ETWR – Teil B

ETWR – Teil B
Bewertung von Ereignissen
Stephan Schosser
Bewertung von Ereignisse
Ziele
•  Bisher:
•  Ereignisse bzgl. Zufallsvorgängen durch Mengen mathematisch
beschrieben
•  Ziel dieses Kapitels
•  Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
•  Ziel der Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
•  Tägliches Leben:
Ereignisse sind hinsichtlich ihrer
Realisationsmöglichkeit unterschiedlich bewertet
•  Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Realisationsmöglichkeiten sind gegeben und genügen bestimmten
Konsistenzbedingungen (Axiomen)
•  Hier:
Ableiten der Grade der Realisierungschance von Ereignissen
(Wahrscheinlichkeiten) für disjunkte Ereignisse
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Stephan Schosser
Bewertung von Ereignisse
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Klassischer Ansatz
•  Frequentistischer Ansatz
•  Kombinierte Ereignisse
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Bewertung von Ereignisse
Klassischer Ansatz
•  Wahrscheinlichkeit von Ereignis A
Anzahl Ergebnisse in A
P(A) =
Anzahl Ergebnisse in Ω
•  Besondere Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten
•  P(Ω) = 1 → Ω tritt sicher ein
•  P(Ø) = 0 → Ø tritt sicher nicht ein
•  Anwendbarkeit: Klassischer Ansatz nur anwendbar, wenn
•  die Ergebnismenge endlich ist und ...
•  ... alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind.
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Klassischer Ansatz - Beispiel Würfel
•  Ergebnisse in Ω
Anzahl der Elemente in einer Menge
•  Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
(auch: Kardinalität)
•  |Ω| = 6
•  Wahrscheinlichkeit für die Elementarereignisse
•  X1 = {1}, X2 = {2}, X3 = {3}, X4 = {4}, X5 = {5}, X6 = {6}
•  P(X1) = P(X2) = P(X3) = P(X4) = P(X5) = P(X6) = 1/6
•  Wahrscheinlichkeit anderer Ereignisse
•  A = {1, 2, 3}: P(A) = 3/6 = 1/2
•  B = {1, 3, 5} : P(B) = 3/6 = 1/2
•  C = {6} gilt: P(C) = 1/6
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Bewertung von Ereignisse
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Klassischer Ansatz
•  Frequentistischer Ansatz
•  Kombinierte Ereignisse
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Motivation
•  Betrachteter Zufallsvorgang: 600x Würfeln
•  Wie häufig ist die 1?
•  Erwartung: 600 · 1/6 = 100
•  Idee zur Prüfung:
•  Zufallsvorgang wird...
•  (a) mehrmals...
•  (b) unter identischen Bedingungen...
... beobachtet.
•  Eintrittshäufigkeit des interessierenden Ereignisses wird gezählt.
•  Zusammengefasst
•  Erfahrungen über Realisationsmöglichkeiten eines Ereignisses durch
Beobachten und Zählen gesammelt
•  Name: frequentistische Ansatz
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Beispiel
•  Ereignis A sei bei N Durchführungen des
Zufallsvorgangs nN (A)-mal eingetreten.
•  Relative Häufigkeit
•  hN (A) =
•  Dabei gilt:
•  h ( A) ≥ 0
N
•  h
N
nN (A)
N
für jedes Ereignis A
(Ω) = 1
•  h
( A ∪ B) = hN ( A) + hN ( B)
für disjunkte Ereignisse A und B
N
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Konvergenz
•  Es scheint so, als ob gilt:
lim hN ( A) = p
N →∞
wobei p ∈
•  Aber:
Konvergenz in der Realität weder verifizierbar noch falsifizierbar.
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Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Klassischer Ansatz
•  Frequentistischer Ansatz
•  Kombinierte Ereignisse
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Axiomatische Definition – Wahrscheinlichkeit p
•  Kolmogoroff (1933):
Axiome, die die Wahrscheinlichkeit P erfüllen muss.
