien die ersten 15 Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge und
wir suchen die durchschnittliche Anzahl der notwendigen Vergleiche, um
eine gegebene Zahl zu finden, wenn wir binäre Suche verwenden.
19
7
3
2
S
S
13
S
5
37
S
11
U S U S
S
29
17
23
S
S
S
43
S
31
41
S
S
S
47
S
# der erfolgreichen Blätter = 15
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
145/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (cont’d)
• Angenommen die gesuchten Zahlen sind gleichverteilt: die
Wahrscheinlichkeit dass wir nach Primzahl p suchen ist
1
15
• Nun zählen jeden Konten als einen Vergleich, summieren die Anzahl
der gesamten Vergleiche und dividieren durch 15
8∗4+4∗3+2∗2+1
49
=
≈ 3, 27
15
15
Also brauchen wir im Durchschnitt 3, 27 Vergleiche
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
146/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (cont’d)
• Angenommen die gesuchten Zahlen sind gleichverteilt: die
Wahrscheinlichkeit dass wir nach Primzahl p suchen ist
1
15
• Nun zählen jeden Konten als einen Vergleich, summieren die Anzahl
der gesamten Vergleiche und dividieren durch 15
8∗4+4∗3+2∗2+1
49
=
≈ 3, 27
15
15
Also brauchen wir im Durchschnitt 3, 27 Vergleiche
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
146/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (cont’d)
• Angenommen die gesuchten Zahlen sind gleichverteilt: die
Wahrscheinlichkeit dass wir nach Primzahl p suchen ist
1
15
• Nun zählen jeden Konten als einen Vergleich, summieren die Anzahl
der gesamten Vergleiche und dividieren durch 15
8∗4+4∗3+2∗2+1
49
=
≈ 3, 27
15
15
Also brauchen wir im Durchschnitt 3, 27 Vergleiche
Definition
• der Ergebnisraum beschreibt die Menge aller möglichen Ergebnisse
• eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem Ergebnisraumes S ist
eine Abbildung
P : S → [0, 1]
sodass
GM (IFI)
P
x∈S
P(x) = 1
Diskrete Mathematik
146/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
• eine Teilmenge E ⊆ S wird Ereignis genannt
• die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist wie folgt definiert
P(E ) :=
X
P(x)
x∈E
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
147/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
• eine Teilmenge E ⊆ S wird Ereignis genannt
• die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist wie folgt definiert
P(E ) :=
X
P(x)
x∈E
Lemma
Seien A und B Ereignisse, dann gilt:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(∼A) = 1 − P(A)
wobei ∼A die Komplementärmenge von A
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
147/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
• eine Teilmenge E ⊆ S wird Ereignis genannt
• die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist wie folgt definiert
P(E ) :=
X
P(x)
x∈E
Lemma
Seien A und B Ereignisse, dann gilt:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(∼A) = 1 − P(A)
wobei ∼A die Komplementärmenge von A
Beispiel
Angenommen wir werfen eine (faire) Münze zweimal, dann beschreibt
S = {KK , KZ , ZK , ZZ } den Ergebnisraum und E = {KZ , ZK } dass
genau einmal Kopf gewürfelt wird; es gilt P(E ) = ( 12 )( 21 ) + ( 12 )( 12 ) = 12
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
147/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Wenn A und B Ereignisse sind und P(B) 6= 0, dann ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorausetzung B wie folgt definiert:
P(A | B) :=
GM (IFI)
P(A ∩ B)
P(B)
Diskrete Mathematik
148/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Wenn A und B Ereignisse sind und P(B) 6= 0, dann ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorausetzung B wie folgt definiert:
P(A | B) :=
P(A ∩ B)
P(B)
Lemma
A und B Ereignisse, dann: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = P(B) · P(A | B)
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
148/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Wenn A und B Ereignisse sind und P(B) 6= 0, dann ist die bedingte
Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorausetzung B wie folgt definiert:
P(A | B) :=
P(A ∩ B)
P(B)
Lemma
A und B Ereignisse, dann: P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A) = P(B) · P(A | B)
Beispiel
2% der Studenten der UIBK studieren Informatik (Ereignis A) und 1%
studiert Mathematik (Ereignis B); außerdem studiert 0.1% beides, also
P(A | B) =
GM (IFI)
P(A ∩ B)
0.001
=
= 0.1
P(B)
0.01
P(B | A) =
Diskrete Mathematik
P(A ∩ B)
= 0.05
P(A)
148/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (Satz von Bayes)
Angenommen FCW gewinnt 75% aller Spiele bei gutem Wetter und 50%
bei schlechten Wetter; außerdem gelte, dass im Mai 2/3 schöne Tage
gegen 1/3 schlechte stehen. Was ist die Wahrscheinlichkeit für schlechtes
Wetter, wenn wir im Mai lesen der FCW hat gewonnen? Ereignisse W
(win), L (loose), B (bad), G (good).
