Aufgaben zur Analytischen Mechanik SS 2013 Blatt 4 Aufgabe 1

Aufgaben zur Analytischen Mechanik SS 2013 Blatt 4
Abgabetermin: Mittwoch, 22. Mai 2013 vor der Vorlesung
Aufgabe 1 Vektoren
Zeigen Sie, dass folgende Gleichungen für die Vektoren a, b, c und d gelten:
(a) (10 Punkte)
(a × b) (c × d) = (a · c) (b · d) − (a · d) (b · c)
(1)
(b) (10 Punkte)
∇ (a · b) = (a∇) b + (b∇) a + a × (∇ × b) + b × (∇ × a)
(2)
(c) (10 Punkte)
∇ (a × b) = b (∇ × a) − a (∇ × b)
(3)
Aufgabe 2 kinetische Energie
Wie lautet die kinetische Energie der folgenden Systeme. Nutzen Sie zur Beschreibung der
Systeme jeweils eine minimale Anzahl an unabhängigen Koordinaten.
(a) (5 Punkte) ein freies Teilchen
(b) (10 Punkt) ein Teilchen, dass sich auf der Oberfläche einer Kugel bewegt
(c) (10 Punkte) ein Teilchen, dass sich auf dem Mantel eines Zylinders bewegt
Aufgabe 3 Bewegung auf einem Kreis
Betrachten Sie ein Teilchen, dass sich nur innerhalb der x-y-Ebene bewegen kann.
(a) (5 Punkte) Stellen Sie den Lagrange-Term für diese Bewegung auf.
(b) (10 Punkte) Berücksichtigen Sie nun die Einschränkung, dass sich das Teilchen nur auf
einem Kreis mit Radius a bewegen kann.
Wie lautet die Zwangsbedingung?
Zeigen Sie, dass der Lagrange-Multiplikator, der diese Zwangsbedingung beschreibt,
proportional zur Zentripetalkraft ist.
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Aufgabe 4 Gleichmäßig bewegte Systeme
Betrachten Sie eine generalisierte Koordinate qj , wobei dqj die Verschiebung des gesamten
Systems beschreibt.
(a) (5 Punkte) Verdeutlichen Sie sich, dass die kinetische Energie in diesem System nicht
von qj abhängt.
(b) (10 Punkte) Zeigen Sie, dass die Lagrange-Gleichung dieser Koordinate die Bewegungsgleichung des Gesamt-Impluses beschreibt.
(c) (10 Punkte) Berechnen Sie die Zwangskraft für den Fall, dass qj eine zyklische Koordinate ist und dass alle äußeren Kräfte konservativ sind.
(d) (10 Punkte) Beschreiben Sie ein isoliertes System sowohl durch ein festes Koordinatensystem, als auch durch ein gleichförmig bewegtes. Stellen Sie die Lagrange-Gleichung
für beide Fälle auf und zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen identisch sind. Hinweis: Verwenden Sie, dass die potenzielle Energie in einem isolierten System nur von
den relativen Abständen der einzelnen Teilchen abhängt.
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