•  Axiom 1: 0 ≤ P(A) für alle Ereignisse A
•  Axiom 2: P(Ω) = 1
•  Axiom 3: P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
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für disjunkte Ereignisse A und B
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Gegenereignis
•  Satz
Es gilt P(A ) = 1 − P( A)
•  Beweis
•  Es gilt
•  (a) A ∪ A = Ω
•  (b) A ∩ A = ∅
A
A
Ω
•  Wiederholung Axiome
•  Axiom 2: P(Ω) = 1
•  Axiom 3: P( A ∪ B) = P( A) + P( B) für disjunkte Ereignisse
•  Damit gilt
P(A) + P ( A ) = P ( A ∪ A ) = P(Ω) = 1
bzw. vereinfacht
P(A ) = 1 − P( A)
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Leere Menge
•  Satz
Es gilt P(Ø) = 0
•  Beweis
•  Es gilt
•  (a) ∅ = Ω
•  (b) P(Ω) = 1 (vgl. Axiom 2)
•  (c) P(A ) = 1 − P( A)
•  Damit gilt
( )
P(∅) = P Ω = 1− P(Ω) = 1−1 = 0
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Ø
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Schnittmenge
•  Satz
Es gilt P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)
•  Beweis
•  Es gilt
•  (a) A ∩Ω = A
•  (b) A ∪ A = Ω
•  (c) (Distributivgesetz)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
•  (d) P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
für disjunkte Ereignisse (Axiom 3)
•  Damit gilt
A = A ∩ Ω = A ∩ (B ∪ B) = (A ∩ B)∪ (A ∩ B)
P(A) = P((A ∩ B)∪ (A ∩ B))
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)
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A
B
Ω
Wahrscheinlichkeit für
gesucht!
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Schnittmenge – Beispiel
•  Zu Prüfen:
P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)
•  Würfel
•  Für A = {1,2,3} gilt: P(A) = 3/6 = 1/2
•  Für B = {1,3,5} gilt: P(B) = 3/6 = 1/2
•  Für C = {6} gilt: P(C) = 1/6
•  Ereignisse in Formel
1
A
∩
B
=
{2}
→
P(A
∩
B)
=
• 
6
2
A
∩
B
=
{1,
3}
→
P(A
∩
B)
=
• 
6
•  Damit gilt
3 2 1
•  P(A) − P(A ∩ B) = 6 − 6 = 6
•  Ergebnis gleich P(A ∩ B) !
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A
B
Ω
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Vereinigung
•  Satz
Bitte zu Hause nachvollziehen
Es gilt P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
•  Beweis
•  Es gilt
•  (a) A ∩Ω = A
•  (b) A ∪ A = Ω
•  (c) A = A ∪ (A ∩ B)
•  (c) P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
A
B
Ω
Wahrscheinlichkeit für
gesucht!
für disjunkte Ereignisse (Axiom 3)
•  (d) P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)
•  Damit gilt
A = A ∩Ω = A ∩ (B ∪ B) = (A ∩ B)∪ (A ∩ B)
B ∪ A = B ∪ ((A ∩ B)∪ (A ∩ B)) = (B ∪ (A ∩ B))∪ (A ∩ B)
A ∪ B = (A ∩ B)∪ B
P(A ∪ B) = P((A ∩ B)∪ B)
P(A ∪ B) = P((A ∩ B)) + P(B) = P(B) + P(A) − P(A ∩ B)
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Vereinigung – Beispiel
•  Zu Prüfen
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)
•  Würfel
•  Für A = {1,2,3} gilt: P(A) = 3/6 = 1/2
•  Für B = {1,3,5} gilt: P(B) = 3/6 = 1/2
•  Für C = {6} gilt: P(C) = 1/6
•  Ereignisse in Formel
4 2
A
∪
B
=
{1,
2,
3,
5}
→
P(A
∪
B)
=
=
• 
6 3
2
A
∩
B
=
{1,
3}
→
P(A
∩
B)
=
• 
6
•  Damit gilt
3 3 2 4 2
P(A)
+
P(B)
−
P(A
∩
B)
=
+ − = =
• 
6 6 6 6 3
•  Ergebnis gleich P(A ∪ B)
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A
B
Ω
Wahrscheinlichkeit für
gesucht!
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Teilmenge
•  Satz
Bitte zu Hause nachvollziehen
Seien A und B Ereignisse mit A ⊂ B.
Dann gilt P( A) ≤ P( B).
•  Beweis
•  Es gilt
•  (a) A ∩ A = ∅
•  (b) A = (A ∩ B)∪ (A ∩ B)
•  (c) P( A ∪ B) = P( A) + P( B)
für disjunkte Ereignisse (Axiom 3)
•  Darum gilt
B
Ω
Wahrscheinlichkeit für
und !
(B ∩ A)∩ (B ∩ A) = B ∩ (A ∩ A) = A ∩ A = ∅
Ereignisse sind disjunkt!
P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ A)
aus A ⊂ B folgt A ∩ B = A
und damit P(B) = P(A) + P(B ∩ A)
da P(B ∩ A) ≥ 0
gilt P(B) − P(A) ≥ 0 → P(B) ≥ P(A)
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A
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Teilmenge – Beispiel
•  Im täglichen Leben wird die Aussage des Satzes beim
Vergleich von Wahrscheinlichkeiten oft verletzt.