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
149/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (Satz von Bayes)
Angenommen FCW gewinnt 75% aller Spiele bei gutem Wetter und 50%
bei schlechten Wetter; außerdem gelte, dass im Mai 2/3 schöne Tage
gegen 1/3 schlechte stehen. Was ist die Wahrscheinlichkeit für schlechtes
Wetter, wenn wir im Mai lesen der FCW hat gewonnen? Ereignisse W
(win), L (loose), B (bad), G (good).
Wir suchen P(B | W ) =
P(W | B) = 12 , P(G ) =
GM (IFI)
P(B∩W )
P(W )
2
,
3 P(B)
und wissen P(W | G ) = 34 ,
= 13 ;
Diskrete Mathematik
149/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (Satz von Bayes)
Angenommen FCW gewinnt 75% aller Spiele bei gutem Wetter und 50%
bei schlechten Wetter; außerdem gelte, dass im Mai 2/3 schöne Tage
gegen 1/3 schlechte stehen. Was ist die Wahrscheinlichkeit für schlechtes
Wetter, wenn wir im Mai lesen der FCW hat gewonnen? Ereignisse W
(win), L (loose), B (bad), G (good).
Wir suchen P(B | W ) =
P(B∩W )
P(W )
2
,
3 P(B)
und wissen P(W | G ) = 34 ,
= 13 ; es gilt W = (G ∩ W ) ∪ (B ∩ W ),
P(W | B) = 12 , P(G ) =
also P(W ) = P(G ∩ W ) + P(B ∩ W ) und somit:
P(B | W ) =
GM (IFI)
P(B ∩ W )
P(B ∩ W )
=
P(W )
P(G ∩ W ) + P(B ∩ W )
P(W | B) P(B)
=
P(W | G ) P(G ) + P(W | B) P(B)
( 1 )( 1 )
1
= 3 22 31 1 =
4
( 4 )( 3 ) + ( 2 )( 3 )
Diskrete Mathematik
149/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Satz
Sei S ein Ergebnisraum und sei {H1 , . . . Hn } eine Partition von S; E ein
Ereignis mit P(E ) 6= 0; dann gilt für i = 1, . . . , n:
P(Hi | E ) =
=
P(Hi ∩ E )
P(H1 ∩ E ) + · · · + P(Hn ∩ E )
P(Hi ) P(E | Hi )
P(H1 ) P(E | H1 ) + · · · + P(Hn ) P(E | Hn )
• Wir nennen P(Hi ) auch a priori Wahrscheinlichkeit von Hi
• Und P(Hi | E ) heißt a posteriori Wahrscheinlichkeit von Hi ,
gegeben E
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
150/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Satz
Sei S ein Ergebnisraum und sei {H1 , . . . Hn } eine Partition von S; E ein
Ereignis mit P(E ) 6= 0; dann gilt für i = 1, . . . , n:
P(Hi | E ) =
=
P(Hi ∩ E )
P(H1 ∩ E ) + · · · + P(Hn ∩ E )
P(Hi ) P(E | Hi )
P(H1 ) P(E | H1 ) + · · · + P(Hn ) P(E | Hn )
• Wir nennen P(Hi ) auch a priori Wahrscheinlichkeit von Hi
• Und P(Hi | E ) heißt a posteriori Wahrscheinlichkeit von Hi ,
gegeben E
Definition
Ereignisse A und B sind unabhängig, wenn P(A ∩ B) = P(A) P(B)
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
150/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (Bernoulliexperiment)
• Wir betrachten n Münzwürfe mit einer Münze und berechnen die
Wahrscheinlichkeit mit der die Münze genau k-mal Kopf zeigt, wobei
die Münzwürfe unabhängig sind
• Zunächst betrachten wir die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten k
Würfe Kopf zeigen und die restlichen Würfe Zahl
• Bezeichne Ai das Ereignis, dass beim iten Wurf Kopf gewürfelt wird
und nehmen an, dass die Münze mit Wahrscheinlichkeit p Kopf zeigt,
dann gilt
P(A1 ) · · · P(Ak ) · P(∼Ak+1 ) · · · P(∼An ) = p k (1 − p)n−k
• Somit ist die Wahrscheinlickeit genau k-mal Kopf zu würfeln wir
folgt gegegeben:
GM (IFI)
n k
p (1 − p)n−k
k
Diskrete Mathematik
151/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Ein Bernoulliexperiment ist ein Experiment mit genau zwei möglichen
Ausgängen (Erfolg bzw. Misserfolg)
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
