Theoretische Teilchenphysik Aufgabenblatt 8

Theoretische Teilchenphysik
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 8
Abgabe: 22. Dezember 2016
Aufgabe 1: Goldene Regel für Streuung
In der Vorlesung wurde der Streuquerschnitt für eine Streuung
1 + 2 → 3 + 4 + ... + n
(1.1)
besprochen. Nach der goldenen Regel für Streuungen ist er gegeben durch
σ =
Z Y
n h 3
i
d p~j
1
q
p
4 (p1 · p2 )2 − (m1 m2 c2 )2 j=3 (2π)3 2 p~2 + m2 c2
S~2
j
2
(1.2)
j
4 4
×|M| (2π) δ (p1 + p2 − p3 − . . . − pn ) ,
mit p0j =
q
p~2j + m2j c2 in M und in der Deltafunktion.
(a) Zeigen Sie, dass im Schwerpunktsystem gilt
p
(p1 · p2 )2 − (m1 m2 c2 )2 = (E1 + E2 )|~
p1 |/c .
(1.3)
(b) Zeigen Sie entsprechend im Ruhsystem von Teilchen 2
p
(p1 · p2 )2 − (m1 m2 c2 )2 = m2 |~
p1 |c .
(1.4)
(c) Analysieren Sie nun im Ruhsystem von Teilchen 2 den Fall n = 4 mit
masselosen Teilchen 3 und 4. Leiten Sie die Formel
~ 2
dσ
S|~
p3 ||M|2
=
(1.5)
dΩ
8π m |~
2 − |~
p
|
E
+
m
c
p
|c
cos
θ
2 1
1
2
1
für den differentiellen Wirkungsquerschnitt her, wobei θ der Winkel zwischen p~1 und p~3 ist.
1
Aufgabe 2: Quantenmechanische Störungstheorie
φk (~x) seien die Eigenfunktionen des ungestörten (z.B. des freien) Hamiltonoperators,
Z
d3 xφ∗j φk = δjk ,
(2.1)
Ĥ0 φk (~x) = Ek φk (~x) , hφj |φk i =
V
wobei wir die Lösungen auf ein Teilchen im Volumen V normiert haben. In
Anwesenheit eines Wechselwirkungs-Hamiltonoperators V̂ (~x, t), der Übergänge zwischen verschiedenen Zuständen induzieren kann, wird die zeitabhängige Schrödingergleichung zu (~ = c = 1)
i
i
dψ h
= Ĥ0 + V̂ (~x, t) ψ .
dt
(2.2)
Die Wellenfunktion ψ(~x, t) kann man in den φk (~x) entwickeln1
X
ψ(~x, t) =
ck (t)φk (~x)e−iEk t .
(2.3)
k
(a) Zeigen Sie, dass die ck die folgende Differentialgleichung erfüllen:
i
X dck
k
dt
φk e−iEk t =
X
V̂ ck φk e−iEk t .
(2.4)
k
(b) Nehmen Sie nun an, dass sich die Wellenfunktion zum Zeitpunkt t =
−T /2 im Eigenzustand φi von Ĥ0 befindet, d.h. ck (−T /2) = δik . Nehmen Sie
ausserdem der Einfachheit halber an, dass V̂ (~x, t) = V̂ (~x) zeitlich konstant
und so klein ist, dass zu allen Zeiten ci (t) ≈ 1 und ck6=i (t) ≈ 0 gilt. Zeigen Sie, dass unter diesen Umständen für die Übergangsamplitude in einen
bestimmten Zustand φf gilt
Z
t
cf (t) = −iTf i
0
dt0 ei(Ef −Ei )t
(f 6= i) ,
(2.5)
−T /2
mit dem Übergangsmatrixelement in erster Ordnung Störungstheorie Tf i =
R 3 ∗
V d x φf V̂ φi ≡ hf |V̂ |ii.
(c) Benutzen Sie die Definition der Deltafunktion
Z ∞
dxei(k−k0 )x = 2πδ(k − k0 ) ,
(2.6)
−∞
1
Wie üblich müsste die Summe bei einem kontinuierlichen Parameter k durch ein Integral ersetzt werden.
2
um für grosse Zeiten T die Übergangswahrscheinlichkeit Pf i ≡ |cf (T /2)|2 zu
bestimmen. Sie sollten finden, dass diese linear in T divergiert und dass die
Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit gegeben ist durch
Pf i
= 2π|Tf i |2 δ(Ef − Ei ) .
T →∞ T
Wf i = lim
(2.7)
In der Praxis hat man es in der Regel mit einem wohldefinierten Anfangszustand zu tun, aber der Endzustand kann irgendein Zustand mit der selben
Energie sein. Man bekommt daher die Übergangsrate Γf i , indem man über
alle möglichen Endzustände summiert. Nimmt man an, dass Tf i für alle
zugänglichen φf gleich ist (und daher nur von Ef abhängt), so ergibt sich
Γf i zu
Z
Γf i ≡
dEf Wf i ρ(Ef ) = 2π|Tf i |2 ρ(Ei ) ,
(2.8)
wobei Ei = Ef gelten muss und ρ(Ef ) die Zustandsdichte ist, d.h. ρ(Ef )dEf
ist die Anzahl der Energieeigenzustände mit Energie zwischen Ef und Ef +
dEf . (2.8) ist Fermi’s Goldene Regel der Quantenmechanik. In der Vorlesung wurde Fermi’s Goldene Regel für die Quantenfeldtheorie besprochen,
die insbesondere nicht annimmt, dass die Übergangsmatrixelemente nur von
der Energie abhängen.
(d) In obiger Herleitung wurde ck6=i (t) ≈ 0 angenommen. Eine bessere
Approximation bekommt man, wenn man zwar ci (t) ≈ 1 annimmt, aber
die ck6=i (t) aus (2.5) in die rechte Seite von (2.4) einsetzt. Leiten Sie die
daraus resultierende Differentialgleichung für cf (t) her und berechnen Sie
limT →∞ cf (T /2). Durch Vergleich mit dem entsprechenden Limes von (2.5)
zeigen Sie
X hf |V̂ |kihk|V̂ |ii
Tf i ≈ hf |V̂ |ii +
(2.9)
Ei − Ek + i
k6=i
für das Übergangsmatrixelement in zweiter Ordnung Störungstheorie. Hierbei ist eine kleine positive Konstante, die man am Schluss gegen Null gehen
lassen möchte.
Hinweis: Um bei der Berechnung von limT →∞ cf (T /2) das auftretende Integral zu regularisieren, müssen Sie einen Konvergenzfaktor einfügen, d.h.
Z
t
0
dt0 ei(Ek −Ei −i)t = i
−∞
Bei Fragen:
[email protected]
3
ei(Ek −Ei −i)t
.
Ei − Ek + i
(2.10)