A
•  “Linda” (Kahnemann und Tversky)
•  31 Jahre, ledig
B
•  Extravertiert
Ω
•  Intellektuell brillant
•  Uni-Abschluss in Philosophie
Wahrscheinlichkeit •  Als Studentin hat sie sich gegen Diskriminierung
für
und !
und soziale Ungerechtigkeit engagiert
•  Hat an Demonstrationen gegen Kernkraft teilgenommen
•  Was ist wahrscheinlicher
•  Alternative A:
Linda ist Bankangestellte und in der Frauenbewegung aktiv
•  Alternative B:
Linda ist Bankangestellte
•  Ergebnis der Befragung:
Mehrheit sagt, dass A wahrscheinlicher ist,
obwohl A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
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Wertebereich
•  Satz
Es gilt P(A) ≤ 1
•  Beweis
•  Es gilt
•  (a) Für jedes Ereignis A: A ⊆ Ω
•  (b) P( A) ≤ P( B), A ⊂ B
•  (c) P(Ω) = 1 (Axiom 2)
•  Daher gilt
P(A) ≤ P(Ω) = 1
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A
Ω
Wahrscheinlichkeit für
!
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Bewertung von Ereignisse
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Wertebereich – Beispiel
•  Zu prüfen P(A) ≤ 1
•  Einmaliger Münzwurf
•  Menge aller möglichen Ausgänge
Ω = {K , Z }
•  Es sei P({K}) = p mit 0 ≤ p ≤ 1
•  P(∅) = 0
•  Aus Axiom 2: P(Ω) = P({K , Z}) = 1
•  P({Z }) = 1 − P({K }) = 1 − p
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
A
Ω
Wahrscheinlichkeit für
!
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Konstruktion I
•  Wie konstruiert man bei endlichen Ergebnismengen Wahrscheinlichkeiten für
Ereignisse?
•  Sei Ω = {ω1, ω2 , ..., ωk }
•  Wir legen Wahrscheinlichkeiten P ({ω }) = p
i
i
für die Elementarereignisse {ω i }, i = 1, 2, ..., n, fest.
k
•  Dabei muss gelten 0 ≤ pi ≤ 1und ∑ pi
=1
i=1
•  Für jedes Ereignis A setzen wir dann
P( A) = ∑ P({ω })
i
ωi ∈ A
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Bewertung von Ereignisse
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Konstruktion II
•  Prüfung, ob bei Konstruktion 3 Kolmogoroff Axiome erfüllt sind.
•  Axiom 1
•  0 ≤ P(A) für alle Ereignisse A
•  Erfüllt, da P({ω }) ≥ 0 und damit P( A) = ∑ P({ωi }) ≥ 0
i
ωi ∈A
•  Axiom 2:
•  P(Ω) = 1
k
•  Erfüllt, da P(Ω) = ∑ P({ω }) = ∑ p
i
ωi ∈Ω
i
=1
i =1
•  Axiom 3:
•  P( A ∪ B) = P( A) + P( B) für disjunkte Ereignisse A und B
•  Erfüllt, wenn A und B disjunkt, da
P(A ∪ B) =
∑ P (ω ) = ∑ P (ω ) + ∑ P (ω ) = P(A) + P(B)
ω ∈A∪B
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ω ∈A
ω ∈B
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Konstruktion – Beispiel I
•  Gleichmöglichkeitsmodell
•  Gegeben
•  Ω = {ω1, ω2 , ..., ωk }
1
•  P({ω }) = k
i
für i = 1, ..., k
•  Die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A ⊂ Ω ist dann
| A|
P( A) = ∑ P({ω }) =
|Ω|
i
ωi ∈A
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Konstruktion – Beispiel II
•  Würfel
•  Gegeben
•  Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
•  | Ω |= 6
•  A = {1, 2, 3 }
•  | A |= 3
•  P( A) =
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| A| 3 1
= =
|Ω| 6 2
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Bewertung von Ereignissen - Übersicht
•  Sicheres/Unsicheres Ereignis
•  P (∅) = 0
•  P(Ω) = 1
•  Betrachtung einzelner Ereignisse
•  P(A) ≥ 0
•  P(A) ≤ 1
•  P(A ) = 1 − P(A)
•  Betrachtung mehrerer Ereignisse
•  P(A ∩ B) = P(A) − P(A ∩ B)
•  P( A ∪ B) = P( A) + P( B) [disjunkte Ereignisse]
•  P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) [allgemein]
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Bewertung von Ereignisse
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