152/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Ein Bernoulliexperiment ist ein Experiment mit genau zwei möglichen
Ausgängen (Erfolg bzw. Misserfolg)
Lemma
1
Die Wahrscheinlichkeit des k-maligen Erfolges bei einem n-fach
wiederholten Bernoulliexperiment ist:
n k
b(k; n; p) :=
p (1 − p)n−k
k
wobei P(“Erfolg”) = p
2
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung b(k; n; p) für festes n und p heißt
Binomialverteilung; beachte
n
n X
X
n k
b(k; n; p) =
p (1 − p)n−k = (p + (1 − p))n = 1
k
k=0
GM (IFI)
k=0
Diskrete Mathematik
152/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Bezeichne V : S → R eine Wertefunktion für den Ergebnisraum
S = {x1 , . . . , xn }; der Erwartungswert von V ist wie folgt definiert:
E(V ) := V (x1 ) P(x1 ) + · · · + V (xn ) P(xn )
Die Wertefunktion V wird auch als Zufallsvariable bezeichnet
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
153/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Bezeichne V : S → R eine Wertefunktion für den Ergebnisraum
S = {x1 , . . . , xn }; der Erwartungswert von V ist wie folgt definiert:
E(V ) := V (x1 ) P(x1 ) + · · · + V (xn ) P(xn )
Die Wertefunktion V wird auch als Zufallsvariable bezeichnet
Beispiel
Angenommen wir suchen ein Element X in einem Array der Länge n
i := n ;
w h i l e i > 0 and X 6= L[i] do
i := i − 1
od
Gesucht: die durchschnittliche Zahl der Vergleiche X 6= L[i]; bezeichne Ii
das Ergebnis L[i] = X (1 6 i 6 n) und In+1 das Ergebnis X 6∈ L
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
153/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (cont’d)
• der Ergebnisraum S = {I1 , I2 , . . . , In+1 }
• die Wertefunktion V : S → N bezeichnet die Anzahl der Vergleiche:
(
n − i + 1 falls I = Ii und 1 6 i 6 n
V (I ) :=
n
sonst
• Schließlich bezeichne q die Wahrscheinlichkeit, dass X ∈ L, dann gilt
P(Ii ) =
q
n
(1 6 i 6 n) und P(In+1 ) = 1 − q
• die Durchschnittskomplexität Avg : N → N kann nun mittels des
Erwartungswertes von V berechnet werden:
q
q
Avg(n) = E(V ) = (n + 1 − 1) + · · · + (n − n + 1) + (1 − q)n
n
n
q (n + 1)n
n+1
=
+ (1 − q)n = q(
) + (1 − q)n
n
2
2
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
154/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Beispiel (cont’d)
• der Ergebnisraum S = {I1 , I2 , . . . , In+1 }
• die Wertefunktion V : S → N bezeichnet die Anzahl der Vergleiche:
(
n − i + 1 falls I = Ii und 1 6 i 6 n
V (I ) :=
n
sonst
• Schließlich bezeichne q die Wahrscheinlichkeit, dass X ∈ L, dann gilt
P(Ii ) =
q
n
(1 6 i 6 n) und P(In+1 ) = 1 − q
• die Durchschnittskomplexität Avg : N → N kann nun mittels des
Erwartungswertes von V berechnet werden:
q
q
Avg(n) = E(V ) = (n + 1 − 1) + · · · + (n − n + 1) + (1 − q)n
n
n
q (n + 1)n
n+1
=
+ (1 − q)n = q(
) + (1 − q)n
n
2
2
• Ähnlich kann die Durchschnittskomplexität der Suche nach einer der
ersten 15 Primzahlen in einer Liste berechnen werden; im
Durchschnitt brauche ich 8 Vergleiche
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
154/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Eine Markowkette ist eine endliche Abfolge von Zuständen, sodass jeder
Zustandswechsel nur von dem vorherigen Zustand und einer
vorausgesetzten Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
155/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
Eine Markowkette ist eine endliche Abfolge von Zuständen, sodass jeder
Zustandswechsel nur von dem vorherigen Zustand und einer
vorausgesetzten Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt
Beispiel
Wir betrachen zwei Zustände, bezeichnet mit 0 und 1; die
Wahrscheinlichkeiten der Zustandswechsel werden durch eine
Übergangsmatrix ausgedrückt
0.1 0.9
0.6 0.4
• die Wahrscheinlichkeit etwa eines Überganges von Zustand 0 nach
Zustand 1 ist also 90%
• Wahrscheinlichkeiten nach n Schritten können durch n-faches
Potenzieren der Übergangsmatrix P berechnet werden
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
155/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
• Sei P eine Übergangsmatrix. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten
nach n Schritten durch P n gegeben
• Diese Eigenschaft heißt Markoweigenschaft oder auch
Gedächtnislosigkeit
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
156/1
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie
Definition
• Sei P eine Übergangsmatrix. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten
nach n Schritten durch P n gegeben
• Diese Eigenschaft heißt Markoweigenschaft oder auch
Gedächtnislosigkeit
Satz (Markowketten)
Sei P eine Übergangsmatrix einer Markowkette, sodass für eine Potenz P 0
gilt, dass P 0 keine Nulleinträge besitzt, dan gilt:
1
Es existiert ein eindeutiger Wahrscheinlichkeitsvektor ~v , sodass
~v P = ~v und ~v enthält keine Nulleinträge
2
Bei wachsendem n nähert sich die Potenz P n der Matrix an, die den
Vektor ~v als Eintrag in jeder Zeile hat
3
Bezeichne ~v0 die initial Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zustände.
Dann nähert sich der Vektor ~v0 P n dem Vektor ~v an
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
156/1
Lösen von Rekursionsformeln
Definition
• Für eine Folge f : N → R heißt die Potenzreihe
F (x) :=
∞
X
f (n) · x n
n=0
die erzeugende Funktion von f
• Die Methode der erzeugenden Funktionen versucht, aus den
Rekursionsformeln für f (n) Gleichungen für F (x) herzuleiten und
diese mit algebraischen oder analytischen Mitteln zu lösen
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
157/1
Lösen von Rekursionsformeln
Definition
• Für eine Folge f : N → R heißt die Potenzreihe
F (x) :=
∞
X
f (n) · x n
n=0
die erzeugende Funktion von f
• Die Methode der erzeugenden Funktionen versucht, aus den
Rekursionsformeln für f (n) Gleichungen für F (x) herzuleiten und
diese mit algebraischen oder analytischen Mitteln zu lösen
Beispiel
Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert durch


falls n = 0
0
f (n) = 1
falls n = 1


f (n − 1) + f (n − 2) falls n > 2.
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
157/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Für die erzeugende Funktion F (x) folgt aus obiger Rekursion die
Gleichung
∞
∞
X
X
F (x) =
f (n)x n = f (0) + f (1)x +
(f (n − 1) + f (n − 2)) x n
n=0
n=2
= x + x · F (x) + x 2 · F (x)
und durch Partialbruchzerlegung
x
1
F (x) =
=√
1 − x − x2
5
GM (IFI)
1
1−
√
1+ 5
2
Diskrete Mathematik
−
·x
!
1
1−
√
1− 5
2
·x
158/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Für die erzeugende Funktion F (x) folgt aus obiger Rekursion die
Gleichung
∞
∞
X
X
F (x) =
f (n)x n = f (0) + f (1)x +
(f (n − 1) + f (n − 2)) x n
n=0
n=2
= x + x · F (x) + x 2 · F (x)
und durch Partialbruchzerlegung
x
1
F (x) =
=√
1 − x − x2
5
1
1−
√
1+ 5
2
−
·x
!
1
1−
√
1− 5
2
·x
(NB: Die Lösungsformel für ax 2 + bx + c = 0 lautet
√
−b ± b 2 − 4ac
x1,2 =
2a
folglich gilt: 1 − x − x 2 = (−x −
GM (IFI)
√
1+ 5
2 )
· (x +
Diskrete Mathematik
√
1− 5
2 ))
158/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Weiters gilt, dass Reihen konvergieren, konkret gilt für die geometrische
Reihe (für q < 1)
X
1
qn =
1−q
n>0
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
159/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Weiters gilt, dass Reihen konvergieren, konkret gilt für die geometrische
Reihe (für q < 1)
X
1
qn =
1−q
n>0
Einsetzen der geometrischen Reihe
Konvergenzannahmen liefert
P
n>0 x
n
=
1
1−x
√ !n
∞
X
1+ 5
xn −
2
n=0
P∞
n
und da per Definition F (x) = n=0 f (n)x
"∞
1 X
F (x) = √
5 n=0
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
unter optimistischen
√ !n #
1− 5
xn
2
159/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Weiters gilt, dass Reihen konvergieren, konkret gilt für die geometrische
Reihe (für q < 1)
X
1
qn =
1−q
n>0
Einsetzen der geometrischen Reihe
Konvergenzannahmen liefert
P
n>0 x
n
=
1
1−x
unter optimistischen
√ !n #
√ !n
∞
X
1− 5
1+ 5
n
x −
xn
2
2
n=0
P∞
n
und da per Definition F (x) = n=0 f (n)x liefert ein
Koeffizientenvergleich:
"
√ !n
√ !n #
1
1+ 5
1− 5
−
f (n) = √
2
2
5
"∞
1 X
F (x) = √
5 n=0
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
159/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel
Die Menge der binären Bäume über der Menge M wird als formale
Sprache mit Hilfe der Klammern „ ( “ und „ ) “ induktiv definiert:
1
Die leere Zeichenkette ist ein binärer Baum
2
Wenn x ∈ M und L, R binäre Bäume sind, dann ist (LxR) ein
binärer Baum mit Knoten x
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
160/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel
Die Menge der binären Bäume über der Menge M wird als formale
Sprache mit Hilfe der Klammern „ ( “ und „ ) “ induktiv definiert:
1
Die leere Zeichenkette ist ein binärer Baum
2
Wenn x ∈ M und L, R binäre Bäume sind, dann ist (LxR) ein
binärer Baum mit Knoten x
Wir nennen binäre Bäume strukturell gleich, wenn sie durch
Umbezeichnen der Elemente von M ineinander übergehen. Also sind
((a)b(c)) und ((c)a(b)) gleich, nicht aber ((a)b(c)) und (a(b(c)));
strukturelle Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation.
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
160/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel
Die Menge der binären Bäume über der Menge M wird als formale
Sprache mit Hilfe der Klammern „ ( “ und „ ) “ induktiv definiert:
1
Die leere Zeichenkette ist ein binärer Baum
2
Wenn x ∈ M und L, R binäre Bäume sind, dann ist (LxR) ein
binärer Baum mit Knoten x
Wir nennen binäre Bäume strukturell gleich, wenn sie durch
Umbezeichnen der Elemente von M ineinander übergehen. Also sind
((a)b(c)) und ((c)a(b)) gleich, nicht aber ((a)b(c)) und (a(b(c)));
strukturelle Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation. Die Zahl der
Äquivalenzklassen binärer Bäume mit n Knoten läßt sich wie folgt
berechnen:
(
1
n=0
f (n) = Pn−1
k=0 f (k) · f (n − 1 − k) n > 0
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
160/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Für die erzeugende Funktion F (x) folgt
F (x) =
∞
X
n
f (n)x = 1 +
n=0
∞
n−1
X
X
n=1
!
f (k) · f (n − 1 − k) x n
k=0
= 1 + x · F (x) · F (x)
also F (x)2 −
1
x
· F (x) +
1
x
=0
F (x)2 −
1
1
· F (x) + = 0
x
x
Lösen der quadratischen Gleichung gibt
√
1 ± 1 − 4x
F (x) =
2x
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
161/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
Beachte, dass die Definition des Bionomialkoeffizienten direkt auf
r ∈ R erweiterbar ist, also gilt mit der Binomialreihe
√
n=0
F (x) =
1−
für
∞ 1
∞
X
X
2 2n − 2 n
2 (−4x)n = 1 −
x
n
n n−1
1
1 − 4x = (1 − 4x) 2 =
Somit erhält man
r
n
n=1
√
∞
X
1 − 4x
1
2n n
=
x
2x
n+1 n
n=0
Koeffizientenvergleich liefert
1
2n
f (n) =
n+1 n
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
162/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (Divide-and-Conquer-Algorithmen)
• Algorithmus löst Instanzen bis zur Größe m direkt
• Instanzen der Größe n > m hingegen zerlegt der Algorithmus in a
Teilinstanzen mit Größen bn/bc und dn/be; löst diese rekursiv und
setzt Teillösungen zusammen
• Zeit zum Aufteilen der Instanz und zum Zusammenfügen der
Lösungen betrage f (n)
• Gesamtzeit sei T (n), wobei wir annehmen T (n + 1) > T (n)
• Dann folgt
a · T (bn/bc) + f (n) 6 T (n) 6 a · T (dn/be) + f (n)
• speziell für n = m · b k wird k-mal geteilt, sodass es für r := logb a
gilt: es gibt ak = (b r )k = (b k )r = m−r · nr Basisinstanzen
• Lösung der Basisinstanzen kostet Θ(nr ) an Aufwand
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
163/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (cont’d)
• wir definieren
(
a · T − (bn/bc) + f (n)
T − (n) :=
T (n)
(
a · T + (dn/be) + f (n)
T + (n) :=
T (n)
falls n > m
falls n 6 m
falls n > m
falls n 6 m
• dann gilt für all n: T − (n) 6 T (n) 6 T + (n), sodass für die Analyse
die Funktionen T ± (n) an Stelle von T (n) verwendet werden können
• für n = m · b k ist der Aufwand der Lösung der Basisfälle durch
Θ(nlogb a ) gegegeben
• Berücksichtigung des Aufwandes für das Aufteilen und
Zusammensetzen, erlaubt die asymptotische Analyse von T ± (n)
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
164/1
Lösen von Rekursionsformeln
Satz (Master-Theorem)
(1) Wenn f ∈ O(ns ) für eine reelle Zahl s mit s < r := logb a , dann ist
T (n) ∈ Θ(nr ) .
(2) Wenn f ∈ Θ(nr ) , dann ist
T (n) ∈ Θ(nr · log n) .
(3) Wenn eine reelle Zahl c mit c < 1 und eine natürliche Zahl k
existieren, sodass
a · f (dn/be) 6 c · f (n)
für alle n mit n > k , dann ist f ∈ Ω(ns ) für eine reelle Zahl s mit
s > r und
T (n) ∈ Θ(f ) .
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
165/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (Merge Sort)
Betrachte Merge Sort:
merge : : Ord a => [ a ] −> [ a ] −> [ a ]
merge x s [ ] = x s
merge [ ] y s = y s
merge ( x : x s ) ( y : y s )
| ( x <= y ) = x : ( merge x s ( y : y s ) )
| o t h e r w i s e = y : ( merge ( x : x s ) y s )
mergesort
mergesort
mergesort
mergesort
GM (IFI)
: : Ord a => [ a ] −> [ a ]
[] = []
[x] = [x]
x s = merge ( m e r g e s o r t ( f s t h a l f x s ) )
( mergesort ( s n d h a l f xs ))
Diskrete Mathematik
166/1
Lösen von Rekursionsformeln
Beispiel (Merge Sort)
Betrachte Merge Sort:
merge : : Ord a => [ a ] −> [ a ] −> [ a ]
merge x s [ ] = x s
merge [ ] y s = y s
merge ( x : x s ) ( y : y s )
| ( x <= y ) = x : ( merge x s ( y : y s ) )
| o t h e r w i s e = y : ( merge ( x : x s ) y s )
mergesort
mergesort
mergesort
mergesort
: : Ord a => [ a ] −> [ a ]
[] = []
[x] = [x]
x s = merge ( m e r g e s o r t ( f s t h a l f x s ) )
( mergesort ( s n d h a l f xs ))
Wegen a = b = 2 und f ∈ Θ(n) gibt das Master-Theorem die
Laufzeitabschätzung T (n) ∈ Θ(n · log n), da gilt r := logb a = 1 und
somit f (n) ∈ Θ(nr ) (zweiter Fall)
GM (IFI)
Diskrete Mathematik
166/1